1、第1讲 集合的概念与运算 第一章 集合与常用逻辑用语考纲解读 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题2理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义(重点)3在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集(重点、难点)4能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容预测2021 年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1 基础知
2、识过关 PART ONE 1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：01 _、02 _、03_(2)元素与集合的关系有 04 _或 05 _两种，用符号 06 _或 07 _表示(3)集合的表示法：08 _、09 _、10 _(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或 N)ZQR确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法图示法2集合间的基本关系(1)基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 xA，则 xB)01 _(或 02 _)真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B中至少有一个元素不在集合 A 中03 _(或
3、 04 _)集合相等集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集05 _ABBAA BB AAB(2)结论空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为A，B(B)对于任意集合 A，AA.若 AB，BC，则 06 _.AC3集合的基本运算表示运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A 01 _属于 B的元素组成的集合x|xA，02 _xB03 _并集属于 A 04 _属于 B的元素组成的集合x|xA，05 _xB06 _补集全集 U 中 07_A 的元素组成的集合x|xU，且x 08 _A 09 _且且AB或或AB不属于UA4集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；A
4、BBA；ABA01 _.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABA02 _.(3)补集的性质：A(UA)03 _；A(UA)04 _；U(UA)05 _；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)(4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 06 _个，非空子集个数为 07 _个，真子集有 08 _个，非空真子集的个数为09 _个BAABUA2n2n12n12n21概念辨析(1)若 1x，x2，则 x1.()(2)x|yx2y|yx2(x，y)|yx2()(3)x|x2t|t2()(4)对于任意两个集合 A，B，总有(AB)A，A(AB)()答案(1)(2)(3)
5、(4)答案2小题热身(1)已知集合 Ax|(x1)(x2)0，BxZ|32x13，则 AB()A2,1 B0,1,2C2，1,0,1,2 D2,0,1,2解析 因为 A2,1，BxZ|1x20,1,2，所以 AB2,0,1,2答案解析(2)设全集为 R，集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 A(RB)()Ax|0 x1 Bx|0 x1Cx|1x2 Dx|0 x2解析 因为 Bx|x1，所以RBx|x1因为 Ax|0 x2，所以 A(RB)x|0 x1，故选 B.答案解析(3)已知集合 Ax|x3n，nN，Bx|x6m，mN，则 A 与 B 的关系为_解析 任取 xB，则 x6m32m,2mN，
6、所以 xA，所以 BA，又 3A 但 3B，所以 B A.解析B A(4)已知集合 A8x，y，B0，x2，且 AB，则集合 A 的子集为_解析 由题意得8xx2，y0，解得 x2，所以 A0,4，其子集为，0，4，0,4解析，0，4，0,42 经典题型冲关 PART TWO 1(2019厦门一中模拟)设集合 Mx|x2m1，mZ，Py|y2m，mZ，若 x0M，y0P，ax0y0，bx0y0，则()AaM，bPBaP，bMCaM，bMDaP，bP题型一 集合的基本概念与表示方法答案解析 解法一：设 x02n1，y02k(n，kZ)，则 x0y02n12k2(nk)1M，x0y0(2n1)(2
7、k)2(2nkk)P，故 aM，bP.解法二：由已知得，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合，根据奇数偶数是奇数，奇数偶数是偶数可知 aM，bP.解析解析 x2y23，x23，xZ，x1,0,1，当 x1 时，y1,0,1；当 x0 时，y1,0,1；当 x1 时，y1,0,1，所以 A 中元素共有 9 个，故选 A.2(2018全国卷)已知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A 中元素的个数为()A9 B8 C5 D4答案解析3若集合 Aa3,2a1，a24，且3A，则实数 a_.解析 因为3A，所以 a33 或 2a13 或 a243，解得 a0 或 a
8、1 或 a1.当 a0 时，A3，1，4，符合题意；当 a1 时，2a1a243，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当 a1 时，A2,1，3，符合题意综上知 a0 或 1.解析0 或 11.用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么如举例说明 1,3 是数，举例说明 2是有序数对(或平面内的点)(2)看这些元素满足什么共同特征如举例说明 1，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合如举例说明 2，x，y 是整数且满足 x2y23.2.两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性如举例说明 3，求出 a 值后应注意检验.(2)忽视分类讨论如举例说明 2，要分
9、 x1，x0 和 x1 三种情况讨论，可以保证不重不漏1.设集合 A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，则集合 B 中元素的个数为()A.1 B2 C3 D4解析 若 xB，则xA，所以 x 只可能取 0，1，2，3.逐一检验可知 B3，只有 1 个元素.答案解析2.已知单元素集合 Ax|x2(a2)x10，则 a 等于()A.0 B4 C4 或 1 D4 或 0解析 因为集合 A 只有一个元素所以一元二次方程 x2(a2)x10 有两个相等的实根，所以(a2)240，解得 a4 或 0.答案解析1.集合 Mx|x3n，nN，集合 Nx|x3n，nN，则集合 M 与集合 N 的关系为()A.M
