1、第二篇函数与基本初等函数第1讲函数及其表示知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法2函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x
2、)0f(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y性质法yexy(0，)单调性法yxy2，)换元法ysin2 xsin x1y分离常数法yy(，1)(1，)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为.()(2)函数y1与yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013广东卷改编)函数y的定义域为(1，) ()(4)(2014杭州月考改编)函数f(x)的值域为(0,1()3分段函数求值(5)(2013济南模拟改编)设函数f(x)则f(f
3、(3). ()(6)设函数f(x)若f(a)4，则实数a2或4.()4函数解析式的求法(7)已知f(x)2x2x1，则f(x1)2x25x2.()(8)已知f(1)x，则f(x)(x1)2.()感悟提升1一个方法判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)2三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8)考点一求函数定义域的方法【例1】 (1)函数y的定义域为_(2
4、)若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析(1)要使函数有意义，则log0.5(4x3)0，即04x31，所以x1.故函数定义域为.(2)f(x)的定义域为R，即mx24mx30恒成立当m0时，符合条件当m0时，(4m)24m30，即m(4m3)0，0m.综上所述，m的取值范围是.答案(1)(2)规律方法 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方数非负；对于yx0，要求x0；对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束【训练1】
5、(1)(2014南京模拟)函数f(x)log2(2x1) 的定义域是_(2)(2014聊城模拟)函数y的定义域为_解析(1)因为解得x1，所以f(x)的定义域为.(2)由得1x0，且x1当x1时，log3x0，于是ylog3x1211；当0x1时，log3x0，于是ylog3x11213.故函数的值域是(，31，)规律方法 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易
6、画出时，还可借助于图象求解【训练2】 求下列函数的值域：(1)y；(2)y2x1.解(1)法一(配方法)y1，又x2x12，01)，求a，b的值解f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即函数f(x)在1，b上单调递增f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab，又b1，由解得a，b的值分别为，3.第2讲函数的单调性与最值知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1x2时，都有f(x1)
7、f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x
8、D，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数 ()(2)函数f(x)2x1在(，)上是增函数 ()(3)(教材改编)函数f(x)在其定义域上是减函数 ()(4)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数 ()2函数的单调区间与最值(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(6)(教材改编)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(7)(2013北京卷改编)函数ylg|x|的单调递减区间为(0，)()(8)函数f(x)log2(3x1)的最小值为0.()感悟提升1一个区别“函数的单调区间”和“函数在某
9、区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性(2)(2013沙市中学月考)求函数ylog(x24x3)的单调区间解(1)法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)
10、f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x.x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数(2)令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数ylog (x2
11、4x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【
12、训练1】 试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增考点二利用单调性求参数【例2】 若函数f(x)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_解析法一f(x)a，设x1x20.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是00，得x，所以函数的定义域为，由复合函数的单调性知，函数
13、f(x)log5(2x1)的单调增区间是.答案2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_解析当a0时，f(x)12x5在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a.综上，a的取值范围是0a.答案3(2013南通月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析由a1知函数f(x)在a,2a上为单调增函数，则loga(2a)logaa，解得a4.答案46函数f(x)2x的最大值是_解析由183x0，
14、得x6，又函数f(x)在定义域上显然是增函数，所以当x6时，f(x)取最大值f(6)12.答案127(2012安徽卷)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.解析f(x)f(x)在上单调递减，在上单调递增3，a6.答案68用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_解析由f(x)min2x，x2，10x(x0)画出图象，最大值在A处取到，联立得y6.答案6二、解答题9试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)解任取1x1x21，则f(x1)f(x2)，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10
15、，x10，x10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210，0，因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数10已知函数f(x)(a0，x0)(1)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解(1)任取x1x20，则x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，因此，函数f(x)是(0，)上的单调递增函数(2)f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，即2，2.解得a.能力提升题组(建议用
16、时：25分钟)一、填空题1(2014太原一模)下列函数中，在1,0上单调递减的是_ycos x；y|x1|；yln ；yexex解析对于，结合余弦函数的图象可知，ycos x在1,0上是增函数；对于，注意到当x1,0时，相应的函数值分别是2，1，因此函数y|x1|在1,0上不是减函数；对于，注意到函数yln ln在1,0上是增函数；对于，当x1,0时，yexex0，因此该函数在1,0上是减函数，综上所述，填.答案2(2014南阳一中月考)函数y(x3)|x|的递减区间是_解析y这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(，0)和(，)答案(，0)和(，)3已
17、知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，则实数a的取值范围是_解析法一任取2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立，即当2x1x2时，x1x2a恒成立，又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，由已知条件得2，解得0a4.答案(0,4二、解答题4已知二次函数f(x)ax2bx1(a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.对任意实数x均有f(x)0恒成
18、立，a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2或2，解得k2或k6.故k的取值范围是(，26，).学生用书第15页第3讲函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”
19、、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的认识及应用(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图
