1、1(2015 广东，8，易)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4，0)，则 m()A2 B3C4 D9【答案】B 由 F1 为左焦点可知焦点在 x 轴上，25m2.F1(4，0)，c4，m225169，m3，选 B.2(2015浙江，7，中)如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支【答案】C 由题可知射线 AP 以 AB 为轴旋转，形成一个以 A 为顶点，AP 为母线的圆锥，点 P 的轨迹是平面 截圆锥所得的截面，为椭圆3(2015安徽，20，13 分，中)设椭圆 E
2、 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 O为坐标原点，点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为 510.(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB.解：(1)由题设条件知，点 M 的坐标为23a，13b，又 kOM 510，从而 b2a 510.进而 a 5b，ca2b22b，故 eca2 55.(2)证明：由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为a2，b2，可得NM a6，5b6.又AB(a，b)，从而有ABNM 16a256b216(5
3、b2a2)由(1)的计算结果可知 a25b2，所以ABNM 0，故 MNAB.4(2015 北京，20，14 分，难)已知椭圆 C：x23y23，过点 D(1，0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x3 交于点M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由解：(1)椭圆 C 的标准方程为x23y21.所以 a 3，b1，c 2.所以椭圆 C 的离心率 eca 63.(2)因为 AB 过点 D(1，0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y1)，B(1
4、，y1)直线 AE 的方程为 y1(1y1)(x2)令 x3，得 M(3，2y1)所以直线 BM 的斜率 kBM2y1y1311.(3)直线 BM 与直线 DE 平行证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由(2)可知 kBM1.又因为直线 DE 的斜率 kDE10211，所以 BMDE.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)(k1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为 y1y11x12(x2)令 x3，得点 M3，y1x13x12.由x23y23，yk（x1），得(13k2)x26k2x3k230.所以 x1x2 6k213k2，x1x23k2313k
5、2.直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2.因为 kBM1 k（x11）x13k（x21）（x12）（3x2）（x12）（3x2）（x12）（k1）x1x22（x1x2）3（3x2）（x12）（k1）3k2313k2 12k213k23（3x2）（x12）0，所以 kBM1kDE.所以 BMDE.综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行1(2012上海，16，易)对于常数 m，n，“mn0”是“方程 mx2ny21 表示的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B 方程 mx2ny21 表示的曲线是椭圆，常数 m，n 的取值应
6、满足m0，n0，mn，所以，由 mn0 得不到方程 mx2ny21 表示的曲线是椭圆，如 m0，n0 时，方程不表示任何图形，因而是不充分条件；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn0，因而是必要条件，故“mn0”是“方程 mx2ny21 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件2(2013大纲全国，8，易)已知 F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为()A.x22y21 B.x23y221C.x24y231 D.x25y241【答案】C 由题意可得a2b21，|AB|2b2a 3，解得 a24
7、，b23，故椭圆方程为x24y231，故选 C.3(2013课标，5，易)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33【答案】D 方法一：如图，在 RtPF2F1 中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|2ccos 304 3c3，|PF2|2ctan 302 3c3.|PF1|PF2|2a，即4 3c32 3c32a，可得 3ca.eca 33.方法二(特殊值法)：在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|3.e2
8、c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选 D.4(2014江西，14，难)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_【解析】不妨设 A 在 x 轴上方，由于 AB 过 F2 且垂直于 x 轴，因此可得Ac，b2a，Bc，b2a，由 ODF2B，O 为 F1F2 的中点可得 D0，b22a，所以ADc，3b22a，F1B 2c，b2a，又 ADF1B，所以AD F1B 2c23b42a20，即 3b44a2c2，又 b2a2c2，所以可得
9、3(a2c2)2ac，两边同时除以 a2，得 3e22e 30，解得 e 33 或 3，又 e(0，1)，故椭圆 C 的离心率为 33.【答案】335(2014课标，20，12 分，中)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.解：(1)根据 ca2b2及题设知 Mc，b2a，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12或c
10、a2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意，知原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1|F1F2|，|F1F2|2c，其中 ac0，且 a，c 为常数当 2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a|OF|.P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆(2)由题意知|PF1|PF2|2a，PF1 PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF
11、2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29.b3.(3)根据已知条件画出图形，如图 设 MN 的中点为 P，F1，F2 为椭圆 C 的焦点，连接 PF1，PF2.显然 PF1 是MAN的中位线，PF2 是MBN 的中位线，|AN|BN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22a2612.【答案】(1)A(2)3(3)12【点拨】解题(1)的关键是将题目的条件转化为动点到两定点距离和为常数，进而利用椭圆定义解答，注意常数 2a|F1F2|这一条件；解题(2)的关键是抓住点 P
12、 为椭圆 C 上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用PF1 PF2 求出|PF1|PF2|的值，进而求解；解题(3)的关键是画出图形，利用三角形中位线结合椭圆定义求解 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面，一是当 P 在椭圆上时，解决与焦点距离|PF1|，|PF2|有关的问题；二是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正、余弦定理，|PF1|PF2|2a，得到 a，c 的关系例如，已知F1PF2 时，对F1PF2 的处理方法：定义式的平方：(|PF1|PF2|)2(2a)2，余弦定理：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF
13、2|cos，面积公式：SF1PF212|PF1|PF2|sin.(1)(2014浙江丽水模拟，5)已知 F1，F2 是椭圆x216y291 的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点在AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3(2)(2014河北保定一模，14)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_(1)【答案】A 由椭圆定义知，|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，两式相加得|AB|AF2|BF2|16，即AF1B 周长为 16，又因为在AF1B 中，有两边之和是 10，所以第
14、三边长度为 16106.(2)【解析】设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即 P 在以 C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上 得点 P 的轨迹方程为x225y2161.【答案】x225y2161考向 2 求椭圆的标准方程1椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)2与椭圆的标准方程有关的注意
15、问题(1)方程中 a，b 满足 ab0，其中 c2a2b2.(2)在x2a2y2b21 和y2a2x2b21 两个方程中都有 ab0 的条件，要分清焦点的位置，主要看含 x2 和 y2 的项的分母的大小例如，椭圆x2my2n1(m0，n0，mn)，mn 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；m0，B0 且 AB)与椭圆x2m2y2n21 共焦点的椭圆可设为x2m2k y2n2k1(km2，kn2)与椭圆x2a2y2b21(ab0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2y2b2t1(t10，焦点在 x 轴上)或y2a2x2b2t2(t20，焦点在 y 轴上)(3)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤作判断：根
16、据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上、在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b21(ab0)或 y2a2x2b21(ab0)；找关系：根据已知条件，建立方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求(2015山西太原质检，20，12 分)求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，()3，5.解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24y23t1 或y2
17、4x23t2(t1，t20)，椭圆过点(2，3)，t1224（3）232，或 t2（3）24223 2512.故所求椭圆标准方程为x28y261 或y2253x22541.(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，（2c）25232，解得 a4，c2，b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn)，由322m522n1，3m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x261.考向 3 椭圆几何性质的应用椭圆的几何性质标准方程x2
18、a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图 形性质范 围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶 点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦 距|F1F2|2c离心率eca(0，1)a，b，c 的关系a2b2c2F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则ac|PF1|ac，ac|PF2|ac.(2014天津，18，13 分)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，
19、已知|AB|32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2 的直线 l 与该圆相切于点 M，|MF2|2 2，求椭圆的方程【思路导引】(1)根据条件转化为关于 a，c 的关系求解；(2)利用(1)中离心率的值，可将椭圆方程 a2，b2 用 c2 表示，设出 P 点坐标(x0，y0)，表示出F1P，F1B，利用以线段 PB 为直径的圆过点 F1，可得F1P F1B 0，得出 x0，y0 的关系，结合 P 在椭圆上，解出 x0，y0 用 c 表示从而求出圆心、半径，并用 c 表示，再利用 l 与圆相切及|MF2|2
20、 2，结合勾股定理求出 c，得椭圆方程【解析】(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c，0)，由|AB|32|F1F2|，可得 a2b23c2，又 b2a2c2，则c2a212.所以椭圆的离心率 e 22.(2)由(1)知 a22c2，b2c2.故椭圆方程为 x22c2y2c21.设 P(x0，y0)由 F1(c，0)，B(0，c)，有F1P(x0c，y0)，F1B(c，c)由已知，有F1P F1B 0，即(x0c)cy0c0.又 c0，故有 x0y0c0.因为点 P 在椭圆上，故 x202c2y20c21.由和可得 3x204cx00.而点 P 不是椭圆的顶点，故 x043c，代入得 y0c3
21、，即点 P 的坐标为4c3，c3.设圆的圆心为 T(x1，y1)，则 x143c0223c，y1c3c2 23c，进而圆的半径 r（x10）2（y1c）2 53 c.由已知，有|TF2|2|MF2|2r2，又|MF2|2 2，故有c23c2023c2859c2，解得 c23.所以所求椭圆的方程为x26y231.1.求椭圆的离心率的方法(1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；(2)构造 a，c 的方程，解出 e.由已知条件得出关于 a，c 的方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2椭圆几何性质的应用技巧(
22、1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2(y3)21 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切(1)求椭圆 C1 的离心率；(2)若PM PN的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程解：(1)由题意可知，直线 l 的方程为 bxcy(3 2)c0，因为直线 l 与圆 C2：x2(y3)21 相切，所以 d|3c3c 2c|b2c21，即 a22c2，从
23、而 e 22.(2)设 P(x，y)，圆 C2 的圆心记为 C2，则 x22c2y2c21(c0)，又因为PM PN(PC2 C2M)(PC2 C2N)PC2 2C2N 2 x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当 c3 时，(PM PN)max172c249，解得 c4，此时椭圆方程为x232y2161；当 0c3 时，(PM PN)max(c3)2172c249，解得 c5 23.但 c5 233，故舍去 综上所述，椭圆 C1 的方程为x232y2161.1(2015安徽淮南模拟，7)椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D.1
24、925或 21【答案】C 若 a29，b24k，则 c 5k，由ca45，即 5k345，解得 k1925；若 a24k，b29，则 c k5，由ca45，即 k54k45，解得 k21.思路点拨：根据题意，对椭圆的焦点在 x 轴与 y 轴分类讨论是关键2(2015广东汕头一模，9)已知椭圆x24y221 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若F1PF2 为直角三角形，则这样的点 P 有()A3 个B4 个C6 个D8 个【答案】C 当PF1F2 为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有2 个；同理当PF2F1 为直角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，
25、F1PF2 最大，且为直角，此时这样的点 P 有 2 个故符合要求的点 P 有 6个3(2015湖北武汉二模，5)“3m5”是“方程 x25m y2m31 表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B 要使方程 x25m y2m31 表示椭圆，应满足5m0，m30，5mm3，解得3m5 且 m1，因此“3m5”是“方程 x25m y2m31 表示椭圆”的必要不充分条件4(2014湖南六校联考，7)已知 F1，F2 分别是椭圆x24y231 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F1A 的延长线、F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切，若
26、M(t，0)为一个切点，则()At2 Bt2Ct 5)的左焦点为F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B.若FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_【解析】设椭圆的右焦点为 E，如图，由椭圆的定义得FAB 的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|；|AE|BE|AB|，|AB|AE|BE|0，当 AB 过点 E 时取等号，FAB 的周长|AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|4a，FAB 的周长的最大值为 4a12，a3，eca a2b2a23.【答案】237(2014广东广州三模，20，14 分)设椭圆 M：x2a2y221(a
