1、第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式角 的弧度数公式|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180 rad；1 rad180弧长公式弧长 l|r扇形面积公式S12lr12|r23.任意角
2、的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos yx叫做 的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线小题体验1若 sin 0 且 tan 0，则 是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C2(教材习题改编)3 900是第_象限角，1 000是第_象限角答案：四 一3(教材习题改编)已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：1.21注意易混
3、概念的区别：象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin yr，cos xr，tan yx.小题纠偏1下列说法正确的是()A三角形的内角必是第一、二象限角B第一象限角必是锐角C不相等的角终边一定不相同D若 k360(kZ)，则 和 终边相同答案：D2若角 终
4、边上有一点 P(x,5)，且 cos x13(x0)，则 sin _.答案：513考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点自主练透题组练透1给出下列四个命题：34 是第二象限角；43 是第三角限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：选 C 34 是第三象限角，故错误；43 3，从而43 是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确2(易错题)若角 是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：选 C 是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ
5、.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角3设集合 Mxxk218045，kZ，Nxxk418045，kZ，那么()AMNBMNCNMDMN解析：选 B 法一：由于 Mxxk218045，kZ，45，45，135，225，Nxxk418045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有 MN.法二：由于 M 中，xk218045k904545(2k1)，2k1 是奇数；而 N 中，xk418045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN.4在7200范围内所有与 45终边相同的角为_解析：所有与 45有相同终边的角可表示为：45k360(k
6、Z)，则令72045k3600，得765k36045，解得765360kcos x 成立的 x 的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使 sin xcos x 的 x 值，sin4cos4 22，sin54 cos54 22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x4，54.答案：4，5410已知扇形 AOB 的周长为 8.(1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.解：设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为，(1)由题意可得2rl8，12lr3，解得r3，l2或r1，l6，lr23或 lr6.(2)
7、法一：2rl8，S 扇12lr14l2r14l2r2214 8224，当且仅当 2rl，即 lr2 时，扇形面积取得最大值 4.圆心角 2，弦长 AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S 扇12lr12r(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当 r2，即 lr2 时，扇形面积取得最大值 4.弦长 AB2sin 124sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若 是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0Btan sin 0Ccos tan 0Dtan sin 0解析：选 B 是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A，C，D.2已知角 2k5
8、(kZ)，若角 与角 的终边相同，则 y sin|sin|cos|cos|tan|tan|的值为()A1B1C3D3解析：选 B 由 2k5(kZ)及终边相同的概念知，角 的终边在第四象限，又角 与角 的终边相同，所以角 是第四象限角，所以 sin 0，cos 0，tan 0.所以 y1111.3已知 sin 0，tan 0.(1)求 角的集合；(2)求2终边所在的象限；(3)试判断 tan2sin 2cos2的符号解：(1)由 sin 0，知 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；由 tan 0,知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为2k2k32，kZ.(2)由 2k2k32，kZ，得
9、 k22k34，kZ，故2终边在第二、四象限(3)当2在第二象限时，tan 20，sin 20,cos 20，所以 tan2 sin2 cos2取正号；当2在第四象限时，tan20，sin20,cos20，所以 tan2sin2cos2也取正号因此，tan2sin 2cos 2取正号第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2cos21；(2)商数关系tan sin cos.2诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan t
10、an_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限 小题体验1已知 sin52 15，那么 cos()A25 B15C.15 D.25解析：选 C sin52 sin2 cos，cos 15.2若 sin cos 12，则 tan cos sin 的值是()A2B2C2D.12解析：选 B tan cos sin sin cos cos sin 1cos sin 2.3(教材习题改编)(1)sin314_，(2)tan263_.答案：(1)22 (2)31利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和
11、符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化小题纠偏1(2015福建高考)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125B125C.512D 512解析：选 D 因为 为第四象限的角，故 cos 1sin21 51321213，所以 tan sin cos 5131213 512.2若 sin(3)13，则 sin _.答案：13考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点自主练透题组练透1sin 210cos 120的值为()A.14 B 34C32D.34解析：选 A sin 210cos 1
12、20sin 30(cos 60)121214.2已知 Asinksin coskcos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2D1，1,0,2，2解析：选 C 当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.3已知 tan6 33，则 tan56 _.解析：tan56 tan6tan6tan6 33.答案：334(易错题)设 f()2sincoscos1sin2cos32 sin22 sin 12，则 f236_.解析：f()2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos
13、2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f2361tan2361tan46 1tan6 3.答案：3谨记通法1利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第 4 题考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点纵引横联 典型母题已知 是三角形的内角，且 sin cos 15.求 tan 的值解 法一：联立方程sin cos 15，sin2cos21，由得 cos 15si
14、n，将其代入，整理得 25sin25sin 120.是三角形的内角，sin 45，cos 35，tan 43.法二：sin cos 15，(sin cos)2 152，即 12sin cos 125，2sin cos 2425，(sin cos)212sin cos 124254925.sin cos 12250 且 0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos 75.由sin cos 15，sin cos 75，得sin 45，cos 35，tan 43.类题通法同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式 tan sin cos 化成正弦、余弦，或
15、者利用公式sin cos tan 化成正切表达式中含有 sin，cos 与 tan“1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan4(sin cos)22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有 sin cos 或 sin cos 越变越明变式一 保持母题条件不变，求：(1)sin 4cos 5sin 2cos；(2)sin22sin cos 的值解：由母题可知：tan 43.(1)sin 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2434543 287.(2)sin22sin cos si
16、n22sin cos sin2cos2tan22tan 1tan2169 831169 825.变式二 若母题条件变为“sin 3cos 3cos sin 5”，求 tan 的值解：法一：由sin 3cos 3cos sin 5,得tan 33tan 5，即 tan 2.法二：由sin 3cos 3cos sin 5，得 sin 3cos 15cos 5sin，6sin 12cos，即tan 2.变式三 若母题中的条件和结论互换：已知 是三角形的内角，且 tan 13，求 sin cos 的值解：由 tan 13，得 sin 13cos，将其代入 sin2cos21，得109 cos21，co
17、s2 910，易知 cos 0，cos 3 1010，sin 1010，故 sin cos 105.1三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值2三角形中常用的角的变形有：ABC,2A2B22C，A2B2C22等，于是可得 sin(AB)sin C，cosAB2sinC2等 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若 2，2，sin 35，则 cos()()A45 B.45C.35D35解析：选 B 因为 2，2，sin 35，所以 cos 45，即 cos()45.2已知 sin()3cos(2)，|2，则 等于()A6B3C.6 D.3解析：选 D sin()3cos(2)，s
