1、1从平面向量到空间向量1了解空间向量的有关概念(重点)2理解直线的方向向量和平面的法向量(难点)3会求简单空间向量的夹角(易混点)基础初探教材整理1空间向量的概念阅读教材P25“向量概念”的部分，完成下列问题定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法用有向线段表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，过空间中任意一点O，作向量a，b的相等向量和，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b范围规定0a，b向量垂直当a，
2、b时，向量a与b垂直，记作ab向量平行当a，b0或时，向量a与b平行，记作ab判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)0向量是长度为0，没有方向的向量()(2)向量a与向量b的大小相等则ab.()(3)若向量a与向量b方向相反，则a与b是平行向量()【解析】(1)0向量的方向是任意的(2)ab需满足两个条件，一是大小相等，二是方向相同(3)相反向量也是平行向量【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量与直线阅读教材P26“向量与直线”的部分，完成下列问题设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量a也是直线的方向向量正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶
3、点为端点的向量中，可以作为直线AC的方向向量的有哪些？【解】A1C1AC，直线AC的方向向量有、教材整理3向量与平面阅读教材P26“向量与平面”的部分，完成下列问题如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是_【解析】平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90.【答案】90质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的有关概念(1)(2016成都高二检测)在如图211所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量有_个(不含)图
4、211【自主解答】与向量相等的向量为：，共有3个【答案】3(2)下列说法中，正确的是()A两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线C若ab，bc，则acD零向量与任意向量平行【自主解答】A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同B项错，若和共线，则和的基线平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一条直线上C项错，若b0，a0，0c，则a与c不一定平行，D项正确【答案】D(3)在长方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中，与向量平行的向量为_，与相反的向量为_【自主解答】ABA1B1DCD1C1，与平行的向量为，
5、其中与相反的向量为：，【答案】，1在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样2注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念直线的方向向量与平面的法向量如图212，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD的所有法向量【导学号：32550020】图212【精彩点拨】根据方向向量与法向量的定义直接写出即可【自主解答】(1)直线AB的方向向量有：，.(2)平面ABCD的法向量，就是与平面ABCD垂直的棱所在的向量，即，.1直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有
6、限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的2找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系再练一题1根据本例的条件，写出平面BCC1B1的所有法向量【解】平面BCC1B1的法向量为，.探究共研型空间向量的特征探究1空间向量与平面向量有什么关系？【提示】空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变它是可以自由平移的，与起点无关数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小探究2直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？【提示】直线的方向向量与平面的法向量是
7、不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面探究3如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？【提示】与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若，而，.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：(1)，；(2)，【精彩点拨】依据图形特点，找到向量对应直线的位置关系即可求解：【自主解答】(1)如图，连接AC.EF分别是AB，BC的中点，EFAC.，且方向相同，0；，且方向相反，180.(2)在正
8、方形ABCD中，ABBC，90；A1B1平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1，A1B1AD1，90.1求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角2在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是，而向量夹角的范围是0，比如a，b与a，b两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的再练一题2在正四面体ABCD中，(1)向量与的夹角为_；(2)向量与的夹角为_【解析】(1)与方向相反与的夹角为180(2)ABCD，与的夹角为90【答案】(1)18
9、0(2)90构建体系1下列有关空间向量的说法中，正确的是()A如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等B如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量【解析】相等向量要求模相等且方向相同，故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C错误D显然正确【答案】D2已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是()Aa0b0Ba01Ca0，b0共线D|a0|b0|【解析】单位向量的模为1，故|a0|b0|1【答案】D3下列说法中不正确的是()A平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B一
10、个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量【解析】A，B，C正确，而D中，若ab，虽然na，nb，但n不一定是平面的法向量【答案】D4若直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，当l时，一定有_(填a与b的位置关系)【导学号：32550021】【解析】l，b，ab.【答案】ab5已知正方体ABCDA1B1C1D1，求(1)，；(2)，【解】(1)如图，因为，所以将平移至处，则，大小为BB1C的补角由正方体的性质可得BB1C45，故，135.(2)连接AB1，因为，所以将平移至处，则，大小为ACB1，由正
11、方体的性质知ACCB1AB1，所以ACB1为正三角形，所以ACB160，即，60.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若空间任意两个非零向量a，b，则|a|b|，且ab是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】ab|a|b|，且ab；所以，必要；当ba时，有|a|b|且ab，但ab，所以，不充分故选B.【答案】B2下列命题中正确的个数是()如果a，b是两个单位向量，则|a|b|；两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；若a，b，c为非零向量，且ab，bc，则ac；
12、空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内A1个B2个C3个D4个【解析】对于：由单位向量的定义即得|a|b|1，故正确；对于：共线不一定同向，故错；对于：正确；对于：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内【答案】C3如图213所示，三棱锥ABCD中，AB面BCD，BDC90，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90的共有()图213A3对B4对C5对D6对【解析】夹角为90的共有与，与，与，与，与.【答案】C4.在如图214所示的正三棱柱中，与，相等的是()图214A，B，C，D
13、，【解析】，60，故选D.【答案】D5在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A.BC.D【解析】BDAC，BDAA1，BD面ACC1A1，故为平面ACC1A1的法向量【答案】A二、填空题6正四面体SABC中，E，F分别为SB，AB中点，则，_.【解析】如图所示，E，F为中点，EFSA，而SAC为正三角形，SAC，.【答案】7下列命题正确的序号是_若ab，b，c，则a，c；若a，b是同一个平面的两个法向量，则ab；若空间向量a，b，c满足ab，bc，则ac；异面直线的方向向量不共线【导学号：32550022】【解析】a，c或，错；ab，错；当b0时，推不出ac，错；由
14、于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，对【答案】图2158如图215，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_【解析】要求异面直线EF与GH所成的角就是求，因为与同向共线，与同向共线，所以，在正方体中A1BC1为等边三角形，所以，60.【答案】60三、解答题9.如图216，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图216(1)写出所有的单位向量；(2)写出与相等的所有向量；(3)写出与相反的所有向量；(4)写出模为的所有向量【解】在
15、长方体ABCDA1B1C1D1中，因为长、宽、高分别为AB3，AD2，AA11，所以AD1.(1)单位向量有：，.(2)与相等的向量有：，.(3)与相反的向量有：，.(4)模为的向量有：，.图21710如图217所示，已知正四面体ABCD.(1)过点A，作出方向向量为的空间直线；(2)过点A，作出平面BCD的一个法向量【解】如图所示，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线(2)如图所示，取平面BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，向量可作为平面BCD的一个法向量能力提升1(2016福州高二检测)空间两向量a，b互为相反向
16、量，已知向量|b|3，则下列结论正确的是()AabBab为实数0Ca与b方向相同D|a|3【解析】a，b互为相反向量，ab，又|b|3，|a|3.【答案】D2(2016天津高二检测)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n()A1B2C3D4【解析】与，与平行且方向相反，互为相反向量【答案】B图2183如图218所示，四棱锥D1ABCD中，ADDD1CD，底面ABCD是正方形，DD1面ABCD，E是AD1的中点，求，【解】取CD1的中点F，连接EF，DF，则，由ADDD1CD，且D1DAD，D1DCD，DEDFEFDD1，EFD为正三
17、角形，FED，.4如图219，四棱锥VABCD，底面ABCD为正方形，VA平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图219(1)直线AB的方向向量；(2)求证：BD平面VAC，并确定平面VAC的法向量【解】(1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有，这4个(2)证明：四边形ABCD为正方形，ACBD.又VA平面ABCD，BD平面ABCD，BDVA.又ACVAA，BD平面VAC.平面VAC的法向量有，这2个2空间向量的运算1会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律(重点)2会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关
18、问题(难点)3能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积(重点)基础初探教材整理1空间向量的运算阅读教材P29P30的部分，完成下列问题空间向量的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab，如图所示结合律：(ab)ca(bc)；交换律：abba减法与平面向量类似，a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：|a|a|当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0
19、时，a0aa(R)(ab)ab()aaa(R，R)()a(a)(R，R)空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa，b，记作ab交换律：abba分配律：a(bc)abac(ab)(a)b(R)与数量积有关的结论|a|abab0cosa，b(a0，b0)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算()(2)0.()【解析】(1)实数与向量之间不能进行加、减法运算(2)0，注意0与0的区别【答案】(1)(2)2如图221所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，()图221A.BC.D【解析】.【答案】B3在空间四边形ABCD中，
20、连接AC，BD，则为_【解析】.【答案】4若空间向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，求aaab_.【解】由空间向量数量积的性质aa|a|21，由空间向量数量积的定义得ab|a|b|cos a，b11cos 60，从而aaab1.教材整理2共线向量定理阅读教材P29“定理”的部分，完成下列问题空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.判断(正确的打“”，错误的打“”)若向量a，b共线，则一定存在实数，使得ab.()【解析】当a0，b0，实数不存在【答案】教材整理3单位向量阅读教材P31“例2”以上的部分，完成下列问题对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向
21、量，记作a0，a0与a同方向质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间的线性运算(1)(2016合肥高二检测)已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()AabcBabcCabcDabc【自主解答】abc【答案】C(2)化简()()_.【自主解答】法一：()()()()0.法二：()()()()0.【答案】0(3)如图222所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有()图222()；()；()；().A1个B2个C3个D4个【自主解答】()CC1；()；()；().【答案】
22、D1在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算2对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质空间向量的共线定理的应用如图223四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？图223【精彩点拨】要判断与是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数使.若存在，则与共线；否则，与不共线【自主解答】M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，.又，.22()2，即2.，即与共线1判定向量a与b共线就是要找到实数，使得ab成立要充分运用空间向量的运算法则，同时结合空间图形，化