20、象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)(2013山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)2.()(6)(2014菏泽模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(8)(2013湖北卷改编
21、)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上是周期函数()感悟提升1两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2)2两个结论一是若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)二是若对任意xD都有f(xa)f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意xD都有f(xa)(f(x)0)，则f(x)也是以2a
22、为周期的函数，如(7)(8).考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)ln.(2)(2013辽宁卷改编)已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f(lg )_.(1)解由得x1.f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数(2)解析设g(x)ln(3x)，则g(x)ln(3x)lnln(3x)g(x)g(x)为奇函数f(lg 2)ff(lg 2)f(lg 2)g(lg 2)
23、1g(lg 2)1g(lg 2)g(lg 2)22.答案2规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 (1)(2013湖南卷改编)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_(2)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.解析(1)
24、由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得g(1)3.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.答案(1)3(2)3考点二函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014山东实验中学诊断)在函数f(x)；f(x)；f(x)2x2x；f(x)tan x中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是_(2)(2013辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(logx)0的解集为_解析(1)f(x)在定义域上是
25、奇函数，但不单调；f(x)为非奇非偶函数；f(x)tan x在定义域上是奇函数，但不单调(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f0，f(logx)0等价于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|logx|，即logx或logx，解得0x或x2.答案(1)(2)(2，)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)【训练2】 (2013天津卷改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(l
26、oga)2f(1)，则a的取值范围是_解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，又因为logalog2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)f(loga)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1)，即f(|log2a|)f(1)，又函数在0，)上单调递增，所以0|log2a|1，即1log2a1，解得a2.答案考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小顺序为_审题路线f(x4)f(x)f(x8)f(x)结合f(x)奇偶性
27、、周期性把25,11,80化到区间2,2上利用2,2上的单调性可得出结论解析f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)答案f(25)f(80)f(11)规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知
28、区间上的问题.【训练3】 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(
29、1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3奇函数的图象关
30、于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性方法优化1根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011辽宁卷改编)若函数f(x)为奇函数，则a_.一般解法 由题意知f(x)f(x)恒成立，即，即(xa)(xa)恒成立，所以a.优美解法 (特值法)由已知f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.答案反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(x)f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法【自主体验】1(2
31、014永康适应性考试)若函数f(x)ax2(2a2a1)x1为偶函数，则实数a的值为_解析由2a2a10，得a1或.答案1或2(2014山东省实验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，则a_，b_.解析由f(0)0，得b1，再由f(1)f(1)，得，解得a2.答案21基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013温州二模)若函数f(x)是奇函数，则a的值为_解析由f(1)f(1)，得，(1a)2(1a)2解得a0.答案02(2014温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(1x)，则f(3)_.解析f(3)f(3)log242.答案23(2013重庆卷改编
32、)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)_.解析f(x)ax3bsin x4，f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4，得f(x)f(x)8，又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，f(lg(log210)f(lg(lg 2)5，又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8，5f(lg(lg 2)8，f(lg(lg 2)3.答案34函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为_解析f(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x
33、)0，得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0，得x；当x(1,3)时，由xf(x)0，得x(1,3)x(1,0)(1,3)答案(1,0)(1,3)5(2014武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)_.解析依题意知f(x)g(x)g(x)f(x)axax2，联立f(x)g(x)axax2，解得g(x)2，f(x)axax，故a2，f(2)22224.答案6(2013青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)对任意xR成立，当x(1,0)时f(x)2x，则f_.解析因为f
34、(x2)f(x)，故fff1.答案17设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数解得1m.答案8(2013临沂模拟)下列函数yx3；y|x|1；yx21；y2x中既是偶函数，又在区间(0，)上单调递增的函数是_解析因为是奇函数，所以不成立在(0，)上单调递减，不成立，为非奇非偶函数，不成立，所以填.答案二、解答题9f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时， x0，
35、则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义域为R的周期函数，且最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)
36、能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013昆明模拟)已知偶函数f(x)对xR都有f(x2)f(x)，且当x1,0时f(x)2x，则f(2 013)_.解析由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)f(45031)f(1)f(1)21.答案2(2014郑州模拟)已知函数f(x1)是偶函数，当1x1x2时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_解析f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，yf(x)关于x1对称又1x1x2，f(x2)f(x1)(x2x1)0，知yf(x)在1，)是增函
