1、第7讲 函数的图象 第二章 函数、导数及其应用考纲解读 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题2掌握作函数图象的常用方法：描点法；平移法；对称法(重点)3能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点预测2021 年高考将会考查：已知函数解析式识别函数的图象；利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解1 基础知识过关 PART ONE 1.利用描点法作函数图象的流程2变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移
2、，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减(2)对称变换yf(x)关于x轴对称 y 03 _；yf(x)关于y轴对称y 04 _；yf(x)关于原点对称y 05 _；yax(a0 且 a1)关于yx对称y 06 _(a0 且 a1)f(x)f(x)f(x)logax(3)翻折变换yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y 07 _；yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y 08 _|f(x)|f(|x|)(4)伸缩变换y y 09 _；y f(x)a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 y 10_f(ax)af(
3、x)1.概念辨析(1)当 x(0，)时，函数 yf(x)与 yf(|x|)的图象相同()(2)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(4)若函数 yf(x)满足 f(x)f(x)0，则函数 f(x)的图象关于点(，0)中心对称()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)设 ab，函数 y(xa)2(xb)的图象可能是()解析 因为(xa)20，所以当 xb 时，y0，当 xb 时，y0，对照四个选项，C 中的图象符合题意答案解析(2)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个
4、单位长度得到()A.函数 yf(x1)的图象B.函数 yf(x1)的图象C.函数 yf(x)1 的图象D.函数 yf(x)1 的图象解析 函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度，得到函数 yf(x1)，即 yf(x1)的图象答案解析(3)把函数 yln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到的图象的函数解析式是_解析 函数 f(x)ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到的图象的函数解析式是 fx2 ln x2，即 yln x2.yln x2解析(4)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是_解析 作出函数 ylo
5、g2(x1)的图象，如图所示：其中函数 f(x)与 ylog2(x1)的图象的交点为D(1,1)，由 图象可知 f(x)log2(x 1)的解 集为 x|1x1.(1,1解析2 经典题型冲关 PART TWO 作出下列函数的图象：(1)y2xx1；(2)y12|x1|；(3)y|log2x1|；(4)yx22|x|1.解(1)易知函数的定义域为x|x1，xRy2xx11 3x1，因此由函数 y3x的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到函数 y2xx1的图象，如图 1 所示解析题型 一 函数图象的画法(2)先作出 y12x，x0，)的图象，然后作其关于 y 轴的对称图
6、象，再将整个图象向左平移 1 个单位长度，即得到 y12|x1|的图象，如图 2 所示(3)先作出 ylog2x 的图象，再将图象向下平移 1 个单位长度，保留 x轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得到 y|log2x1|的图象，如图 3 所示解析(4)yx22x1x0，x22x1x0的图象如图 4 所示解析条件探究 将本例(4)改为 y|x22x1|，其图象怎样画？解 yx22x1x1 2或x1 2，x22x11 2x1 2，画图如图所示.解析函数图象的画法(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出
7、(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象如举例说明(4)(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出如举例说明(1)、(2)、(3)作出下列函数的图象：(1)y 1x11；(2)yx22x2，x(1,2；(3)y10|lg x|.解(1)函数图象如图 1 所示(2)函数图象如图 2 所示解析(3)y10|lg x|x，x1，1x，0 x1，f()120，排除 B，C.故选 D.解析2.已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为()答案解析解析 解法一：由 yf(x
8、)的图象知，f(x)x，0 x1，1，1x2.当 x0,2时，2x0,2，所以 f(2x)1，0 x1，2x，1x2，故 yf(2x)1，0 x1，x2，1x2.图象应为 B.解析解法二：当 x0 时，f(2x)f(2)1；当 x1 时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选 B.解析函数图象辨识的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明 1.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明 1.1.函数 f(x)
9、sin(x)e的图象可能是()答案解析解析 由 f12 e0，排除 D；由 f(x)f(x)，可知 f(x)是奇函数，可排除 C；由 f32 sin32 eee01.可排除 B.故选 A.解析2如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 lAB 于点 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形 ABCD 分成两部分，设 AEx，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为()解析 直线 l 在 AD 圆弧段时，面积 y 的变化率逐渐增大，l 在 DC 段时，y 随 x 的变化率不变；l 在 CB 段时，y 随 x 的变化率逐