23、简得ab，从而判定a与b共线2向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有关空间和平面几何中的线线平行问题均可转化为向量的共线问题再练一题1如图224，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形【导学号：32550024】图224【证明】E、H分别是AB、AD的中点，()()()()，且|.又F不在EH上，四边形EFGH是梯形探究共研型空间向量的数量积的特征探究1如何正确地理解空间向量的数量积？【提示】(1)向量a，b的数量积记为ab，而不能表示为ab或ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符
24、号由夹角的余弦值的符号决定；为锐角时，ab0，但ab0时，可能为0；为钝角时，ab0，但ab0时，可能为.(3)当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有ab0.探究2在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？【提示】要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异注意以下几点：(1)数量积的运算不满足约去律，即abbc推不出ac.(2)数量积的运算不满足结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)(3)数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若abk，不能得到a.例如当非零向量a，b垂直时，ab0，但a显然是没有意义的探究3如何灵活地应用空
25、间向量的数量积公式？【提示】空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面：(1)利用|a|，求线段的长；(2)利用cosa，b，求两直线所成的角；(3)利用abab0，证明两直线垂直如图225所示，已知正四面体O ABC的棱长为1.图225求(1)；(2)()()【精彩点拨】在正四面体中，所有棱的长度都相等，每一个面都是正三角形，所以从同一顶点出发的任意两条棱所对应向量间的夹角等于60或120(与方向有关)【自主解答】如图所示(1)|cos AOB11cos 60.(2)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.数量积的定义式、数量积
26、的运算律、模与向量的数量积关系是重要的基础知识点正四面体中从同一顶点出发的任意两条棱的夹角有两种情况，应注意向量的方向再练一题2本例条件不变，求|.【解】|.构建体系1直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()AabcBabcCabcDabc【解析】abc.【答案】D2(2016沈阳高二检测)下列命题中正确的是()A若ab，bc，则a与c所在直线平行B向量a，b，c共面即它们所在直线共面C空间任意两个向量共面D若ab，则存在唯一的实数，使ab【解析】ab，bc则ac，a与c所在直线可能平行也可能重合，故选项A错误，选项B中它们所在直线可能不共面；当b0，a0时，不存在使得ab，故选
27、项D错误，故选C.【答案】C3如图226已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则()图226A2B2C1D1【解析】()2cos，2cos(18060)2cos 12021.故选C.【答案】C4设a，b，c满足abc0，且ab，|a|1，|b|2，则|c|_.【导学号：32550025】【解析】abc0，cab.|c|.【答案】5在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，2.设a，b，c，试用a，b，c表示.【解】如图所示，连接AN，则()()()c(bc)(ab)abc.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)学业达标一
28、、选择题1(2016广州高二检测)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】由ab|a|b|cos |a|b|可知cos 1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cos 1，ab|a|b|.故ab|a|b|是a，b共线的充分不必要条件【答案】A2如图227所示，已知三棱锥O ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN.设xyz，则x，y，z的值分别为()图227Ax，y，zBx，y，zCx，y，zDx，y，z【解析】()()，x，y，z.【答案】D3已知e1、e2互相垂
29、直，|e1|2，|e2|2，ae1e2，be12e2，且a、b互相垂直，则实数的值为()A.BC1D2【解析】ab，(e1e2)(e12e2)0.又e1e2，e1e20.e2e0.又|e1|2，|e2|2，480，2.【答案】D4设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|() 【导学号：32550026】A.BC.D【解析】依题意得|a2b|2a24b24ab543，则|a2b|.【答案】B5.如图228所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()图228A.BCD0【解析】()|cos，|cos，又OBOC，AOBAOC，0，即，cos，0.【答案】D二
30、、填空题6如图229，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则_.(用a、b、c表示)图229【解析】()abc(abc)【答案】(abc)7.如图2210，在45的二面角l的棱上有两点A、B，点C、D分别在、内，且ACAB，ABD45，ACBDAB1，则CD的长度为_图2210【解析】由，cos，cos 45cos 45，|22222()32(011cos 13511cos 120)2，|.【答案】8如图2211所示，已知空间四边形ABCD每条边和对角线都等于1，点E，F分别是CD，AD的中点，则_.【导学号：32550027】图2211【解析】綊
31、，60，120.|cos ，1cos 120.【答案】三、解答题9在空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.【证明】如图，连接ON，设AOBBOCAOC，a，b，c，则|a|b|c|.又()(abc)，cb，(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.OGBC.10如图2212，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF2FB，CG2GD.求证：与为共线向量图2212【证明】E，H分别
32、是AB，AD的中点，().又CF2FB，CG2GD，.().与为共线向量能力提升1设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，则BCD为()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定【解析】，cos ，0，为锐角，同理cos ，0，BCD为锐角，cos ，0，BDC为锐角，即BCD为锐角三角形【答案】B2如图2213，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为()图2213A.BC.D【解析】，|AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，90，60，|.【答案】B3已知空间四边形ABCD的每条边和对角线
33、的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为_【解析】如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.【答案】a24如图2214，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)图2214(1)求MN的长度；(2)当a为何值时，MN的长最小【解】(1)由已知得|，|a.，()()()，|(0a)(2)由(1)知当a时，|的最小值为，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.3向量的坐标表示
34、和空间向量基本定理31空间向量的标准正交分解与坐标表示32空间向量基本定理1了解空间向量基本定理及其意义(重点)2掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标(重点)3理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底(难点)基础初探教材整理1空间向量的标准正交分解与坐标表示阅读教材P33“抽象概括”的部分，完成下列问题在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得axiyjzk.我们把axiyjzk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基(x，
35、y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a(x，y，z)，a(x，y，z)叫作向量a的坐标表示在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量的坐标也是(x，y，z)1在长方体OABCOABC中，OA6，OC8，OO5.建立如图231所示坐标系，则的坐标为()图231A(8,6,5)B(6,8,5)C(5,8,6)D(8,5,6)【解析】点O为向量的起点且为原点，B(6,8,5)，(6,8,5)【答案】B2若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a2ij3k，则向量a的坐标为_【解析】根据空间向量坐标的定义知，a(2，1,3)【答案】(2，1,3)教材整理2投
36、影阅读教材P34例1与例2之间的部分，完成下列问题(1)一般地，若b0为b的单位向量，称ab0|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影如图232所示，向量a在向量b上的投影为OM|a|cosa，b图232(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影已知正四面体PABC所有棱长均为1，求向量在上的投影【解】向量在上的投影为：|cos BPC1cos .教材整理3空间向量基本定理阅读教材P35例3以上的部分，完成下列问题(1)如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1、2、3，使得a1e12e23e3.(2)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作
37、这个空间的一个基底，a1e12e23e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量(3)当向量e1、e2、e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1i，e2j，e3k时，a1e12e23e3叫作a的标准正交分解判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12a23a3.()【解析】(1)三个向量不共面就可作空间向量的一组基底，故(1)错误(2)若点A是坐标原点，的坐标与P坐标一致(3)根据空间向量基本定
38、理知，存在一组实数1，2，3，使01a12a23a3.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的坐标表示(1)设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若a(3,7，2)则a关于i，j，k的分解式为_【导学号：32550028】【自主解答】根据空间向量坐标定义，a(3,7，2)a3i7j2k.【答案】a3i7j2k(2)(2016高昌高二检测)设i，j，k是空间向量的一个单位的正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b的坐标分别是_【自主解答】根据空间向量
39、坐标定义知a(2，4,5)；b(1,2，3)【答案】(2，4,5)，(1,2，3)(3)已知在如图233所示的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以，为基底，则向量的坐标为_，向量的坐标为_，向量的坐标为_图233【解析】以，为基底，即以，所在直线建立如图直角坐标系同理，(1,1,1)【答案】(1,1,1)1建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线建系时，通常建立右手直角坐标系2空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是axiyjzka(x，y，z)空间向量的投影如图234所示，已知单位正方体ABCDABCD，图234(1
40、)求向量在上的投影；(2)求向量在上的投影【精彩点拨】结合图形的性质，用投影的定义求解【自主解答】(1)向量在上的投影为|cos，cosACD1.(2)向量在上的投影为|cos，cosACD1.求向量a在向量b上的投影，通常有两种方法：1利用投影的计算公式求，a在b上的投影为|a|cosa，b，亦为.2利用投影的几何意义求，如图，a在b上的投影为有向线段OM的数量，正方向为向量b的方向再练一题1本例条件不变，求在上的投影【解】向量在上的投影为|cos ，cosACA.探究共研型特殊向量的空间坐标探究平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？【提示】(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标
41、都为0，即a(x,0,0)(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a(0，y,0)(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a(0,0，z)(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a(x，y,0)(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a(0，y，z)(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a(x,0，y).空间向量基本定理的特征探究1基底有何特点？【提示】(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是
42、0.(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念探究2已知三个向量a，b，c不共面，pxaybzc，p0时，x，y，z的值唯一确定吗？【提示】a，b，c不共面，xaybzc0时，xyz0.探究3已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式xyz(其中xyz1)，点P与点A，B，C有什么关系？【提示】点P与点A，B，C共面此结论是空间向量基本定理的一种特例，在定理中如果三个向量起点重合，并且xyz1，那么二者就一致了如图235，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是P
43、C和PB的中点，试用a，b，c表示，.图235【精彩点拨】结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止【自主解答】如图所示，连接BO，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.对于基底e1，e2，e3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e1，e2，e3不能含有其他形式的向量；(2)用e1，e2，e3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了再练一题2.如图
44、236，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量和.图236【解】因为，而，又因为D是BC的中点，所以()所以()()()(abc)而，又因为()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.构建体系1在以下3个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1C2D3【解析】命题，是真命题，命题是假命题【答案】C2若向量a、b、c