27、 2)的右焦点为F1，直线 l：xa2a22与 x 轴交于点 A，若OF1 2AF1 0(其中 O 为坐标原点)(1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点，EF 为圆 N：x2(y2)21 的任意一条直径(E，F 为直径的两个端点)，求PEPF的最大值解：(1)由题意知 Aa2a22，0，F1()a22，0，由OF1 2AF1 0，得 a222a2a22 a22，解得 a26.所以椭圆 M 的方程为x26y221.(2)方法一：设圆 N：x2(y2)21 的圆心为 N，则PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NP 2NF 2NP 21.设 P(x0，y0
28、)是椭圆 M 上一点，则x206 y2021，即 x2063y20.因为点 N(0，2)所以NP 2x20(y02)2 2(y01)212.因为 y0 2，2，所以当 y01 时，NP 2 取得最大值 12.所以PEPF的最大值为 11.方法二：设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，因为 E，F 的中点坐标为(0，2)，则x2x1，y24y1.所以PEPF(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)x20 x21y20y214y14y0 x20y204y0(x21y214y1)因为点 E 在圆 N 上，所以 x21(y
29、12)21，即 x21y214y13.又因为点 P 在椭圆 M 上，所以x206y2021，即 x2063y20.所以PEPF2y204y092(y01)211.因为 y0 2，2，所以当 y01 时，PEPF取得最大值 11.1(2015安徽，6，易)下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y241 B.x24y21Cx2y221 D.x22y21【答案】A 根据双曲线渐近线方程的定义可知选 A，亦可利用下列方法：对于选项 A 的双曲线方程，令 x2y240，可得渐近线方程为 y2x.2(2015湖南，6，易)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离
30、心率为()A.73B.54C.43D.53【答案】D 双曲线x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，点(3，4)在第四象限所以(3，4)在 ybax 上，所以ba43，所以 e2c2a21b2a21169 259.所以 e53.3(2015湖北，9，中)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长b(ab)同时增加 m(m0)个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则()A对任意的 a，b，e1e2B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2C对任意的 a，b，e1e2D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2【答案】D(特殊值法)令 a1，b2，m1，此时
31、 e1 5，e2 132，e1e2，排除 B，C.令 a2，b1，m1，此时 e1 52，e2 132，e1e2，排除 A.4(2015山东，15，中)过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_【解析】直线过右焦点(c，0)且与渐近线 ybax 平行，直线方程为 yba(xc)，将 x2a 代入得点 P 的纵坐标为 yba(2ac)，将点 P2a，ba（2ac）代入双曲线方程，可得（2ac）2a23，化简得 c24aca20，两边同除以 a2得，e24e10，解得 e2 3.又 e1，e2
32、 3.【答案】2 3思路点拨：先求出直线方程，然后利用直线方程表示出点 P 的坐标，将此坐标代入双曲线方程，化简整理得关于 a，c 的方程，最终化为关于离心率 e 的方程，解方程得 e 的值5(2015江苏，12，中)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21右支上的一个动点，若点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c的最大值为_【解析】因为直线 xy10 与双曲线的渐近线 yx 平行，且两平行线间的距离为 22，由图形知，双曲线右支上的动点 P 到直线 xy10的距离的最小值无限趋近于 22，要使距离d 大于 c 恒成立，只需 c 22 即可故c 的最大值是
33、22.【答案】226(2015 北京，12，易)已知(2，0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b_【解析】(2，0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，c2，b2c2a22213，b 3.【答案】37(2015课标，15，中)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_【解析】设双曲线方程为x24y2(0)，双曲线过点(4，3)，431.所求双曲线方程为x24y21.【答案】x24y218(2015课标，16，中)已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点，P 是 C的左支上一点，A(0，6 6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为
34、_【解析】由题意作出图形如图所示，可知点 F(3，0)，则另一焦点 F1(3，0)，由双曲线的定义应有|PF|PF1|2a|PF1|2.所以APF 的周长为|AF|AP|PF1|2，根据线段的性质，应有|AP|PF1|AF1|，故当点 P 位于点 P1位置时，APF 的周长最小，AF1 的方程为 y2 6(x3)，将其代入双曲线方程解得 P1 的坐标为(2，2 6)，求得三角形周长最小时，APAF123，则此时APF的面积为 AF1F 面积的23，为 12 6.【答案】12 6思路点拨：画出图形分析，利用双曲线的定义|PF|PF1|2a(F1 为另一焦点)，然后利用三角形的三边关系找出APF
35、周长最小时点 P 的位置，从而求出面积 1(2014课标，4，易)已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为 2，则 a()A2 B.62C.52D1【答案】D 由已知可知 e21b2a21 3a24，a21.又a0，a1.故选 D.2(2013课标，4，易)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDyx【答案】C bae2154112，C 的渐近线方程为 ybax12x.故选 C.3(2014广东，8，易)若实数 k 满足 0k5，则曲线x216 y25k1 与曲线x216ky251 的()A实半轴长相等B虚
36、半轴长相等C离心率相等D焦距相等【答案】D 若 0k5，则 5k0，16k0，故方程x216 y25k1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，且实半轴的长为 4，虚半轴的长为 5k，焦距 2c2 21k，离心率 e 21k4；同理方程x216ky251 也表示焦点在 x 轴上的双曲线，实半轴的长为16k，虚半轴的长为 5，焦距 2c2 21k，离心率 e 21k16k.可知两曲线的焦距相等故选 D.4(2014大纲全国，11，中)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距等于()A2 B2 2C4 D4 2【答案】C 由已知得 eca2，所以
37、 a12c，故 b c2a2 32 c，从而双曲线的渐近线方程为 ybax 3x，由焦点到渐近线的距离为 3得 3c2 3，解得 c2，故 2c4，故选 C.5(2014江西，9，中)过双曲线 C：x2a2y2b21 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为()A.x24y2121 B.x27y291C.x28y281 D.x212y241【答案】A 由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为 ybax，因此可设点 A 的坐标为(a，b)设右焦点为 F(c，
38、0)，由已知可知 c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，得 a22acb20，又知 c2a2b2，所以得 a22acc2a20，即 ac22，所以 b2c2a2422212.故双曲线的方程为x24y2121，故选 A.6(2014浙江，17，难)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 ybax 与 ybax，分别与 x3ym0，联立方程组，解得 Aama3b，bma3b，Bama3b，bma3b.由|P
39、A|PB|知，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上设 AB 的中点为 Q，则 Qama3bama3b2，bma3b bma3b2，PQ 与已知线段 AB 垂直，代入化简可得 2a28b28(c2a2)，即c2a254，eca 52.【答案】527(2014山东，15，难)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_【解析】由已知 F0，p2，A(a，0)，则|FA|p24 a2c，所以p24 c2a2b2.又抛物线的准线方程为 yp2，联立yp2，x
40、2a2y2b21，得x2a22，解得 x1 2a，x2 2a，所以 x1x22 2a2c，所以ca 2，所以bac2a211，所以双曲线的渐近线方程为 yx.【答案】yx考向 1 双曲线定义的应用双曲线的定义及理解(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹两定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距(2)符号语言：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在理解双曲线的定义要注意以下两点：平面内的动点到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值为常数；这个常数要小于焦距|F1F2|.(1)(2014重庆，8)设 F1，F2 分别为双曲线x
41、2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.2B.15C4 D.17(2)(2013辽宁，15)已知 F 为双曲线 C：x29y2161 的左焦点，P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_【思路导引】(1)求曲线的离心率就是寻找关于 a，c 的关系式；(2)当遇到焦点三角形时，一定要考虑曲线的定义【解析】(1)|PF1|PF2|2a，(2a)2b23ab，即 4a2b23ab，即 4a23abb20，(4ab)(ab)0，b4a.又
42、c2b2a2，c217a2，e217，即 e 17.(2)如图所示，设双曲线右焦点为 F1，则 F1 与 A 重合，坐标为(5，0)，则|PF|PF1|2a，|QF|QF1|2a，|PF|QF|PQ|4a4b4a28，PQF 的周长为 284b44.【答案】(1)D(2)44【点拨】解题(1)的关键是找到 a，b 关系式，并转化为关于 a，c 的关系式；解(2)的关键是注意到|PQ|2a 和 A 点是右焦点 双曲线定义的应用技巧(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化(2012辽宁，
43、15)已知双曲线 x2y21，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点若 PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_【解析】由题意得，双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2 2 2.点 P 在双曲线上，|PF1|PF2|2.PF1PF2，|PF1 2|PF2 28.2 得 2|PF1|PF2 4，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，|PF1|PF2|2 3.【答案】2 3考向 2 求双曲线的标准方程1双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为x2a2y2b21(
44、a0，b0)(2)当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)以上方程中 a0，b0，且 c2a2b2；对于双曲线的方程x2my2n 1(mn0)，要看清焦点的位置，只要看 x2，y2的分母的正负，焦点在分母为正的坐标轴上(x 轴或 y 轴)例如，曲线 x2k4 y2k31(其中 k3)，当 k3 时表示焦点在 x 轴上的双曲线2双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2(0)(2)若双曲线的渐近线方程为 ynmx，则双曲线方程可设为x2m2y2n2(0)或 n2x2m2y2(0)(3)与双曲线x
45、2a2y2b21 共焦点的双曲线方程可设为x2a2ky2b2k1(b2ka2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2ny21(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为 x2a2 y2b21(b2a2)(1)(2014天津，6)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为()A.x25y2201B.x220y251C.3x2253y21001D.3x21003y2251(2)(2015沈阳四校联考，14)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双
46、曲线的标准方程是_【思路导引】(1)根据双曲线的渐近线与直线 l 平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线 l 上求出 c，然后解方程组即可求出 a，b 的值；(2)由已知条件可知双曲线的焦点坐标，所以可直接根据定义借助待定系数法或利用共焦点曲线系方程求得双曲线的标准方程【解析】(1)由题意知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y2x，所以ba2，即 b24a2，又双曲线的一个焦点是直线 l 与 x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(5，0)，所以 c5，即 a2b225，联立得b24a2，a2b225，解得a25，b220，故双曲线的方程为x25y2201.(2)方法一
47、：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为y2a2x2b21(a 0，b 0)，根 据 定 义 知2a|（150）2（43）2（150）2（43）2|4，故 a2.又 b232a25，故所求双曲线的方程为y24x251.方法二：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则 a2b29，又点(15，4)在双曲线上，所以16a215b21，解得 a24，b25.故所求双曲线的方程为y24x251.方法三：设双曲线的方程为x227y2361(2736)，由于双曲线过点(15，4)，故 1527 16361，解得 132，20，
48、经检验 132，20 都是分式方程的根，但 0 不符合题意，应舍去，所以 32.故所求双曲线的方程为y24x251.【答案】(1)A(2)y24x251求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的 a，b，c，即可求得方程(2)待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数(1)(2013广东，7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心率等于32，则 C 的方程是()A.x24 y251B.x24y251C.x22y251D.x22
49、y251(2)(2015 黑龙江哈尔滨二模，13)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过P3，154，Q163，5，那么它的标准方程是_(1)【答案】B c3，ca32，a2，a24.b2c2a2945.双曲线的标准方程为x24y251.故选 B.(2)【解析】设双曲线方程为 mx2ny21(mn0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性 质范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx 离心率eca，e(1，)，其中 ca2b2 轴线段 A1A2 叫作双
50、曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长2.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率 e 2两条渐近线 yx 相互垂直3点 P(x0，y0)和双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的关系(1)P 在双曲线内(含焦点部分)x20a2y20b21；(2)P 在双曲线上x20a2y20b21；(3)P 在双曲线外(不含焦点部分)x20a2y20b20，b0)的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点
51、 P 和 Q.且F1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_【思路导引】(1)主要考查双曲线的方程与性质，解题关键是由椭圆定义求出|AF2|AF1|2 2，从而找到 a，c 的关系式；解题(2)的关键是通过对称性解 RtPF1F2，求出ba的值【解析】(1)焦点 F1(3，0)，F2(3，0)，在 RtAF1F2 中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，联立可解得|AF2|AF1|2 2，即 2a2 2，2c2 3，故双曲线的离心率 eca 32 62.(2)方法一：设 F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，代入方程得 y0b2a，PQx 轴，|PQ|2b2a.在 RtF1
52、F2P 中，PF1F230，|F1F2|3|PF2|，即 2c 3b2a.又c2a2b2，b22a2 或 2a23b2(舍)a0，b0，ba 2.故所求双曲线的渐近线方程为 y 2x.方法二：在 RtF1F2P 中，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，由已知易得|F1F2|3|PF2|，2c2 3a，c23a2a2b2，2a2b2 或 2a23b2(舍)，a0，b0，ba 2，故所求双曲线的渐近线方程为 y 2x.【答案】(1)D(2)y 2x求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关