10、渐变小，故选 D.答案解析角度 1 研究函数的性质1.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时，f(x)121x，则下列说法：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x)12x3.其中所有正确说法的序号是_解析 由已知条件，得 f(x2)f(x)，故 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；当1x0 时，0 x1，f(x)f(x)121x，函数 yf(x)的图象如图所示，当 3x4 时，1x40，f(x)f(x4)1
11、2x3，因此正确，不正确.解析角度 2 解不等式2.(2019昆明检测)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且 f(x)在(，0)上是减函数，f(2)0，g(x)f(x2)，则不等式 xg(x)0 的解集是()A.(，22，)B.4，20，)C.(，42，)D.(，40，)答案解析 依题意，画出函数 g(x)的大致图象如图，则 xg(x)0 x0，gx0或x0，gx0，由图可得 xg(x)0 的解集为(，42，)解析3.不等式 3sin2xx0 的整数解的个数为()A.2 B3 C4 D5解析 不等式3sin2xx0可化为3sin2xx，作出函数y3sin2x 和 yx 的图象如下图所
12、示：结合图象可知，3sin2xx 的整数解为 3和 7，共 2 个.答案解析角度 3 求取值范围4.设函数 f(x)|2x1|，x2，x5，x2，若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c 的取值范围是()A.(16,32)B(18,34)C.(17,35)D(6,7)答案解析 画出函数 f(x)的图象如图所示不妨令 abc，则 12a2b1，则 2a2b2.结合图象可得 4c5，故 162c32.所以 182a2b2c34.故选 B.解析5.若关于 x 的不等式 4ax13x4(a0，且 a1)对于任意的 x2 恒成立，求 a 的取值范围解 不等式 4ax
13、13x4 等价于 ax134x1.令 f(x)ax1，g(x)34x1，当 a1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图 1 所示，由图知不满足条件；当 0a1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图 2 所示，当 x2 时，f(2)g(2)，即 a213421，解得 a12，所以 a 的取值范围是0，12.解解析1.利用图象研究函数性质问题的思路对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：2.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解如举例说明 3.3.利用函数图象解答
14、求取值范围问题(1)借助函数图象由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系，如举例说明 4.(2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解如举例说明 5.1已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)解析 函数 f(x)x|x|2x 的定义域是 R，且 f(x)x|x|2(x)x|x|2xf(x)，答案解析所以函数 f(x)是奇函数，f(x)x|x|2xx22x，x
15、0，x22x，xbc”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由图可知，“x1”“abc”，但“abc”/“x1”，即“abc”是“x1”的必要不充分条件故选 B.答案解析3(2019山西四校联考)已知函数 f(x)|x21|，若 0ab 且 f(a)f(b)，则 b 的取值范围是()A(0，)B(1，)C(1，2)D(1,2)解析 依题意，f(x)|x21|，作出 f(x)的图象如图所示答案解析因为 0ab 且 f(a)f(b)，设直线 y1 与函数 f(x)图象的最右边的交点是 A，函数 f(x)图象与 x 轴正半轴的交点是 B，所以要使得在(
16、0，)上存在两个数 a，b，使得它们的函数值 f(a)f(b)，则 a(0，xA)，b(0，xA)，又 ba，所以 b(xB，xA)，易得 xB1，当 y1 时，|x21|1，x 2.所以 xA 2，b(1，2)解析高频考点 高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提1特殊点法典例 1 函数 ylg 1|x1|的大致图象为()解析 函数 ylg 1|x1|的定义域为x|x1，由此排除 A，C.当 x9时，ylg
17、11010，由此排除 B.故选 D.答案解析2性质检验法典例2(2019全国卷)函数y2x32x2x在6,6的图象大致为()答案解析 yf(x)2x32x2x，x6,6，f(x)2x32x2x2x32x2xf(x)，f(x)是奇函数，排除 C.当 x4 时，y 2432424 12816 116(7,8)，排除 A，D.故选 B.解析3导数法典例 3 若函数 f(x)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是()Af(x)xsinxBf(x)cosxxCf(x)xcosxDf(x)xx2 x32 答案解析解析 由图象知函数为奇函数，排除 D；又 f2 0，排除 A；又当 0 x2时，cos
18、xxsinxxcosxx20，所以 f(x)在0，2 上为减函数，排除 B.故选 C.解析4图象变换法典例 4 函数 f(x)则 yf(1x)的图象是()答案解析解析 解析方法指导 1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断2已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破3判断复杂函数