18、in 3cos，tan 3.|2，3.3已知 sin4 13，则 cos4()A.2 23B2 23C.13D13破译玄机 解析：选 D cos4 sin24sin4 sin4 13.4已知 2，sin 45，则 tan _.解析：2，cos 1sin235，tan sin cos 43.答案：435如果 sin(A)12，那么 cos32 A 的值是_解析：sin(A)12，sin A12.cos32 A sin A12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1已知 sin()0，则下列不等关系中必定成立的是()Asin 0 Bsin 0，cos 0，cos 0Dsin 0，cos 0解析
19、：选 B sin()0，sin 0.cos()0，cos 0，cos 0.2若 sin()2sin2，则 sin cos 的值等于()A25B15C.25或25 D.25解析：选 A 由 sin()2sin2，可得 sin 2cos，则 tan 2，sin cos tan 1tan225.3(2016江西五校联考)cos 3502sin 160sin190()A 3B 32C.32D.3解析：选 D 原式cos360102sin18020sin18010cos 102sin3010sin 10cos 10212cos 10 32 sin 10sin 10 3.4已知 f()sincos2cos
20、tan ，则 f313的值为()A.12B13C12 D.13解析：选 C f()sin cos cos tan cos，f313cos313cos103cos312.5已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin 的值为()A 32B.32C34D.34解析：选 B 54 32，cos 0，sin 0 且|cos|0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.6化简：sin2 cos2cossincos2sin_.解析：原式cos sin cos sin sin sin sin sin 0.答案：07sin43 cos56 tan43 的值
21、是_解析：原式sin3 cos6 tan3sin 3 cos6 tan3 32 32(3)3 34.答案：3 348已知 cos6 a(|a|1)，则 cos56 sin23 的值是_解析：由题意知，cos56 cos6cos6 a.sin23 sin26cos6 a，cos56 sin23 0.答案：09求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(c
22、os 30)cos 60sin 30tan 45 32 32 121212.10已知 sin(3)2sin32 ，求下列各式的值：(1)sin 4cos 5sin 2cos；(2)sin2sin 2.解：由已知得 sin 2cos.(1)原式 2cos 4cos 52cos 2cos 16.(2)原式sin22sin cos sin2cos2 sin2sin2sin214sin285.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1sin21sin22sin290_.解析：sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21co
23、s21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin29044121912.答案：9122已知 f(x)cos2nxsin2nxcos22n1x(nZ)(1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f 2 014 f 5031 007 的值解：(1)当 n 为偶数，即 n2k(kZ)时，f(x)cos22kxsin22kxcos222k1xcos2xsin2xcos2xcos2xsin x2cos x2sin2x；当 n 为奇数，即 n2k1(kZ)时，f(x)cos22k1xsin22k1xcos222k11xcos22kxsin22kxcos222k1xcos2xsin
24、2xcos2xcos x2sin2xcos x2sin2x，综上得 f(x)sin2x.(2)由(1)得 f2 014 f5031 007sin22 014sin21 0062 014sin22 014sin222 014sin22 014cos22 0141.第三节三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ).函数ysin
25、 xycos xytan x图象定义域RRxxR，且 xk2，kZ值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k2，2k2 为增；2k2，2k32 为减2k，2k为减；2k，2k为增k2，k2 为增对称中心(k，0)k2，0k2，0对称轴xk2xk 小题体验1下列函数中，最小正周期为 的奇函数是()Aycos 2x Bysin 2xCytan 2xDysin2x2答案：B2(教材习题改编)函数 y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在2，2 上是增函数，在，2 和2，上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在2，和，2 上是增函数，在
26、2，2 上是减函数答案：B3(教材习题改编)函数 ytanx6 2 的定义域为_答案：xxk3，kZ1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 的符号，尽量化成 0 时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数 f(x)sin2x4 在区间0，2 上的最小值为()A1B 22C.22D0解析：选 B 由已知 x0，2，得 2x44，34，所以 sin2x4 22，1，故函数 f(x)sin2x4 在区间0，4 上的最小值为 22.2函数 ycos42x 的单调减区间为_解析：
27、由 ycos42x cos2x4 得2k2x42k(kZ)，解得 k8xk58(kZ)所以函数的单调减区间为k8，k58(kZ)答案：k8，k58(kZ)考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点自主练透题组练透1函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3 B0C1D1 3解析：选 A 0 x9，36x376，sin6x3 32，1.y 3，2，ymaxymin2 3.2(易错题)函数 y1tan x1的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有tan x10，x2kx，kZ，即x4k，kZ，x2k，kZ.故函数的定义域为xx4 k且x2k，kZ.答案：xx4k且x2
28、k，kZ3函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_解析：由sin 2x0，9x20，得kxk2，kZ，3x3.3x2或 0 x0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则_.解析：f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x 2时，ysin x 是增函数；当2x32，即 2x32时，ysin x 是减函数由 f(x)sin x(0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点多角探明命题分析正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的
29、对称性与奇偶性结合，体会二者的统一常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用题点全练角度一：三角函数的周期1函数 y12sin2x34 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析：选 A y12sin2x34 cos 2x34 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数2(2015长沙一模)若函数 f(x)2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数k 的值为_解析：由题意知，1k2，即 k2k.又 kN，所以 k2 或 k3.答案：2 或 3角度二
30、：求三角函数的对称轴或对称中心3(2015太原模拟)已知函数 f(x)sinx4(0)的最小正周期为，则函数 f(x)的图象()A关于直线 x4对称 B关于直线 x8对称C关于点4，0 对称D关于点8，0 对称解析：选 B f(x)sinx4 的最小正周期为，2，2，f(x)sin2x4.当 x4时，2x434，A，C 错误；当 x8时，2x42，B 正确，D 错误角度三：三角函数对称性的应用4(2015西安八校联考)若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6，0，则 的最小值为()A1B2C4D8解析：选 B 6 6k2(kZ)6k2(kZ)min2.5.设偶函数 f(x)Asin(
31、x)(A0，0,00)的最小正周期为，则 f 8()A1 B.12C1D12解析：选 A 由题设知2，所以 2，f(x)sin2x4，所以 f 8 sin284sin 21.3(2016石家庄一模)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k 12，k512(kZ)D.k6，k23(kZ)解析：选 B 由 k22x3k2(kZ)得，k2 12xk2 512(kZ)，所以函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间为k2 12，k2 512(kZ)4函数 f(x)sin(2x)的单调增区间是_解析：由 f(x)sin
32、(2x)sin 2x，2k22x2k32 得 k4xk34(kZ)答案：k4，k34(kZ)5函数 y32cosx4 的最大值为_，此时 x_.解析：函数 y32cosx4 的最大值为 325，此时 x42k，即 x34 2k(kZ)答案：5 34 2k(kZ)二保高考，全练题型做到高考达标1若函数 f(x)cos 2x，则 f(x)的一个递增区间为()A.4，0 B.0，2C.2，34D.34，解析：选 B 由 f(x)cos 2x 知递增区间为k，k2，kZ，故只有 B 项满足2(2015河北五校联考)下列函数最小正周期为 且图象关于直线 x3对称的函数是()Ay2sin2x3By2sin
33、2x6Cy2sinx23Dy2sin2x3解析：选 B 由函数的最小正周期为，可排除 C.由函数图象关于直线 x3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于 A，因为 sin233 sin 0，所以选项 A不正确对于 D，sin233 sin3 32，所以选项 D 不正确对于 B，sin236 sin 21，所以选项 B 正确3已知函数 f(x)2sin(2x)(|),若 f 8 2，则 f(x)的一个单调递增区间可以是()A.8，38B.58，98C.38，8D.8，58解析：选 D f 8 2，2sin4 2，sin4 1.又|0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于