53、于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(2)求渐近线时，利用 c2a2b2 转化为关于 a，b 的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系kba c2a2ac2a21 e21.(1)(2015河南郑州质检，10)如图，F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()Ay 66 xBy 3xCy 6xDy 33 x(2)(2014江苏徐州调研，1
54、4)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率 e的最大值为_(1)【答案】C 设|AB|x，由于ABF2 为等边三角形，|AB|AF2|BF2|x，由双曲线的定义得|BF1|BF2|2a，而|BF1|BF2|(|AB|AF1|)|BF2|(x|AF1|)x|AF1|2a，|AF2|AF1|x2a2a，x4a.在AF1F2 中，|AF1|2a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F1AF2180BAF218060120，由余弦定理得cosF1AF2|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF1|
55、AF2|（2a）2（4a）2（2c）222a4a12，整理得 5a2c22a2，即 c27a2，又 b2c2a26a2，渐近线方程为 ybax 6x.(2)【解析】设F1PF2，由|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|得|PF1|83a，|PF2|23a，由余弦定理得 cos 17a29c28a2178 98e2.(0，cos 1，1)，即1178 98e21，10，b0)右支上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，I 为PF1F2 的内心，若 SIPF1SIPF212SIF1F2 成立，则双曲线的离心率为()A4 B.52C2 D.53【答案】C 设 c a2b2，PF1F2
56、的内切圆的半径为 r，则|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，SIPF112|PF1|r，SIPF212|PF2|r，SIF1F212|F1F2|r.由 SIPF1SIPF212SIF1F2，得12(|PF1|PF2|)r1212|F1F2|r，c2a.双曲线的离心率为 eca2.7(2015江西南昌三模，8)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A，B 两点且AF3BF，则双曲线离心率的最小值为()A.2B.3C2 D2 2【答案】C 因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于A，B两点且AF3BF，故直线与双曲线相交只能如图所示的
57、情况，即 A 点在双曲线的左支，B 点在右支，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点 F(c，0)(c0)，因为AF3BF，所以 cx13(cx2)，3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a，3x23a，故 3x2x14a，即 2c4a，ca2，即 e2，故选 C.8(2014浙江杭州模拟，8)已知两圆 C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是()Ax0 B.x22y2141(x 2)C.x22y2141 D.x22y2141 或 x0【答案】D 动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种情况：动圆
58、 M 与两圆都相外切；动圆 M 与两圆都相内切；动圆 M 与圆 C1外切，与圆 C2 内切；动圆 M 与圆 C1 内切，与圆 C2 外切由，显然轨迹方程为 x0；在的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|r 2，|MC2|r 2，故得|MC1|MC2|2 2；在的情况下，同理可得|MC2|MC1|2 2.由得|MC1|MC2|2 2，根据双曲线定义，可知点 M 的轨迹是以 C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且 a 2，c4，b2c2a214，故其方程为x22y2141.由以上分析可知，D 正确9(2014山东济南二模，14)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点
59、F 作圆x2y2a24 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为_【解析】设 c a2b2，双曲线的右焦点为 F.则|PF|PF|2a，|FF|2c.E 为 PF 的中点，O 为 FF的中点，OEPF，且|PF|2|OE|.OEPF，|OE|a2，PFPF，|PF|a，|PF|PF|2a3a.|PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，ca 102.双曲线的离心率为 102.【答案】10210(2015江南十校联考，18，12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点 P(4，10)(1)求双
60、曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1 MF2 0；(3)由(2)的条件，求F1MF2 的面积解：(1)e 2，可设双曲线方程为 x2y2.双曲线过点(4，10)，1610，即 6.双曲线方程为 x2y26.(2)证明：方法一：由(1)可知，ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，kMF1m32 3，kMF2m32 3，kMF1kMF1 m2912m23.点 M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故 kMF1kMF21，MF1MF2.MF1 MF2 0.方法二：由(1)可知，ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，MF1(2 3
61、3，m)，MF2(2 33，m)，MF1 MF2(32 3)(32 3)m23m2，点 M(3，m)在双曲线上，9m26，即 m230，MF1 MF2 0.(3)F1MF2 的底|F1F2|4 3，F1MF2 的高 h|m|3，SF1MF26.1(2015陕西，3，易)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1，0)B(1，0)C(0，1)D(0，1)【答案】B y22px(p0)准线方程为 xp2，且准线过点(1，1)，p21，p2.故抛物线方程为 y24x，焦点坐标为(1，0)2(2015课标，5，中)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12
62、，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12【答案】B 依题意，椭圆的右焦点为(2，0)，又离心率为12，所以 a4，c2，b2 3，所以椭圆方程为x216y2121，由题可知 A，B 两点的横坐标为2，代入椭圆方程可得 A，B 纵坐标分别为 3，3，故|AB|6.选 B.3(2015福建，19，12 分，中)已知点 F 为抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1，0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B.证明：以点
63、 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切解：(1)由抛物线的定义得，|AF|2p2，因为|AF|3，即 2p23.解得 p2.所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)证明：方法一：因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2.由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2)由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x，得 2x25x20.解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1，0)，所以 kGA2 202（1）2 23，kGB 2012（1）2 23.所以 kGAkGB0，从而AGFBGF
64、.所以点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切 方法二：设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2)，由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1，0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20，从而 r|2 22 2|894 217.又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20，
65、所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2 22 2|894 217r.所以以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切1(2014安徽，3，易)抛物线 y14x2 的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2【答案】A 将抛物线方程化成标准方程为 x24y，焦点在 y 轴正半轴上，且 2p4，即 p2，因此准线方程为 yp21.2(2014辽宁，8，易)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43B1 C34D12【答案】C 由点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，得焦点 F(2，0)，kAF322
66、34，故选 C.3(2013课标，8，中)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2 B2 2C2 3D4【答案】C 如图，设点 P 的坐标为(x0，y0)，由|PF|x0 24 2，得 x03 2，代入抛物线方程得，y204 23 224，所以|y0|2 6，所以 SPOF12|OF|y0|12 22 62 3.故选 C.4(2014上海，4，易)若抛物线 y22px 的焦点与椭圆x29y251 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_【解析】c2954，c2.椭圆x29y251 的右焦点为(2，0)，p22，即抛物
67、线的准线方程为 x2.【答案】x25(2012陕西，14，中)如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽_米【解析】建立如图平面直角坐标系，A，B 是抛物线与水面的交点 据题意，点 A 的坐标为(2，2)设抛物线的方程为 x2py，把 A 的坐标代入得 p2，即抛物线的方程为 x22y.当水位下降 1(单位：米)时，水面的纵坐标为3，把 y3 代入抛物线的方程得 x 6.水位下降 1 米后，水面宽为 2 6米【答案】2 66(2014湖南，14，中)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1，0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接
68、触不到过点 P(1，0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_【解析】由题意知，机器人的运动轨迹是以(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线，即 y24x.过 P(1，0)且斜率为 k 的直线方程为 y0k(x1)，联立ykxk，y24x，得(kxk)24x，即 k2x2(2k24)xk20.(2k24)24k44k416k2164k416k2161，k1 或 k0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点(1)若BFD90，ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；(2)若 A，B，F 三点在同一直线
69、m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值解：(1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形，|BD|2p，圆 F 的半径|FA|2p.由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d|FA|2p.因为ABD 的面积为 4 2，所以 12|BD|d4 2，即122p 2p4 2，解得 p2(舍去)或 p2.所以 F(0，1)，圆 F 的方程为 x2(y1)28.(2)因为 A，B，F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|12|AB|，所以ABD30，m 的斜率为 33 或 33.当 m 的斜率为
70、33 时，由已知可设 n：y 33 xb，代入 x22py 得 x22 33 px2pb0.由于 n 与 C 只有一个公共点，故 43p28pb0.解得 bp6.因为直线 m 的截距 b1p2，|b1|b|3，所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.当 m 的斜率为 33 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.综上所述，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.考向 1 抛物线定义的应用1抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点 F 叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线2抛物线定义的理解抛物线的定义实质上实现了
71、一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要应用(1)(2014课标，10)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2 C4 D8(2)(2015江西南昌质检，15)已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，若点 A(3，2)，则|PA|PF|取最小值时，点 P 的坐标为_【解析】(1)由已知抛物线 C：y2x 的焦点 F14，0，准线方程为 x1
72、4.由抛物线定义可知点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到准线的距离，即54x0 x014，x01.(2)将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部 如图，设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，当 PAl 时，|PA|d 有最小值，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 的坐标为(2，2)【答案】(1)A(2)(2，2)与抛物线有关的最值问题的解题策略与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物
73、线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决(1)(2015辽宁锦州一模，7)设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|()A4 3B8 C8 3D16(2)(2014陕西延安模拟，8)设抛物线 y22x 的焦点为 F，过点 M(3，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|2，则BCF与ACF 的面积之比SBCFSACF()A.45B.
74、23C.47D.12(1)【答案】B 方法一：AF 的直线方程为 y 3(x2)，当 x2 时，y4 3，A(2，4 3)将 y4 3代入 y28x 中，得 x6，P(6，4 3)，|PF|PA|6(2)8.故选 B.方法二：如图，PAl，PAx 轴，又直线 AF 的斜率为 3，AFO60，FAP60，又由抛物线定义知|PA|PF|，PAF 为等边三角形又在 RtAFF中，|FF|4，|FA|8，|PF|8.故选 B.(2)A 如图，过 A，B 作准线 l：x12的垂线，垂足分别为 A1，B1，由于 F到直线 AB 的距离为定值，SBCFSACF|BC|CA|.又B1BCA1AC，|BC|CA
75、|BB1|AA1|，由抛物线定义知|BB1|AA1|BF|AF|2|AF|，SBCFSACF|BF|AF|.由|BF|BB1|2 知 xB32，yB 3，直线 AB 的方程为y03332(x 3)把 xy22代入上式，求得 yA2，xA2，|AF|AA1|52.故SBCFSACF|BF|AF|25245.故选 A.考向 2 求抛物线的方程1抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形顶点(0，0)对称轴x 轴y 轴焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2 准线xp2xp2yp2yp2对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次
76、项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上2点 P(x0，y0)和抛物线 y22px(p0)的位置关系(1)P 在抛物线内(含焦点部分)y202px0.3抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段 AB 为抛物线 y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1p2；(4)弦长 lx1x2p.当弦 ABx 轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长 l 2psin2(为 AB 的倾斜角)(1)(2012山东，11)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2
77、.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y(2)(2015浙江金华模拟，13)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(2，4)的抛物线方程为_【解析】(1)x2a2y2b21 的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py 的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，即 y 3x.由题意得p21（3）22，p8.故 C2 的方程为 x216y.(2)由于点 P 在第三象限 当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px
