1、第6讲 对数与对数函数 第二章 函数、导数及其应用考纲解读 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点(重点、难点)3通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点预测 2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的
2、考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现1 基础知识过关 PART ONE 1.对数的概念如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 01_，其中 02 _叫做对数的底数，03 _叫做真数2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaN 01 _(a0，且 a1)；logaaN 02 _(a0，且 a1)；零和负数没有对数xlogaNaNNN(2)对数的运算法则(a0，且 a1，M 0，N0)loga(MN)03 _；logaMN 04 _；logaMn 05 _(nR)(3)对数的换底公式logablogcblogca(a0，且 a1；c0，且
3、 c1；b0)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.对数函数的图象与性质函数ylogax(a0，且 a1)a10a0，且 a1)定义域04 _值域R单调性在(0，)上是 05 _增函数在(0，)上 是 06_当 x1 时，y0性质函数值变化规律当 x1 时，07 _；当 0 x1 时，09 _；当 0 x0y0y04.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数 01 _(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 02 _对称ylogaxyx1.概念辨析(1)若 MN0，则 loga(MN)logaMlogaN.()(2)若 a，b 均大于零且不等于 1，则 logab
4、 1logba.()(3)函数 ylogax2 与函数 y2logax 是相等函数()(4)若 MN0，则 logaMlogaN.()(5)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)答案2.小题热身(1)已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1,0c1C.0a1，c1D.0a1,0c1解析 由选项可知，只需研究 c0 的情况ylogax 的图象向左平移 c个单位可得函数 yloga(xc)的图象，结合图象可知 0a1,0c1.答
5、案解析(2)若 alog0.20.3，blog0.20.4，c20.2，则()A.abcBbacC.bcaDacb解析 因为 ylog0.2x 是减函数，所以 log0.20.2log0.20.3log0.20.4，即1ab.又 c20.2201，所以 bac.答案解析(3)有下列结论：lg(lg 10)0；lg(ln e)0；若 lg x1，则 x10；若 log22x，则 x1；若 logmnlog3m2，则 n9.其中正确结论的序号是_解析 lg(lg 10)lg 10，故正确；lg(ln e)lg 10，故正确；正确；logmnlog3mlog3nlog3mlog3mlog3n2，故
6、n9，故正确解析(4)若函数 yf(x)是函数 y2x 的反函数，则 f(2)_.解析 由已知得 f(x)log2x，所以 f(2)log221.1解析2 经典题型冲关 PART TWO 1.计算 log29log342log510log50.25 等于()A.0 B2 C4 D6题型 一 对数式的化简与求值解 析 log29log34 2log510 log50.25 2log23 log24log23 log5(1020.25)426.答案解析2.设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于()A.10B10 C20 D100解析 由 2a5bm，得 alog2m，blog5m，所以1a1b
7、logm2logm5logm102，所以 m 10.答案解析3.已知 log189a,18b5，则用 a，b 表示 log3645_.解析 因为 log189a,18b5，所以 log185b，于是 log3645log1845log1836log18951log182 ab1log18189ab2a.ab2a解析4.(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0，则x0.当 x0，且 a1)对题目条件进行转化如举例说明 2.利用换底公式化为同底数的对数运算如举例说明 3.(2)恒等式：关注 loga10，logaaNN，alogaNN 的应用如举例说明 4.(3)拆分：将真数化为积、商
8、或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简如举例说明 3.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算如举例说明 1.1.(2019山东省实验中学模拟)已知正实数 a，b，c 满足 log2alog3blog6c，则()A.abcBb2acC.cabDc2ab解析 设 log2alog3blog6ck，则 a2k，b3k，c6k，所以 ab2k3k(23)k6kc.答案解析2.计算(lg 2)2lg 2lg 50lg 25 的结果为_解析 原式lg 2(lg 2lg 50)lg 52lg 2lg 1002lg 52(lg 2
9、lg 5)2lg 102.2解析3.设 35x49，若用含 x 的式子表示 log535，则 log535_.解析 因为 35x49，所以 xlog3549log549log5352log57log5352log5355log5352log5351log535，解得 log535 22x.22x解析1.(2019浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y1ax，ylogax12(a0，且 a1)的图象可能是()答案题型 二 对数函数的图象及应用 解析 当 0a1 时，函数 yax 的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递增，于是函数 y1ax的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递减，函数 ylo
10、gax12 的图象过定点12，0，在12，上单调递增显然 A，B，C 都不符合故选 D.解析2.当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，22B.22，1C(1，2)D(2，2)解析 构造函数 f(x)4x 和 g(x)logax，要使 0 x12时，4xlogax，只需 f(x)在0，12 上的图象在 g(x)的图象下方即可当 a1 时不满足条件；当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知只需 f12 g12，即 2loga12，则 a 22，所以 a 的取值范围为22，1.答案解析解析条件探究 1 将本例变为：若方程 4xlogax 在0，12 上有解，