19、的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值4有关函数 yf(x)与函数 yaf(bxc)h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题3 课时作业 PART THREE 1向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 h 随时间 t 变化的函数 hf(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()A组基础关解析 由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，
20、所以只有 A 满足故选 A.答案解析2函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()Af(x)ex1Bf(x)ex1Cf(x)ex1Df(x)ex1解析 与曲线 yex 关于 y 轴对称的曲线是函数 yex 的图象，此函数图象向左平移 1 个单位得到函数 f(x)的图象，所以 f(x)e(x1)ex1.答案解析3(2019郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数 f(x)
21、x4|4x1|的图象大致是()答案解析 由 f(x)x4|4x1|x44x|4x1|，易得 f(x)为非奇非偶函数，排除 A，B.当 x时，f(x)x4|4x1|0，排除 C，故选 D.解析4使 log2(x)0，即 x0，根据 ylog2(x)和 yx1 的图象，且 log2(x)1，则满足条件的 x(1,0)答案解析5函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是()Af(x)x2(x22)Bf(x)xcosxCf(x)xsinxDf(x)x2cosx1解析 当 x(0，)时，f(x)0，排除 A；由图知 f(x)是偶函数，而 f(x)xcosx 是非奇非偶函数，排除 B；又
22、 f()0，而 D 中 f()0，排除D.故选 C.答案解析6若函数 f(x)axb，x1，ln xa，x1 的图象如图所示，则 f(3)等于()A12B54C1 D2解析 由函数 f(x)的图象可知a1b3，ln 1a0，解得 a2，b5，所以 f(x)2x5，x1，ln x2，x1，所以 f(3)2(3)51.答案解析7若函数 yf(2x1)是偶函数，则函数 yf(x)图象的对称轴方程是()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案解析 因为 yf(2x1)f2x12，所以将函数 yf(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，可以得到函数 yf(2x)的图象，将函数 yf(2x)的图象向左平
23、移12个单位，可以得到 yf(2x1)f2x12 的图象因为函数 yf(2x1)是偶函数，所以函数 yf(2x1)的图象的对称轴方程为 x0.所以函数 yf(2x)的图象的对称轴方程为 x12，函数 yf(x)的图象的对称轴方程为 x1.故选 A.解析8用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值，设 f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则 f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7解析 y10 x 是减函数，yx2 是增函数，y2x 是增函数，在同一平面直角坐标系中作出函数 y10 x，yx2，y2x 的图象，如图 1.答案解析yx2 与 y2x 的交点是 A，B，yx2
24、 与 y10 x 的交点为 C(4,6)，则函数 f(x)的图象如图 2，C 为最高点，所以 f(x)的最大值为 6.解析9函数 f(x)x1x 的图象与直线 ykx1 交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1y2_.解析 因为 f(x)x1x 11x，所以 f(x)的图象关于点(0,1)对称因为直线 ykx1 的图象过点(0,1)，所以两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以y1y221，所以 y1y22.2解析10若直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是_解析 yx2|x|ax2xa，x0，x2xa，x0，作出函数图象
25、如图所示此曲线与 y 轴交于点(0，a)，最小值为 a14，要使 y1 与其有四个交点，只需 a141a，所以 1a54.1，54解析1(2019南昌模拟)已知函数 f(x)ln(1x)，若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x1 对称，则 g(3)()Aln 2 Bln 2 C0 Dln 3B组能力关解析 因为函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 g(3)f(1)ln 1(1)ln 2.答案解析2(2020福州模拟)已知偶函数 yf(x)(xR)在区间1,0上单调递增，且满足 f(1x)f(1x)0，给出下列五个结论：f(5)0；f(x)在1,2上是减
26、函数；函数 f(x)没有最小值；函数 f(x)在 x0 处取得最大值；f(x)的图象关于直线 x1 对称其中所有正确结论的编号是()ABCD答案解析 因为 f(1x)f(1x)0，所以 f(1x)f(1x)f(x1)，所以 f(2x)f(x)，所以 f(x4)f(x)，即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数由题意知，函数 yf(x)(xR)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知正确解析3函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式 fxcosx0，当 x2，4 时，ycosx0.结合 yf(x)，x0,4上的图象知，当 1x2时，fxcosx0.2，1 1，2解析又函数 y fxcosx为偶函数，所以在4,0上，fxcosx0 的解集为2，1，所以不等式 fxcosx0 的解集为2，1 1，2.解析4已知函数 f(x)x12，0 x2，14x12，2x6.若在该函数的定义域0,6上存在互异的 3 个数 x1，x2，x3，使得fx1x1 fx2x2 fx3x3 k，则实数 k 的取值范围是_解析 由题意知，直线 ykx 与函数 yf(x)的图象至少有 3 个公共点函数 yf(x)，x0,6的图象如图所示，由图知 k 的取值范围是0，16.0，16解析本课结束