1、第3讲 三角函数的图象与性质 第三章 三角函数、解三角形考纲解读 1.熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质(重点)2掌握正弦、余弦函数在0,2上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函数在2，2 上的单调性(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2021 年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.1 基础知识过关 PART ONE 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函
2、数 ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)余弦函数 ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx xR，且xk2，kZ值域01 _02 _03 _1,11,1R函数ysinxycosxytanx最值当x22k(kZ)时，ymax1；当x32 2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1x2k，2k，kZ，无最大值，也无最小值周期2k2kk奇偶性04 _05
3、 _奇函数奇函数偶函数函数ysinxycosxytanx单调性在 06 _ _上递增；在 07 _ _上递减在 08 _上递增；在 09 _上递减在 10_上递增22k，22k(kZ)22k，32 2k(kZ)2k,2k(kZ)2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)函数ysinxycosxytanx对称中心11 _12 _13 _对称性 对称轴14 _ 15 _无对称轴k，0，kZk2，0，kZk2，0，kZ直线xk2，kZ直线xk，kZ1概念辨析(1)ytanx在整个定义域上是增函数()(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期()(3)函数f(x)sin2x3 的最小正周期为
4、2.()(4)sin20sin700，9x20，解得kxk2，kZ，3x3，所以3x2或0 x2.所以函数的定义域为3，2 0，2.解析3，2 0，22(2017全国卷)函数f(x)sin2x3 cosx 34 x0，2 的最大值是_解析 f(x)1cos2x 3cosx34cosx 3221.x0，2，cosx0,1，当cosx 32 时，f(x)取得最大值，最大值为1.1解析3(2019长沙质检)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_12 2，1解析 令tsinxcosx，则t2 sinx4 2，2 由(sinxcosx)212sinxcosx得sinxcosx12(1t2)，所
5、以yt12(1t2)，t 2，2的值域即为所求因为yt12(1t2)12(t1)21，当t 2时，ymin12 2，当t1时，ymax1，所以原函数的值域为12 2，1.解析1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解如举例说明1.2.三角函数最值或值域的三种求法直接法直接利用sinx和cosx的值域求解化一法把所给三角函数化为yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域换元法把sinx，cosx，sinxcosx或sinxcosx换成t，转化为二次函数的值域问题求解如举例说明
6、2,31.函数y tanx cosx的定义域为_解析 由tanx0，cosx0，得tanx0，cosx0.所以2kx0)在0，内的值域为1，22，则的取值范围是_解析 当x0，时，x44，4，又因为函数f(x)的值域为1，22，所以可得4，74，解得34，32.34，32解析1.(2019全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 上单调递增的是()A.f(x)|cos2x|Bf(x)|sin2x|C.f(x)cos|x|Df(x)sin|x|答案题型二 三角函数的单调性 解析 作出函数f(x)|cos2x|的图象，如图由图象可知f(x)|cos2x|的周期为2，在区间4，2 上单调递增同理
7、可得f(x)|sin2x|的周期为2，在区间4，2 上单调递减，f(x)cos|x|的周期为2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.解析2.已知3为函数f(x)sin(2x)02 的零点，则函数f(x)的单调递增区间是()A.2k512，2k 12(kZ)B.2k 12，2k712(kZ)C.k512，k 12(kZ)D.k 12，k712(kZ)答案解析 由于3为函数f(x)sin(2x)00，函数f(x)cosx4 在2，上单调递增，则的取值范围是_32，74解析 函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ.则2 42k，42k，kZ，解得4k522k14，kZ，
8、又由4k522k14 0，kZ，且4k520，kZ，得k1，所以32，74.解析求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间如举例说明1.1.(2019中山模拟)函数f(x)tanx26 的单调递增区间为()A.2k23，2k43，kZB.2k23，2k43，kZC.4k23，4k43，kZD.4k23，4k43，kZ解析 由k2x26k2，kZ，得2k23 x2k43，kZ.所以函数f(x)tanx26 的单调递增区间为2k23，2k43，kZ.答案解析2.已知函数f(x)x2cosx，则f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小