37、数，又ff，且23，f(2)ff(3)，即bac.答案bac3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确答案二、解答题4已知函数f(x)在R上满足f
38、(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 014,2 014上根的个数，并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)，f(0)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)由f(4x)f(14x)f(x)
39、f(x10)，从而知函数yf(x)的周期T10.由f(3)f(1)0，得f(11)f(13)f(7)f(9)0.故f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数yf(x)在0,2 014上有404个解，在2 014,0上有402个解，所以函数yf(x)在2 014,2 014上共有806个解.第4讲幂函数与二次函数知 识 梳 理1幂函数(1)幂函数的定义形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R 0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
40、单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数的三种常见解析式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，(m，n)为顶点坐标；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)其中x1，x2分别是f(x)0的两实根(3)二次函数的图象和性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，a0)图象a0a0，y1y22xm恒成立，求实数m的取值范围审题路线f(0)1求cf(x1)f(x)2x比较系数求a，b构造函数g(x)f(x)
41、2xm求g(x)min由g(x)min0可求m的范围解(1)由f(0)1，得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密
42、切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.【训练3】 (2014盐城检测)设二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间2,2上的最大值、最小值分别是M，m，集合Ax|f(x)x(1)若A1,2，且f(0)2，求M和m的值；(2)若A1，且a1，记g(a)Mm，求g(a)的最小值解(1)由f(0)2可知c2.又A1,2，故1,2是方程ax2(b1)x20的两实根所以解得a1，b2.所以f(x)x22x2(x1)21，x2,2当x1时，f(x)minf(1)1，即m1.当x2时，f(x)maxf(2)10，即M10.(2)由题意知，方程ax
43、2(b1)xc0有两相等实根x1.所以即所以f(x)ax2(12a)xa，x2,2，其对称轴方程为x1.又a1，故1.所以Mf(2)9a2.mf1.g(a)Mm9a1.又g(a)在区间1，)上单调递增，所以当a1时，g(a)min.1对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想3对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用答题模板2二次函数在闭区
44、间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f(x)x(xa)在x1,1上的最大值规范解答函数f(x)2的图象的对称轴为x，应分1，11，1，即a2，2a2和a2三种情形讨论(2分)(1)当a2时，由图(1)可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)1a；(5分)(2)当2a2时，由图(2)可知f(x)在1,1上的最大值为f；(8分)(3)当a2时，由图(3)可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)a1.(11分)综上可知，f(x)max(12分)反思感悟 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有
45、参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)部分学生易出现两点错误：找不到分类的标准，无从入手；书写格式不规范，漏掉结论f(x)max答题模板第一步：配方，求对称轴第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论第三步：求最值第四步：下结论【自主体验】已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一个最大值5，求a的值解f(x)424a，对称轴为x，顶点为.当1，即a2时，f(x)在区间0,1上递增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)当01，即0a2时，ymaxf4a，令4a5，a(0,2)当0，即a0时，f(x)在区间0,1上递减，此时f(x)maxf(0)4aa2.
46、令4aa25，即a24a50，a5或a1(舍去)综上所述，a或a5. 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是_解析设幂函数yx，则2，解得2，所以yx2，故函数yx2的单调递增区间是(，0)答案(，0)2(2013浙江七校模拟)二次函数yx24xt图象的顶点在x轴上，则t的值是_解析二次函数图象的顶点在x轴上，所以424(1)t0，解得t4.答案43(2014扬州检测)若函数f(x)x2axb的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)的单调递增区间为_解析由已知可得该函数的图象的对称轴为x2，又二次项系数为10，所以f(x)在(，2
47、上是递减的，在2，)上是递增的答案2，)4若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是_解析5aa，因为a0时，函数yxa单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.答案5a0.5a5a5(2014南阳一中月考)函数f(x)loga (6ax)在0,2上为减函数，则a的取值范围是_解析若0a1，则f(x)不可能为减函数，当a1时，由函数(f)xloga(6ax)在0,2上为减函数，知6ax0在0,2恒成立，等价于(6ax)min0，即62a0，得a3，所以a的取值范围是(1,3)答案(1,3)6二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)，且f(x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.解
48、析由f(3x)f(3x)，知函数yf(x)的图象关于直线x3对称，应有3x1x26.答案67(2014苏州检测)已知函数yx24ax在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围是_解析根据题意，得对称轴x2a1，所以a.答案8已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案(0,1)二、解答题9已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)2x的解集为x|1x3，方程f
49、(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解设f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)x2x.10设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、
50、填空题1(2014江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)x，则的取值范围是_解析当x1时，恒有f(x)x，即当x1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知1时满足题意答案(，1)2(2014衡水中学二调)设集合A，集合B.若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_解析A，因为函数yf(x)x22ax1的对称轴为xa0，f(0)10，根据对称性可知要使AB中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)0且f(3)0，即所以即a.答案，)3已知函数f(x)x，给出下列四个命题：若x1，则f(x)1；若0x1x2，则f
51、(x2)f(x1)x2x1；若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)；若0x1x2，则f.其中，所有正确命题的序号是_解析对于：yx在(0，)上为增函数，当x1时，f(x)f(1)1，正确；对于：取x1，x24，此时f(x1)，f(x2)2，但f(x2)f(x1)x2x1，错误；对于：构造函数g(x)，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上为减函数，当x2x10时，有，即x1f(x2)x2f(x1)，错误；对于：画出f(x)x在(0，)的图象，可知f，正确答案二、解答题4(2014辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左