45、是空间的一个基底，向量mab，nab，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是() 【导学号：32550029】AaBbCcD2a【解析】只有c与m，n不共面，故c，m，n可作一组基底【答案】C3O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量为()A.(cba)B(abc)C.(abc)D(abc)【解析】()()(bca)【答案】A4如图237，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量在向量的投影是_图237【解析】在上的投影为|cos，|cos，1cos 45.【答案】5如图238所示，在棱长为1的正方体OABCO1
46、A1B1C1中，M，N分别是面OAA1O1和面O1A1B1C1的中心图238(1)试用基底，表示；(2)试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，的坐标【解】(1)如图，()，()()，.(2)如图在空间直角坐标系O xyz中，i，j，k，则ik.ijk.ijk.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1给出下列命题：空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；已知向量ab，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A、B、M、N是空间四点，若、不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；已知向量组a，b，c
47、是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数为()A1B2C3D4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故正确；中，ab，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；中，向量，共面，则A、B、M、N共面；中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底故均正确【答案】D2若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，d a b c，则、分别为()A.，1，B，1，C，1，D，1，【解析】d a b c(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3.由向量基底表示唯一性得【答案】A3已知i，j，
48、k为标准正交基底，ai2j3k，则a在i方向上的投影为()A1B1C.D【解析】ai|a|i|cosa，i，|a|cosa，i(i2j3k)i1.【答案】A4如图239，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且a，b，c，则()图239A.abcB.abcC.abcDabc【解析】()c()ca(c)babc.【答案】D5(2016兰州高二检测)已知点A在基底a，b，c下的坐标为8,6,4，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,10,12)D(4,2,3)【解析】点A在基底a，b，c下坐标为(8,
49、6,4)，8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)【答案】A二、填空题6e1，e2，e3是空间一组基底，ae12e2e3，b2e14e22e3，则a与b的关系为_【导学号：32550030】【解析】b2a，ab.【答案】ab7(2016金华高二检测)已知点A在基底a，b，c下的坐标为(2,1,3)，其中a4i2j，b2j3k，c3kj，则点A在基底i，j，k下的坐标为_【解析】由题意知点A对应向量为2ab3c2(4i2j)(2j3k)3(3kj)8i3j12k，点A在基底i，j，k下的坐标为(8,3,12)【答案】(8,3
50、,12)8已知长方体ABCDABCD，点E，F分别是上底面ABCD和面CCDD的中心，且xyz，则2x4y6z_.【解析】()，又xyz，x，y，z1.2x4y6z5.【答案】5三、解答题9已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2310，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标图2310【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以ij，所以向量的坐
51、标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)同理可得A(1，1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)又点P在z轴上，所以2k.所以向量的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)因为F为侧棱PB的中点，所以()(ij2k)ijk，所以点F的坐标为.同理点E的坐标为.故所求各点的坐标分别为A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，D(1，1,0)，P(0,0,2)，E，F.10如图2311，在空间四边形OABC中，|OA|8，|AB|6，|AC|4，|BC|5，OAC45，OAB60，求在上的投影【导学号：32550031】图2311【解】，|cos ，|cos ，8
52、4cos 13586cos 1202416，在上的投影为|cos ，.能力提升1设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A.BC.D【解析】因为OG()，而xyz，所以x，y，z.【答案】A2(2016泰安高二检测)已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标为()A.BC.D【解析】设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则a2b3cx(ab)y(ab)z c(xy)a(xy)bzc，即.【答案】B3
53、已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x_.【解析】由于M平面ABC，所以x1，解得x.【答案】4如图2312所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2312(1)；(2)；(3).【解】(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca，abc.3.3空间向量运算的坐标表示1掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示(重点)2能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角(难点)基础初探教材整理1空间向量运算的坐标表示
54、阅读教材P36P37例5以上的部分，完成下列问题1空间向量运算的坐标表示设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差(3)a(x1，y1，z1)(R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积(4)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和2空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系若A(x1，y1，z1)，B(
55、x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)1已知a(1,2，3)，b(5，7,8)，则2ab的坐标为()A(7，3,2)B(6，5,5)C(6，3,2)D(11，12,13)【解析】2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)【答案】A2在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答案】(3,3,3)教材整理2空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示阅读教材P37例5以下P38练习以上的部分，完成下列问题设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)若
56、b0，则aba bx1x2，y1y2，z1z2(R)；(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.(a0，b0)1已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，则a与b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【解析】ab030300，ab.【答案】A2与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标为()A(1,3,2)B(1，3,2)C(1,3，2)D(1，3，2)【解析】(1,3，2)(1，3,2)，(1,3，2)与(1，3,2)平行【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型
57、空间向量的坐标运算(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，则ab_，2ab_.【自主解答】ab(21，12,31)(3,1,2)，2ab2(2，1,3)(1,2，1)(4，2,6)(1,2，1)(3，4,7)【答案】(3,1,2)(3，4,7)(2)(2016南宁高二检测)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值为_【自主解答】ab，bk a，即k(1,0,2)(6,21,2)，2或3.【答案】 或 (3)已知a(1,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，则ab2c_.【导学号：32550032】【自主解答】ab2c(1,0，1)(1，2,2)2(2，3，1)(
58、4,8，5)【答案】(4,8，5)数量积的坐标运算已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab)【精彩点拨】根据数量积的计算公式运算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5，4)(2,1,8)(6,10，8)(2,1,8)(4,9，16)3ab3(3,5，4)(2,1,8)(9,15，12)(2,1,8)(11,16，4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键再练一题1本例条件不变，求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5，4)(3,
59、5，4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐标运算解决长度和夹角问题已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积【精彩点拨】根据平行四边形的面积S|sin (，)，所以必须求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2，1，3)，(1，3,2)设，cos ，0，sin ，S|sin 7，即以，为邻边的平行四边形的面积为7.1空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解这体现了向量的工具作用引入坐标运算，可使解题过程程序化2平行四边形面积的计算公式：SABCD.再练一题2已知空间
60、三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求cosBAC；(2)求ABC中BC边上中线的长度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosBAC.(2)设BC中点为D，则D点坐标为，又A(2,0,2)，|.即ABC中BC边上中线的长度为.坐标形式下的平行与垂直问题已知空间三点A(2,0,2)、B(1,1,2)、C(3,0,4)设a，b.【导学号：32550033】(1)设|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.【精彩点拨】利用向量平行与垂直的直角坐标表示运算即可【自主解答】(1)(2，1,2)
61、且c，设c(2，2)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算再练一题3设a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.【解】(1)由于(kab)(a3b)，
62、所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a与b不共线，所以有解得k；(2)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)0，即k|a|2(3k1)ab3|b|20，而|a|227，|b|238，ab8，所以27k8(3k1)1140，解得k.探究共研型空间直角坐标系的特征探究1在建立空间直角坐标系时，空间向量的坐标运算与坐标原点的位置有关系吗？【提示】(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其“线线夹角”、“点点距离”是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系转化为坐标运算，一般按照右手系建系，如图
63、所示探究2用坐标表示空间向量的一般步骤是什么？【提示】用坐标表示空间向量的一般步骤是：(1)观察图形、认识图形，并分析图形特征(2)建系找出三条两两垂直的直线作轴，建立空间直角坐标系(3)计算利用向量的线性运算用基底表示目标向量(4)结果根据线性运算表示不确定向量的坐标如图2313所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系过B作BMAC1于M，求点M的坐标图2313【精彩点拨】写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BMAC1及M在AC1上建立方程组，求解【自主解答】法一：设M(x，y，z)，由图可知：A
64、(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.M.法二：设(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，0即a2a2a2a20，解得，.M点坐标.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对空间任意的两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)若a与b共线，则.()(2)若a(x，y，z)则|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)(
65、)【解析】(1)若b0则不成立(2)|a|.(3)因需知A点坐标方可求点B坐标【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1，1)，b(3，2,1)，则下列结论正确的是()Aab(5，1,1)Bab(1，1,0)C2b(6，4,2)Dab9【解析】ab(5，1,0)，ab(1,3，2)，2b(6，4,2)，ab23(2)11(1)3.【答案】C3已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3B4C5D6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】C4已知a(2，1,2)，b(0，1,4)，则ab_.3b_，ab_.【解析】ab(20，11,24)(2，2,6)3b3(0
66、，1,4)(0，3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(2，2,6)(0，3,12)95已知a(5,3,1)，b且a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围【导学号：32550034】【解】由已知得ab5(2)3t13t.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0且a，b180.由ab0，得3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以解得t.所以t的取值范围是.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016泰安高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1