34、点(x0,0)成中心对称，x00，2，则 x0()A.512B.4C.3D.6解析：选 A 由题意得T22，T，2.又 2x06k(kZ)，x0k2 12(kZ)，而 x00，2，所以 x0512.5若函数 f(x)sin(x)0，且|2 在区间6，23 上是单调减函数，且函数值从 1 减少到1，则 f 4()A.12B.22C.32D1解析：选 C 由题意得函数 f(x)的周期 T223 6，所以 2，此时 f(x)sin(2x)，将点6，1 代入上式得 sin3 1|2，所以 6，所以 f(x)sin2x6，于是 f 4 sin26 cos6 32.6已知函数 f(x)2sin(x)，对于
35、任意 x 都有 f 6xf 6x，则 f 6 的值为_解析：f 6x f 6x，x6是函数 f(x)2sin(x)的一条对称轴f 6 2.答案：2 或27函数 ytan2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是_解析：由 2x4k(kZ)得，xk2 8(kZ)函数 ytan2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是k2 8，0，kZ.答案：k2 8，0，kZ8已知 x(0，关于 x 的方程 2 sinx3 a 有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为_解析：令 y12sinx3，x(0，y2a，作出 y1 的图象如图所示若2sinx3 a 在(0，上有两个不同的实数解，则 y1 与 y2 应有两个不同
36、的交点，所以 3a2.答案：(3，2)9已知 f(x)2sin2x4.(1)求函数 f(x)图象的对称轴方程；(2)求 f(x)的单调增区间；(3)当 x4，34 时，求函数 f(x)的最大值和最小值解：(1)f(x)2sin2x4，令 2x4k2，kZ，则 xk2 8，kZ.函数 f(x)图象的对称轴方程是 xk2 8，kZ.(2)令 2k22x42k2，kZ，则 k38 xk8，kZ.故 f(x)的单调增区间为k38，k8，kZ.(3)当 x4，34 时，34 2x474，1sin2x4 22，2f(x)1，当 x4，34 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为 2.10已知函数 f(
37、x)sin(x)023 的最小正周期为.(1)求当 f(x)为偶函数时 的值；(2)若 f(x)的图象过点6，32，求 f(x)的单调递增区间解：f(x)的最小正周期为，则 T2，2.f(x)sin(2x)(1)当 f(x)为偶函数时，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，将上式展开整理得 sin 2xcos 0，由已知上式对xR 都成立，cos 0，023，2.(2)f(x)的图象过点6，32时，sin26 32，即 sin3 32.又023，330 时，2aab8，b5，a3 23，b5.当 a0，0)，振幅周期频率相位初相AT2f1T 2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期
38、内的简图用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x 2322x02322yAsin(x)0A0A03.由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法小题体验1若函数 ysin(x)(0)的部分图象如图，则()A5 B4C3D2答案：B2(教材习题改编)函数 y23sin12x4 的振幅为_，周期为_，初相为_答案：23 4 43用五点法作函数 ysinx6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案：6，0 23，1 76，0 53，1 136，01函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得
39、到哪个函数的图象；2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是|.小题纠偏1把 ysin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 ysin x 的图象，则 的值为()A1 B4C.14D2答案：C2要得到函数 ysin 2x 的图象，只需把函数 ysin2x3 的图象向右平移_个单位长度答案：6考点一 求函数yAsinx的解析式基础送分型考点自主练透题组练透1(2016洛阳调研)已知函数 f(x)Asin(x)A0，0，|0，0)的最大值为 4，最小值为 0，最
40、小正周期为2，直线 x3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin4x6 By2sin2x3 2Cy2sin4x3 2Dy2sin4x6 2解析：选 D 由函数 yAsin(x)b 的最大值为 4，最小值为 0，可知 b2，A2.由函数的最小正周期为2，可知2 2，得 4.由直线 x3是其图象的一条对称轴，可知43k2，kZ，从而 k56，kZ，故满足题意的是 y2sin4x6 2.谨记通法确定 yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，bMm2；(2)求：确定函数的周期 T，则可得 2T；(3)求：
41、常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，b 已知)或代入图象与直线 yb 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 x；“第四点”(即图象的“谷点”)时 x32；“第五点”时 x2.如“题组练透”第 2 题考点二 函数yAsinx的图象题点多变型考点纵引横联典型母题 (2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0，0)的图象的两
42、种作法(1)五点法：设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x加减多少值 越变越明变式 1 在母题条件下，试作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象解：由母题数据作出的图象如图所示：变式 2 在母题条件下，若将 yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为512，
43、0，求 的最小值解：因为 f(x)5sin2x6，则 g(x)5sin2x26.因为函数 ysin x 图象的对称中心为(k，0)，kZ，令 2x26k，kZ，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，所以令k2 12512，kZ，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.变式 3 在母题条件下，说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到的解：把 ysin x 的图象上所有的点向右平移6个单位长度，得到 ysinx6 的图象，再把 ysinx6 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到
44、ysin2x6 的图象，最后把 ysin2x6 上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横坐标不变)，即可得到 y5sin2x6 的图象由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”要注意两者不同，后者可利用 xx 来确定平移的单位长度 考点三 三角函数模型及其应用重点保分型考点师生共研典例引领(2014湖北高考)某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos 12tsin 12t，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验
45、室需要降温？解：(1)因为 f(t)10232 cos 12t12sin 12t 102sin12t3，又 0t24，所以3 12t311 时实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此76 12t3116，即 10t0)的图象的相邻两支截直线 y2 所得线段长为2，则 f 6 的值是()A 3B.33C1 D.3解析：选 D 由题意可知该函数的周期为2，2，2，f(x)tan 2x.f 6 tan 3 3.4(2015山东高考)要得到函数 ysin 4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()
46、A向左平移 12个单位B向右平移 12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位解析：选 B 由 ysin4x3 sin 4x 12 得，只需将 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位即可，故选 B.5(2015邢台一模)先把函数 f(x)sinx6 的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移3个单位，得到 yg(x)的图象当 x4，34 时，函数 g(x)的值域为()A.32，1B.12，1C.32，32D1,0)解析：选 A 依题意得 g(x)sin2x3 6sin2x56，当 x4，34 时，2x56 3，23，sin2x56 32，1，此时 g(x)
47、的值域是 32，1.二保高考，全练题型做到高考达标1(2016济南模拟)将函数 ycos 2x1 的图象向右平移4个单位，再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对应的解析式为()Aysin 2xBysin 2x2Cycos 2xDycos2x4解析：选 A 将函数 ycos 2x1 的图象向右平移4个单位得到 ycos 2x4 1sin 2x1，再向下平移 1 个单位得到 ysin 2x.2已知 f(x)sin 2x 3cos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作 f(x)在区间3，23 上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是()A0，2，32，2B3，0，2，23，C3，6，12，3，712
48、，23D3，0，2，32，53解析：选 C 由题意知 f(x)2sin2x3，当 x3，23 时，2x33，53，当 2x33，0，2，32，53 时，x 的值分别为3，6，12，3，712，23.3(2016浙江瑞安四校联考)已知函数 f(x)cosx4(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 yf(x)的图象()A向左平移8个单位长度B向右平移8个单位长度C向左平移4个单位长度D向右平移4个单位长度解析：选 B T2，2.即 f(x)cos2x4 cos 2x8，因为 g(x)cos 2x，所以为了得到g(x)cos 2x的图象只需将f(x)cos2x4
49、 cos 2x8 的图象向右平移8个单位长度4(2015贵阳监测)函数 f(x)sin(x)(xR)0，|0，|2 的最小正周期是，若将 f(x)的图象向右平移3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f(x)的图象()A关于直线 x 12对称B关于直线 x512对称C关于点12，0 对称D关于点512，0 对称解析：选 B f(x)的最小正周期为，2，2，f(x)的图象向右平移3个单位后得到 g(x)sin2x3 sin2x23 的图象，又 g(x)的图象关于原点对称，23 k，kZ，23 k，kZ，又|0)在0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，那么 _.解析：因为 f(x)2