78、(p0)，把点 P(2，4)代入得(4)22p(2)，解得 p4，抛物线方程为 y28x.当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，把点 P(2，4)代入得(2)22p(4)解得 p12，抛物线方程为 x2y.综上可知抛物线方程为 y28x 或 x2y.【答案】(1)D(2)y28x 或 x2y1.求抛物线方程的方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p 的值，得到抛物线的标准方程(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式从统一角度出发，焦点在 x 轴上，设为 y2ax(a0)，焦点在 y 轴上，设为 x
79、2by(b0)2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题(1)(2014河南洛阳模拟，4)以双曲线x216y291 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()Ay216xBy212xCy220 xDy220 x(2)(2015湖北十校联考，12)抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴，有且只有一条直线 l 过焦点与抛物线相交于 A，B 两点，且|AB|1，则抛物线方程为_(1)【答案】A 由已知得抛
80、物线的焦点为(4，0)，则设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，p24，p8，所求方程为 y216x，故选 A.(2)【解析】因为有且只有一条直线 l 过焦点与抛物线相交于 A，B 两点，所以直线 AB 垂直于抛物线的对称轴又因为|AB|1，所以 2p1，所以抛物线方程为 y2x.【答案】y2x1(2015北京人大附中月考，5)已知点 P(6，y)，在抛物线 y22px(p0)上，F 为抛物线的焦点，若|PF|8，则点 F 到抛物线准线的距离等于()A2 B1C4 D8【答案】C P(6，y)，|PF|8，|PF|6p28，p4，点 F 到抛物线准线的距离等于 4.2(2015福建福州三模
81、，9)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，一条渐近线为 l，抛物线 C2：y24x 的焦点为 F，点 P 为直线 l 与抛物线C2 异于原点的交点，则|PF|()A2 B3 C4 D5【答案】D 由双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，可得 ab，所以设渐近线 l 的方程为 yx，联立 y24x 可得 x4，x0(舍去)，所以|PF|xp2415.3(2014浙江杭州三模，10)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，直线 yk(x2)与此抛物线相交于 P，Q 两点，则 1|FP|1|FQ|()A.12B1 C2 D4【答案】A 设 P(x1，
82、y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|FP|x12，|FQ|x22，则 1|FP|1|FQ|1x121x22x1x24x1x22（x1x2）4，联立直线与抛物线方程消 去 y 得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0，可 知 x1x2 4，故 1|FP|1|FQ|x1x24x1x22（x1x2）4x1x242（x1x2）812，故选 A.4(2015江西师大附中模拟，8)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN|AB|的最大值为()A2 B.2 33C1 D.33【
83、答案】D 如图，过 A，B 分别作抛物线准线的垂线 AQ，BP，垂足分别为 Q，P，连接 AF，BF.设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形 ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab，由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.因为 abab22，所以(ab)2ab34(ab)2，所以|MN|2|AB|2 ab2234（ab）213，所以|MN|AB|33，即最大值为 33.5(2015福建厦门质检，13)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M(1，m)到其焦点的距离为 5，双曲线 x2y2a1 的左顶点为 A，若双
84、曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a_【解析】根据抛物线的焦半径公式得 1p25，p8.焦点坐标为(4，0)，则（41）2m25，则 m4，取 M(1，4)，由题意知 A(1，0)，则 AM 的斜率为 2，由已知得 a21，解得 a14.同理 m4 时，a14.【答案】146(2015山东济南一模，13)已知定点 Q(2，1)，F 为抛物线 y24x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P 的坐标为_【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即|PQ|PD|取得最小值，则需 D，P，Q 三点共线
85、时|PQ|PF|最小，将 Q(2，1)的纵坐标代入 y24x 得 x14，故 P 的坐标为14，1.【答案】14，17(2014山西太原二模，13)已知抛物线 y24x 的弦 AB 的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_【解析】设抛物线的焦点为 F，A，B 的横坐标分别为 x1，x2，则 x1x24.抛物线的准线方程为 x1，|AF x11，|BF x21，|AF|BF x1x226.|AF|BF|AB(当且仅当 A，B，F 共线时取“”)，如图所示|AB 6，|AB 的最大值为 6.【答案】68(2015山西六校联考，13)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，经过 F 的
86、直线与抛物线交于 A，B 两点，交准线于 C 点，点 A 在 x 轴上方，AKl，垂足为 K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF 的面积是_【解析】设点 A(x1，y1)，其中 y10.过点 B 作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1，则有|BF|BB1|，又|BC|2|BF|，因此有|BC|2|BB1|，cos CBB1|BB1|BC|12，CBB13，即直线 AB 与 x 轴的夹角为3.又|AF|AK|4，因此 y14sin 3 2 3，因此AKF 的面积等于12|AK|y11242 34 3.【答案】4 39(2014广东湛江质检，20，14 分)双曲线y2a2x241(a0)的离
87、心率为 5，抛物线 C：x22py(p0)的焦点在双曲线的顶点上(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 M(1，0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E，F 两点，又过 E，F 作抛物线 C的切线 l1，l2，当 l1l2 时，求直线 l 的方程解：(1)双曲线的离心率 e1 4a2 5，又 a0，a1，双曲线的顶点为(0，1)，又 p0，抛物线的焦点为(0，1)，抛物线方程为 x24y.(2)设直线 l 的方程为 yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，y14x2，y12x，切线 l1，l2 的斜率分别为x12，x22，当 l1l2 时，x12x221，x1x24，由yk（x1），x2
88、4y得 x24kx4k0，(4k)24(4k)0，k0.由根与系数的关系得，x1x24k4，k1，满足，即直线的方程为 xy10.(2015湖南，20，13 分，难)已知抛物线 C1：x24y 的焦点 F 也是椭圆 C2：y2a2x2b21(ab0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD 同向(1)求 C2 的方程；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率解：(1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0，1)因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2b21.又 C1 与
89、 C2 的公共弦的长为 2 6，C1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为 x24y，由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 6，32，所以 94a2 6b21.联立得 a29，b28.故 C2 的方程为y29x281.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为AC与BD 同向，且|AC|BD|，所以ACBD，从而 x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.由ykx1，x24y得 x24kx40.又 x1，x2 是这个方程的两根，所
90、以 x1x24k，x1x24.由ykx1，x28y291 得(98k2)x216kx640.又 x3，x4 是这个方程的两根，所以 x3x4 16k98k2，x3x46498k2.将代入，得 16(k21)162k2（98k2）246498k2，即 16(k21)1629（k21）（98k2）2，所以(98k2)2169，解得 k 64，即直线 l 的斜率为 64.1(2014课标，10，中)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B6 C12 D7 3【答案】C 由题意得 F34，0，直线 AB 的斜率为 33，
91、所以直线 AB 的方程为 y 33 x34.联立方程y 33 x34，y23x，得 x2212 x 9160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2212，所以|AB|x1x2p212 3212.2(2013课标，10，中)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|3|BF|，则 l 的方程为()Ayx1 或 yx1By 33(x1)或 y 33(x1)Cy 3(x1)或 y 3(x1)Dy 22(x1)或 y 22(x1)【答案】C 如图，设直线 AB 与抛物线的准线 x1 交于点 C.由抛物线的定义可设|BF|BB1|t，|
92、AF|AA1|3t.由三角形相似得|BC|AB|BC|4t 12，|BC|2t，B1CB6，直线 l 的倾斜角 3 或23.又 F(1，0)，直线 AB 的方程为 y 3(x1)或 y 3(x1)故选 C.3(2014辽宁，20，12 分，中)圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图)(1)求点 P 的坐标；(2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：yx 3交于 A，B 两点若PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为x0y0，切线方程为 yy0
93、x0y0(xx0)，即 x0 xy0y4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S124x04y0 8x0y0，由 x20y2042x0y0 知当且仅当 x0y0 2时，x0y0 有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为(2，2)(2)设 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由点 P 在 C 上知 2a2 2b21，并由x2a2y2b21，yx 3 得 b2x24 3x62b20，又 x1，x2 是方程的根，因此x1x24 3b2，x1x262b2b2，由 y1x1 3，y2x2 3，得|AB|2|x1x2|2 4824b28
94、b4b2.由点 P 到直线 l 的距离为 32及 SPAB12 32|AB|2 得 b49b2180，解得 b26 或 3，因此 b26，a23(舍)或 b23，a26，从而所求 C 的方程为x26y231.4(2014陕西，20，13 分，中)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：12xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程解：(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得 a2，b 3，c
95、1，椭圆的方程为x24y231.(2)由题设知，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，由 d1 得|m|52.(*)|CD|2 1d22145m2 25 54m2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12xm，x24y231得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.|AB|1122m24（m23）1524m2.由|AB|CD|5 34 得4m254m21，解得 m 33，满足(*)直线 l 的方程为 y12x 33 或 y12x 33.5(2014广东，20，14 分，难)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab
96、0)的一个焦点为(5，0)，离心率为 53.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程解：(1)由题意得 c 5，eca 53，a3，b a2c22，椭圆 C 的标准方程为x29y241.(2)当过 P 点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为 k1，k2，则过 P 点的切线方程可设为 yy0k(xx0)，ykxy0kx0，由ykxy0kx0，x29y241消去 y，得(49k2)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)24(49k2)9(y0kx0)240，整理得(9
97、x20)k22x0y0ky2040，k1k24y209x20(x03)，由已知得 k1k21，4y209x201，x20y2013，即此时点 P 的轨迹方程为 x2y213.当两条切线中有一条垂直于 x 轴时，此时两条切线方程应分别为 x3，y2 或 x3，y2 或 x3，y2或 x3，y2，P 点坐标为(3，2)或(3，2)或(3，2)或(3，2)，均满足方程 x2y213.综上所述，所求 P 点的轨迹方程为 x2y213.考向 1 直线与圆锥曲线的位置关系及应用直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代
98、入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程即AxByC0，F（x，y）0，消去 y 得 ax2bxc0.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则 0直线与圆锥曲线 C 相交；0直线与圆锥曲线 C 相切或相交；0直线与圆锥曲线 C 相离(2)当 a0，b0 时，得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(
99、圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要而不充分条件(2014湖北，22，14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点F(1，0)的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围【思路导引】(1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程，注意分 x0，x0 两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线 l 的方程，然后联立直线 l
100、 与 C 的方程，消去 x，得到关于 y 的方程，分 k0，k0 两种情况讨论；当 k0 时，设直线 l 与 x 轴的交点为(x0，0)，又分 a.0，x00，b.0，x00，x00，由解得 k1 或 k12或12k0.即当 k1 或 k12时，直线 l 与 C1 只有一个公共点，与 C2 有一个公共点 当 k12，0 时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有公共点 故当 k12，0 112 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点 c若0，x00，由解得1k12或 0k12.即当 k1，12 0，12 时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 有一个公共点，故此时直线 l
101、 与轨迹 C 恰好有三个公共点 综合()()可知，当 k(，1)12，0时，直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点；当 k12，0 112 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k1，12 0，12 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点应用直线与圆锥曲线的位置关系应注意的问题(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为
102、 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解(2015广东惠州调研，20，14 分)已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解：将 直 线l的 方 程 与 椭 圆C的 方 程 联 立，得 方 程 组y2xm，x24y221，将代入，整理得 9x28mx2m240.方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，
103、即 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 考向 2 与弦长、面积有关的问题直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc0)(2)当 0 时，直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出 x1x2ba，x1x2ca，则弦长为|A