67、,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.BC.D【解析】M，即M，(0,1,0)，|.【答案】C2已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1Bx，y4Cx2，yDx1，y1【解析】由题意知，a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)(a2b)(2ab)，存在实数，使a2b(2ab)，解得.【答案】B3已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|，且0，则()A2B3 C4D5【解析】由题意，得ab(4,1，)因为|ab|，所以42(1)2229，整理得260.又0，所以3.【答案】B4若a(1，1)，b(2，1,2)，且a
68、与b的夹角的余弦为，则|a|()A.BC.D【解析】因为ab12(1)(1)2，又因为ab|a|b|cosa，b，所以.解得2，所以|a|.【答案】C5(2016黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是()A60B120C30D150【解析】(1,0,4)(1,1,1)(2，1,3)，(1,1,1)(2，2,3)(1,3，2)，cos ，120.【答案】B二、填空题6已知三个力F1(1,2,1)，F2(1，2,3)，F3(2,2，1)，则这三个力的合力为_【解析】合力为F1F2F3(1,2,1)(1，2,3)(2,2，1)(2,2,3)
69、【答案】(2,2,3)7已知ab(1，2,3)，ab(1,0,1)，则a_，b_.【导学号：32550035】【解析】a(0，1,2)，b(1，1,1)【答案】(0，1,2)(1，1,1)8设向量a(1，2,2)，b(3，x,4)，已知a在b上的投影为1，则x_.【解析】a(1，2,2)，b(3，x,4)，a在b上的投影为1，|a|cos a，b1.ab|a|b|cosa，b|b|.32x8，x0或x(舍去)【答案】0三、解答题9已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求ab，ab，ab，(2a)b，(ab)(ab)【解】ab(2，1，2)(0，1,4)(2，2,2)；ab(2，1，2)(0，
70、1,4)(2,0，6)；ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47；(2a)b2(ab)2(7)14；(ab)(ab)(2，2,2)(2,0，6)22(2)02(6)8.10直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N是A1A的中点(1)求的长；(2)求cos，的值【解】以C为原点，以，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，(1，1,1)，|.(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|.cos，.能力提升1
71、已知A(4,1,3)、B(2，5,1)，C为线段AB上一点，且3，则C的坐标为()A.BC.D【解析】设C(x，y，z)，则(x4，y1，z3)又(2，6，2)，3，(2，6，2)(3x12,3y3,3z9)解得【答案】C2已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.【解析】由条件知(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.【答案】603(2016启东高二检测)与a(
72、2，1,2)共线且满足ax18的向量x_.【解析】设xa(2，2)，ax44918，2，x(4,2，4)【答案】(4,2，4)4已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，1，5)，C(3,2，5)【导学号：32550036】(1)求ABC的面积(2)求ABC中AB边上的高【解】(1)由已知得(1，3,2)，(2,0，8)，|，|2.12(3)02(8)14.cos，sin，.SABC|sin，23.(2)设AB边上的高为CD，则|3.4用向量讨论垂直与平行1能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系(重点)2能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(重点)3能用向量方法
73、解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力(难点)基础初探教材整理1立体几何中垂直关系的向量表示阅读教材P40P41的部分，完成下列问题设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：lmabab0.(2)线面垂直：l1an1akn1(kR)(3)面面垂直：12n1n2n1n20.已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_【解析】u1u21002100，u1u2，.【答案】教材整理2立体几何中平行关系的向量表示阅读教材P40P41的部分，完成下列问题设直线l，m的
74、方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：lmabab(R)(2)线面平行：l1an1an10.(l1)(3)面面平行：12n1n2n1kn2(kR)1若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0,1,2)B(3,6,9)C(1，2,3)D(3,6,8)【解析】(3,6,9)3(1,2,3)3a，a，(3,6,9)可作平面的一个法向量【答案】B2若直线l的方向向量是u(1,3,0)，平面的法向量是v(3,1,5)，则直线l与平面的位置关系为_【解析】uv1(3)31050，uv，l或l.【答案】l或l质疑手记预习完成后，请将
75、你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量法判断简单的平行、垂直关系(1)已知两条不同直线l1，l2的方向向量s1，s2，s1(1,1，1)，s2(1,2,3)则l1与l2是_(填“平行”或“垂直”)【导学号：32550037】【自主解答】s1s21112(1)30，s1s2，l1l2.【答案】垂直(2)已知两个不同平面1，2的法向量分别为n1，n2，n1(2,1，1)，n2(4，2,2)，则1_2(填“”或“”)【自主解答】n22n1，n1n2，12.【答案】(3)已知直线l的方向向量为s(1，1,1)，平面的法向量为n(3,
76、7,4)，且l，则l_(填“”或“”)【自主解答】ns13(1)7410，ns，l，l.【答案】利用向量法证明和讨论立体几何中的平行、垂直问题，即为判断直线的方向向量与平面法向量之间的平行与垂直用向量讨论垂直问题如图241，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点图241求证：平面C1E1F平面CEF.【精彩点拨】要证明两个平面垂直，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面法向量m，n，证明mn0.【自主解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC1，则C(0,1,0)
77、，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，所以即取m(1,0,1)同理平面C1E1F的法向量n(1,2,1)，因为mn1(1)2011110，所以平面C1E1F平面CEF.应用向量证明空间中垂直关系的基本策略(1)证明线线垂直只需证两直线的方向向量垂直设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1l2，只需证ab，即ab0.(2)证明线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直(3)证明面面垂直可证两平面的法向量相互垂直再练一题1本例条件不变，求证：C
78、F平面C1EF.【证明】由例题可知，E(1,0,1)，F(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，所以(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0)所以11001(1)0，1001100.所以，.因为C1FEFF，所以CF平面C1EF.用向量讨论平行问题已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别在DB，D1C上，且DED1Fa，求证：EF平面BB1C1C.【精彩点拨】由于EF平面BB1C1C，则只需求出直线EF的方向向量、平面BB1C1C的一个法向量，再证明二者数量积为0即可【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则E，F，故，又n(0,1,0)显然为平面B
79、B1C1C的一个法向量，而n(0,1,0)0，所以n，显然平面BB1C1C，EF平面BB1C1C.1证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；(2)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行再练一题2在正方体AC1中，O，M分别为DB1，D1C1的中点，证明：OMBC1.【导学号：32550038】【证明】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2
80、)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,1)，(2,0,2)，OMBC1.探究共研型立体几何中的向量方法探究1如何确定直线的方向向量？【提示】在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，且可以参与向量运算或向量的坐标运算探究2平面的法向量有何特征？【提示】(1)给定一点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(2)一个平面的法向量有无数多个，任两个都是共线向量探究3一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？【提示】求解过程中，方程组有无数组解，利用赋值法，只要
81、给x，y，z中的一个变量赋一特值(常赋值1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量探究4用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？【提示】空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义如图242，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OAOP，OP平面ABC.求证：OD平面PAB.图242【精彩点拨】法一：证明
82、与平面PAB的法向量垂直法二：证明OD与面PAB内某一直线平行【自主解答】法一：因为ABBC，O为AC的中点，所以OBAC，OAOBOC，如图，建立空间直角坐标系，设OAa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a)，D，所以.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)则由于(a,0，a)，(a，a,0)，所以令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以n0，所以n，因为OD不在平面PAB内，所以OD平面PAB.法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以，所以，即ODAP，OD平面PAB，PA面PAB，所以OD平面PAB.用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量
83、与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外再练一题3在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|3，|AD|4，|AA1|2，点M在棱BB1上，且|BM|2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MNRS.【导学号：32550039】【证明】法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.所以.，所以，因为MRS，所以MNRS.法二：设a，b，c，则cab，bac.所以，所以，又因为RMN，所以MNR
84、S.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线上任意两个不同的点A、B表示的向量都可作为该直线的方向向量()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行()(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()【答案】(1)(2)(3)2若平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6，6)，则()ABC，相交但不垂直D以上均错【解析】平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6,6)，v3u，uv，.【答案】A3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,
85、0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中有an0.【答案】D4若向量a(1,2，4)，b(2，4,3)是平面内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m(2,3,1)，则l与的位置关系是_(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”)【导学号：32550040】【解析】am223410，bm4433150，am但m不垂直b，l与位置关系为相交但不垂直【答案】相交但不垂直5如图243，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBC
86、BB1.图243求证：(1)BC1AB1；(2)BC1平面CA1D.【证明】如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，因此0440，因此，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，又ED和BC1不共线，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D
87、.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016泰安高二检测)以下四组向量：a(1，2,1)，b(1,2，1)；a(8,4,0)，b(2,1,0)；a(1,0，1)，b(3,0,3)；a，b(4，3,3)其中a，b分别为直线l1，l2的方向向量，则它们互相平行的是()ABCD【解析】ab，ab.a4b，ab.b3a，ab.b3a，ab.【答案】D2已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)则线段AB与坐标平面()AxOy平行BxOz平行CyOz平行DyOz相交【解析】A(9，3,4)，B
88、(9,2,1)(0,5，3)yOz平面内的向量的一般形式为a(0，y，z)a平面yOz.AB平面yOz.【答案】C3已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y【解析】l1l2，设ab，(2,4,5)(3，x，y)，x6，y.【答案】D4已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()【导学号：32550041】AB6C6D【解析】，的法向量与的法向量也互相垂直(2,3，1)(4，2)8320，.【答案】A5已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2
89、)，则下列点P中在平面内的是()A(1，1,1)BC.D【解析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(1，4，)(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.【答案】B二、填空题6(2016黄山高二检测)已知l，且l的方向向量为(2，8,1)平面的法向量为(1，y,2)，则y_.【解析】l，l的法向量，218y120，y.【答案】.7已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，向量(x，y，z)是平面ABC的一个法向
