1、第2讲 参数方程 第十二章 选修4系列考纲解读 了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点预测2021年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用1 基础知识过关 PART ONE 1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 01 _，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数xft，ygt2.常见曲线的
2、参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)xx0tcos，yy0tsin(t为参数)圆x2y2r2xrcos，yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos，ybsin(为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.1.概念辨析(1)直线x2tcos30，y1tsin150(t为参数)的倾斜角为30.()(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任
3、一点M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量()(3)方程x2cos，y12sin 表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程x2cost，y4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t3，点O为原点，则直线OM的斜率为 3.()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)若直线的参数方程为x12t，y23t(t为参数)，则直线的斜率为_解析 因为x12t，y23t，所以3x2y7，因此直线的斜率为32.32解析(2)椭圆x5cos，y3sin(为参数)的离心率为_解析 将x5cos，y3sin消去参数，得椭圆x225y291.所以a225，b29，c2a
4、2b216，所以a5，b3，c4，所以离心率eca45.45解析(3)曲线C的参数方程为xsin，ycos21(为参数)，则曲线C的普通方程为_解析 由xsin，ycos21(为参数)消去参数，得y22x2(1x1).y22x2(1x1)解析2 经典题型冲关 PART TWO 1.求直线x2t，y1t(t为参数)与曲线x3cos，y3sin(为参数)的交点个数题型 一 参数方程与普通方程的互化解 将x2t，y1t 消去参数t得直线xy10；将x3cos，y3sin消去参数，得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d 22 0且1)，P点的轨迹是圆”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”
5、已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为|OM|MA|12，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程解 由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)因为|OM|MA|12，即x2y2x32y212，化简得(x1)2y24，所以点M的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆由圆的普通方程可得其参数方程为x2cos1，y2sin(为参数).解1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法；加减消元法；恒等式(三角的或代数的)消元法；平方后再加减消元法等其中代入消元法、加减消元法一般是利用解
6、方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等.2.普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式xf(t)(或y(t)；第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一关系yg(t)(或x(t)，问题得解在平面直角坐标系xOy中，直线l：x135t，y45t(t为参数)，与曲线C：x4k2，y4k(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长解 将直线l的参数方程
7、化为普通方程，得4x3y4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y24x，联立方程4x3y4，y24x，解得x4，y4或x14，y1.解所以A(4,4)，B14，1或A14，1，B(4,4)所以|AB|4142412254.解角度1 利用参数方程解最值问题1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x3cos，y2sin(为参数)，圆C2的方程为(x1)2y21，若曲线C1上有一动点M，圆C2上有一动点N，求|MN|的最小值题型 二 参数方程的应用 解 圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1，设曲线C1上的动点M(3cos，2sin)，易知点M在圆C2外，由动点N在圆C2上可得|MN|mi
8、n|MC2|min1.解因为|MC2|3cos124sin2 5cos26cos55cos352165，所以当cos35时，|MC2|min4 55，所以|MN|min|MC2|min14 55 1，即|MN|的最小值为4 55 1.解角度2 参数几何意义的应用2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x2cos，y4sin(为参数)，直线l的参数方程为x1tcos，y2tsin(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为x24y2161.当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx
9、2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1.解(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t242cossin13cos2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.解1.设直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)设M0(x0，y0)，若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1|M0M2|t1t2|，|M1M2|t2t1|t2t1
10、24t1t2.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3t1t22.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1t20，t1t20.2.圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解提醒：对于形如xx0at，yy0bt(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x 22 t，y3 5 22 t(t为参数)，曲线C的参数方程为x2cos，y2sin(为参
11、数)(1)写出直线l和曲线C的普通方程；解(1)由x 22 t，y3 5 22 t(t为参数)消去参数t，得yx3 5.即直线l的普通方程为xy3 50.曲线C的直角坐标方程为x2y24.解(2)已知曲线W：xcos，y2sin(为参数)，若M为曲线W上任意一点，求点M到直线l的最小距离(2)由已知可设M(cos，2sin)(为参数)，则点M到直线l的距离d|cos2sin3 5|2|5cos3 5|2(其中tan2)，所以点M到直线l的距离的最小值为3 5 52 10.解2.已知平面直角坐标系xOy，直线l过点P(0，3)，且倾斜角为，圆C的方程为(x1)2(y 3)25.(1)求直线l和圆
12、C的参数方程；(2)设直线l与圆C交于M，N两点，若|PM|PN|2，求直线l的倾斜角的值解(1)因为直线l过点P(0，3)，且倾斜角为，所以直线l的参数方程为xtcos，y 3tsin(t为参数)圆C的参数方程为x1 5cos，y 3 5sin(为参数)解(2)将直线l的参数方程xtcos，y 3tsin(t为参数)代入圆C的普通方程，得(tcos1)2(tsin)25，整理，得t22tcos40.设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos，所以|PM|PN|t1t2|2cos|2，所以cos 22.因为0，所以4或34.解题型 三 极坐标方程和参数方程的综合应用(2019全
13、国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x1t21t2，y 4t1t2(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos 3sin110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11t21t21，且x2y221t21t224t21t221，所以C的直角坐标方程为x2y241(x1)，l的直角坐标方程为2x 3y110.解(2)由(1)可设C的参数方程为xcos，y2sin(为参数，)C上的点到l的距离为|2cos2 3sin11|74cos3 117.当23 时，4cos3 11取得最小值7，故C上的点到l距离的