50、sin x(0)在0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，所以 2sin 4 3，且 042，因此 43.答案：439已知函数 f(x)2sin2x4 1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数 yf(x)在2，2 上的图象解：(1)振幅为 2，最小正周期 T，初相为4.(2)图象如图所示10(2015天津十二区联考)函数 f(x)cos(x)02 的部分图象如图所示(1)求 及图中 x0 的值；(2)设 g(x)f(x)f x13，求函数 g(x)在区间12，13 上的最大值和最小值解：(1)由题图得 f(0)32，所以 cos 32，因为 02，故 6.由于 f(x)
51、的最小正周期等于 2，所以由题图可知 1x02，故76 x060，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是 12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且 f(8)f(2)400，故该函数的振幅为 200；由可知，f(x)在2,8上单调递增，且 f(2)100，所以 f(8)500.根据上述分析可得，2 12，故 6，且AB100，AB500，解得A200，B300.根据分析可知，当 x2 时 f(x)最小，当 x8 时 f(x)最大，故 sin26 1，且 sin86 1.又因为 0|0)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则 f(x)的最小正周期为
52、()A.2B.23CD2 解析：选 C 由题意得函数 f(x)2sinx6(0)，又曲线 yf(x)与直线 y1 相邻交点距离的最小值是3，由正弦函数的图象知，x66和 x656 对应的 x 的值相差3，即233，解得 2，所以 f(x)的最小正周期是 T2.6(2015安徽高考)已知函数 f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当 x23 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)解析：选 A 由题意，得 T2，2，f(x)Asin(2x)，而当 x23 时，2
53、23 2k32(kZ)，2k6(kZ)，又 0，可取 f(x)Asin2x6.当 2x62k2(kZ)，即 x6k(kZ)时，f(x)取得最大值下面只需判断 2，2,0 与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，当 k0 时，x6，06 0.52，26 1.48，当 k1 时，x56，2560.6，f(2)f(2)f(0)7(2015浙江高考)函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，最小值是_解析：f(x)sin2xsin xcos x11cos 2x212sin 2x132 22 sin2x4.故最小正周期 T22.当 sin2x4 1 时，f(x)取
54、得最小值为32 22 3 22.答案：3 228(2015天津高考)已知函数 f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数 yf(x)的图象关于直线 x 对称，则 的值为_解析：f(x)sin xcos x 2sinx4，因为 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线 x 对称，所以 f()必为一个周期上的最大值，所以有 42k2，kZ，所以 242k，kZ.又()22，即 22，所以 24，所以 2.答案：29(2014北京高考)设函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f 2 f2
55、3 f 6，则 f(x)的最小正周期为_解析：f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f 2 f23，x2和 x23 均不是 f(x)的极值点，其极值应该在 x2232712处取得，f 2 f 6，x6也不是函数 f(x)的极值点，又 f(x)在区间6，2 上具有单调性，x67122 12为 f(x)的另一个相邻的极值点，故函数 f(x)的最小正周期 T2712 12.答案：10(2014北京高考)函数 f(x)3sin2x6的部分图象如图所示(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值；(2)求 f(x)在区间2，12上的最大值和最小值解：(1)f(x)的最小正周期为2 22，x
56、076，y03.(2)因为 x2，12，所以 2x656，0.于是，当 2x60，即 x 12时，f(x)取得最大值 0；当 2x62，即 x3时，f(x)取得最小值3.11(2015重庆高考)已知函数 f(x)12sin 2x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象当 x2，时，求 g(x)的值域解：(1)f(x)12sin 2x 3cos2x12sin 2x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最小值
57、为2 32.(2)由条件可知 g(x)sinx3 32.当 x2，时，有 x36，23，从而 ysinx3 的值域为12，1，那么 g(x)sinx3 32 的值域为1 32，2 32.故 g(x)在区间2，上的值域是1 32，2 32.12(2014福建高考)已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin 22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解：法一：(1)因为 02，sin 22，所以 cos 22.所以 f()22 22 221212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2
58、x21212sin 2x12cos 2x 22 sin2x4，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38 xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.法二：f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x 22 sin2x4.(1)因为 02，sin 22，所以 4，从而 f()22 sin24 22 sin34 12.(2)T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38 xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦和
59、正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2 2tan 1tan2.3公式的常用变形(1)tan tan tan()(1tan tan)；(2)cos21cos 22，sin21cos 22；(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4角的变换技巧2()()；()；2 2；2 2 2.小题体验1sin 68sin 67s
60、in 23cos 68的值为()A 22 B.22C.32D1答案：B2(教材习题改编)已知 sin 35，是第四象限角，则 cos4 _.答案：7 2103(教材习题改编)已知 sin()35，则 cos 2_.答案：7251运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值小题纠偏1已知 cos 35，2，则 sin3 的值是_答案：43 3102若锐角，满足 tan tan 3 3tan tan，则 _.解析：由已知可得 ta
61、n tan 1tan tan 3，即 tan()3.又(0，)，所以 3.答案：3考点一 三角函数公式的基本应用基础送分型考点自主练透题组练透1已知 cos 513，32，则 sin6 的值为_解析：由 cos 513，32 得 sin 1cos21213，故 sin6 sin cos6cos sin61213 32 513 12512 326.答案：512 3262(2016江西新余三校联考)已知 cos32x 78，则 sinx3 的值为()A.14 B.78C14D78解析：选C 因为 cos32xcos2x23 78，所以有sin2x3 12178 116，从而求得 sinx3 的值为
62、14，故选 C.3(易错题)设 sin 2sin，2，则 tan 2 的值是_解析：sin 22sin cos sin，cos 12，又 2，sin 32，tan 3，tan 2 2tan 1tan22 31 32 3.答案：34(2014江苏高考)已知 2，sin 55.(1)求 sin4 的值；(2)求 cos56 2 的值解：(1)因为 2，sin 55，所以 cos 1sin22 55.故 sin4 sin 4cos cos 4sin 22 2 55 22 55 1010.(2)由(1)知 sin 22sin cos 2 55 2 5545，cos 212sin21255235，所以
63、cos56 2 cos56 cos 2sin56 sin 2 32 35124543 310.谨记通法三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值如“题组练透”第 3题易忽视 范围考点二 三角函数公式的逆用与变形应用重点保分型考点师生共研典例引领1(2016贵阳监测)已知 sin3 sin 4 35，则 sin76 的值是()A2 35 B.2 35C.45D45解析：选 D sin3 sin 4 35，sin3cos cos 3sin sin 4 35，32sin 32 cos 4 35，即 32
64、 sin 12cos 45，故 sin76 sin cos76 cos sin7632 sin 12cos 45.2计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为()A12 B.12C.32D 32解析：选 B sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos 310cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 40 12.由题悟法三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)tan tan，tan tan(或 tan tan)，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的
65、正用、逆用和变形使用即时应用1(2015贵阳监测)已知 sin6 13，则 cos23的值是()A.79B.13C13D79解析：选 D sin6 13，cos32 cos2612sin26 79，cos23cos23 2 cos3 2cos32 79.2在ABC 中，若 tan Atan B tan Atan B1,则 cos C 的值为()A 22 B.22C.12D12解析：选 B 由 tan Atan Btan Atan B1，可得 tan Atan B1tan Atan B1，即 tan(AB)1，又 AB(0，)，所以 AB34，则 C4，cos C 22.考点三 角的变换题点多变