9、关系是()A.f(0)f(0.6)f(0.5)B.f(0)f(0.5)f(0.6)C.f(0.6)f(0.5)f(0)D.f(0.5)f(0)f(0.6)解析 因为函数f(x)x2cosx是偶函数，且在(0，)上是增函数，所以f(0)f(0.5)f(0.5)f(0.6)，故选B.答案解析3.(2019天津市红桥区模拟)若f(x)cosxsinx在a，a上是减函数，则a的最大值是_4解析 f(x)cosxsinx(sinxcosx)2sinx4.由22kx422k，kZ，得42kx34 2k，kZ，取k0，得f(x)的一个减区间为4，34.由f(x)在a，a上是减函数，得a4，a34，a4，故a
10、的最大值为4.解析角度1 三角函数的周期性1.(2018全国卷)函数f(x)tanx1tan2x的最小正周期为()A.4B.2C D2解析 由已知得f(x)tanx1tan2xsinxcosx1sinxcosx2sinxcosx12sin2x，所以f(x)的最小正周期T22.故选C.答案解析题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度2 三角函数的奇偶性2.若函数f(x)cos2x3(0)是奇函数，则_.解析 因为f(x)为奇函数，所以32k(kZ)，56 k，kZ.又因为00)的周期为2，函数yAtan(x)(0)的周期为求解如举例说明1.2.函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(
11、xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数k2(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇函数k2(kZ)如举例说明2；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)3.与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数yAsin(x)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断如举例说明3.1.(2019全国卷)若x14，x234 是函数f(x)sinx(0)两个相邻的极值点，则()A.2 B.32C1 D.12解析 由题意及函数f(x)sinx(0)的
12、图象与性质可知，12T34 4，T，2，2.故选A.答案解析2.(2019北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的xR，同时满足条件f(x)f(x)和f(x)f(x)的函数是()A.f(x)sinxBf(x)sinxcosxC.f(x)cosxDf(x)cos2xsin2x解析 由f(x)f(x)可知函数是偶函数，且f(x)f(x)，则函数的周期为.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)sinxcosx12sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2，故错误；D项中f(x)cos2xsin2xcos2x，该函数是周期为的偶函数，故选D.答案解析3.关于函数yt
13、an2x3，下列说法正确的是()A.是奇函数B.在区间0，3 上单调递减C.6，0 为其图象的一个对称中心D.最小正周期为解析 ytan2x3 是非奇非偶函数，A错误；ytan2x3 在区间0，3 上单调递增，B错误；由2x3k2 得xk4 6(kZ)，得函数ytan2x3 的对称中心为k4 6，0，kZ，故C正确；函数ytan2x3 的最小正周期为2，D错误.答案解析3 课时作业 PART THREE 1.函数ycos2x4 是()A.周期为的奇函数B周期为的偶函数C.周期为2的奇函数D周期为2的偶函数A组基础关解析 因为ycos2x4 cos2x2 sin2x，故选A.答案解析2.设aco
14、s 12，bsin416，ccos74，则()A.acbBcbaCcabDbca解析 sin416 sin876 sin76 sin6cos3，cos74 cos24cos4 cos4，因为ycosx在0，2 上是减函数，所以cos 12cos4cos3，即acb.答案解析3.函数ytanxsinx|tanxsinx|在区间2，32 内的图象是()解析 ytanxsinx|tanxsinx|2tanx，x2，2sinx，x，32.结合选项图形知，D正确.答案解析4.已知函数f(x)tan2x，则下列说法不正确的是()A.yf(x)的最小正周期是B.yf(x)在4，4 上单调递增C.yf(x)是
15、奇函数D.yf(x)的对称中心是k4，0(kZ)答案解析 函数yf(x)的最小正周期是2，故A错误当x4，4 时，2x2，2，此时函数f(x)tan2x为增函数，故B正确因为f(x)tan2(x)tan2xf(x)，所以f(x)tan2x是奇函数，故C正确由2xk2，kZ，得xk4，kZ，所以f(x)tan2x的对称中心是k4，0，kZ，故D正确.解析5.(2019福建六校联考)若函数f(x)2sin(x)对任意x都有f3x f(x)，则f6()A.2或0B0C.2或0 D2或2解析 因为f3x f(x)对任意xR都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x6，所以f6 2.答案解析6.