90、量，则xyz_.【解析】设n(x，y，z)则n0，即(x，y，z)(1,1,0)0，xy0，n0，即(x，y，z)(0，1,1)0，yz0，xyz111.【答案】1118已知a(1,1,0)，b(1,1,1)，若bb1b2，且b1a，b2a，则b1_，b2_.【解析】设b1(x，y，z)，b1a，xy，z0.又b2bb1(1x,1y,1z)，b2a，b2a1x1y0，得xy2.xy1.即b1(1,1,0)，b2(0,0,1)【答案】(1,1,0)(0,0,1)三、解答题9(2016广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直【解】已知：如图，l
91、，.求证：l证明：设平面，的法向量分别为a，b，c，直线l的方向向量为e，则ae0，be0.因为a，b与e不共面，故存在实数x，y，z使cxaybze.因为ac，bc，所以因为与相交，所以a与b不共线，所以，所以方程组有唯一解所以cze，即ce，从而有l.图24410如图244所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.证明：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.【证明】(1)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系连结AC，AC交BD于G.连结EG.设DCa，依题意得A(
92、a,0,0)，P(0,0，a)，E，底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且(a,0，a)，EG.2，即PAEG.而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，PB(a，a，a)又，故00，PBDE，由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.能力提升1已知(1,5，2)，(3,1，z)若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则x，y，z分别为()A.、4B、4C.、2、4D4、15【解析】，0，得z4.又BP平面ABC，0，0，可解得x，y.【答案】B2如图245，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD
93、上一点，当BFPE时，AF：FD的值为()图245A12B11C31D21【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，.BFPE，0，解得y，则F点坐标为，F为AD中点，AFFD11.【答案】B3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；，其中正确的是_【导学号：32550042】【解析】0，0，APAB，APAD且是平面ABCD的法向量【答案】4(2016北京朝阳期末)如图246
94、，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC.图246(1)求证：ACPB；(2)设O，D分别为AC，AP的中点，点G为OAB内一点，且满足()，求证：DG面PBC；【证明】(1)因为PA平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC.又因为ABAC，且PAABA，所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB，所以ACPB.(2)法一：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC.又因为ABAC，所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AC2a，ABb，PA2c，则A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0,0，c)，O(a,0,0)，又因为()，所以G.于是
95、，(2a，b,0)，(0，b，2c)设平面PBC的一个法向量n(x0，y0，z0)，则有，即不妨设z01，则有y0，x0，所以n因为n1(c)0，所以n.又因为DG平面PBC，所以DG平面PBC.法二：取AB中点E，连接OE，则()由已知()可得，则点G在OE上连接AG并延长交CB于点F，连接PF.因为O，E分别为AC，AB的中点，所以OEBC，即G为AF的中点又因为D为线段PA的中点，又所以DGPF，又DG平面PBC，PF平面PBC，所以DG平面PBC.5夹角的计算51直线间的夹角52平面间的夹角53直线与平面的夹角1能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题(重点)2体会向量方法在研究
96、立体几何问题中的作用(难点)基础初探教材整理1直线间的夹角阅读教材P43“例1”以上的部分，完成下列问题设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.已知向量a(1，1,0)，b(1,0，1)，则向量a与b的夹角是()A.BC.D【解析】cos a，b，a，b.【答案】A教材整理2平面间的夹角阅读教材P44“例2”以上的部分，完成下列问题(1)平面间夹角的概念如图251，平面1和2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角图251(2)平面间夹角的求法设平面1与2的法向量分别为n1与n
97、2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos |cosn1，n2|.已知平面的法向量为n1(1,1,1)，平面的法向量是n2.求平面与平面的夹角【解】cos n1，n2，n1，n2120，平面与平面的夹角为60.教材整理3直线与平面的夹角阅读教材P45“思考交流”以上的部分，完成下列问题设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为.若直线的方向向量为u1(1,1,1)，平面的法向量为u2(2,2,2)，则直线与平面所成角的正弦值为_【解析】u22u1，u1u2，u1与平面垂直，所
98、成角的正弦值为1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型直线间的夹角如图252所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足图252(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值【精彩点拨】要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得【自主解答】以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建
99、立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)又PDA30，APADtan 302aa，AEADsin 302aa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EAF60，AF，EFa.P，E.(1)证明：，0a2a20.，BEPD.(2)，(a，a,0)则cos，即AE与CD的夹角的余弦值为.1建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键2求线线夹角时，应注意线线夹角范围为，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角再练一题1(2016天津高二检测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的
100、中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()【导学号：32550043】A.BC.D【解析】建系如图，设AA12AB2.则B(1,1,0)，C(0,1,0)D1(0,0,2)，E(1,0,1)(0,1,0)(0,0,2)(0,1，2)(1,0,1)(1,1,0)(0，1,1)cos ，异面直线D1C与BE所成角的余弦值为.【答案】B平面间的夹角如图253，直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是菱形，ADAA1，DAB60，F为棱AA1的中点求平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小图253【精彩点拨】本题依据条件可采用综合法(非向量法)或空间向量法求解，通过本题可体会二面角的
101、求解方法的综合应用【自主解答】法一：如图，延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，DB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，APAB.又DAB60，且底面ABCD是菱形，可得ABD为正三角形，故DBA60.PABP30，DBP90，即PBDB.又ABCDA1B1C1D1是直棱柱，DD1PB，PB平面DD1B.故DBD1就是二面角D1PBD的平面角显然BDADDD1，DBD145.法二：(向量法)建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(1，0)，F(1，1)，(2,0,1)，(1，2)显然，就是平面ABC
102、D的法向量，再设平面BFD1的一个法向量为向量u(x0，y0，z0)，则u且u，2x0z00且x0y02z00.令x01可得z02，y0，即u(1，2)设所求二面角的平面角为，则cos ，所求二面角大小为45.求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2.再练一题2.如图254所示，在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求
103、平面SCD与平面SAB所成二面角的正切值图254【解】如图，以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴，以AB的长为单位长度建立空间直角坐标系，则各点坐标为D、C(1,1,0)、B(0,1,0)、S(0,0,1)于是有，它是平面SAB的法向量设平面SCD的法向量为n，并设n(x，y，z)，由，及n，n，得令x1，则y，z，从而n，cos ，从而tan .直线与平面的夹角正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角【精彩点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，
104、证明C1AM是AC1与平面A1B所成的角；另一种是利用平面A1B的法向量求解【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0,0，a)设侧面A1B的法向量n(，x，y)，所以n0，且n0.所以ax0，且ay0，令xy0，故n(，0,0)又因为，所以cos AC1，n.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.计算直线l与平面的夹角为的方法有：(1)利用法向量计算的步骤如下：(2)利用定义计算的步骤如下：再练一题3把本例条件改为“侧棱与底面边长相等”，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值【导学号：32550044】【解】建立如图
105、直角坐标系，设底面边长为1，则A1(0,0,1)，B1(0,1,1)，C1设A1C1的中点为D，则D，B1D平面ACC1A1，是平面ACC1A1的一个法向量又(0,1,1)，cos ，AB1与侧面AAC1A1所成角的正弦值为.探究共研型夹角的向量求法探究1利用向量法求异面直线所成的角时，要注意什么？【提示】异面直线所成角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围是0，当应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角探究2两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？【提示】两平面的夹角范围是0，二面角的大小是指其
106、两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为0，其余弦值取还是应结合具体情况而定探究3利用向量法求直线与平面所成的角时，要注意什么？【提示】(1)直线与平面成所角的取值范围是.斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线l与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有：当为锐角时，sin cos ，cos sin 当为钝角时，sin cos ，cos sin 综上所述，sin |cos |或cos sin .图255如图255，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直
107、角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点求BD与平面ADMN的夹角.【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，n(1,0，1)cos，n，sin |cos，n|.又090，30.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面
108、的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos n1，n2.()(3)直线与平面所成角的范围为.()【解析】(1)两直线的方向向量所成的角可能为钝角，而异面直线所成的角是锐角或直角，故不相等(2)余弦值也可以是.(3)直线与平面所成角的范围为.【答案】(1)(2)(3)2(2014广东高考)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a与60夹角的是()【导学号：32550045】A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)【解析】对于A中的向量a1(1,1,0)，cos a，a1，a1与a的夹角为120，不合题意；对于B中的向量a2(1，1,0)，cos a，a2，a2与a的夹角
109、为60，符合题意；对于C中的向量a3(0，1,1)，cos a，a3，a3与a的夹角为120，不合题意；对于D中的向量a4(1,0,1)，cos a，a41，a4与a的夹角为180，不合题意，故选B.【答案】B3直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，若s，n，则直线l与平面所成的角为()A.BC.D【解析】s，n，l与所成的角为.【答案】B4在一个二面角的两个面内分别有向量m(1,2,0)，n(3,0，2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为_【导学号：32550046】【解析】由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角cos m，n.二面角的余弦值为.【答案】5如图256，
110、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角图256【解】分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，(0，a，a)，(a，a,0)cos ，.，120.异面直线BA1和AC的夹角为60.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.如图257，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若CMN90，则异面直线AD1与DM的夹角为()图2
111、57A30B45C60D90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1a，C1B1b，C1Cc.则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N.则，.CMN90，0.即b2c20，即b2c2.(0，b，c)b2c20.AD1与DM的夹角为90.【答案】D2.如图258，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()图258A.BC.D【解析】作AO平面BCD于O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB2，则O(0,0,0)，A，C，E，cos，.CE与平面BCD的夹角的正弦值