66、型考点纵引横联典型母题已知，均为锐角，且 sin 35，tan()13.(1)求 sin()的值；(2)求 cos 的值解(1)，0，2，从而22.又tan()130，20.sin()1010.(2)由(1)可得，cos()3 1010.为锐角，且 sin 35，cos 45.cos cos()cos cos()sin sin()453 1010 35 10109 1050.类题通法利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角
67、”变成“已知角”越变越明变式 1 在母题条件下，求 sin(2)的值解：sin()1010，cos()3 1010，cos 9 1050，sin 13 1050.sin(2)sin()sin()cos cos()sin 2425.变式 2 若母题中“sin 35”变为“tan 35，”其他条件不变，求 tan(2)的值解：tan 35，tan()13，tan(2)tan tan tan1tan tan35131351329.变式 3 将母题变为：已知 02，且 cos2 19，sin2 23，求 cos 2的值解：02，42，422，sin2 1cos22 4 59，cos2 1sin22 5
68、3，cos2 cos2 2cos2 cos2 sin2 sin219 53 4 59 237 527.解答本题利用了2 2 2，其关键是把“所求角”变成“已知角”一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32 B.32C12D.12解析：选 D sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 3012，故选 D.2(2015南宁二模)已知 sin 213，则 cos24()A13 B.13破译玄机 C23 D.23解析：选 D 依题意得 cos24 12
69、(cos sin)212(1sin 2)23.3已知 sin2 12，20，则 cos3 的值是()A.12 B.23C12D1解析：选 C 由已知得 cos 12，sin 32，cos3 12cos 32 sin 12.4(2015邢台摸底)已知 tan(3)12，tan()13，则 tan _.解析：依题意得 tan 12，tan tan()tantan 1tantan 17.答案：175(2016贵阳摸底)设 sin 2cos，则 tan 2 的值为_解析：由题可知，tan sin cos 2，tan 2 2tan 1tan243.答案：43二保高考，全练题型做到高考达标1(2015唐山
70、一模)已知 2sin 21cos 2，则 tan 2()A43B.43C43或 0 D.43或 0解析：选 D 2sin 21cos 2，sin22cos221，sin 20，cos 21 或sin 245，cos 235，tan 20 或 tan 243.2已知 cosx6 33，则 cos xcosx3()A2 33B2 33C1D1解析：选 C cosx6 33，cos x cosx3 cos x cos xcos 3 sin xsin 3 32 cos x 32 sin x 332 cos x12sin x 3cosx6 3 331.3(2016东北三省三校联考)已知 sin cos
71、13，则 sin24()A.118B.1718C.89D.29解析：选 B 由 sin cos 13两边平方得 1sin 219，解得 sin 289，所以sin24 1cos2221sin 221892 1718.4已知 sin4 7 210，cos 2 725，则 sin()A.45B45C.35D35解析：选 C 由 sin4 7 210 得 sin cos 75，由 cos 2 725得 cos2sin2 725，所以(cos sin)(cos sin)725，由可得 cos sin 15，由可得 sin 35.5(2016江西九校联考)已知锐角，满足 sin cos 16，tan t
72、an 3tan tan 3，则，的大小关系是()A4B4C.4D.40，4.又 tan tan 3tan tan 3，tan()tan tan 1tan tan 3，3，又 4，4.6(2015河南统考)已知 tan，tan 是 lg(6x25x2)0 的两个实根，则 tan()_.解析：由 lg(6x25x2)0，得 6x25x10，由题意知 tan tan 56，tan tan 16，tan()tan tan 1tan tan 561161.答案：17计算 sin2501sin 10_.解析：sin2501sin 10 1cos 10021sin 101cos901021sin 10 1s
73、in 1021sin 1012.答案：128设 为锐角，若 cos6 45，则 sin2 12 的值为_解析：因为 为锐角，cos6 45，所以 sin6 35，sin 26 2425，cos 26 725，所以 sin2 12 sin26 42425 22 725 22 17 250.答案：17 2509已知 0，2，tan 12，求 tan 2 和 sin23 的值解：tan 12，tan 2 2tan 1tan221211443，且sin cos 12，即 cos 2sin，又 sin2cos21，5sin21，而 0，2，sin 55，cos 2 55.sin 22sin cos 2
74、55 2 55 45，cos 2cos2sin2451535，sin23 sin 2cos3cos 2sin3451235 32 43 310.10已知 2，且 sin2cos2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值解：(1)因为 sin2cos2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 1sin2 32.(2)因为2，2，所以22.又由 sin()35，得 cos()45.所以 cos cos()cos cos()sin sin()32 451235 4 3310.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1化简 sin26 sin26 sin2
75、 的结果是_解析：法一：原式1cos2321cos232sin2112cos23 cos23sin21cos 2cos 3 sin21cos 221cos 2212.法二：令 0，则原式141412.答案：122(2016合肥质检)已知 cos6 cos3 14，3，2.(1)求 sin 2 的值；(2)求 tan 1tan 的值解：(1)cos6 cos3 cos6 sin6 12sin23 14，即 sin23 12.3，2，23，43，cos23 32，sin 2sin23 3sin23 cos3cos23 sin312.(2)3，2，223，又由(1)知 sin 212，cos 2 3
76、2.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 2 2 32122 3.第六节简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简基础送分型考点自主练透题组练透1化简：sin 22cos2sin4_.解析：原式2sin cos 2cos222 sin cos 2 2cos.答案：2 2cos 2(易错题)化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2_.解析：法一：原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2
77、cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.法二：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 212.答案：123化简：2cos4x2cos2x122tan4x sin24x.解：原式2sin2xcos2x122sin4x cos24xcos4x121sin22x2sin4x cos4x12cos22xsin22x12cos 2x.
78、谨记通法1三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次如“题组练透”第 2 题考点二 三角函数式的求值常考常新型考点多角探明命题分析研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解常见的命题角度有：(1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角题点全练角度一：给值求值1(2015广东高考)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2sin cos cos
79、21的值解：(1)tan4 tan tan 41tan tan 4 211213.(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 2 224221.角度二：给角求值2(2016衡水中学二调)3cos 101sin 170()A4 B2C2D4解析：选 D 3cos 101sin 1703cos 101sin 103sin 10cos 10sin 10cos 102sin103012sin 202sin 2012sin 204.3化简：sin 50(1 3tan 10)_.解析：sin 50(1 3tan 10)s
80、in 501 3sin 10cos 10sin 50cos 10 3sin 10cos 10sin 50212cos 10 32 sin 10cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.答案：1角度三：给值求角4(2015菏泽二模)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2_.解析：因为 tan tan()tantan 1tantan 121711217131，所以04，又因为 tan 2 2tan 1tan22131 132341，所以 024，所以 tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 34171341
81、71.因为 0，所以24，所以 234.答案：34方法归纳三角函数求值的 3 类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角考点三 三角恒等变换的综合应用重点保分型考点师生共研典例引领(2015天津高考)已知函数 f(x)sin2xsin
82、2x6，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间3，4 上的最大值和最小值解：(1)由已知，有f(x)1cos 2x21cos2x321212cos 2x 32 sin 2x 12cos 2x 34 sin 2x14cos 2x12sin2x6.所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间3，6 上是减函数，在区间6，4 上是增函数，且 f3 14，f 6 12，f 4 34，所以 f(x)在区间3，4 上的最大值为 34，最小值为12.由题悟法三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 yAsin(x)的形式再研究
83、其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题即时应用(2016沈阳质检)已知函数 f(x)2sin xsinx6.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x0，2 时，求函数 f(x)的值域解：(1)f(x)2sin x32 sin x12cos x 31cos 2x212sin 2xsin2x3 32.所以函数 f(x)的最小正周期为 T.由22k2x322k，kZ，解得 12kx512k，kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间是 12k，512k，kZ.(2)当 x0，2 时，2x33，23，sin2x3 32，1，f(x)0，1 32.