104、B|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x211k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2(k 为直线的斜率且 k0)，当 A，B 两点坐标易求时也可直接用|AB|（x1x2）2（y1y2）2求出(2014浙江，22，14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C：x24y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF3FM.(1)若|PF|3，求点 M 的坐标；(2)求ABP 面积的最大值【思路导引】(1)设出点 P 坐标，由于 PF 为焦半径，因此由抛物线定义，可求出点 P 坐标，再利用已知向量关系，即可求出点 M 的坐标；(2)ABP 的面积可由底边 AB
105、与其边上的高确定相交弦长|AB|可利用弦长公式求解，但要注意用 0，确定参数范围而 AB 边上的高可转化为焦点 F 到直线 AB 的距离【解析】(1)由题意知焦点 F(0，1)，准线方程为 y1.设 P(x0，y0)由抛物线定义知|PF|y01，得到 y02，所以 P(2 2，2)或P(2 2，2)由PF3FM，分别得 M 2 23，23 或 M 2 23，23.(2)设直线 AB 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由ykxm，x24y，得 x24kx4m0.于是 16k216m0，x1x24k，x1x24m，|x1x2|4k2m，所以 AB 中点 M
106、 的坐标为(2k，2k2m)由PF3FM，得(x0，1y0)3(2k，2k2m1)所以x06k，y046k23m，由 x204y0 得 k215m 415.由 0，k20，得13m43.又因为|AB|41k2 k2m，点 F(0，1)到直线 AB 的距离为 d|m1|1k2，所以 SABP4SABF8|m1|k2m 1615 3m35m2m1.记 f(m)3m35m2m113m43.令 f(m)9m210m10，解得 m119，m21.可得 f(m)在13，19 上是增函数，在19，1 上是减函数，在1，43 上是增函数 又 f 19 256243f 43.所以，当 m19时，f(m)取到最大
107、值256243，此时 k 5515.所以，ABP 面积的最大值为256 5135.有关弦长、面积的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)面积问题：常采用 S12底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、化归与转化及函数与方程思想的应用(2013山东，22，14 分)在平面直角坐标系 xO
108、y 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)A，B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为 64 的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 于点 P.设OP tOE，求实数 t 的值解：(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意知a2b2c2，ca 22，2b2，解得 a 2，b1，因此椭圆 C 的方程为x22y21.(2)()当 A，B 两点关于 x 轴对称时，设直线 AB 的方程为 xm，E 点的坐标为(m，0)，由题意知 2m0 或 0m0，所以 t2 或 t2 33.()当
109、A，B 两点不关于 x 轴对称时，设直线 AB 的方程为 ykxh.将其代入椭圆方程x22y21，得(12k2)x24khx2h220，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 0，可得 12k2h2，此时 x1x2 4kh12k2，x1x22h2212k2，y1y2k(x1x2)2h2h12k2，所以|AB|1k2（x1x2）24x1x2 2 2 1k2 12k2h212k2.因为点 O 到直线 AB 的距离 d|h|1k2，所以 SAOB12|AB|d 122 2 1k2 12k2h212k2|h|1k2 2 12k2h212k2|h|，又 SAOB 64，所以 2 12k2h212k2|
110、h|64.令 n12k2，代入整理得 3n216h2n16h40，解得 n4h2 或 n43h2，即 12k24h2 或 12k243h2.又OP tOE 12t(OA OB)12t(x1x2，y1y2)2kht12k2，ht12k2，因为 P 为椭圆 C 上一点，所以 t212 2kh12k22h12k221，即h212k2t21.将代入得 t24 或 t243，又知 t0，故 t2 或 t2 33，经检验，适合题意 综合()()得 t2 或 t2 33.考向 3 弦中点问题圆锥曲线以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 圆锥曲线方程直线斜率椭圆：x2a2y2b21(a0，b0)kb2
111、x0a2y0双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)kb2x0a2y0抛物线：y22px(p0)kpy0其中 ky1y2x1x2，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的两个端点(2013课标，20，12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD面积的最大值【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 x21a2y21b21，x22
112、a2y22b21，y2y1x2x11.由此可得b2（x2x1）a2（y2y1）y2y1x2x11.因为 x1x22x0，y1y22y0，y0 x012，所以 a22b2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程为x26y231.(2)由xy 30，x26y231解得x4 33，y 33或x0，y 3.因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD 的方程为 yxn5 33 n0，故所求直线方程为 x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 M 为 AB 的中点，所以 x1x24，y1y22.又 A，B 两点
113、在椭圆上，则有 x214y2116，x224y2216，两式相减，得 x21x224(y21y22)0，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以y1y2x1x2x1x24（y1y2）12，即 kAB12.此时方程为 x2y40，代入椭圆方程，0，故所求直线方程为 x2y40.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x，y)，由于弦的中点为 M(2，1)，则另一个交点为B(4x，2y)因为 A，B 两点都在椭圆上，所以 x24y216，(4x)24(2y)216，整理得 x2y40，由于过 A，B 的直线有且只有一条，故所求直线方程为 x2y40.【答案】x2y40考向 4
114、与角度有关的问题(2014安徽，21，13 分)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2 的周长为 16，求|AF2|；(2)若 cosAF2B35，求椭圆 E 的离心率【思路导引】在第(1)问中，先由条件分别求出|AF1|与|F1B|的值，再由椭圆定义得出|AF2|的值；在第(2)问中，先设|F1B|k，由椭圆定义知|AF2|2a3k，|BF2|2ak，然后在ABF2 中，由余弦定理得出 a 与 k 的关系式，进而得出|BF2|2|F2A|2|AB|2，即 F
115、1AF2A，从而得出AF1F2 为等腰直角三角形，从而求出离心率【解析】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则 k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2 中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而 ak0，故 a3k
116、.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得 F1AF2A，故AF1F2 为等腰直角三角形 从而 c 22 a，所以椭圆 E 的离心率 eca 22.与角度有关的问题(1)不共线三点 A，B，CABAC(以 BC 为直径的圆过点 A 或|AB|2|AC|2|BC|2 等)转化为ABAC0，然后利用数量积坐标公式坐标化；BAC 为钝角(点 A 在以 BC 为直径的圆内、|AB|2|AC|2|BC|2)可转化为ABAC|BC|2)，可转化为ABAC0，然后坐标化(2)证明角相等或求角的范围可转化为直线的倾斜角，利用斜率求解；若角所在的三角形边角关系
117、明显，如焦点三角形，则转化为余弦定理，也可以用向量的数量积解决(2014安徽合肥高三月考，21，14 分)如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e 32.(1)求椭圆的方程；(2)设 F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF2 的中点，求证：ATMAF1T.解：(1)过点 A，B 的直线方程为x2y1.代入x2a2y2b21 得 b214a2 x2a2xa2a2b20，由题意易知该方程有唯一解，所以 a2b2(a24b24)0(ab0)，故 a24b240.又因为 e 32，即a2b2a234，所以 a
118、24b2.从而得 a22，b212，故所求的椭圆方程为x222y21.(2)证明：由(1)得 c 62，故 F1 62，0，F262，0，从而 M 1 64，0，x222y21，y12x1，解得 x1x21，所以 T 1，12.因为 tan AF1T 62 1，又 tan TAM12，tan TMF2 26，得 tan ATM26121 16 62 1，因此ATMAF1T.1(2014河北石家庄二模，11)直线 3x4y40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1)21 从左到右的交点依次为 A，B，C，D，则|AB|CD|的值为()A16 B.116C4 D.14【答案】B 由3x4y40，x
119、24y得 x23x40，xA1，yA14，xD4，yD4，直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0，1)，且该圆圆心为 F(0，1)，|AF|yA154，|DF|yD15，|AB|CD|AF|1|DF|1 116.故选 B.2(2015江西上饶二模，8)过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 AB，CD 与抛物线交于 A，B，C，D 四点，且 ABCD，则FAFBFCFD 的最大值等于()A4 B16 C4 D8【答案】B 依题意可得，FAFB(|FA|FB|)又因为|FA|yA1，|FB|yB1，所以FAFB(yAyByAyB1)设直线 AB 的方程为 ykx1(k0)，联立 x24y，
120、可得 x24kx40，所以 xAxB4k，xAxB4.所以 yAyB1，yAyB4k22.所以FAFB(4k24)同理，|FC|FD|4k24.所以FAFBFCFD4k24k28 16.当且仅当 k1 时等号成立3(2015山东青岛一模，4)如图，从点 M(x0，4)发出的光线，沿平行于抛物线 y28x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 Q，再经抛物线反射后射向直线 l：xy100 上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则 x0 等于()A5 B6 C7 D8【答案】B 由题意可知，p4，焦点 F(2，0)，P(2，4)，Q(2，4)，QN：y4，直
121、线 QN，MN 关于 l：xy100 对称，即直线 l 平分直线 QN，MN的夹角，所以直线 MN 垂直于 x 轴，解y4，xy100得 N(6，4)，故 x06.故选 B.4(2015河北石家庄质检，5)已知两定点 A(2，0)和 B(2，0)，动点 P(x，y)在直线 l：yx3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为()A.226B.426C.213D.413【答案】B 由题意可知，c2，由 eca2a，知 e 最大时需 a 最小，由椭圆的定义|PA|PB|2a，即使得|PA|PB|最小，设 A(2，0)关于直线 yx3 的对称点 D(x，y)，
122、由y0 x211，0y2 2x23，可知 D(3，1)所以|PA|PB|PD|PB|DB|1252 26，即2a 26，所以 a 262，则 eca 2262 426.故选 B.5(2014河南焦作一模，13)椭圆x22y21 的弦被点12，12 平分，则这条弦所在的直线方程是_【解析】设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212 y211，x222y221，两式相减得，（x1x2）（x1x2）2(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2x1x22（y1y2）12，即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212x
123、12，即 2x4y30.【答案】2x4y306(2015湖南长沙二模，19，12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点，M，N 两点在椭圆 C 上，且MF FN(0)，定点 A(4，0)(1)求证：当 1 时，MN AF；(2)若当 1 时有AM AN1063，求椭圆 C 的方程；(3)在(2)的条件下，M，N 两点在椭圆 C 上运动，当AM ANtan MAN 的值为 6 3时，求出直线 MN 的方程解：(1)证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c，0)，则MF(cx1，y1)，FN(x2c，y2)，当 1 时，MF
124、 FN，y1y2，x1x22c，由 M，N 两点在椭圆上，x21a21y21b2，x22a21y22b2，x21x22.若 x1x2，则 x1x202c(舍去)，x1x2，MN(0，2y2)，AF(c4，0)，MN AF0，MN AF.(2)当 1 时，不妨设 M c，b2a，N c，b2a，AM AN(c4)2b4a21063，又 a232c2，b2c22，56c28c161063，c2，a26，b22，故椭圆 C 的方程为x26y221.(3)AM ANtan MAN2SAMN|AF|yMyN|6 3，由(2)知点 F(2，0)，|AF|6，即得|yMyN|3.当 MNx 轴时，|yMyN
125、|MN|2b2a 226 3，故直线 MN 的斜率存在，不妨设直线 MN 的方程为 yk(x2)(k0)联立yk（x2），x26y221，得(13k2)y24ky2k20，yMyN4k13k2，yMyN 2k213k2，|yMyN|24k424k213k2 3，解得 k1.此时，直线 MN 的方程为 xy20，或 xy20.7(2015湖南衡阳模拟，20，13 分)抛物线 P：x22py(p0)上一点 Q(m，2)到抛物线 P 的焦点的距离为 3，A，B，C，D 为抛物线的四个不同的点，其中A，D 关于 y 轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，x0 x1x0 x2，直
126、线BC 平行于抛物线 P 的以 D 为切点的切线(1)求 p 的值；(2)证明：CADBAD；(3)D 到直线 AB，AC 的距离分别为 m，n，且 mn 2|AD|，ABC 的面积为 48，求直线 BC 的方程解：(1)|QF|32p2，p2.(2)证明：由(1)可得抛物线方程为 x24y，则 Ax0，x204，Dx0，x204，Bx1，x214，Cx2，x224，yx2，kBCx214x224x1x2x1x24x02，x1x22x0，kACx224x204x2x0 x2x04，kABx214x204x1x0 x1x04，kACkABx2x04x1x04 x1x22x040，直线 AC 和直
127、线 AB 的倾斜角互补，CADBAD.(3)设BADCAD，则 mn|AD|sin，sin 22，0，2，4，lAC：yx204xx0，即 yxx204x0，将 yxx204x0 与抛物线方程 x24y 联立得 x24x4x0 x200，x0 x24，x2x04，同理可得 x1x04，kABkAC1.x0 x1x0 x2，SABC12|AB|AC|12 2(42x0)2(2x04)4(x204)48，x04，B(0，0)，C(8，16)，lBC：y2x.8(2014江苏盐城二模，18，16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(2，1)的椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为
128、F，短轴端点为 B1，B2，FB1 FB2 2b2.(1)求 a，b 的值；(2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q，与 y 轴的交点为 R.过原点 O且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P.若|AQ|AR|3|OP|2，求直线 l 的方程解：(1)因为 F(c，0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以FB1(c，b)，FB2(c，b)因为FB1 FB2 2b2，所以 c2b22b2.因为椭圆 C 过点 A(2，1)，代入得，4a2 1b21.又 a2b2c2 由解得 a28，b22.所以 a2 2，b 2.(2)由题意，设直线 l 的方程为 y1k(x2)由y1k（x2
129、），x28y221，得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.因为 x20，所以 x2 8k44k21，即 xQ2 8k44k21.由题意，直线 OP 的方程为 ykx.由ykx，x28y221，得(14k2)x28，则 x2P814k2.因为|AQ|AR|3|OP|2，所以|xQ(2)|0(2)|3x2P.即8k44k21 23814k2.解得 k1 或 k2.当 k1 时，直线 l 的方程为 xy10；当 k2 时，直线 l 的方程为 2xy50.所求直线 l 的方程为 xy10 或 2xy50.9(2015北京朝阳一模，19，14 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点1
130、，32，一个焦点为(3，0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 yk(x1)(k0)与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求|AB|PQ|的取值范围解：(1)由题意得a2b23，1a2 34b21，解得 a2，b1.所以椭圆 C 的方程是x24y21.(2)由yk（x1），x24y21得(14k2)x28k2x4k240.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x2 8k214k2，x1x24k2414k2，y1y2k(x1x22)2k14k2.所以线段 AB 的中点坐标为4k214k2，k14k2，所以线段 AB 的