52、侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值解(1)f(x)在区间(1,0)，(1，)上单调递增(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上，g(x)min第5讲指
53、数与指数函数知 识 梳 理1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数负数没有偶次方根(2)两个重要公式n为偶数()na.2有理数指数幂(1)幂的有关概念零指数幂：a01(a0)负整数指数幂：ap(a0，pN*)；正分数指数幂：a(a0，m，n N*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sar
54、s(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在(，)上是增函数在(，)上是减函数辨 析 感 悟1指数幂的应用辨析(1)()42.()(2)(教材探究改编)()a.()2对指数函数的理解(3)函数y32x是指数函数()(4)yx是R上的减函数()(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小() (6)(2013金华调研)已知函数f(x)4ax1(a0且a1)的图
55、象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)()感悟提升1“”与“n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a0时，a，当n为偶数，且a0时，a，而()na恒成立如(1)中不成立，(2)中.2两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1和a1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大如(5)考点一指数幂的运算规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简
56、求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apap1(a0)简化运算答案9a考点二指数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2014泰安一模) 函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是_a1，b0；a1，b0；0a1，b0；0a1，b0.(2)比较下列各式大小1.72.5_1.73；0.61_0.62；0.80.1_1.250.2；1.70.3_0.93.1.解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)，函数y1
57、.7x是增函数，2.53，1.72.51.73.y0.6x是减函数，10.62.(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,0.93.10.93.1.答案(1)(2)规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解【训练2】 已知实数a，b满足等式2 011a2 012b，下列五个关系式：0ba；a
58、b0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_解析设2 011a2 012bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若t1，则有ab0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立答案考点三指数函数的性质及其应用【例3】 已知函数f(x)x3.(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.审题路线由2x10可求f(x)的定义域分别求g(x)与h(x)x3的奇偶性可利用g(x)g(x)0判断g(x)的奇偶性利用“奇奇偶，奇偶奇”判断f(x)的奇偶性先证x0时，f(x)0再证x0时，f(x)0.解(1)由2x10可解得x0，
59、定义域为x|x0(2)令g(x)，h(x)x3.则h(x)为奇函数，g(x)g(x)10.g(x)为奇函数，故f(x)为偶函数(3)证明当x0时，2x10，x30，即f(x)0.又f(x)是偶函数，当x0时，f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零f(x)0.规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.【训练3】 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.
60、解(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知.解得a2.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21，即3t22t10，解不等式可得.1判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成3画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.4熟记指数
61、函数y10x，y2x，yx，yx在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系 易错辨析2忽略讨论及验证致误【典例】 (2012山东卷)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意答案 易错警示(1)误以为a1，未进行分类讨论从而求得错误答案(2)对条件“g(x)在0，)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案防范错施 (1)指数函数的底数不确定时，单调性
62、不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种情况讨论(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础【自主体验】当x2,2时，ax0，且a1)，则实数a的范围是_解析x2,2时，ax0，且a1)，若a1时，yax是一个增函数，则有a22，可得a，故有1a；若0a1，yax是一个减函数，则有a2，故有a1.综上知a(1，)答案(1，)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014郑州模拟)在函数f(x)；f(x)x24x4；f(x)2x；f(x)logx中，满足“对任意的x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x
63、1)f(x2)”的是_解析由条件可知在(0，)上，函数f(x)递增，所以满足答案2函数yax(a0，a1)的图象可能是_解析当a1时单调递增，且在y轴上的截距为011时，故，不正确；当0a1时单调递减，且在y轴上的截距为10，故不正确；正确答案3.(a0)的值是_解析a3a.答案a4设2a5bm，且2，则m等于_解析2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.答案5函数yaxb(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为_解析函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上而当x0时，ya0b1b，由题意得解得所以ab(
64、0,1)答案(0,1)6(2014济南一模)若a30.6，blog30.2，c0.63，则a、b、c的大小关系为_解析30.61，log30.20,00.631，所以acb.答案acb7(2014盐城模拟)已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析因为f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a1.答案(0,1)8函数f(x)ax(a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_解析当0a1时，aa2，a或a0(舍去)当a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.答案或二、解答题9设f(x)是定义在R上
65、的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，求a的值解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210，显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a1.10设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因为a0，所以a.当a1时，x1,1
66、，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1函数f(x)ax3m(a1)恒过点(3,10)，则m_.解析由图象平移知识及函数f(x)ax过定点(0,1)知，m9.答案92(2014杭州质检)已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)是定义域上的递减函数，即解得0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是