84、故 f(x)的值域为0，1 32.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2015济南一模)若cos 2sin74 22，则 sin cos 的值为()A 22 B12C.12D.72解析：选 C 由已知得cos2sin222 sin cos cos sin cos sin 22 sin cos 22，整理得 sin cos 12.2已知 sin 23522，tan()12，则 tan()等于()A2B1C 211D.211解析：选 A 由题意，可得 cos 245，则 tan 234，tan()tan2()tan 2tan1tan 2tan2.3(2016贵州七校联考)已知角 的顶点与原点重合，始
85、边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 sin24 的值为()A7 210B.7 210C 210D.210解析：选 D 由三角函数的定义得 tan 2，cos 55，所以 tan 2 2tan 1tan243，cos 22cos2135，所以 sin 2cos 2tan 245，所以 sin24 22(sin 2cos 2)22 4535 210.4(2016东北三省四市教研联合体)已知 tan(3x)2，则2cos2x2sin x1sin xcos x_.解析：由诱导公式得 tan(3x)tan x2，故2cos2x2sin x1sin xcos xcos xsin xsin
86、xcos x1tan xtan x13.答案：35.tan4 cos 22cos24的值为_解析：原式sin4 cos 22sin24 cos4cos 22sin4 cos4cos 2sin22cos 2cos 21.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1若 tan 3，则 sin 21cos 2()A.3B 3C.33D 33解析：选 A sin 21cos 2 2sin cos 12cos21tan 3.2已知锐角 满足 cos 2cos4，则 sin 2 等于()A.12B12C.22D 22解析：选 A cos 2cos4，cos2sin2cos4cos sin4sin.为锐角，co
87、s sin 22，sin 212.3.2cos 10sin 20sin 70的值是()A.12B.32C.3D.2解析：选 C 原式2cos3020sin 20sin 702cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.4在斜三角形 ABC 中，sin A 2cos Bcos C，且 tan Btan C1 2，则角 A 的值为()A.4B.3C.2D.34解析：选 A 由题意知，sin A 2cos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，在等式 2cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin
88、 C 两边同除以 cos Bcos C 得 tan Btan C 2，又 tan(BC)tan Btan C1tan Btan C1tan A，即 tan A1，所以 A4.5(2016成都一诊)若 sin 2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A.74B.94C.54 或74D.54 或94解析：选 A 因为 4，所以 22，2，又 sin 2 55，所以 22，4，2，故 cos 22 55.又，32，所以 2，54，故 cos()3 1010.所以 cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()2 55 3 1010 55 1010 22，且 54，2
89、，故 74.6已知 cos()16，cos()13，则 tan tan 的值为_解析：因为 cos()16，所以 cos cos sin sin 16.因为 cos()13，所以 cos cos sin sin 13.得 cos cos 14.得 sin sin 112.所以 tan tan sin sin cos cos 13.答案：137(2015北京西城一模)若锐角，满足(1 3tan)(1 3tan)4，则 _.解析：因为(1 3tan)(1 3tan)4，所以 1 3(tan tan)3tan tan 4，即 3(tan tan)33tan tan 3(1tan tan)，即 tan
90、 tan 3(1tan tan)tan()tan tan 1tan tan 3.又，为锐角，3.答案：38.3tan 1234cos2122sin 12_.解析：原式3 sin 12cos 12322cos2121sin 122 312sin 12 32 cos 12cos 122cos 24sin 122 3sin482cos 24sin 12cos 122 3sin 48sin 24cos 242 3sin 4812sin 484 3.答案：4 39已知 tan 13，cos 55，2，0，2，求 tan()的值，并求出 的值解：由 cos 55，0，2，得 sin 2 55，tan 2.
91、tan()tan tan 1tan tan 1321231.2，0，2，232，54.10已知函数 f(x)Acosx46，xR，且 f 3 2.(1)求 A 的值；(2)设，0，2，f443 3017，f423 85，求 cos()的值解：(1)因为 f 3 Acos126 Acos4 22 A 2，所以 A2.(2)由 f443 2cos362cos2 2sin 3017，得 sin 1517，又 0，2，所以 cos 817.由 f 423 2cos662cos 85，得 cos 45，又 0，2，所以 sin 35，所以 cos()cos cos sin sin 81745151735
92、1385.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1cos9cos29 cos239()A18B 116C.116D.18解析：选 A cos9cos29 cos239cos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80sin 20cos 20cos 40cos 80sin 2012sin 40cos 40cos 80sin 2014sin 80cos 80sin 2018sin 160sin 20 18sin 20sin 20 18.2已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(3，3)(1)求 sin 2tan 的值；(2)若函数 f(x)cos(x)
93、cos sin(x)sin，求函数 g(x)3f22x 2f 2(x)在区间0，23 上的值域解：(1)角 的终边经过点 P(3，3)，sin 12，cos 32，tan 33.sin 2tan 2sin cos tan 32 33 36.(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，xR，g(x)3cos22x 2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin2x6 1，0 x23，62x676.12sin2x6 1，22sin2x6 11，故函数 g(x)3f22x 2f2(x)在区间0，23 上的值域是2,1第七节正弦定理和余弦定理1正弦定理asin Absin B
94、csin C2R，其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.3三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a 上的高)；(2)S12bcsin A12acsin B12absin C；(3)S12r(abc)(r 为三角形的内切圆半径)小题体验1(2015广东高考)设ABC
95、 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos A 32 且 bc，则 b()A3 B2 2C2D.3解析：选 C 由 a2b2c22bccos A，得 4b2126b，解得 b2 或 4.又 bc，b2.2在ABC 中，a3 2，b2 3，cos C13，则ABC 的面积为()A3 3B2 3C4 3 D.3答案：C3(教材习题改编)在ABC 中，已知 A60，B45，c20，则 a_.答案：10(3 2 6)1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解3利
96、用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制小题纠偏1在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定解析：选 B asin Absin B，sin Bbasin A2418sin 45，sin B2 23.又ab，B 有两个解，即此三角形有两解2设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sin B12，C6，则 b_.解析：在ABC 中，sin B12，0B，B6或 B56.又BC0，sin A1，即 A2.答案 B类题通法判定三角形形状的 2 种常用途径提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并
97、注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数值的影响越变越明变式 1 母题的条件变为“若 2sin Acos Bsin C”，那么ABC 一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选 B 法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB.法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得2aa2c2b22acca2b2ab.变式 2 母题的条件变为“若 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C”，确定ABC的形状解：法一：利用
98、边的关系来判断：由正弦定理得sin Csin Bcb，由 2cos Asin Bsin C，有 cos A sin C2sin B c2b.又由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，c2bb2c2a22bc，即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以 b2c2，bc，abc.ABC 为等边三角形法二：利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A 与 B 均为ABC 的内角，所以 AB，又由 a2b2c2ab
99、，由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab ab2ab12，又 0C0)，由余弦定理可得cos Ca2b2c22ab25k2121k2169k22511k2 231100，又C(0，)，C2，ABC 为钝角三角形本题以比例形式呈现，求解时，常根据比例的性质引入 k，从而转化三边长，再利用正、余弦定理求解 考点三 与三角形面积有关的问题重点保分型考点师生共研典例引领(2015全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC破译玄机 面积的 2 倍(1)求sin Bsin C；(2)若 AD1，DC 22，求 BD 和 AC 的长解：(1)SABD12ABADs
100、inBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知 AB2AC，所以 AC1.由题悟法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或
101、余弦定理进行边和角的转化即时应用(2015湖南四月调研)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 a3，b2c，求ABC 的面积解：(1)由(2bc)cos Aacos C，得 2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，即 2sin Bcos Asin(AC)，所以 2sin Bcos Asin B，因为 0B，所以 sin B0，所以 cos A12，因为 0A，所以 A3.(2)因为 a3，b2c，由(1)得 A3，所以 cos Ab2c2a22bc4c2c294c212，解得 c
102、 3，所以 b2 3.所以 SABC12bcsin A122 3 3 32 3 32.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在ABC 中，若sin Aacos Bb，则 B 的值为()A30 B45C60D90解析：选 B 由正弦定理知：sin Asin Acos Bsin B，sin Bcos B，B45.2(2016长春质检)已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc，bc4，则ABC 的面积为()A.12B1C.3D2解析：选 C a2b2c2bc，cos A12，A3，又 bc4，ABC 的面积为12bcsin A 3.3在ABC 中，若 a4，b3，c
103、os A13，则 B()A.4B.3C.6D.23解析：选 A 因为 cos A13，所以 sin A1192 23，由正弦定理，得4sin A 3sin B，所以 sin B 22，又因为 ba，所以 B2，B4.4(2015安徽高考)在ABC 中，AB 6，A75，B45，则 AC_.解析：C180754560，由正弦定理得 ABsin C ACsin B，即6sin 60 ACsin 45，解得 AC2.答案：25在ABC 中，已知 AB3，A120，且ABC 的面积为15 34，则 BC 边的长为_解析：由 SABC15 34得123ACsin 12015 34，所以 AC5，因此 B