131、垂直平分线方程为 y k14k21kx 4k214k2.若 y0，则 x 3k214k2.于是，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q 3k214k2，0，又点 P(1，0)，所以|PQ|1 3k214k2 1k214k2.又|AB|（1k2）8k214k2244k2414k2 4（1k2）（13k2）14k2.于是，|AB|PQ|4（1k2）（13k2）14k21k214k2 413k21k2 4321k2.因为 k0，所以 1321k20，|AF|2（cos 1）sin2，同理，|BF|2（1sin）cos2，|DF|2（1sin）cos2，|CF|2（1cos）sin2，“蝴蝶形图
132、案”的面积 SSAFBSCFD 12|AF|BF|12|CF|DF|44sin cos（sin cos）2 令 tsin cos，t0，12，1t2，)，则 S41tt2 41t1221，当1t2，即 4 时，“蝴蝶形图案”的面积最小，最小值为 8.1(2015课标，20，12 分，难)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点(2，2)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有a2b2a 22，4a2 2b2
133、1，解得 a28，b24.所以 C 的方程为x28y241.(2)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入x28y241 得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x22 2kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kO MyMxM 12k，即 kO Mk12.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值2(2015湖北，22，14 分，难)一种画椭圆的工具如图 1 所示，O 是滑槽 AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D
134、可沿滑槽 AB 滑动，且 DNON1，MN3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点，AB所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系(1)求椭圆 C 的方程；(2)设动直线 l 与两定直线 l1：x2y0 和 l2：x2y0 分别交于 P，Q 两点，若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 图 1 图 2解：(1)因为|OM|MN|NO|314，当 M，N 在 x 轴上时，等号成立；同理|OM|MN|NO|312，当 D，O
135、重合，即 MNx 轴时，等号成立 所以椭圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2，其方程为x216y241.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有 SOPQ12448.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykxmk 12.由ykxm，x24y216，消去 y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 64k2m24(14k2)(4m216)0，即 m216k24.(*)又由ykxm，x2y0，可得 P2m12k，m12k；同理可得 Q2m12k，m12k.由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d
136、|m|1k2和|PQ|1k2|xPxQ|，可得 SOPQ12|PQ|d 12|m|xPxQ|12|m|2m12k 2m12k 2m214k2.将(*)代入得，SOPQ2m214k2 8|4k21|4k21|.当 k214时，SOPQ84k214k21 8124k21 8；当 0k214时，SOPQ84k2114k2 81214k2.因 0k214，则 014k21，214k22，所以 SOPQ8 1214k2 8.当且仅当 k0 时取等号 所以当 k0 时，SOPQ 的最小值为 8.综合可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8.3(2015山东，21，14
137、 分，难)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且点3，12 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求|OQ|OP|的值；求ABQ 面积的最大值解：(1)由题意知 3a2 14b21.又 a2b2a 32，解得 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.设 P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知 Q(x0，y0)因为
138、x204 y201，又（x0）216（y0）241，即24 x204y20 1，所以 2，即|OQ|OP|2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2.(*1)则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.设点 O 到直线 ykxm 的距离为 d，所以OAB 的面积 S12|AB|d 12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k2 2（16k24m2）m214k2 24m214k2m214k2.设m214k2t.将 ykxm 代
139、入椭圆 C 的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得 m214k2.(*2)由(*1)(*2)可知 00，b10)和椭圆 C2：y2a22x2b221(a2b20)均过点 P2 33，1，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形(1)求 C1，C2 的方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一个公共点，且|OA OB|AB|？证明你的结论解：(1)设 C2 的焦距为 2c2，由题意知，2c22，2a12，从而 a11，c21.因为点 P2 33，1 在双曲线 x2y2b211 上，所以2 332
140、 1b211.故 b213.由椭圆的定义知 2a22 332（11）2 2 332（11）22 3.于是 a2 3，b22a22c222.故 C1，C2 的方程分别为 x2y231，y23x221.(2)不存在符合题设条件的直线 若直线 l 垂直于 x 轴，因为 l 与 C2 只有一个公共点，所以直线 l 的方程为x 2或 x 2.当 x 2时，易知 A(2，3)，B(2，3)，所以|OA OB|2 2，|AB|2 3.此时，|OA OB|AB|.当 x 2时，同理可知，|OA OB|AB|.若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 ykxm.由ykxm，x2y231得(3k2)x22k
141、mxm230.当 l 与 C1 相交于 A，B 两点时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两个实根，从而 x1x2 2km3k2，x1x2m23k23.于是 y1y2k2x1x2km(x1x2)m23k23m2k23.由ykxm，y23x221得(2k23)x24kmx2m260.因为直线 l 与 C2 只有一个公共点，所以上述方程的判别式 16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得 2k2m23，因此OA OB x1x2y1y2m23k233k23m2k23 k23k23 0，于是OA 2OB 22OA OB OA 2OB 22OA OB，即|OA O
142、B|2|OA OB|2，故|OA OB|AB|，综合可知，不存在符合题设条件的直线2(2014四川，20，13 分，难)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为 63.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积解：(1)由已知可知，ca 63，c2，所以 a 6.又由 a2b2c2，解得 b 2，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当
143、m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ的方程与椭圆C 的方程联立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式 16m28(m23)0，所以 y1y2 4mm23，y1y2 2m23，x1x2m(y1y2)4 12m23.因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以OP QT，即(x1，y1)(3x2，my2)所以x1x2 12m233，y1y2 4mm23m，解得 m1.此时，S 四边形 OPTQ2SOPQ 21
144、2|OF|y1y2|24mm2324 2m232 3.3(2014山东，21，14 分，难)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明：存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值解：(1)由题意知a2b2a 32.可得 a24b2，椭圆 C
145、的方程可简化为 x24y2a2.将 yx 代入可得 x 5a5，因此 22 5a54 105，可得 a2.因此 b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：设 A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则 B(x1，y1)因为直线 AB 的斜率 kABy1x1，又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1y1.设直线 AD 的方程为 ykxm，由题意知 k0，m0.由ykxm，x24y21可得(14k2)x28mkx4m240.所以 x1x2 8mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m 2m14k2.由题意知 x1x2，所以 k1y1y2x1x2 14k y14x1.所
146、以直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)令 y0，得 x3x1，即 M(3x1，0)可得 k2 y12x1.所以 k112k2，即 12.因此存在常数 12使得结论成立 直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N0，34y1.由知 M(3x1，0)，可得OMN 的面积 S123|x1|34|y1|98|x1|y1|.因此|x1|y1|x214y211，当且仅当|x1|2|y1|22 时等号成立，此时 S 取得最大值98.所以OMN 面积的最大值为98.4(2013安徽，21，13 分，难)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为
147、4，且过点 P(2，3)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E.取点 A(0，2 2)，连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y轴的对称点，作直线 QG，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由解：(1)因为焦距为 4，所以 a2b24.又因为椭圆 C 过点 P(2，3)，所以 2a2 3b21，故 a28，b24，从而椭圆 C 的方程为x28y241.(2)由题意知，E 点坐标为(x0，0)设 D(xD，0)，则AE(x0，2 2)，
148、AD(xD，2 2)再由 ADAE 知，AEAD 0，即 x0 xD80，由于 x0y00，故 xD8x0.因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点 G8x0，0.故直线 QG 的斜率 kQGy0 x08x0 x0y0 x208.又因为 Q(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 x202y208.从而 kQG x02y0.故直线 QG 的方程为 y x02y0 x8x0.将代入椭圆 C 的方程，得(x202y20)x216x0 x6416y200.再将代入，化简得 x22x0 xx200.解得 xx0，yy0，即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点5(2014福建，21，12 分，
149、难)已知曲线 上的点到点 F(0，1)的距离比它到直线 y3 的距离小 2.(1)求曲线 的方程；(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y3 分别与直线 l 及 y轴交于点 M，N.以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B.试探究：当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论解：(1)方法一：设 S(x，y)为曲线 上任意一点，依题意，点 S 到 F(0，1)的距离与它到直线 y1 的距离相等，所以曲线是以点 F(0，1)为焦点、直线 y1 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 x24y.方法二
150、：设 S(x，y)为曲线 上任意一点，则|y(3)|（x0）2（y1）22，依题意，点 S(x，y)只能在直线 y3 的上方，所以 y3，所以（x0）2（y1）2y1，化简得，曲线 的方程为 x24y.(2)当点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变证明如下：由(1)知抛物线 的方程为 y14x2，设 P(x0，y0)(x00)，则 y014x20，由 y12x，得切线 l 的斜率 ky|xx012x0，所以切线 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y0得 A12x0，0.由y12x0 x14x20，y3得 M12x06x0
151、，3.又 N(0，3)，所以圆心 C14x03x0，3，半径 r12|MN|14x03x0，|AB|AC|2r2 12x 014x 0 3x 023214x 0 3x 02 6.所以点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变 6(2011山东，22，14 分，难)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x23y21.如图所示，斜率为 k(k0)且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x3 于点 D(3，m)(1)求 m2k2 的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求证：直线 l 过定点；试问点 B，G
152、 能否关于 x 轴对称？若能，求出此ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由解：(1)设直线 l 的方程为 ykxt(k0)，由题意，t0.由方程组ykxt，x23y21，得(3k21)x26ktx3t230.由题意 0，所以 3k21t2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得 x1x2 6kt3k21，所以 y1y22t3k21.由于 E 为线段 AB 的中点，因此 xE 3kt3k21，yEt3k21，此时 kOEyExE 13k，所以 OE 所在直线方程为 y 13kx，又由题设知 D(3，m)，令 x3，得 m1k，即 mk1，所以 m2k22mk2，当且仅当 mk
153、1 时上式等号成立，此时由 0 得 0t2，因此当 mk1 且 0t0，解得 G3k3k21，13k21）.又 E 3kt3k21，t3k21，D3，1k，由距离公式及 t0 得|OG|23k3k21213k212 9k213k21，|OD|（3）21k29k21k，|OE|3kt3k212t3k212 t 9k213k21，由|OG|2|OD|OE|得 tk，因此直线 l 的方程为 yk(x1)，所以直线 l 恒过定点(1，0)由得 G3k3k21，13k21，若 B，G 关于 x 轴对称，则 B3k3k21，13k21，代入 yk(x1)，整理得 3k21k 3k21，即 6k47k210
154、，解得 k216(舍去)或 k21，所以 k1.此时 B32，12，G32，12 关于 x 轴对称 又由得 x10，y11，所以 A(0，1)由于ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设ABG 的外接圆的圆心为(d，0)，因此 d21d32214，解得 d12，故ABG 的外接圆的半径为 r d21 52.所以ABG 的外接圆方程为 x122y254.考向 1 定点、定值问题(2014江西，20，13 分)如图，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0，2)任作一直线与 C 相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)(1)证明：动点 D 在定直
155、线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2，证明：|MN2|2|MN1|2 为定值，并求此定值【解析】(1)证明：直线 AB 过定点 M(0，2)，由题意知直线 AB 的斜率一定存在，可设直线 AB 的方程为 ykx2，由ykx2，x24y，得 x24kx80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28.又直线 AO 的方程为 yy1x1x，直线 BD 的方程为 xx2，联立xx2，yy1x1x，解得 D 点的坐标为x2，y1x2x1.又 x1x28，x214y1，yy1x1x2x1x1 8y1x21 8y
156、14y1 2，动点 D 在定直线 y2(x0)上(2)由题意可知，切线 l 的斜率存在且不为 0.设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y，化简得 x24ax4b0，l 为切线，(4a)216b0，化简得 ba2，切线 l 的方程为 yaxa2.分别令 y2，y2 得 N1，N2 点的坐标为 N12aa，2，N22aa，2，则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，|MN2|2|MN1|2 为定值 8.【点拨】解决定值问题关键是找出定值，将此类问题转变为证明题，从而使问题变得明确，找定值通常用特殊点法(2012福建，21，12 分)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8
