1、3双曲线3.1双曲线及其标准方程1.在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线解析:将方程化为y2-nm-x2-nm=1,由mn0,所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.答案:D2.椭圆x234+y2n2=1和双曲线x2n2-y216=1有相同的焦点,则实数n的值是()A.5B.3C.5D.9解析:由题意知,34-n2=n2+16,2n2=18,n2=9,n=3.答案:B3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为14,动点P的轨迹方程为()A.x2
2、4+y2=1B.x24-y2=1C.x24+y2=1(x2)D.x24-y2=1(x2)解析:依题意有kPAkPB=14,即yx+2yx-2=14(x2),整理得x24-y2=1(x2).答案:D4.设点P在双曲线x29-y216=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|PF2|=13,则F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|PF2|=13,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为22.答案:A5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1
3、B.x23-y2=1C.y2-x23=1D.x22-y22=1解析:由双曲线定义知,2a=(2+2)2+32-(2-2)2+32=5-3=2,a=1.又c=2,b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-y23=1.答案:A6.(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,则b=.解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b0,所以b=3.答案:37.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是.解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,b0).由PF1PF2=0,得PF1PF2.根据勾股
4、定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a.两边平方并代入|PF1|PF2|=2,得20-22=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=19.导学号01844023双曲线C与椭圆x227+y236=1有相同焦点,且经过点(15,4).(1)求双曲线C的方程;(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=120,求F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1,则a2
5、+b2=32=9.又双曲线经过点(15,4),所以16a2-15b2=1,解得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线C的方程为y24-x25=1.(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=5,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.在F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos120=m2+n2+mn=36.由得mn=203,所以F1PF2的面积为S=12mnsin120=533.10.导学号01844024设双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.解法一设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为15,于是有42a2-(15)2b2=1,a2+b2=9,解得a2=4,b2=5.所以双曲线的标准方程为y24-x25=1.解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(15,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),所以2a=|(15-0)2+(4+3)2-(15-0)2+(4-3)2|=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为y24-x25=1.
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