104、C2AB2AC22ABACcos 1209252351249，解得 BC7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边的长分别为 a，b，c，若 asin Absin Bcsin C，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定解析：选 C 根据正弦定理可得 a2b2c2.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab1.角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在3(2015郑州质量预测)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且(bc)(sin Bsin C)(a 3c)sin A，则角 B 的大小为()A30B45C
105、60D120解析：选 A 由正弦定理asin Absin Bcsin C及(bc)(sin Bsin C)(a 3c)sin A 得(bc)(bc)(a 3c)a，即 b2c2a2 3ac，所以 a2c2b2 3ac，又因为 cos Ba2c2b22ac，所以 cos B 32，所以 B30.4(2016南昌一模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c1，B45，cos A35，则 b 等于()A.53B.107C.57D.5 214解析：选 C 因为 cos A35，所以 sin A1cos2A1 35245，所以 sin Csin180(AB)sin(AB)sin
106、 Acos Bcos Asin B45cos 4535sin 457 210.由正弦定理 bsin Bcsin C，得 b 17 210sin 4557.5已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A3，b2acos B，c1，则ABC 的面积等于()A.32B.34C.36D.38解析：选 B 由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin3 3，又 B(0，)，所以 B3，又 AB3，则ABC 是正三角形，所以 SABC12bcsin A1211 32 34.6(2015北京高考)在ABC 中，a4，b5，c6，则sin 2Asi
107、n C _.解析：由正弦定理得sin Asin Cac，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，a4，b5，c6，sin 2Asin C 2sin Acos Asin C2sin Asin Ccos A246526242256 1.答案：17(2016南昌二中模拟)在ABC 中，如果 cos(BA)2sin Asin B1，那么ABC 的形状是_解析：cos(BA)2sin Asin B1，cos Acos Bsin Asin B1，cos(AB)1，在ABC 中，AB0AB，所以此三角形是等腰三角形答案：等腰三角形8(2015丰台一模)已知ABC 中，AB 3，BC1，sin C 3co
108、s C，则ABC 的面积为_解析：由 sin C 3cos C 得 tan C 30，所以 C3.根据正弦定理可得 BCsin A ABsin C，即1sin A 3322，所以 sin A12.因为 ABBC，所以 AC，所以 A6，所以 B2，即三角形为直角三角形，故 SABC12 31 32.答案：329(2016兰州双基测试)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，c5，cos B35.(1)求 b 的值；(2)求 sin C 的值解：(1)因为 b2a2c22accos B4252253517，所以 b 17.(2)因为 cos B35，所以 sin B
109、45，由正弦定理 bsin Bcsin C，得 17455sin C，所以 sin C4 1717.10(2015浙江高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A4，b2a212c2.(1)求 tan C 的值；(2)若ABC 的面积为 3，求 b 的值解：(1)由 b2a212c2 及正弦定理得sin2B1212sin2C，所以cos 2Bsin2C.又由 A4，即 BC34，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，由解得 tan C2.(2)由 tan C2，C(0，)，得sin C2 55，cos C 55.因为 sin Bsin(AC)sin4C
110、，所以 sin B3 1010.由正弦定理得 c2 2b3，又因为 A4，12bcsin A3，所以 bc6 2，故 b3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016衡水中学模拟)已知锐角 A 是ABC 的一个内角，a，b，c 是三角形中各角的对应边，若 sin2Acos2A12，则下列各式正确的是()Abc2a Bbc2aCbc2aDbc2a解析：选 C sin2Acos2A12，cos 2A12.0A2，02A，2A23，A3，由余弦定理得，a2b2c2bc(bc)23bc(bc)234(bc)2bc24，4a2(bc)2，2abc.2(2015贵阳监测)如图所示，在四边形 ABCD 中，
111、D2B，且AD1，CD3，cosB 33.(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 3，求 AB 的长解：(1)因为D2B，cosB 33，所以 cosDcos 2B2cos2B113.因为D(0，)，所以 sinD 1cos2D2 23.因为 AD1，CD3，所以ACD 的面积S12ADCDsinD12132 23 2.(2)在ACD 中，AC2AD2DC22ADDCcosD12，所以 AC2 3.因为 BC2 3，ACsinBABsinACB，所以 2 3sinBABsin2BABsin 2BAB2sinBcosBAB2 33 sinB，所以 AB4.第八节正弦定理和余弦定理的应用1仰角和
112、俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)图(a)图(b)2方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为(如图(b)3方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度小题体验1(教材习题改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC()A10 3 n mile B.10 63n mileC5 2 n mileD5 6 n mile答案：D2.
113、如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A，B两点的距离为()A50 2 mB50 3 mC25 2 mD.25 22m解析：选 A 由正弦定理得ABACsinACBsin B50 221250 2(m)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角小题纠偏1在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是70，则BAC_.答案：1302若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的
114、南偏东 60，且 ACBC，则点 A 在点 B 的_答案：北偏西 15 考点一 测量高度问题重点保分型考点师生共研典例引领(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin 45 BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(
115、m)答案：100 6由题悟法求解高度问题应注意的 3 个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时应用 要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在
116、RtABC 中，由ACB45得BCx.在 RtADB 中，ADB30，则 BD 3x.在BDC 中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(3x)2x24022x40cos 120，解得 x40，所以电视塔高为 40 m.考点二 测量距离问题常考常新型考点多角探明命题分析研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达题点全练角度一：两点都不可到达1.如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两
117、点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测得 CDa，同时在C，D 两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC 和BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD 32km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求 A，B 两点间的距离解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC 32(km)在BCD 中，DBC45，由正弦定理，得 BCDCsinDBCsinBDC32sin 45sin 30 64.在ABC 中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 4534382
118、32 64 22 38.AB 64(km)A，B 两点间的距离为 64km.角度二：两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB a2b22abcos.若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算 AB 的长解：在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 7(m)即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.角度三：两点间可视但有一点不可到
119、达3.如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且B 点不可到达，要测出 AB 的距离，其方法在 A 所在的岸边选定一点 C，可以测出 AC 的距离 m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC60 m，BAC75，BCA45，则 A，B 两点间的距离为_m.解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，ABsin C ACsin B，ABACsin Csin B60sin 45sin 6020 6(m)即 A，B 两点间的距离为 20 6 m.答案：20 6方法归纳求距离问题的 2 个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形
120、，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理考点三 测量角度问题重点保分型考点师生共研典例引领在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小
121、艇，则 AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.由题悟法解决测量角度问题的 3 个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的
122、优点即时应用如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值解：在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20 7.由正弦定理，得ABsinACBBCsinBACsinACBABBCsinBAC 217.由BAC 120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 77.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cos ACB
123、 cos 30sinACBsin 30 2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80解析：选 D 由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为()A10 kmB10 3 kmC10 5 kmD10
124、 7 km解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10 7(km)3(2016唐山一模)在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则 cosDAC()A.1010B.3 1010C.55D.2 55解析：选 B 由已知条件可得图形，如图所示，设 CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(2a)2(5a)22 2a 5acosDAC，cosDAC3 1010.4江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线
125、成 30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN90030023010 3 32 30010 3(m)答案：10 35.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知BSsin 30AB
126、sin 45，BSABsin 30sin 453 2(km)答案：3 2二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2 海里 B10 3 海里C20 3 海里D20 2 海里解析：选 A 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)2如图，一条河的两岸平行