157、3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点Q.证明：以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点【解析】(1)依题意，知|OB|8 3，BOy30.设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 3，y|OB|cos 3012.因为点 B(4 3，12)在 x22py 上，所以(4 3)22p12，解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.(2)证明：方法一：由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x00，y014x20，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即
158、 y12x0 x14x20.令 y1，得 xx2042x0，所以 Qx2042x0，1.设圆上的定点为 M(0，y1)，令MP MQ 0 对满足 y014x20(x00)的 x0，y0恒成立 由于MP(x0，y0y1)，MQ x2042x0，1y1，由MP MQ 0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足 y014x20(x00)的 y0 恒成立，所以1y10，y21y120，解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)方法二：由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x00，y014x20
159、，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.令 y1，得 xx2042x0，所以 Qx2042x0，1.取 x02，此时 P(2，1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x1)2y22，交 y 轴于点 M1(0，1)或 M2(0，1)；取 x01，此时 P1，14，Q32，1，以 PQ 为直径的圆为x142y38212564，交 y 轴于 M3(0，1)或 M40，74.故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0，1)以下证明点 M(0，1)就是所要求的点 因为MP(x0，y01)，MQ x2042x0，2，所以MP MQ x20422y022y022y02
160、0，故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)【点拨】本题关键是用 M(0，y1)，P(x0，y0)的坐标表示出MP MQ 0，由点 P 的任意性，把该式整理成关于 y0 的等式，其系数均为 0；也可取点 P 的特殊位置找到 M 坐标，再证明其即为所求1.求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手
161、，找出定点，再证明该点符合题意(2013江西，20，13 分)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 32，ab3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m，证明：2mk 为定值解：(1)因为 e 32 ca，所以 a 23c，b 13c.代入 ab3，得 c 3，a2，b1.故椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：方法一：因为 B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 yk(x2)k0，k
162、12，代入x24y21，解得 P8k224k21，4k4k21，直线 AD 的方程为 y12x1.与联立解得 M4k22k1，4k2k1.由 D(0，1)，P8k224k21，4k4k21，N(x，0)三点共线知 4k4k2118k224k21001x0，解得 N4k22k1，0.所以 MN 的斜率为 m4k2k104k22k14k22k1 4k（2k1）2（2k1）22（2k1）22k14，则 2mk2k12k12(定值)方法二：设 P(x0，y0)(x00，2)，则 k y0 x02，直线 AD 的方程为 y12(x2)，直线 BP 的方程为 y y0 x02(x2)，直线 DP 的方程为
163、 y1y01x0 x，令 y0，由 y01 可得 Nx0y01，0，联立y12（x2），y y0 x02（x2），解得 M4y02x042y0 x02，4y02y0 x02，因此 MN 的斜率为 m4y02y0 x024y02x042y0 x02 x0y01 4y0（y01）4y208y04x0y0 x204 4y0（y01）4y208y04x0y0（44y20）4 y012y0 x02，所以 2mk2（y01）2y0 x02 y0 x02 2（y01）（x02）y0（2y0 x02）（2y0 x02）（x02）2（y01）（x02）2y20y0（x02）（2y0 x02）（x02）2（y01
164、）（x02）12（4x20）y0（x02）（2y0 x02）（x02）12(定值)思路点拨：本题采用直接推理法，方法一用直线 BP 的斜率表示 m，并在计算过程中消去 k，得出定值；方法二用点 P 坐标 x0，y0 表示 2mk，通过计算得出定值 考向 2 最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)；双曲线上两点间最小距离为 2a(实轴长)；椭圆焦半径的取值范围为ac，ac，ac 与 ac 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常
165、用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解(6)实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个
166、问题：选择适当的坐标系；将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来其次，根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题(2014北京，19，14 分)已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值【思路导引】(1)把椭圆方程化为标准形式，确定 a，b，c 的值，由公式求离心率；(2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，由 OAOB，把 t 用 x0，y0 表示出来利用两点间距离公式表示|AB|，并由点 B 在椭圆上，把|AB|化为只含有 x0 一个变量的函数
167、式，根据 x0 的取值范围确定最值【解析】(1)由题意，知椭圆 C 的标准方程为x24y221.所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca 22.(2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OA OB 0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x02(y02)2 x20y204y20 x20 4 x204x2022（4x20）x204 x202 8x204(0 x204)因为x202 8x204(0 x204)，且当
168、x204 时等号成立 所以|AB|28.故线段 AB 长度的最小值为 2 2.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确
169、定参数的取值范围(2013浙江，22，14 分)已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点若直线 AO，BO 分别交直线 l：yx2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值解：(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py(p0)，则p21，所以抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，x1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 ykx1.由ykx1，x24y消去 y，整理得 x24kx40，所以 x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4k21.由yy1x1x，yx2，解得点 M
170、的横坐标 xM 2x1x1y1 2x1x1x21484x1.同理，点 N 的横坐标 xN84x2.所以|MN|2|xMxN|284x184x2 8 2x1x2x1x24（x1x2）16 8 2 k21|4k3|.令 4k3t，t0，则 kt34.当 t0 时，|MN|2 225t2 6t12 2.当 t0，且 m1)当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H.是否存
171、在 m，使得对任意的 k0，都有 PQPH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图 1，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且 m1)，可得 xx0，|y|m|y0|，所以 x0 x，|y0|1m|y|.因为 A 点在单位圆上运动，所以 x20y201.将式代入式即得所求曲线 C 的方程为 x2y2m21(m0，且 m1)因为 m(0，1)(1，)，所以当 0m1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，m21)，(0，m21)(2)方法一：如图 2，3，k0，设 P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则 Q(x1，kx1)
172、，N(0，kx1)，直线 QN 的方程为 y2kxkx1，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2x21m20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由根与系数的关系可得 x1x2 4k2x1m24k2，即 x2 m2x1m24k2.因为点 H 在直线 QN 上，所以 y2kx12kx2 2km2x1m24k2.于是PQ(2x1，2kx1)，PH(x2x1，y2kx1)4k2x1m24k2，2km2x1m24k2.而 PQPH 等价于PQ PH 4（2m2）k2x21m24k20，即 2m20.又 m0，得 m 2，故存在 m 2，使得在其对应的椭圆 x2y22
173、1 上，对任意的 k0，都有PQPH.方法二：如图 2，3，x1(0，1)，设 P(x1，y1)，H(x2，y2)，则 Q(x1，y1)，N(0，y1)因为 P，H 两点在椭圆 C 上，所以m2x21y21m2，m2x22y22m2，两式相减可得 m2(x21x22)(y21y22)0.依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P，H 不重合，故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得（y1y2）（y1y2）（x1x2）（x1x2）m2.又 Q，N，H 三点共线，所以 kQNkQH，即2y1x1 y1y2x1x2.所以由式可得 kPQkPHy1x1y1y2x1x2 12（y1
174、y2）（y1y2）（x1x2）（x1x2）m22.而 PQPH 等价于 kPQkPH1，即m22 1.又 m0，得 m 2.故存在 m 2，使得在其对应的椭圆 x2y22 1 上，对任意的 k0，都有PQPH.1(2015湖北十校联考，8)设 P 是椭圆x225y291 上一点，M，N 分别是两圆：(x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9，12 B8，11 C8，12 D10，12【答案】C 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接 PA，PB 分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|
175、PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接 PA，PB 并延长，分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为 8，12.2(2014辽宁沈阳二模，8)在平行四边形 ABCD 中，BAD60，AD2AB，若 P 是平面 ABCD 内一点，且满足 xAByAD PA0(x，yR)则当点P 在以 A 为圆心，33|BD 为半径的圆上时，实数 x，y 应满足的关系式为()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1【答案】D 如图，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设 AD2.根据题意得，AB1
176、，ABD90，BD 3.B，D 的坐标分别为(1，0)，(1，3)，AB(1，0)，AD(1，3)设点 P 的坐标为(m，n)，即AP(m，n)，则由 xAByAD PA0，得APxAByAD，mxy，n 3y.根据题意，m2n21，x24y22xy1.3(2015东北三校第二次联考，11)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，过 F2 的直线 l 交双曲线于 A，D 两点，交渐近线于 B，C 两点，设F1B F1C m，F1A F1D n，则下列各式成立的是()A|m|n|B|m|0【答案】C 如图，设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，B
177、(x3，y3)，C(x4，y4)，则F1B F1C(x3x42c，y3y4)，F1A F1D(x1x22c，y1y2)，m(x3x42c，y3y4)，n(x1x22c，y1y2)设直线 l 的方程为 xmyc，代入 b2x2a2y2a2b2，得(b2m2a2)y22b2mcyb2(c2a2)0，故 y1y2 2b2mca2b2m2，由ybax，xmyc得 y3bcabm，由ybax，xmyc得 y4 bcabm，y3y4 2b2mca2b2m2，y1y2y3y4.又 x1x2m(y1y2)2c，x3x4m(y3y4)2c，x1x2x3x4，mn，|mn|0，故选 C.4(2015江西九校联考，
178、9)如图，抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，斜率 k1 的直线 l 过焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，若抛物线的准线与 x 轴的交点为 N，则 tanANF()A1 B.12C.22D.2【答案】C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 AB 的方程为 yxp2，联立得yxp2，y22px，消去 y 得，x23pxp24 0，解得 x132 2 p，x232 2 p.又因为点 A(x1，y1)在抛物线 y22px 上，所以 y1 2px1（32 2）p2(21)p，故 tanANF y1x1p2 2px1x1p2（21）p32 2 pp2 22，因此选 C.5(2015
179、河南南阳二模，14)x24y231 上有一动点 P，圆 E：(x1)2y21，过圆心 E 任意作一条直线与圆 E 交于 A，B 两点，圆 F：(x1)2y21，过圆心F 任意作一条直线交圆 F 于 C，D 两点，则PAPBPCPD 的最小值为_【解析】PAPB(PEEA)(PEEB)(PEEA)(PEEA)PE 21，同理，PCPD PF 21，所以 PAPBPCPD PE 2PF 22（|PE|PF|）2226.【答案】66(2014上海普陀一模，12)若 C(3，0)，D(3，0)，M 是椭圆x24y21上的动点，则 1|MC|1|MD|的最小值为_【解析】由椭圆x24y21 知 c241
180、3，c 3，C，D 是该椭圆的两焦点，令|MC|r1，|MD|r2，则 r1r22a4，1|MC|1|MD|1r11r2 r1r2r1r2 4r1r2.又r1r2（r1r2）24164 4，1|MC|1|MD|4r1r21.当且仅当 r1r2 时，上式等号成立 故 1|MC|1|MD|的最小值为 1.【答案】17(2015湖南长沙调研，20，13 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，且过点(2，1)(1)求椭圆方程；(2)若过点 C(1，0)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B.试问在 x 轴上是否存在点 M，使MA MB 53k21是与 k 无关的常
181、数？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)eca 63，故c2a223，因为椭圆过点(2，1)，故 2a2 1b21，解得 a25，b253，所以椭圆方程为x25y2531.(2)假设在 x 轴上存在点 M(m，0)，使MA MB 53k21是与 k 无关的常数，椭圆的方程为 x23y25，直线 l 的方程为 yk(x1)，由yk（x1），x23y25得(3k21)x26k2x3k250，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 6k23k21，x1x23k253k21，MA(x1m，y1)，MB(x2m，y2)，所以MA MB 53k21(k21)x1x2(k
182、2m)(x1x2)k2m253k21 k26mk23m2k2m23k21，令k26mk23m2k2m23k21t，即(3m26m13t)k2m2t0 对任意 k 成立，所以3m26m13t0，m2t0，解得 m16，即在 x 轴上存在点 M16，0，使MA MB 53k21是与 k 无关的常数 8(2015山东潍坊二模，20，13 分)如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长为 2，点 P 为上顶点，圆 O：x2y2b2 将椭圆 C 的长轴三等分，直线 l：ymx45(m0)与椭圆 C 交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证APB 为直角三角形，并求出该三角形面积的
183、最大值解：(1)由题意知 2b2，b1.圆 O 将椭圆 C 的长轴三等分，2b132a，a3b3，椭圆 C 的方程为x29y21.(2)证明：由ymx45，x29y21，消去 y 得(19m2)x2725 mx81250.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x272m5（19m2），x1x28125（19m2），又 P(0，1)PAPB(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2mx195 mx295 x1x2m2x1x295m(x1x2)8125(1m2)8125（19m2）95m72m5（19m2）8125 8181m2648m281819m225（19