11、则实数 a的取值范围是_解析 若方程 4xlogax 在0，12 上有解，则函数 y4x 和函数 ylogax在0，12 上有交点，由图象知0a1，loga122，解得 0a 22.0，22解析条件探究 2 将本例变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析 由 x2logax0 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12 时，不等式 x21 时，显然不成立；116，1解析当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12 上恒成立，需 f112 f212，所以有122loga12，解得 a 116，所
12、以 116a1 时，图象上升；0a1时，图象下降如举例说明 1.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中 0cd1a1和 0a0 且 a1，b0 且 b1)，则函数 f(x)ax 与 g(x)logbx 的图象可能是()解析 因为 lg alg b0，所以 lg(ab)0，所以 ab1，即 b1a，故g(x)logbxlog1axlogax，则 f(x)与 g(x)互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，结合图象知，B 正确.答案解析2.设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是_解析 由
13、图象可知 0a1b10，又|lg a|lg b|c，所以 lg ac，lg bc，即 lg alg b，lg alg b0，所以 ab1，于是 abcc，而 0c1.故 abc 的取值范围是(0,1).(0,1)解析角度 1 比较对数值的大小1.(2019天津高考)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c的大小关系为()A.acbBabcC.bcaDcab解析 因为 ylog5x 是增函数，所以 alog52log0.50.51.因为 y0.5x 是减函数，所以0.50.51c0.50.20.501，即 0.5c1.所以 ac0，log12x，xf(a)，则实数
14、 a 的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C.(1,0)(1，)D.(，1)(0,1)答案解析 若 a0，则 log2alog12a，即 2log2a0，所以 a1.若 alog2(a)，即 2log2(a)0，所以 0a1，所以1a0，2ax 在区间0,1上是减函数ylogau 应为增函数，且 u2ax 在区间0,1上应恒大于零，a1，2a0，1alogab借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题
15、都必须在定义域内讨论如举例说明 3.(2)底数与 1 的大小关系(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的1.(2019遵义模拟)已知 alog26，blog515，clog721，则 a，b，c 的大小关系为()A.abcBcbaC.cabDbca解析 因为 alog26log242，blog5151log53，clog7211log73，又 log37log351，所以1log371log351，即 log73log531，所以cb2a.答案解析2.函数 y的定义域是()A.1,2 B1,2)C.12，1D.12，1解析 要使函数解析式有意义，须有 log23(2x1)0，所
16、以 02x11，所以12x1，所以函数 y的定义域是12，1.答案解析3.函数 f(x)log2 xlog 2(2x)的最小值为_解析 f(x)12log2x2log2(2x)log2x(log22log2x)log2x(log2x)2log2x12214，所以当 log2x12，即 x 22 时，f(x)取得最小值14.14解析3 课时作业 PART THREE 1.(2019沈阳模拟)设函数 f(x)4x1，x0，log2x，x0，则 f12()A.1 B1 C12D.22A组基础关解析 f12 log2121.答案解析2.(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.
17、3，则()A.abcBacbC.cabDbca解析 因为 alog20.21,0c0.20.3ca.故选 B.答案解析3.函数 f(x)loga(xb)的大致图象如图，则函数 g(x)axb 的图象可能是()答案解析解析 由图象可知 0a1 且 0f(0)1，即0a1，0logab1，由得 loga1logablogaa，0a1，由对数函数的单调性可知 ab1，结合可得 a，b 满足的关系为 0ab1 时，a23，此时 a；当 0a23，则23a14.因此23a1 时，ylogax 在2,4上为增函数由已知得 loga4loga21，所以 loga21，所以 a2.当 0a1 时，ylogax
18、 在2,4上为减函数由已知得 loga2loga41，所以 loga121，所以 a12.综上可知，a 的值为 2 或12.2 或12解析1.设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A.2x3y5z B5z2x3yC.3y5z2x D3y2x5zB组能力关解析 2x3y5z，ln 2xln 3yln 5z，xln 2yln 3zln 5，xyln 3ln 2，2x3y2ln 33ln 2ln 32ln 23ln 9ln 81，2x3y，同理可得 2x5z.3y2x5z.故选 D.答案解析2.(2020北京海淀模拟)如图，点 A，B 在函数 ylog2x2 的图象上，点C 在函数 ylo
19、g2x 的图象上，若ABC 为等边三角形，且直线 BCy 轴，设点 A 的坐标为(m，n)，则 m()A2 B3 C.2D.3答案解析 因为直线 BCy 轴，所以 B，C 的横坐标相同；又 B 在函数 ylog2x2 的图象上，点 C 在函数 ylog2x 的图象上，所以|BC|2.即正三角形 ABC 的边长为 2.由点 A 的坐标为(m，n)，得 B(m 3，n1)，所以nlog2m2，n1log2m 32，所以 log2m21log2(m 3)2，所以 m 3.解析3.(2019湖北宜昌一中模拟)若函数 f(x)log0.9(54xx2)在区间(a1，a1)上单调递增，且 blg 0.9，
20、c20.9，则()A.cbaBbcaC.abcDba0，得1x5，又函数 t54xx2 的对称轴方程为 x2，复合函数 f(x)log0.9(54xx2)的单调递增区间为(2,5)，函数f(x)log0.9(54xx2)在区间(a1，a1)上单调递增，a12，a15，则3a4，而 blg 0.90，1c20.92，所以 bcb1，若 logablogba52，abba，则 a_，b_.解析 令 logabt，ab1，0t1，由 logablogba52得，t1t52，解得 t12或 t2(舍去)，即 logab12，b a，又 abba，aa(a)a，即 aa，亦即 aa2，解得 a4，b2.4解析26.若函数 f(x)loga(x2ax1)(a0 且 a1)没有最小值，则 a 的取值范围是_解析 当 0a1 时，函数 f(x)loga(x2ax1)(a0 且 a1)没有最小值，当 a1 时，若函数 f(x)loga(x2ax1)(a0 且 a1)没有最小值，则 x2ax10 有解，所以 a240，解得 a2，综上可知，a 的取值范围是(0,1)2，).(0,1)2，)解析本课结束