112、为.【答案】B3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABC，且PAAB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为()A75B60C45D30【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而(0,1，1)，(1,0,0)设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1(0,0,1)设n2(x，y，z)，由n2，n2，可得，可取n2(0,1,1)于是cos n1，n2，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45.【答案】C4如
113、图259所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()图259A.BC.D【解析】设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.【答案】D5P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么与的夹角大小为()【导学号：32550047】A60B70C80D90【
114、解析】设PMa，PNb，作MEAB，NFAB，则因BPMBPN45，故PE，PF.于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM，FN分别是，内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是与的夹角【答案】D二、填空题6若平面的一个法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为_【解析】平面的法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)则cos m，b，sin m，b.l与所成角的余弦值为.【答案】7正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_【导学号：325
115、50048】【解析】建立如图坐标系，设AB1，则D，A(0,0,0)，F(1,0,0)，B(0,1,0)，(1，1,0)cos .【答案】8如图2510所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与AB夹角的余弦值为_，A1C1与平面BB1C1C夹角为_，平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为_图2510【解析】A1CD是A1C与AB的夹角，cosA1CD；A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，A1C1B145；A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，A1BA45.【答案】4545三、解答题9.如图2511，在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB.图2511(
116、1)求证：SCBC；(2)求SC与AB所成角的余弦值【解】(1)证明：如图，取A为原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AS分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有AC2，BC，SB，得B(0，0)、S(0,0，2)、C，.0，SCBC.(2)设SC与AB所成的角为(0，0)，4，|4，cos ，即为所求10如图2512，在三棱柱ABOA1B1O1中，OAOB，且OB3，OA4，BB14，D为A1B1的中点P为BB1上一点，且OPBD.图2512求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值【解】以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0,0,0)，B(3,0
117、,0)，D，B1(3,0,4)设P(3,0，z)，则，(3,0，z)BDOP，4z0，解得z.BB1平面AOB，是底面AOB的一个法向量，且(0,0,4)sin POB|cos BPO|.直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.能力提升1平面的一个法向量为n1(4,3,0)，平面的一个法向量为n2(0，3,4)，则平面与平面夹角的余弦值为()ABC.D以上都不对【解析】cos n1，n2，平面与平面夹角的余弦值为.【答案】B2已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，则AC与PB所成的角的余弦值为()A.BC.D【解析】以A为坐标原点，建
118、立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,1,0)，C，P，从而，所以cos ，.【答案】B3正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是_【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，设BC与平面PAC的夹角为，则sin |cos ，n|，30.【答案】304(2014天津高考)如图2513，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，
119、ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点【导学号：32550049】图2513(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【解】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是
120、有cos n，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cos n1，n2，易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.6距离的计算1理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念(难点)2掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式(重点)3通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而
121、培养准确的运算能力(难点)基础初探教材整理1点到直线的距离阅读教材P48例1以上的部分，完成下列问题利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s，并求s0；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|；(4)计算在向量s上的投影s0；(5)计算点A到直线l的距离d.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.BCD【解析】(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离d .【答案】A教材整理2点到平面的距离阅读教材P49例2以上的部分，完成下列问题利用向量求点A到平面的距离步骤：(1)找到平面的法向量n；(2)
122、在平面内任取一点P；(3)计算在向量n上的投影n0；(4)计算点A到平面的距离d|n0|.1已知直线AB平面，平面的法向量n(1,0,1)，平面内一点C的坐标为(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直线AB到平面的距离为_【导学号：32550050】【解析】(1,2,0)，直线AB到平面的距离d.【答案】2已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，求点A到面BDC1的距离【解】建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知B(1,1,0)，C1(0,1,1)设面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则面BDC1的法向量为n(1，1,1)取面BDC1内的点D(0,0,0)，则(
123、1,0,0)，点A到面BDC1的距离d.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型点到点、点到线、线到线的距离(1)(2016临汾高二检测)如图261，在60的二面角AB内，AC，BD，ACAB于A，BDAB于B，且ACABBD1，则CD的长为_图261【自主解答】，222223211cos 1202，|.【答案】(2)单位正方体ABCDA1B1C1D1中，点B1到直线AC的距离为_【自主解答】建立坐标系如图，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，(1,1,0)，(0,1,1)，点B1到直线
124、AC的距离为【答案】(3)已知四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，SD面ABCD，且SDAD1，则异面直线SB与AC的距离为_【导学号：32550051】【自主解答】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，(1,1,0)，(1,1，1)设向量n(x，y，z)满足，即，令y1，可得n(1,1,2)在AC上取点A，在SB上取点B，(0,1,0)，所以异面直线SB与AC的距离d.【答案】1求A、B两点间的距离一般用|2用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特
125、殊点直线l的方向向量可任意选取点到直线的距离公式中s0是单位向量，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化3异面直线间的距离如图，设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线b上任一点，则异面直线a，b的距离d.再练一题1线段AB在平面内，AC.BDAB，且BD与所成角是30，如果ABa，ACBDb，求C、D间的距离【解】(1)当C，D在平面同侧时，由AC，可知ACAB，过D作DD1，D1为垂足，则DBD130，120.|2|2|2|2|2222b2a2b22b2cos 120a2b2，所以CD.(2)当C，D在平面异侧时，60.|2a23b2，即|，故CD或.点到平面的距离在正四
126、棱柱ABCDABCD中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D到平面BEF的距离【精彩点拨】以点D为坐标原点建系，设法求出平面BEF的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，0)，F(，2，0)，B(2，2，4)，D(0,0,4)，所以(，0)，(0，4)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则，即，令y1，则n，(2，2，0)，点D到平面BEF的距离d.求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以
127、法向量的模，即可求出点到平面的距离由于n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d|n0|.再练一题2本例条件不变，求点A到平面BEF的距离【解】由上题知平面BEF的法向量n，(2，0)(2，0,0)(0，0)，A到平面BEF的距离d.线面、面面距离如图262所示，在已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点求A1B1与平面ABE的距离图262【精彩点拨】求A1B1与平面ABE的距离，因为直线A1B1平行于平面ABE，所以直
128、线A1B1上任意一点到平面ABE的距离相等，所以A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，从而转化为点到平面的距离求解【自主解答】如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF，B(1,2，0)，(0,2，0)，(1，1)设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则由得y0，xz，不妨取n(1,0,1)直线A1B1平面ABE，直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离(0,0,2)，A1B1到平面ABE的距离为.1求直线与平面的距离
129、，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点可适当选取，以求解最为简单为准则，因线面距可用点面距求解，反之，求点到平面的距离时也可用直线到平面的距离过渡2两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离再练一题3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离【导学号：32550051】【解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，
130、n(1,1,1)点D1到平面A1BD的距离d.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.探究共研型空间中的距离的求法探究1空间中的距离有几类？【提示】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离探究2求点到平面的距离要注意什么？【提示】(1)求点到平面的距离除了向量法外还有一种常用的方法是等体积法(2)求点到平面的距离公式d|n0|中n0是单位法向量而不是法向量(3)求点到平面的距离的步骤可简化为：求平面的法向量；求斜线段
131、对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离【精彩点拨】以点A为坐标原点建系，求出点N的坐标和平面ACM的法向量n，然后利用点到平面的距离公式求解【自主解答】分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2，0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，由已知得AMMC，可求得M(0,2,2)(2,4,0)，(0,2,2)，设平面ACM的一个法向量n(x，y，z)，由n，n，可得令
132、z1，则n(2，1,1)由已知得，ANNC，在RtPAC中，PA2PNPC，PC6，所以PN，则NCPCPN，.N所以所求距离为点P到平面ACM距离的，又点P到平面ACM的距离为.所以点N到平面ACM的距离为.向量法解探究题探究如何利用向量法解决垂直、平行、距离的探索题目？【提示】有关是否存在一点使得直线与平面之间满足垂直、平行或有关距离的探索性问题，解答时，先假设存在这样的点，建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，由直线与平面的垂直、平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立所求点坐标的方程，若方程有解，则点存在；否则，点不存在如图263所示，四棱锥PABCD中，P
133、A面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BADABC90，PAAD2，ABBC1，试问在线段PA上是否存在一点M，到平面PCD的距离为？若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由图263【自主解答】如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，设直线AP上有一点M(0,0，z0)，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则由得令z1，得n(1,1,1)n0n.点M到面PCD的距离为d|n0|2z0|，d，可解得z03或z01.当z03时，M(0,0,3)在线段AP延长线上，故舍去；当z01时，M(0,0,1)是线段AP的中点综上可知，
134、线段AP的中点到平面PCD的距离为.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度()(2)直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()【答案】(1)(2)(3)2已知向量n(1,0，1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.BC.D【解析】n(1,0，1)与直线l垂直，n的单位向量n0.又l经过点A(2,3,1)，(2,0,1)，在n上的投影：n0(2,0,1).