67、正数，且a，b1)alogaNN；logaaNN；logbN；logambnlogab；logab，推广logablogbclogcdlogad.(2)对数的运算法则(a0，且a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logalogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0当0x1时，y0(5)当x1时，y0当0x1时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数辨 析 感 悟1对数运算的辨析(1)(201
68、3陕西卷改编)设a，b，c均为不等于1的正实数，则logablogcblogca.()logablogcalogcb.()loga(bc)logablogac.()loga(bc)logablogac.()(2)(2013中山调研改编)若log4log3(log2x)0，则x.()2对数函数的理解(3)(2013吉林调研改编)函数ylog3(2x4)的定义域为(2，)()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()(5)(2014长沙模拟改编)函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a2.()(6)
69、log2x22log2x.()感悟提升三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0a1和a1分类讨论，否则易出错考点一对数的运算【例1】 (1)(2013四川卷)lg lg 的值是_(2)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)_.解析(1)lg lglg lg 101.(2)由于1log232，则f(2log23)f(2log231)f(3log23)322.答案(1)1(2)规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真
70、数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧【训练1】 (1)(2012安徽卷改编)(log29)_.(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析(1)(log29)(2log2 3)(2log32)4.(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案(1)4(2)2考点二对数函数的图象及其应用【例2】 (2012新课标
71、全国卷改编)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是_审题路线在同一坐标系下作出两个函数y4x与ylogax的图象画函数ylogax的图象可考虑两种情况：a1和0a1观察图象，当a1时不符合题意舍去，所以只画出0a1的情形观察图象的交点满足条件：loga 2即可解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案规律方法 一些对数型方程、不等式问题常
72、转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【训练2】 (2014石家庄二模)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则两根满足的条件是_x1x20；x1x21；x1x21；0x1x21解析构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1x10，则10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，因此10x210x1lg(x1x2)，因为10x210x10，所以lg(x1x2)0，即0x1x21.答案考点三对数函数的性质及应用【例3】 (1)(2013新课标全国卷改编)
73、设alog32，blog52，clog23，则它们的大小关系为_(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析(1)23,12，32，log3log32log33，log51log5 2log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.(2)由题意可得或解得a1或1a0.答案(1)cab(2)(1,0)(1，)规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件【训练3】 (1)(2014郑州模拟)若x(e1,1)，aln x，bln x，ce
74、ln x，则a，b，c的大小关系为_(2)函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是_解析(1)依题意得aln x(1,0)，bln x(1,2)，cx(e1,1)，因此bca.(2)由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1，又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3.答案(1)bca(2)(3，)(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1和0a1的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现(
75、2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决学生用书第26页教你审题2巧用对数函数图象解题【典例】 (2012湖南卷改编)已知两条直线l1：ym和l2：y(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为_.审题一审条件：转化函数y|log2x|为y得到图象，如图二审条件：见上图三审条件：转化为a是A，C两点横坐标之差的绝对值，b是B，D两点横坐标之差的绝对值A，B的
76、横坐标即是方程|log2x|m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|的解，求出A，B，C，D点的横坐标四审问题：把转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可法一构造函数g(m)m，则g(m)1，由于m0，显然可得g(m)在(0，)上有唯一的极小值点，也是最小值点m，故g(m)ming，即的最小值为28.法二mmm4，当且仅当m，即m时等号成立，故的最小值为28.答案8反思感悟 (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大【自主体验】已知函数
77、f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3,1的大小关系是_解析分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x2x3x11.答案x2x3x11基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1如果，那么x，y,1的大小关系是_解析logxlogylog1，又ylogx是(0，)上的减函数，xy1.答案1yx2(2014深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)log3(1x)，则f(2)_.解析f(2)f(2)log331.答案13函数ylog(3xa)的定义域是，则a_.解析要使函
78、数有意义，则3xa0，即x，a2.答案24已知f(x)且f(2)1，则f(1)_.解析f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)23218.答案185函数yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过一定点是_解析当x2时y2.答案(2,2)6(2012重庆卷改编)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_解析alog23log2log23log221，blog29log2log23a1，clog32c.答案abc7(2014池州一模)函数ylog2|x|的图象大致是_解析函数ylog2|x|所以函数图象为.答案8(2013苏州二模)若a
79、，bln 2ln 3，c，则a，b，c的大小关系是_abc；cab；cba；bac解析ln 6ln 1，ac，排除，；bln 2ln 32a，排除.答案二、解答题9已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x10解得x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，则04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间上递增，又f0，f(2)log415，因此f(x)在上的值域为0，log41510已知函数f(x)log(
80、a为常数)(1)若常数a0，当0a2时，解得x；当a0时，解得x1.故当0a2时，f(x)的定义域为；当a0时，f(x)的定义域为.(2)令u，因为f(x)logu为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)a在(2,4)上单调递增且为正故由得1a2.故a1,2)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013西安三模)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，则是“同形”函数的是_f2(x)与f4(x)；f1(x)与f3(
81、x)；f1(x)与f4(x)；f3(x)与f4(x)解析因为f4(x)log2(2x)1log2x，所以f2(x)log2(x2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到ylog2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数f3(x)log2x22log2|x|与f1(x)2log2(x1)不“同形”答案2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)_.解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因为4log2205，所