16、已知函数f(x)cos(x)0|2，fx4 是奇函数，则()A.f(x)在4，上单调递减B.f(x)在0，4 上单调递减C.f(x)在4，上单调递增D.f(x)在0，4 上单调递增答案解析 因为f(x)cos(x)，所以fx4 cosx4，又因为fx4是奇函数，所以4k2，kZ，所以k4，kZ，又0|2，所以4，f(x)cosx4，当x0，4 时，x44，2，f(x)单调递减，当x4，时，x42，54，f(x)先减后增，故选B.解析7.(2019衡水联考)函数f(x)sin2x3 13在区间(0，)内的所有零点之和为()A.6B.3C.76D.43解析 设t2x3，则由x(0，)，得t3，73
17、.由f(x)0得sint13，结合函数ysint的图象可知此方程有两个实根t1和t2，且t1t23，所以函数f(x)在(0，)内有两个零点x1和x2，且2x132x233，所以x1x276.答案解析8.函数的定义域是_解析 由所以0 x2且x4，所以函数f(x)的定义域为x0 x2，且x4.解析x00)的最小正周期为，则f3 _.解析 由题设及周期公式得T，所以1，即f(x)sinx3，所以f3 sin23 32.32解析10.函数f(x)2020sin13x6(0 x2)的值域是_解析 因为0 x2，所以613x656.所以12sin13x6 1，所以函数f(x)2020sin13x6 的值
18、域为1010,2020.1010,2020解析1.(2020湖南衡阳八中月考)定义运算：a*ba，ab，b，ab.例如1()A.22，22B1,1C.22，1D.1，22B组能力关答案解析 画出函数f(x)sinx，sinxcosx，cosx，sinxcosx的图象(如图中实线所示)根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2)的情况即可观察图象可知函数f(x)的值域为1，22.解析2.(2019辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)cos2xsinx，那么下列命题中的假命题是()A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数B.f(x)在，0上恰有一个零点C.f(x)是周期函数D.f(x)在2，56
19、上是增函数答案解析 因为f(x)cos2xsinx，所以f(x)cos2xsinx.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数所以A是真命题；令f(x)cos2xsinx0，得1sin2xsinx0，解得sinx1 52.此时x有两个值所以f(x)在，0内恰有两个零点所以B是假命题；因为f(x)cos2xsinx1sin2xsinxsinx12254.显然f(x)是周期函数，所以C是真命题；对于f(x)sinx12254，令usinx在2，56 上单调递减，则yu12254在12，1 上单调递减，所以D是真命题.解析3.(2020赣州摸底)已知函数f(x)sinx6 12，0，xR，且f()12，f(
20、)12.若|的最小值为34，则f34 _，函数f(x)的单调递增区间为_31223k，3k，kZ解析 函数f(x)sinx6 12，0，xR，由f()12，f()12，且|的最小值为34，得T434，即T32，所以23.所以f(x)sin23x6 12.则f34 sin312 312.由22k23x622k,kZ,得23kx3k,kZ，即函数f(x)的单调递增区间为23k，3k，kZ.解析4.已知函数f(x)sin2x3.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x4，4 时，f(x)12.解(1)f(x)的最小正周期T22.(2)证明：因为4x4，所以62x356，所以sin2x3 sin
21、6 12，所以当x4，4 时，f(x)12.解析1.已知函数f(x)2sinx4(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在0，2 上的单调性解(1)f(x)2sinx4 的最小正周期为，2，f(x)2sin2x4.令2x4k2(kZ)，得xk2 38(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为xk2 38(kZ)解析C组素养关(2)令2k22x42k2(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为k8，k38(kZ)注意到x0，2，所以令k0，得函数f(x)在0，2上的单调递增区间为0，38；令22k2x432 2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为k
22、38，k78(kZ)，令k0，得f(x)在0，2 上的单调递减区间为38，2.解析2.已知函数f(x)2sin24x 3cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)f(xt)的图象关于点6，0 对称，且t(0，)，求t的值；(3)当x4，2 时，不等式|f(x)m|3恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)cos22x 3cos2xsin2x 3cos2x212sin2x 32 cos2x 2sin2x3，故f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知h(x)2sin2x2t3.令26 2t3k(kZ)，得tk2 3(kZ)，又t(0，)，故t3或56.(3)当x4，2 时，2x36，23，所以f(x)1,2又|f(x)m|3，即f(x)3mf(x)3，所以23m13，即1m4.故实数m的取值范围是(1，4).解析本课结束