135、点P到l的距离为.【答案】B3如图264，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()图264A.BC.D【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因O为A1C1的中点，所以O，(0,1,0)，(1,0,1)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1,0,1)，O到平面ABC1D1的距离为d.【答案】B4在坐标平面xOz内，与三点A(0,1,
136、2)、B(2,0,1)、C(1,2,0)距离相等的点的坐标为_【导学号：32550052】【解析】设该点的坐标为P(x,0，z)，由PAPBPC，得x21(z2)2(x2)2(z1)2(x1)24z2，解得xz0.【答案】(0,0,0)5已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离【解】建立如图所示的空间直角坐标系设EFBD，F为垂足，由于F的位置未确定，设(R)，则F(，0)，.，(1,1,0)，0，即0.|，故点E到直线BD的距离为.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达
137、标一、选择题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.aBaC.aDa【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)点M在上且.(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.于是M.|a.【答案】A2已知平面的法向量为n(2，2,1)，点A(x,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为，则x() 【导学号：32550053】A1B11C1或11D21【解析】(x2,2，4)，而d，即，解得x1或11.【答案】C3(2016南宁高二检测)已知正方体ABCDA1B1C1D1
138、的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为()A.BC.D【解析】建系如图A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,1,0)，(1,1,0)，(1,0,1)，设n(x，y，z)，令，令x1则n(1,1，1)(1,0,0)，与AC的距离d.【答案】C4ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5BC4D2【解析】设，D(x，y，z)则(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45)3(3)0，| 5.【答案】A5在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1
139、的距离为()A.BC.D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)(2,2,0)，(2,0，4)，(0,0,4)，设n(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n，n，即令z1，则平面AB1D1的一个法向量为n(2，2,1)由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d.【答案】C二、填空题6如图265所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEB是等腰直角三角形，其中AEB90，则点D到平面ACE的距离为_图265【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，E(1,
140、0,0)，D(0，1,2)，C(0,1,2).(0,0,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，设平面ACE的法向量n(x，y，z)，则即令y1，n(1,1，1)故点D到平面ACE的距离d.【答案】7设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_【导学号：32550054】【解析】设平面ABC的法向量n(x，y，z)，n0，n0，即令z2，则n(3,2，2)又(7，7,7)，点D到平面ABC的距离为d.【答案】8如图267所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为_图267【解析】建立如图
141、所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.E，F，M，N分别是棱的中点，MNEF，A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离设平面B1NMD1的法向量为n(x，y，z)，n0，且n0.即(x，y，z)(1,1,0)0，且(x，y，z)0.xy0，且xz0，令x2，则y2，z1.n(2，2,1)，n0.A1到平面B1NMD1的距离为d|n0|.【答案】三、解答题9如图268，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12.图268(1)求证：直线CD1平面
142、A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离【证明】(1)建系如图，则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以(0，4,2)，(0，4,2)，(3,0,2)，(3,0,0)，CD1BA1，又因为CD1平面A1BC1，BA1平面A1BC1，所以CD1平面A1BC1.(2)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即取z6，则x4，y3，n(4,3,6)，则n(3，0,0)(4,3,6)12，|n|.所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，即d.10如图269，已知ABC是以B为直角的直角三角形，S
143、A平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离图269【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)，(0，2,2)，(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n(2,1,1)(0,0,2)点A到平面SND的距离为.能力提升1若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B1C.D【解析】如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，B1B
144、ABtan 60.所以AA1BB1.【答案】D2如图2610，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA，则B1到平面PAD的距离为()图2610A6BC.D【解析】以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n(x，y，z)，(0,2,0)，(1,1,2)，n0，且n0.y0，xy2z0，取z1，得n(2,0,1)(2,0,2)，B1到平面PAD的距离d.【答案】C3.如图2611所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离
145、为_【导学号：32550055】图2611【解析】设，的单位向量分别为e1，e2，e3，选取e1，e2，e3为空间向量的一个基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3.设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，ne1e3.直线AE与平面间的距离为d.【答案】4(2016石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解】(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示则P(0,0,1)，
146、A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则n0且n0，所以令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.章末分层突破自我校对平面间的夹角直线与平面的夹角点到直线的距离点到平面的距离空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础沿着正四面体OABC的三条棱、的
147、方向有大小等于1、2和3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值【精彩点拨】用向量表示f1，f2，f3，再根据求模与夹角的向量运算公式求解【自主解答】如图所示，用a，b，c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1a，f22b，f33c则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012cos 601423625.|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.再练一题1如图21，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1
148、的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的序号是_图21【解析】容易推出：0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.【答案】利用空间向量证明垂直与平行向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下(1)线线平行证明两条直线
149、平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线
150、垂直问题如图22，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.图22(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.【精彩点拨】(1)可以求出平面BDE的一个法向量，只要证明直线AF的方向向量与面BDE的一个法向量垂直，即数量积为零也可以证明AF平面BDE.(2)可以通过证明直线CF的方向向量与面BDE的法向量共线证明CF平面BDE.【规范解答】因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，
151、E(0，0,1)，F.(1)设AC与BD交于点G，则点G为AC的中点，连接EG，于是G，从而，又，所以.又AF与EG不共线，所以AFEG，又AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)由于，(0，1)，(，0,1)，所以0110，1010.所以CFBE，CFDE.所以CF平面BDE.再练一题2正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.【导学号：32550056】【证明】如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，F，A(1,0,0)(1,0,0)，D1F.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别
152、是平面AED和A1FD1的一个法向量，由令y11，得m(0,1，2)又由令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.利用空间向量求空间角(1)求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线的夹角为n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.(2)求面面的夹角如图24，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面、的夹角，所以cos |cosn1，n2|.图24(3)求斜线与平面的夹角如图25，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面的夹角为，则s
153、in |cosn1，n2|.图25如图26所示四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC平面AMN.图26(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值【精彩点拨】易观察知PA、AB、AD两两垂直，以A为原点建立直角坐标系，用向量法求解【规范解答】建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，(2,2，2)，(0,2，2)设M(x1，y1，z1)，(x1，y1，z12)(0,2，2)，x10，y12，z122，M
154、(0,2，22)PC平面AMN，0，(2,2，2)(0,2，22)042(22)0，M(0,1,1)设N(x2，y2，z2)，t，(x2，y2，z22)t(2,2，2)，x22t，y22t，z22t2，N(2t,2t,22t)，0，(2t,2t,22t)(2,2，2)0，4t4t2(22t)0，t，N.(1)cos ，0，AM与PD所成角为90.(2)AB平面PAD，PC平面AMN，分别是平面PAD，平面AMN的法向量，二面角PAMN的余弦值cos .(3)直线CD的方向向量(2,0,0)，平面AMN的法向量(2,2，2)，直线CD与平面AMN所成角的正弦值sin .直线CD与平面AMN所成角
155、的余弦值为.再练一题3如图27，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC的夹角；(3)求平面EAB与平面EBC的夹角图27【解】(1)证明：四边形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)(0,1,1)，(0,2，2
156、)，(2,0,0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，.，60.直线AB与平面EBC的夹角为30.(3)设平面EAB的法向量为n(x，y，z)，则n，且n，n0且n0.即取y1，x1.n(1，1,0)又为平面EBC的一个法向量，且(0,1,1)，cosn，.设平面EAB与平面EBC的夹角为，则cos |cosn，|，60.平面EAB与平面EBC的夹角60.利用空间向量求空间距离向量法求空间距离的注意点(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用
157、向量求解(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离d.(3)坐标方法：利用数及其运算来解决问题坐标方法经常与向量运算结合图28如图28，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CABCCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离【精彩点拨】证明AO平面BCD，可以利用题中的已知条件证明AO与平面BCD内的两条相交直线垂直(2)、
158、(3)可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解(2)也可以不建系，利用异面直线所成角的定义作出异面直线所成的角，(3)也可以利用等积变换法求解【自主解答】(1)如图，连接OC.BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E，(1,0,1)，(1，0)cos ，.异面直线AB与CD所成角的余弦为.(3)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则.令y
