1、乐山四校高2019届第三学期半期联考数学理科试题命题教师：蔡赓全 审题教师： 邓亚欢本试卷分选择题和非选择题两部分，第卷（选择题）1至3页，第卷（非选择题）3至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只将答题卡交回。第卷（选择题，共60分）一选择题
2、（每题5分，共60分)1.下列命题是真命题的为（ ）A.若则 B.若则C.若则 D.若则2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱3. 平面平面的一个充分条件是（ ）A.存在一条直线， B.存在一条直线，C.存在两条平行直线 D.存在两条异面直线4. 已知命题命题则下列命题是真命题的为（ ）A. B. C. D.5.已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 6.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件
3、C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知直角三角形的三个顶点在半径为的球面上，两直角边的长分别为和，则球心到平面的距离为（ ）A.5 B.6 C.10 D.128. 已知平面外不共线的三点到平面的距离都相等，则正确的结论是（ ）A.平面必平行于平面 B.平面必与平面相交C.平面必不垂直于平面 D.存在的一条中位线平行于平面或在平面内9.如图，是夹在的二面角之间的一条线段，,且直线与平面分别成的角，过作于,过作于.则的值为（ ）A. B. C. D.10.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值与的取值范围分别为（ ）A. B
4、. C. D.11.已知二面角的大小为，直线平面，直线平面，则过直线上一点，与直线和直线都成的直线有（ ）A.四条 B.三条 C.两条 D.一条12.如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）二填空题（每题5分，共20分）侧视图正视图俯视图13.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 个部分.14.如右图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4，一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的 表面积为 15.已知空间三条直线，且有则直线与平面所成的角为.16.
5、如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有 .三解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17.如图，四棱锥中，分别为线段的中点. （1）求证：； （2）求证：.18.如图，在平行六面体中，, 且点F为的交点，点在线段上，有（1） 求的长；（2） 将用基向量来进行表示。设，求的值.19.某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是，其中（1）画出该几何体的直观图；（2）分别求该几何体的体积和表面积.6侧视图622正视图220. 已知设成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.21
6、.如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.图2图122. 如图，在四棱锥中，,点为中点.（1） 证明：;（2） 求直线与平面所成角的正弦值；（3） 若为棱上的一点，满足，求二面角的余弦值.乐山四校高2019届第三学期半期联考数学理科试题答案一选择题.1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 11.B 12.C二填空题13.7 14. 15. 16.三解答题17. 解：(1)设，连接 由于为的中点， 所以四边形ABCE为菱形。 又为中点，
7、为中点可得 4分又所以 5分（2） 因为，所以四边形为平行四边形 则 又所以。 7分 因为四边形为菱形，所以 9分又所以 10分18. （1） 2分 6分 （2） 8分 10分 12分19. (1)经分析底面为边长为4的等边三角形，且侧棱垂直于底面 4分 (2) 体积 8分表面积 12分20.解：若为真：对，恒成立，设，配方得，所以在上的最小值为，所以，解得，所以为真时：； 3分若为真：，成立，所以成立.设，易知在上是增函数，所以的最大值为，所以，所以为真时， 6分因为”为真，“”为假，所以与一真一假， 8分当真假时，所以，当假真时，所以，综上所述，实数的取值范围是或. 12分21. 解：（1
8、）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以 又 则。 3分（2） 因为，所以 又，所以 5分因为所以又因为 7分（3） 在线段上存在满足条件的点，且点为其中点，使证明如下：取中点为点，连接 因为为相应边的中点，所以而，则所以四边形为平行四边形且与平面为同一平面 9分因为 由（2）知，则又 ，所以又因为且，则 12分 22.（法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，.由为棱的中点，得. 1分（1）证明：向量，故.即.3分（2）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有 5分.所以，直线与平面所成角的正弦值为. 7分（3）向量，.由点在棱上，设，且故.
9、由，得，因此，解得.即. 9分设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为. 12分（法二）（1）证明：如图，取中点，连接，.由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为,故，而，从而，因，于是，又，所以 3分(2)连接，由(1)有，得，而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角. 5分依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，因此.所以，直线与平面所成角的正弦值为. 7分（3）如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，从而.9分在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，由余弦定理可得，.所以，二面角的余弦值为. 12分