127、，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/hB6 2 km/hC2 34 km/h D10 km/h解析：选 B 设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v 21102 2122 1102145，解得 v6 2.3(2014四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时
128、气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)mB180(21)mC120(31)mD30(31)m解析：选 C tan 15tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，BC60tan 6060tan 15120(31)(m)，故选 C.4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选 A 设水柱高度是
129、 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.5(2016厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(BC)sin2Bsin2C，则角 A 的取值范围为()A.0，2B.4，2C.6，3D.3，2解析：选 D 由题意得 sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得 a20.则 cos Ab2c2a22bc0，0A，0A3.因此得角
130、 A 的取值范围是3，2.6.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得 ACsin BABsinACB，所以 AC ABsin BsinACB20sin 60sin 4510 6，所以海轮航行的速度为10 630 63(海里/分钟)答案：637.如图，为测得河岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C
131、 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得BDC45，则塔 AB 的高是_米解析：在BCD 中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得 BCsin 45 CDsin 30，所以 BCCDsin 45sin 30 10 2.在 RtABC 中，tan 60ABBC，ABBCtan 6010 6(米)答案：10 68(2016洛阳统考)如图，在ABC 中，sinABC2 33，AB2，点 D 在线段 AC 上，且 AD2DC，BD4 33，则 cosC_.解析：由条件得 cosABC13，sinABC2 23.在ABC 中，设 BCa，AC3b，则由余弦定理得
132、9b2a2443a.因为ADB 与CDB 互补，所以 cosADBcosCDB，所以4b2163 416 33bb2163 a28 33 b，所以 3b2a26，联合解得 a3，b1，所以 AC3，BC3.在ABC 中，cosCBC2AC2AB22BCAC323222233 79.答案：799某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需
133、的时间.sin 21.83 314解：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或 t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时 AB14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得BCsinCABABsin 120，所以 sinCAB6 32143 314，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521
134、.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮10.如图所示，摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为6.设 S 的眼睛到地面的距离为 3米(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解：(1)作 SC 垂直 OB 于 C，则CSB6，ASB3.又 SA 3，故在 RtSAB 中，可求得 BA3，即摄影爱
135、好者到立柱的水平距离为 3 米由 SC3，CSO6，在 RtSCO 中，可求得 OC 3.因为 BCSA 3，故 OB2 3，即立柱高为 2 3米(2)连接 SM，SN，设 SNa，SMb.由(1)知 SO2 3，在SOM 和SON 中，cosSOMcosSON，即2 321b222 31 2 321a222 31，可得 a2b226.在MSN 中，cosMSNa2b2222ab11ab22a2b2111312，当且仅当 ab 时等号成立，又MSN(0，)，则 0MSN3.故摄影爱好者 S 可以将彩杆全部摄入画面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，
136、已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取 21.4，31.7)解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC 中，BCsin AABsinACB，BC21 00012sin 1510 500(6 2)CDAD，CDBCsinDBC10 500(6 2)22 10 500(31)7 350.故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502.已知在东西方向上有
137、M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM100 米和 BN200 米，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离解：在 RtAMP 中，APM30，AM100，PM100 3，连接 QM，在PQM中，QPM60，又 PQ100 3，PQM 为等边三角形，QM100 3.在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200.在 RtBNQ 中，tan 2
138、，BN200，BQ100 5，cos 55.在BQA 中，BA2BQ2AQ22BQAQcos(100 5)2，BA100 5.即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5米命题点一 简单的三角恒等变换命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1(2015重庆高考)若 tan 2tan5，则cos310sin5()A1 B2C3D4解析：选 C cos310 cos52sin5，原式sin5sin5sin cos 5cos sin 5sin cos 5cos sin 5tan tan5tan tan5.又tan 2tan5，原式2tan5tan52tan5tan53.2(2013全国卷
139、)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _.解析：法一：由 在第二象限，且 tan4 12，因而 sin4 55，因而 sin cos 2sin4 105.法二：如果将 tan4 12利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.又因为 在第二象限，则 sin 110，cos 310，从而 sin cos 210 105.答案：1053(2015北京高考)已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23 上的最小值解：(1)因为 f(x)sin x 3cos x 32sinx3 3，
140、所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为 0 x23，所以3x3.当 x3，即 x23 时，f(x)取得最小值所以 f(x)在区间0，23 上的最小值为 f 23 3.4(2015四川高考)已知 A，B，C 为ABC 的内角，tan A，tan B 是关于 x 的方程 x2 3pxp10(pR)的两个实根(1)求 C 的大小；(2)若 AB3，AC 6，求 p 的值解：(1)由已知，方程 x2 3pxp10 的判别式(3p)24(p1)3p24p40，所以 p2 或 p23.由根与系数的关系，有 tan Atan B 3p，tan Atan B1p，于是 1tan Atan B1(1p)p
141、0，从而 tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 3pp 3.所以 tan Ctan(AB)3，所以 C60.(2)由正弦定理，得 sin BACsin CAB 6sin 603 22，解得 B45或 B135(舍去)于是 A180BC75.则 tan Atan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.所以 p 13(tan Atan B)13(2 31)1 3.命题点二 解三角形难度：高、中、低命题指数：题型：选择题、填空题、解答题1.(2013天津高考)在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则 sinBAC()A
142、.1010B.105C.3 1010D.55解析：选 C 由余弦定理可得 AC 29223 2 22 5，所以 AC 5.再由正弦定理得 ACsin B BCsin A，所以 sin ABCsin BAC3 225 3 1010.2(2014江西高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则 2sin2Bsin2Asin2A的值为()A19B.13C1 D.72解析：选 D 由正弦定理可得2sin2Bsin2Asin2A2sin Bsin A212 ba21，因为 3a2b，所以ba32，所以2sin2Bsin2Asin2A2 322172.3(2015福建
143、高考)若锐角ABC 的面积为 10 3，且 AB5，AC8，则 BC 等于_解析：由已知，得 S12ABACsin A10 3，sin A20 358 32.A0，2，A3.由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos 349，BC7.答案：74(2014天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc14a,2sin B3sin C，则 cos A 的值为_解析：由已知及正弦定理，得 2b3c，因为 bc14a，不妨设 b3，c2，所以 a4，所以 cos Ab2c2a22bc14.答案：145(2015全国卷)已知 a，b，c
144、分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积解：(1)由题设及正弦定理可得 b22ac.又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知 b22ac.因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca 2.所以ABC 的面积为12 2 21.6(2015山东高考)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B 33，sin(AB)69，ac2 3，求 sin A 和 c 的值解：在ABC
145、 中，由 cos B 33，得 sin B 63，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)69.因为 sin Csin B，所以 CB，可得 C 为锐角，所以 cos C5 39，因此 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 63 5 39 33 69 2 23.由asin Acsin C，可得 acsin Asin C 2 23 c692 3c.又 ac2 3，所以 c1.7.(2014北京高考)如图，在ABC 中，B3，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，cosADC17.(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长解：(1)在ADC 中，因为c
146、osADC17，所以 sinADC4 37.所以 sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB4 37 1217 32 3 314.(2)在ABD 中，由正弦定理得BDABsinBADsinADB83 3144 373.在ABC 中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB82522851249.所以 AC7.命题点三 三角函数与解三角形的综合问题命题指数：难度：高、中 题型：解答题1.(2015浙江高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan4A2.(1)求sin 2Asin 2Acos2A的值；(2)若 B4，a3，求AB
147、C 的面积解：(1)由 tan4A 2，得 tan A13，所以sin 2Asin 2Acos2A 2tan A2tan A125.(2)由 tan A13，A(0，)，得sin A 1010，cos A3 1010.由 a3，B4及正弦定理 asin Absin B，得 b3 5.由 sin Csin(AB)sinA4，得 sin C2 55.设ABC 的面积为 S，则 S12absin C9.2(2015山东高考)设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f A2 0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ，可得4kx4k，kZ；由22k2x32 2k，kZ，可得4kx34 k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)，单调递减区间是4k，34 k(kZ)(2)由 f A2 sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立因此12bcsin A2 34.所以ABC 面积的最大值为2 34.