82、以f(log220)f(log2204)f(4log220)f(log2)(2log2)1.答案13(2014常州模拟)已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故02.答案二、解答题4已知函数f(x)xlog2.(1)求ff的值；(2)当x(a，a，其中a(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)f(x)log2log2log210.ff0.(2)f(x)的定义域为(1,1)，f(
83、x)xlog2(1)，当x10)有两个解，则a的取值范围是_解析画出y|ax|与yxa的图象，如图只需a1.答案(1，)8(2013泰州模拟)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的范围是_解析当x0时，02x1，所以由图象可知要使方程f(x)a0有两个实根，即f(x)a有两个交点，所以由图象可知0a1.答案(0,1二、解答题9已知函数f(x).(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间解(1)f(x)1，函数f(x)的图象是由反比例函数y的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示(2)由图象可以看出，函数f(x)的单调递增区间为(，1)
84、，(1，)10设函数f(x)x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求g(x)的解析式；(2)若直线ym与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标解(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P(4x,2y)，代入f(x)x，可得2y4x，即yx2，g(x)x2.(2)由消去y得x2(m6)x4m90，(m6)24(4m9)，直线ym与C2只有一个交点，0，解得m0或m4.当m0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m4时，经检验合理，交点为(5,4)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1使log2(x)x
85、1成立的x的取值范围是_解析作出函数ylog2(x)及yx1的图象其中ylog2(x)与ylog2x的图象关于y轴对称，观察图象知(如图所示)，1x0，即x(1,0)答案(1,0)2.函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，f(x)0；当x时，cos x0，f(x)0；当x时，cos x0，f(x)0，当x(1,0)时，cos x0，f(x)0；当x时，cos x0，f(x)0；当x时，cos x0，f(x)0.故不等式0的解集为.答案3(2013宿迁模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kx
86、k1(kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_解析由题意作出f(x)在1,3上的示意图如图，记yk(x1)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1)记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数yf(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.答案二、解答题4已知函数f(x)|x24x3|.若关于x的方程f(x)ax至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围解f(x)作出图象如图所示原方程变形为|x24x3|xa.于是，设yxa，在同一坐标系下再作出yxa的图象如图则当直线yxa过点(1,0)时a1；当直线yxa与抛物线yx24x3相切时，由x23xa30.由94(3a
87、)0，得a.由图象知当a时方程至少有三个不等实根.第8讲函数与方程知 识 梳 理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的
88、区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法辨 析 感 悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，则函数f(x)有零点()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点()(5)(2012湖北卷改编)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为2.()(6)(2013广州模
89、拟改编)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(2,0)()感悟提升1一点提醒函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，如(1)2三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在a，b上单调且f(a)f(b)0，则f(x)在a，b上只有一个零点.考点一函数零点的求解与判断【例1】 (1)(2013青岛一模)函数f(x)1xlog2x的零点所在区间是_；(1,2)；(2,3)(2)(2014郑州一模)函数f(x)的零点个
90、数是_解析(1)f1log210，f1log210，f(1)1010，f(2)12 log2210，由f(1)f(2)0知正确(2)当x0时，令g(x)ln x，h(x)x22x.画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x0时，f(x)有2个零点当x0时，由4x10，得x，综上函数f(x)的零点个数为3.答案(1)(2)3规律方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变
91、形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【训练1】 (1)(2014合肥模拟)函数f(x)log2x的一个零点落在区间_(0,1)；(1,2)；(2,3)；(3,4)(2)(2012北京卷改编)函数f(x)xx的零点个数为_解析(1)f(1)10，故其中一个零点会落在(1,2)内(2)f(x)xx的零点，即令f(x)0.根据此题可得xx，在平面直角坐标系中分别画出幂函数yx和指数函数yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个答案(1)(2)1考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1
92、)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)法一x0时g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点m的取值范围是2e，)法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.m的取值范围是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，
93、g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【训练2】 (2014鞍山模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_解析画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1.答案(0,
94、1)考点三与二次函数有关的零点分布【例3】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由审题路线由f(x)在1,3上只有一个零点f(x)0在1,3上有且只有一个实数根计算知0恒成立令f(1)f(3)0求出a的范围对端点值检验得出结论解令f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a8920，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x
95、)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，)规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围
96、解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得即m.故m的取值范围是.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组即0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x0)，g(x)1.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)只有1
97、个零点.第9讲函数模型及其应用知 识 梳 理1函数模型及其性质比较(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)(2)三种函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f
