1、第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程1椭圆1.1椭圆及其标准方程1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+4m(m2),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:因为m2,所以m+4m2m4m=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2.椭圆x225+y2169=1的焦点坐标是()A.(5,0)B.(0,5)C.(0,12)D.(12,0)解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,12).答案:C3.已知椭圆x2m+y216=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离
2、为3,到另一个焦点的距离为7,则m=()A.10B.5C.15D.25解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.答案:D4.已知椭圆x216+y212=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则PF1F2的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,PF1F2
3、为直角三角形.答案:A5.导学号01844010已知P是椭圆x225+y216=1上一点,F1,F2为焦点,且F1PF2=90,则PF1F2的面积是.解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,F1PF2=90,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36,由,得|PF1|PF2|=32.S=12|PF1|PF2|=16.答案:166.若椭圆x2m+y215=1的焦距等于2,则m的值是.解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,所以c2=m-15,所以2c=2m-15=2,解得m=16;当椭圆的焦点在y轴上时,同理有215-m=2,所以m=14.答案:16或14
4、7.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是.解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a=4,所以a=2.又c=1,所以b2=a2-c2=3,故椭圆方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=18.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)的椭圆的标准方程.解由9x2+5y2=45,得y29+x25=1.其焦点F1(0,2),F2(0,-2).设所求椭圆方程为y2a2+x2b2=1.又点M(2,6)在椭圆上,6a2+4b2=1.又a2-b2=4,解得a
5、2=12,b2=8.故所求椭圆方程为y212+x28=1.9.导学号01844011已知P是椭圆x24+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当F1PF2=60时,求F1PF2的面积;(2)当F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,且F1(-3,0),F2(3,0).在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60.由得|PF1|PF2|=43.所以SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=33.(2)设点P(x,y),由已知F1PF2为钝角,得F1PF2P0,即(x+3,y)(x-3,y)0,又y2=1-x24,所以34x22,解得-263x263,所以点P横坐标的取值范围是-263x263.
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