14、最小值为 7.解极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题(2019六安模拟)已知曲线C的极坐标方程是24cos6sin12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x212t，y1 32 t(t为参数)(1)写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；(2)将曲线C向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换xx，y2y，得
15、到曲线E，设曲线E上任一点为M(x，y)，求 3x12y的取值范围解(1)直线l的参数方程为x212t，y1 32 t(t为参数)消去参数t，得直线l的一般方程为 3xy2 310，曲线C的极坐标方程是24cos6sin12，由cosx，siny，2x2y2，得曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y3)21.解(2)曲线D为x2y21.曲线D经过伸缩变换xx，y2y，得到曲线E的方程为x2y241，则点M的参数方程为xcos，y2sin(为参数)，3x12y 3cossin2sin3，3x12y的取值范围为2,2.解3 课时作业 PART THREE 1.将圆x2y24上每一点的纵坐标不变，横坐
16、标变为原来的12，得曲线C.(1)写出曲线C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程A组基础关解(1)因为圆x2y24的参数方程为x2cos，y2sin(为参数)，所以曲线C的参数方程为xcos，y2sin(为参数)解(2)由xcos，y2sin得x2y241.解方程组x2y241，2xy20，得x0，y2 或x1，y0.所以P1(0，2)，P2(1,0)所以线段P1P2的中点坐标为12，1.易知与直线l垂直的直线的斜率k12，解所以过线段P1P2的中点且与直线l垂
17、直的直线的方程为y(1)12 x12，即2x4y30.又xcos，ysin，所以其极坐标方程为2cos4sin30.解2.已知直线l的参数方程是x 22 t，y 22 t4 2(t是参数)，圆C的极坐标方程为4cos4.(1)求圆心C的直角坐标；(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值解(1)4cos42 2cos2 2sin，22 2cos2 2sin，圆C的直角坐标方程为x2y22 2x2 2y0，解即(x 2)2(y 2)24.圆心C的直角坐标为(2，2).(2)由直线l上的点向圆C引切线，则切线长为22 t 22 22 t4 2 224 t28t48 t4232，又 t423
18、24 2，由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4 2.解3.(2019长春二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 xa12t，y 32 t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2312cos2.(1)求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；(2)当a1时，P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值解(1)直线l的普通方程为y 3(xa)，曲线C的极坐标方程可化为222cos23，化简可得x2y231，故曲线C的参数方程为xcos，y 3sin(为参数)解(2)当a1时，直线l的普通方程为 3xy 30.由曲线C的参数方程，可
19、设点P的坐标为P(cos，3sin)，因此点P到直线l的距离可表示为d|3cos 3sin 3|2 32|cossin1|32 2cos4 1.当cos4 1时，d取得最大值为 6 32.解4.(2019辽宁省实验中学模拟)已知曲线C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos4 2.(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求|EA|EB|的值解(1)由cos4 2，得 22 cos 22 sin
20、2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.根据题意，得|OP|9cos2sin2 8cos21，因此曲线C上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为3.(2)由(1)知直线l：xy20与x轴的交点E的坐标为(2,0)，得直线l的参数方程为x 22 t2，y 22 t(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为 x29 y21，联立得5t22 2t50，解则t1t22 25，t1t21，所以|EA|EB|t1t2|t1t224t1t26 35.解1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是xmtcos，ytsin(t是参数)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4cos.(1)当m1，30时
21、，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)当m1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且|PA|PB|1，求直线l的倾斜角B组能力关解(1)由4cos，得24cos，又xcos，ysin，所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24，所以曲线C是以点M(2,0)为圆心，2为半径的圆由直线l的参数方程为x1 32 t，y12t(t为参数)，得直线l的直角坐标方程为x 3y10.由圆心M到直线l的距离d|201|13 320.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos，t1t230，所以t1，t2异号，则|PA|PB|t1t2|2cos|1，所以cos12.又0，)，所以直线
22、l的倾斜角为3或23.解解(1)直线l的参数方程为x1tcos，ytsin(其中t为参数，且0)，当t0时，得点P(1,0)，即定点P的坐标为(1,0)解2.平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x1tcos，ytsin(其中t为参数，且0)，在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中，曲线C的极坐标方程为tan2 2cos.设直线l经过定点P，且与曲线C交于A，B两点(1)求点P的坐标及曲线C的直角坐标方程；(2)求证：不论为何值，1|PA|2 1|PB|2为定值又曲线C的极坐标方程为tan2 2cos，sin22cos0，2sin22cos0，y22x(
23、x0)，即曲线C的直角坐标方程为y22x(x0)解(2)证明：将直线l的参数方程代入y22x(x0)，整理，得t2sin22tcos20，其中00，t1t22cossin2，t1t2 2sin2，1|PA|2 1|PB|21t211t22t1t222t1t2t1t224cos24sin241.不论为何值，1|PA|2 1|PB|2都为定值1.解3.(2019长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 xm2t，y 2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为241sin2.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P为曲线C
24、上的点，PQl，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值解(1)由xm2t，y 2t消去参数t，得x 2ym，所以直线l的普通方程为x 2ym0.解因为曲线C的极坐标方程为241sin2，即22sin24，将2x2y2，siny代入上式并化简得x24y221，所以曲线C的直角坐标方程为x24y221.解(2)设P(2cos，2sin)由点到直线的距离公式，得|PQ|2cos2sinm|32 2cos4m3.由题意知m0.当m0时，|PQ|min|2 2m|32，解得m2 32 2；当m0时，|PQ|min|2 2m|32，解得m2 32 2.解解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当2时，l
25、与O交于两点当2时，记tank，则l的方程为ykx 2.解4.(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为 xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程l与O交于两点当且仅当21k2 1，解得k1，即4，2 或2，34.综上，的取值范围是4，34.解(2)l的参数方程为xtcos，y 2tsint为参数，434.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP tAtB2，且tA，tB满足t22 2tsin10.于是tAtB2 2sin，tP 2sin.又点P的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点P的轨迹的参数方程是解x 22 sin2，y 22 22 cos2为参数，434.解本课结束