98、(x)x”型函数模型形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值辨 析 感 悟1关于函数模型增长特点的理解(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(3)幂函数增长比直线增长更快()2常见函数模型的应用问题(4)(2013长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表示为.()(5)(2014济宁模拟改编)某产品的总成本y(万
99、元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1 x2，x(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台()感悟提升一个区别三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时，有axxnlogax(a1，n0)如(1)中当2x4时，2xx2；如(2)中没强调b1；如(3)，举例yx与yx，当x1时，yx比yx增长慢.考点一利用图象刻画实际问题【例1】 (2013湖北卷改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶
100、与以上事件吻合得最好的图象是_解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除.答案规律方法 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可【训练1】 如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有_解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变
101、化率上反映出来，图应该是匀速的，故下面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；中的变化率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有是错误的答案考点二二次函数模型【例2】 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解(1)x的取
102、值范围为10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因为y5x2(100x)2x2500x25 0002，所以当x时，ymin.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少规律方法 二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题【训练2】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨
103、产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为(万元)则482 4832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元则R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函数，x210时，R(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元考点三分段函数模型【例3】 (2014郴州模拟)某旅游景点预计201
104、4年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？解(1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x，验证x1也满足此式，所以f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)第x个月旅游消费总额为g(x)即g(
105、x)当1x6，且xN*时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x(舍去)当1x5时，g(x)0，当5x6时，g(x)0，当x5时，g(x)maxg(5)3 125(万元)当7x12，且xN*时，g(x)480x6 400是减函数，当x7时，g(x)maxg(7)3 040(万元)综上，2014年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求
106、每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值【训练3】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各项开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由
107、题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q代入式得L(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当20P26时，Lmax元，此时P元故当P19.5元时，月利润余额最大为450元(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20，即最早可望在20年后脱贫1认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性答题模板3函数实际应用的建模问题【典例】 (12分)(2012江苏卷) 如图，建立平面直角坐标系x
108、Oy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 规范解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，(2分)故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(5分)(2)因为a0，所以，炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立(8分)即关于k的方程a2k220a
109、ka2640有正根(10分)判别式(20a)24a2(a264)0，解得a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标(12分)反思感悟 (1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础；(2)本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题，导致失分答题模板解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模
110、型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014日照模拟)下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是_.x45678910y15171921232527一次函数模型；幂函数模型；指数函数模型；对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型答案2(2014苏州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示
111、，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是_解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选.答案3某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析由题意得，y1，y2k2x，其中x0，当x10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k120，k2，y1y2x2 8，当且仅当x，即x5时取等号答案54.(2013安徽名校联考)如图，
112、在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线xt(t0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是_解析由题意得，f(t)故其图象为.答案5(2014南京一模)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为242xx(x1)，所以x年的平均费用为yx1.5，由基本不等式得yx1.52 1.5
113、21.5，当且仅当x，即x10时取等号答案106.(2013陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，当x20时，Smax400.答案207(2013北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x 20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则
114、y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析当x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润答案y(xN*)168有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙厚度不计)解析本题是实际问题，建立函数关系即可设矩形场地的宽为x
115、 m，则矩形场地的长为(2004x)m，面积Sx(2004x)4(x25)22 500.故当x25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案2 500 m2二、解答题9(2014昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(xN*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付