184、m2）0.PAPB，则APB 为直角三角形 设 l 与 y 轴的交点为 K，则 K0，45，|PK|95，SAPB12|PK|(|x1|x2|)12|PK|x1x2|1295（x1x2）24x1x2 1295 72m5（19m2）248125（19m2）8125 25m2119m2，令 25m21t1，则 SAPB8125t19t2125819t16t 8129t16t278.当且仅当 9t16t，即 t43时取等号 APB 面积的最大值为278.9(2014江苏南通二模，17，14 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F1(2，0)，离心率为 e.(1)若 e 22，求椭圆的方
185、程；(2)设 A，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF1 的中点为 M，BF1 的中点为N，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上证明：点 A 在定圆上；设直线 AB 的斜率为 k，若 k 3，求 e 的取值范围解：(1)由 e 22，c2，得 a2 2，b2.所求椭圆方程为x28y241.(2)设 A(x0，y0)，则 B(x0，y0)，故 Mx022，y02，N2x02，y02.证明：由题意点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，得OM ON 0，化简得x20y204，所以点 A 在以原点为圆心，2 为半径的圆上 由题意，y0kx0，x20a2y20b21，x20y204，即x20a2k2
186、x20b2 1，x20k2x204，1a2k2b214(1k2)将 eca2a，b2a2c24e24，代入上式整理，得 k2(2e21)(e21)20，k20，所以 2e210，e 22.所以 k2（e21）22e213.化简得e48e240，2e210.解得12e242 3，22 e 31.故 e 的取值范围是22，31.(时间：120 分钟_分数：150 分)一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2014福建福州一模，6)若ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是()A.x29y2161 B.x216y
187、291C.x29y2161(x3)D.x216y291(x4)【答案】C 如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|AD|BE|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，所以方程为x29y2161(x3)2(2014课标，4)已知 F 为双曲线 C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为()A.3B3 C.3mD3m【答案】A 由双曲线 C：x2my23m(m0)，得 x23my231，c23m3，c 3m3.设 F(3m3，0)，一条渐近线 y33mx，即 x my0，则点 F 到
188、 C 的一条渐近线的距离 d 3m31m 3，选 A.3(2014广东深圳一模，6)过点 A 的直线 l 与抛物线 y22x 有且只有一个公共点，这样的 l 的条数是()A0 或 1 B1 或 2C0 或 1 或 2 D1 或 2 或 3【答案】D 当 A 在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；可以想象，当 A在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；当 A 在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点故选 D.4(2015山西太原二模，9)已知 A 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左顶点，F1，F2 分别
189、为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是PF1F2 的重心，若GA PF1，则双曲线的离心率为()A2 B3C4 D与 的取值有关【答案】B 依题意得点 G 在线段 OP 上，且OPOG3，由GA PF1 得GAPF1，OF1OA OPOG3，即 eca3，该双曲线的离心率为 3，故选 B.5(2015湖北武汉模拟，8)已知直线 yk(x1)(k0)与抛物线 C：y24x 相交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|FA 2|FB，则 k()A.13B.2 23C.23D.23【答案】B 设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，由|FA 2|FB 得 y12y2(如图)由 yk
190、(x1)得，xyk1，代入 C：y24x 并整理得 ky24y4k0，又 y1，y2 是该方程的两根，y1y23y24k，y1y22y224kk 4，由得，y2243k22.k0，k2 23.6(2014福建，9)设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A5 2B.46 2C7 2D6 2【答案】D 设椭圆上的点为(x，y)，圆 x2(y6)22 的圆心为(0，6)，半径为 2，椭圆上的点与圆心的距离为 x2（y6）29y232505 2，P，Q 两点间的最大距离是 5 2 26 2.故选 D.7(2012浙江，8)如图，中心均为
191、原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C.3D.2【答案】B 设椭圆长半轴的长为 a(a0)，则双曲线实半轴的长为a2，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为 2c，所以双曲线的离心率 e1ca22ca，椭圆的离心率 e2ca，所以e1e22caca2，故选 B.8(2015湖南永州二模，8)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M，N 两点，有下列四个命题：PMN 必为直角三角形；PMN 不一定为直角三角形；直线 PM 必与抛物
192、线相切；直线 PM 不一定与抛物线相切其中正确的命题是()ABCD【答案】A 因为|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90，故正确，错误由题意得，直线 PM 的方程为 yxp2，代入抛物线方程可得 y22pyp20，(2p)24p20，所以直线 PM 与抛物线相切，故正确，错误9(2013辽宁，11)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF45，则 C 的离心率为()A.35B.57C.45D.67【答案】B 如图，设椭圆的右焦点为 F1，在ABF
193、中，设|AF|x，则由余弦定理可得cosABF82102x22810 45.解得 x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，且FAF1FABFBA90，即FAF1 是直角三角形，所以|FF1|10，故 2a8614，2c10，ca57.故选 B.10(2015吉林长春调研，10)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A.3 55B2 C.115D3【答案】B 由题意可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|
194、，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406|52，故选 B.11(2013山东，11)抛物线 C1：y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2：x23y21 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p()A.316B.38C.2 33D.4 33【答案】D 抛物线 C1 的焦点 F0，p2，双曲线 C2 的右焦点 F(2，0)，直线 FF为x2yp21，与 y 12px2 联立得 x2p22 xp20，又 yxp，设 M(x0，y0)，则 C1
195、 在点 M 处的切线斜率 kx0p.C2 的一条渐近线的斜率为 33，故x0p 33，得 x0 33 p，代入解得 p4 33.故选 D.12(2015河北石家庄质检，11)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 O 为坐标原点，点 P 在双曲线右支上，PF1F2 内切圆的圆心为 Q，圆 Q 与 x 轴相切于点 A，过 F2 作直线 PQ 的垂线，垂足为 B，则|OA|与|OB|的长度依次为()Aa，aBa，a2b2C.a2，3a2D.a2，a【答案】A 设|AF1|x，|AF2|y，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，由三角形内切圆的性质得 xy2a，
196、又xy2c，xac，|OA|a.延长 F2B 交 PF1 于点 C，PQ 为F1PF2 的角平分线，|PF2|PC|，再由双曲线定义得|CF1|2a，|OB|a，故选 A.二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13(2014广东揭阳模拟，12)过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 且斜率为1 的直线与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_【解析】由题意知 A 点的坐标为(a，0)l 的方程为 yxa，B 点的坐标为(0，a)又|AM|MB|，故 M 点的坐标为a2，a2，代入椭圆方程得 a23b2.又a2b2c2，c2
197、2b2，ec2a2 63.【答案】6314(2014辽宁本溪一模，14)椭圆x225y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过 F1，若ABF2 的内切圆周长为，A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为_【解析】ABF2 的内切圆周长为，所以ABF2 的内切圆半径为12.又ABF2 的周长为 4a20，所以ABF2 的面积为1212205，另一方面ABF2的面积为12|F1F2|y1y2|，即126|y1y2|5，则|y1y2|53.【答案】5315(2011大纲全国，16)已知 F1，F2 分别为双曲线 C:x29y2271 的左、右焦点，点
198、 AC，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为F1AF2 的平分线，则|AF2|_【解析】在双曲线x29y2271 中，a29，b227，c2a2b236，F1(6，0)，F2(6，0)如图，M(2，0)，|F1M|628，|F2M|624.AM 为F1AF2 的平分线，|AF2|AF1|MF2|MF1|4812.|AF1|2|AF2|，即点 A 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得|AF1|AF2|2|AF2|AF2|AF2|2a6.【答案】616(2015湖北十校联考，14)已知两定点 M(1，0)，N(1，0)，若直线上存在点 P，使|PM|PN|4，则该直线为“A 型直线”给出下列直线，
199、其中是“A型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx3；y2x3.【解析】由题意可知，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆，其方程是x24y231，把 yx1 代入x24y231 并整理得，7x28x80，8247(8)0，直线与椭圆有两个交点，yx1 是“A 型直线”把 y2 代入x24y231，得x2413不成立，直线与椭圆无交点，y2 不是“A 型直线”把 yx3 代入x24y231 并整理得，7x224x240，(24)247240，y2x3 是“A 型直线”【答案】三、解答题(共 6 小题，共 74 分)17(12 分)(2012陕西，20)已知椭圆 C1：x24y21，椭圆 C
200、2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，OB 2OA，求直线AB 的方程解：(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为 32，故 a24a 32，则 a4，故椭圆 C2 的方程为y216x241.(2)A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2，所
201、以 y2A 4k214k2.由OB 2OA，得 x2B1614k2，y2B 16k214k2，将 x2B，y2B代入y216x241 中，得 4k214k21，即 4k214k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.思路点拨：利用向量知识由OB 2OA 得出直线 AB 过原点 O，及点 A，B 在椭圆上，则 A，B 坐标适合椭圆方程是解题关键18(12 分)(2015安徽安庆二模，21)已知椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，该椭圆经过点 P1，32，且离心率为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆x2a2y2b21(ab0)长轴上任意一点 S(s，0)，(
202、as0)的焦点为 F，抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x10)，过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 Q，交直线 l：yp2于点 M，当|FD|2 时，AFD60.(1)求证：AFQ 为等腰三角形，并求抛物线 C 的方程；(2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上，过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1于点 P，交直线 l 于点 N，求PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的 x1 的值解：(1)设 Ax1，x212p，则 A 处的切线方程为 l1：yx1pxx212p，所以 Dx12，0，Q0，x212p，F0，p2.所以|AF|x21
203、p22p.所以|FQ|p2x212p|AF|，即AFQ 为等腰三角形 又 D 为线段 AQ 的中点，所以|AF|4，得p2x212p4，x21p216，所以 p2，即抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 B(x2，y2)(x20，由ykxb，x24y得 x24kx4b0，得x1x24k，x1x24b代入得：S 16k216b（44b）264b（1b）2 k2bb，要使面积最小，则 k0，得到 S（1b）2 bb，令b t，则 由 得S(t)（1t2）2t t3 2t 1t，S (t)（3t21）（t21）t2，所以当 t0，33 时，S(t)单调递减；当 t33，时，S(t)单调递增，所以
204、当 t 33 时，S 取到最小值为16 39，此时 bt213，k0，所以 y113，即 x12 33.故当PMN 面积取到最小值时的 x1 的值为2 33.20(12 分)(2014东北三校第一次联考，20)在平面直角坐标系 xOy 中，动点P 到两点(3，0)，(3，0)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为曲线 C，直线l 过点 E(1，0)且与曲线 C 交于 A，B 两点(1)求曲线 C 的轨迹方程；(2)是否存在AOB 面积的最大值？若存在，求出AOB 的面积；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以点(3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为 2 的椭圆，
205、故曲线 C 的轨迹方程为x24y21.(2)存在AOB 面积的最大值 因为直线 l 过点 E(1，0)，所以可设直线 l 的方程为 xmy1 或 y0(舍)由条件得x24y21，xmy1.整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y1y2.解得 y1m2m23m24，y2m2 m23m24，则|y2y1|4 m23m24，则 SAOB12|OE|y1y2|2 m23m24 2m231m23.设 t m23，则 g(t)t1t，t 3，则 g(t)在区间 3，)上为增函数，所以 g(t)4 33.所以 SAOB 32，当且仅当 m0
206、 时等号成立，即(SAOB)max 32.所以 SAOB 的最大值为 32.21(12 分)(2015河北唐山二模，21)已知抛物线 E：y22px(p0)的准线与 x轴交于点 M，过点 M 作圆 C：(x2)2y21 的两条切线，切点为 A，B，|AB|4 23.(1)求抛物线 E 的方程；(2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若 P，Q，O(O 为原点)三点共线，求点 N 的坐标解：(1)由已知得 Mp2，0，C(2，0)如图，设 AB 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知，|AR|2 23.于是|CR|AC|2|AR|213，由题意易知AMCRAC，
207、|MC|AC|AC|RC|，|MC|AC|2|RC|1133，即 2p23，p2.故抛物线 E 的方程为 y24x.(2)如图，设 N(s，t)P，Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点，圆 D 方程为xs222yt22（s2）2t24，即 x2y2(s2)xty2s0.又圆 C 方程为 x2y24x30.由得(s2)xty32s0.P，Q 两点坐标是方程和的解，也是方程的解，从而为直线 PQ 的方程 因为直线 PQ 经过点 O，所以 32s0，s32.故点 N 坐标为32，6 或32，6.22(14 分)(2015浙江“六市六校”联盟模拟，21)已知动圆过定点 A(0，2)，且在
208、x 轴上截得的弦长为 4.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)点 P 为轨迹 C 上任意一点，直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线，直线 l交直线：y1 于点 R，过点 P 作 PQl 交轨迹 C 于点 Q，求PQR 的面积的最小值解：(1)设 C(x，y)，|CA|2y24，即 x24y.动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x24y.(2)C 的方程为 x24y，即 y14x2，故 y12x.设 Pt，t24(t0)，PR 所在的直线方程为 yt24t2(xt)，即 yt2xt24，则点 R 的横坐标 xRt242t，|PR|1t24|xRt|4t2（t24）4|t|.PQ 所在的直线方程为 yt242t(xt)，即 y2tx2t24，由y2tx2t24，y14x2，消去 y 得x242tx2t240，由 xPxQ8t得点 Q 的横坐标为 xQ8tt，又|PQ|14t2|xPxQ|14t28t2t 2 t24（t24）t2.SPQR12|PQ|PR|（t24）34t2|t|.不妨设 t0，记 f(t)t24t(t0)，则当 t2 时，f(t)min4.由 SPQR14f(t)3，得PQR 的面积的最小值为 16.