159、1，得n(，1，)是平面ACD的一个法向量又，点E到平面ACD的距离d.再练一题4如图29，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离图29【解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F，E，B(1,1,0)，.设平面AEC1F的一个法向量为n(1，)，则n0，n0.，n(1,2，1)又(0,1,0)，点B到截面AEC1F的距离d.转化与化归思想的应用转化化归的思想方法是本章最主要的思想方法，一方面把空间中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为有关的向量计算；另一方面，将异面直线间的距离、平行的直线与平面间
160、的距离、平行平面间的距离转化成点到面的距离，这些都是这一思想方法的具体应用在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面CB1D1；(2)求平面A1BD与平面CB1D1间的距离【精彩点拨】(1)利用面面平行的判定定理证明；(2)先将面面距离等价转化为点面距离后利用向量方法求解【规范解答】(1)由于A1D1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，则有CD1A1B，同理可以证明BDB1D1，由BDBA1B，平面A1BD平面CB1D1.(2)如图所示建立空间直角坐标系，根据题意，平面A1BD与平面CB1D1间的距离为其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离
161、，则我们不妨求点B1到平面A1BD的距离，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)因为(0,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则有：，令x1，则y1，z1，所以可取n(1，1，1)，则点B1到平面A1BD的距离da，即平面A1BD与平面CB1D1间的距离为a.再练一题5如图210，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长图210【解】(1)证明：
162、因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.(2)设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)设PB与AC所成角为，则cos .(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0.所以令y，则x3，z.所以m.同理，平面PDC的法向量n.平面PBC平面PDC，mn0，即60，解得t.所以PA.1(2015天津高考节选)如图
163、211，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点求证：MN平面ABCD.【导学号：32550057】图211【证明】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，C(2，0,0)，D(1，2,0)，B1(0,1,2)，D1(1，2,2)因为M，N分别为B1C，D1D的中点，所以M，N(1，2,1)依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，又，则n0，又直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.2(2015全国卷)如图212所示，四边形ABCD为菱形，ABC120，
164、E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.图212(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【解】(1)证明：如图，连结BD，设BDACG，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面A
165、EC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.3(2015陕西高考)如图213，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图213.图213(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值【解】(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的
166、中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1
167、CD夹角的余弦值为.4(2015全国卷)如图214，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形【导学号：32550058】图214(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1
168、0,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6,8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.图2155(2016全国甲卷)如图215，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值【解】(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因为EFHD，从而E
169、FDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.章末综
170、合测评(二)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a、b、c是空间任意三个向量，R，下列关系式中不成立的是()AabbaB(ab)baC(ab)ca(bc)Dba【解析】只有a，b共线时，ba，故选D.【答案】D2已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10)D(4,3,2)【解析】设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j
171、6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)【答案】A3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交【解析】u2a，l.【答案】B4.如图1，在四面体ABCD中，已知a，b，c，则等于()图1AabcBabcCabcD.abc【解析】()abc.【答案】A5从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为()A(9，7,7)B(18,17，17)C(9,7，7)D(14，19,31)【解析】设B(x，y，z)，(x2，y1，z7)(8,9，12)，0.故x28，y
172、19，z712，又(x2)2(y1)2(z7)2342，得(17)2342，0，2.x18，y17，z17，即B(18,17，17)【答案】B6(2016长春高二检测)已知向量e1，e2，e3，是两两垂直的单位向量，且a3e12e2e3，be12e3，则(6a)等于()A15B3C3D5【解析】以(e1，e2，e3)为基底，a(3,2，1)，b(1,0,2)，(6a)3ab3(31022)3.【答案】B7已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()AB6C6D【解析】，平面的法向量与平面的法向量也互相平行，6.【答案】B8正方体ABCDA1B1C1D1中，直线D
173、D1与平面A1BC1所成角的正弦值为() 【导学号：32550059】A.BC.D【解析】以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设棱长为1，则平面A1BC1的法向量为n(1,1,1)，(0,0,1)，cos n，sin .【答案】A9如图2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()图2A.BC.D【解析】建立如图所示坐标系，得D(0,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)，则(2,2,0)，(0,0,1)，(2,0,1)设平面BD1的法向量n(x，y，z)取n(1，
174、1,0)设BC1与平面BD1所成的角为，则sin cosn，.【答案】D10在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线B1C与DB所成的角为()A30B60B120D150【解析】建立如图所示的坐标系，则B(a,0,0)，B1(a,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，(0，a，a)，(a，a,0)，cos ，120.异面直线B1C和DB所成的角为60.【答案】B11在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是()A.BC.D【解析】如图所示，建立坐标系，易求点
175、D，平面AA1C1C的一个法向量是n(1,0,0)，所以cos n，即sin .【答案】D12.如图3，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()图3【解析】如图，以D为原点，DA、DC分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线yx.【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)1
176、3已知向量a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_【导学号：32550060】【解析】ba(1t,2t1,0)|ba|与t时|ba|有最小值为.【答案】14若平面，的法向量分别为u(4,0,3)，v(1,1,0)，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为_【解析】平面，的法向量分别为u(4,0,3)，v(1,1,0)cos u，v.两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为.【答案】15已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点，满足，则点C的坐标为_【解析】将等式改写为()，即()，.又2(10，3,7)，即点C的坐标为.【答案】16在直三棱柱ABCABC中，
177、底面ABC是等腰直角三角形，且ABAC1，AA2，则A到直线BC的距离为_【导学号：32550061】【解析】由题意，可知AB、AC、AA两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(1,0,0)，C(0,1,2)，所以点A到直线BC的距离为d.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，pab，qa2bc，求p，q，pq.【解】pab(1,1,0)(0,1,1)(1,0，1)qa2bc(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1)(0,3
178、,1)pq(1,0，1)(0,3,1)1003(1)11.18(本小题满分12分)已知三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，问a为何值时，点C到平面AB1D的距离为1?【解】建立如图所示的空间直角坐标系，Bxyz.则A，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D.则.，.设n(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，则令x1，则y，z，n点C到平面AB1D的距离da.令a1，a2.19(本小题满分12分)如图4，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD
179、1平面ABCD，DD12.图4求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1平面B1BDD1.【证明】图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)以D为原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如(1)(1,1,0)，(2,2,0)，(1,1,0)，(2,2,0)，2，2.与平行，与平行，于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2)(0,0,2)(2,2,0)0，(2,2,0)(2,2,0)0，.又DD1与DB是平面
180、B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1.又平面A1ACC1过AC，平面A1ACC1平面B1BDD1.20(本小题满分12分)正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CB的中点EFBDG.求三棱锥B1EFD1的体积【解】以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0,0,4)，E(2，0)，F(，2，0)，(2，4)，(，2，4)，(2，2，0)，cos ，sin，所以SD1EF|sin ，5，又平面D1EF的法向量为n，点B1到平面D1EF的距离d，VB1EFD1SEFD1d5.21.(本小题满分12分)如图5，在
181、底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.图5(1)证明：PA平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在点F，使BF平面AEC?【解】(1)证明：底面ABCD是菱形，ABC60，ABADACa.在ABP中，PA2AB22a2PB2，PAAB.同理PAAD.ABADA，PA平面ABCD.(2)以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意，得A(0,0,0)，B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E.，.设点F是PC上一点，.令mn，则解得即当F为PC中点时，、共面又BF不在平面AEC内，故当F为PC中点时，BF平面AEC.22.(本小题满
182、分12分)(2014山东高考)如图6，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点图6(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值【导学号：32550062】【解】(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形因此C1MD1A，又C1
183、M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)如图，连接AC，MC，由(1)知，CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos CD1，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