116、水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例解(1)y关于x的函数关系式为y(2)由(1)知：当x3时，y6；当x4时，y8；当x5时，y12；当x6时，y16；当x7时，y22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6183123163222)13(元)(3)由(1)和题意知：当y12时，x5，所以“节约用水家庭”的频率为77%，据此估计该地“节约用水家庭
117、”的比例为77%.10(2013南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数)记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数
118、关系式；(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)24，得k2 400，所以F(x)150.5x0.5x(x0)(2)因为F(x)0.5(x5)2.52 2.557.5，当且仅当0.5(x5)，即x55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售
119、100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为_解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104(10010x)70，令104(10010x)70112104，解得2x8.故x的最小值为2.答案22某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为_略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损；无法判断盈亏情况解析设该股民购这只股票的价格为a，则经历n次
120、涨停后的价格为a(110%)na1.1n，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这只股票略有亏损答案3将一个长宽分别是a，b(0ba)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_解析设切去正方形的边长为x，x，则该长方体外接球的半径为r2(a2x)2(b2x)2x29x24(ab)xa2b2，在x存在最小值时，必有0，解得，又0b1，故的取值范围是.答案二、解答题4(2014孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这
121、样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解(1)当0500时，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)当0500时，f(x)12x12.故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大方法强化练函数与基本初等函数(建议用时：75分钟)一、填空题1(2014珠海模拟)函数y的定义域为_解析由得x.答案2(2013金华十校联考)下列函数中既
122、不是奇函数也不是偶函数的是_y2|x|；ylg(x)；y2x2x；ylg .解析根据奇偶性的定义易知、为偶函数，为奇函数，的定义域为x|x1，不关于原点对称答案3(2013山东省实验中学诊断)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)f(1)_.解析设幂函数为f(x)x，则f(9)93，即323，所以21，即f(x)x，所以f(2)f(1)1.答案14(2014无锡调研)已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，则k_.解析设f(x)2xx10，则由f(2)40，f(3)10，所以f(x)的零点在(2,3)内答案25(2014天水调研)函数f(x)(x1)ln x的零点有_个解析函数
123、的定义域为x|x0，由f(x)(x1)ln x0得，x10或ln x0，即x1(舍去)或x1，所以函数的零点只有一个答案16(2014烟台月考)若alog20.9，b3，c，则a、b、c大小关系为_解析alog20.90，bc0.答案acb7(2013潍坊二模)函数y|x1|的大致图象为_解析因为y|x1|所以图象为.答案8(2013长沙期末考试)设f(x)则ff(1)_.解析f(1)(1)21，所以ff(1)f(1)212.答案29(2013湖南卷改编)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为_解析因为g(x)x24x4(x2)2，所以作出函数f(x)ln x与g
124、(x)x24x4(x2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个答案210已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为_解析由题意f(0)0，即1m0，所以m1，f(log35)f(log35)(3log351)4.答案411(2014衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_解析设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15x辆车，获得的利润为y5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x3
125、0，当x10.2时，y最大，但xN，所以当x10时，ymax1530.63045.6.答案45.612(2013陕西卷改编)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有_xx；x；2x2x；x2x解析特值法对，设x1.8，则x1，x2，所以为假；对，设x1.8，则2，x1，所以为假；对，设x1.4，2x2.83,2x4，所以为假答案13(2014郑州模拟)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析g(x)|xa|的增区间为a，)，f(x)e|xa|的增区间为a，)f(x)在1，)上是增函数，1，)a，)，a1.答案(，114(2013滨
126、州一模)定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x2)f(x)，当x0,1)时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围是_解析由f(x2)f(x)得函数的周期为2.由g(x)f(x)kxk0，得f(x)kxkk(x1)，分别作出函数yf(x)，yk(x1)的图象，设A(3,1), B(1,0)，要使函数有4个零点，则直线yk(x1)的斜率0kkAB，因为kAB，所以0k，即实数k的取值范围是.答案15(2014扬州质检)对于函数f(x)x|x|pxq，现给出四个命题：q0时，f(x)为奇函数；yf(x)的图象关于(0，q)对称；p0，
127、q0时，方程f(x)0有且只有一个实数根；方程f(x)0至多有两个实数根其中正确命题的序号为_解析若q0，则f(x)x|x|pxx(|x|p)为奇函数，所以正确；由知，当q0时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，f(x)x|x|pxq的图象由函数f(x)x|x|px向上或向下平移|q|个单位，所以图象关于(0，q)对称，所以正确；当p0，q0时，f(x)x|x|q当f(x)0，得x，只有一解，所以正确；取q0，p1，f(x)x|x|x由f(x)0，可得x0，x1有三个实根，所以不正确综上正确命题的序号为.答案二、解答题16(2013贵阳诊断)函数f(x)mlogax(a0且a1)的图象过点(
128、8,2)和(1，1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)2f(x)f(x1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值解(1)由得解得m1，a2，故函数解析式为f(x)1log2x.(2)g(x)2f(x)f(x1)2(1log2x)1log2(x1)log21(x1)(x1)22 24.当且仅当x1，即x2时，等号成立而函数ylog2x在(0，)上单调递增，则log2 1log2411，故当x2时，函数g(x)取得最小值1.17(2014齐齐哈尔调研)对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)ax2(b1)xb1(a0)(1)当
129、a1，b2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x2x3，由题意可知xx2x3，得x11，x23.故当a1，b2时，f(x)的不动点是1,3.(2)f(x)ax2(b1)xb1(a0)恒有两个不动点，xax2(b1)xb1，即ax2bxb10恒有两相异实根，b24ab4a0(bR)恒成立于是(4a)216a0解得0a1，故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1)18(2014湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C
130、(x)x210x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得，当0x80时，L(x)0.051 000xx210x250x240x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)51x1 4502501 200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 2002 1 2002001 000.此时，当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元因为9501 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元.