10、 NBN MC.MNDM N 且 NM解析 因为 1M,1N，所以 MN，因为 0N,0M，所以 NM.综上知，MN 且 NM.答案解析题型二 集合间的基本关系 2.已 知 集 合M，集 合N，则()A.M NBN MC.MND以上都不对解析 k4 42k18，kZ，k8 4k28，kZ，任取 xM，有 xN，且8N，但8M，M N.答案解析3.已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为_解析 因为 BA，所以若 B，则 2m1m1，此时 m2.若 B，则2m1m1，m12，2m15.解得 2m3.由可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3.解析(，3条
11、件探究 将本例中的集合 A 改为“Ax|x5”，则实数 m的取值范围为_解析 因为 BA，所以当 B时，即 2m1m1 时，m5或m12m1，2m14或m2，m4.综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，).解析(，2)(4，)1.判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系如举例说明 1结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断如举例说明 2数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系如举例说明 3 2.根据集合间的关系求参数的策略(1
12、)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为A 对任意集合 A 都成立如举例说明 3 中 2m1m1 时，B，BA 也成立(2)借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化如举例说明 3，当 B时，由 BA，借助数轴，列出关于 m 的不等式组(3)注意检验区间端点值，如举例说明 3，若将两个集合改为 Ax|2x5，Bx|m1xm1，m12，2m15.1.(2020广州市高三学情调研)已知集合x|x2ax00,1，则实数 a的值为()A.1 B0 C1 D2解析 由 x2ax0，得 x(xa)0，所以 x0 或 xa.所以由已知条件可得a1，所以 a1.答案解析2.已知集合 Ax|x22x0，Bx|xa，
13、若 AB，则实数 a 的取值范围是()A.a2 Ba2 Ca0 Da0解析 Ax|0 x2，Bx|xa，为使 AB，a 须满足 a2.答案解析3.满足0,1,2 A0,1,2,3,4,5的集合 A 的个数为_解析 集合 A 除含元素 0,1,2 外，还至少含有 3,4,5 中的一个元素，所以集合 A 的个数等于3,4,5的非空子集的个数，即为 2317.解析7角度 1 集合的并、交、补运算1.(2019全国卷)已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()A.x|4x3 Bx|4x2C.x|2x2 Dx|2x3解析 由 x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即 Nx|2x3，MN
14、x|2x2故选 C.答案解析题型三 集合的基本运算 2.已知集合 Ay|y x21，Bx|ylg(x2x2)，则R(AB)()A.0，12B(，0)12，C.0，12D(，012，解析 因为 Ay|y x210，)，Bx|ylg(x2x2)0，12，所以 AB0，12，所以R(AB)(，012，.答案解析3.(2019合肥模拟)已知集合 A，B 均为全集 U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则 A(UB)_.解析 因为全集 U1,2,3,4，且U(AB)4，所以 AB1,2,3，又 B1,2，所以 A3或1,3或3,2或1,2,3，所以 A(UB)3.解析3角度 2 知集合的运算
15、结果求参数4.已知集合 Ax|x2ax0，a0，B0,1,2,3，若 AB 有 3 个真子集，则 a 的取值范围是()A.(1,2 B1,2)C.(0,2 D(0,1)(1,2解析 因为集合 Ax|0 xa，a0，B0,1,2,3，若 AB 有 3个真子集，则 AB0,1，所以 1a2.所以 a 的取值范围是1,2).答案解析5.设 UR，集合 Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，则 m_.解析 A2，1，由(UA)B，得 BA.x2(m1)xm0 可化为(x1)(xm)0，当 m1 时，B1，符合题意；当 m1 时，B1，m，为使 BA 成立，须有m2，即 m2.综上
16、知 m1 或 2.解析1 或 21.求集合交集、并集或补集的步骤2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换如举例说明 5 中，由(UA)B，知 BA.(2)化简集合为求参数创造有利条件如举例说明 5 中，A2，1当 m1 时，B1；当 m1时，B1，m.1.(2019天津高考)设集合 A1,1,2,3,5，B2,3,4，CxR|1x3，则(AC)B()A.2 B2,3C.1,2,3 D1,2,3,4解析 AC1,1,2,3,5xR|1x0，Qx|xa，PQR，则 a 的取值范围是()A.(2，)B(4，)C.(，2 D(，4解析 集合 Px|x22x80 x|x
17、4，Qx|xa，若 PQR，则 a2，即 a 的取值范围是(，2.答案解析设 A，B 是非空集合，定义 ABx|xAB 且 xAB已知 My|yx22x,0 x2，Ny|y2x1，x0，则 MN_.解析 因为 My|yx22x,0 x2(0,1，Ny|y2x1，x012，MN(0，)，MN12，1，所以 MN0，12(1，)解析0，12(1，)题型四 集合的新定义问题与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性
18、质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算如果集合 A 满足：若 xA，则xA，那么就称集合 A 为“对称集合”已知集合 A2x,0，x2x，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集，则 AB_.解析 由题意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而当 x0 时不符合元素的互异性，所以舍去当 x3 时，A6,0,6，所以 AB0,6.解析0,63 课时作业 PART THREE 1.设集合 Px|0 x 2，m 3，则下列关系中
19、正确的是()A.mPBmPCmPDmPA组基础关解析 3 2，mP.答案解析2.已知全集 UR，则表示集合 Mx|x23x0和 N3,0,3关系的示意图是()解析 因为集合 M3,0，N3,0,3，所以 M N，故选 D.答案解析解析 令 k0 得 x1，故1A；令113k1，解得 k103 Z，故11A；令343k1，解得 k11Z，故34A；对于 3k21，因为 kZ 时，k2Z，所以 3k21A.故选 C.3.已知集合 Ax|x3k1，kZ，则下列表示正确的是()A.1AB11AC.3k21AD34A答案解析解析 ABx|x25x60 x|x10 x|x3x|x1x|x0，Bx|x10，
20、则 AB()A.(，1)B(2,1)C.(3，1)D(3，)答案解析5.若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则 a 等于()A.92B.98C0 D0 或98解析 当 a0 时，A23，符合题意；当 a0 时，(3)24a20，解得 a98，此时 A43，符合题意综上可知，a0 或98.答案解析6.(2020茂名市摸底)已知集合 M(x，y)|y3x2，N(x，y)|y5x，则 MN 中的元素的个数为()A.0 B1 C2 D3解析 解方程组y3x2，y5x，得x0，y0或x53，y253，所以 MN0，0，53，253.所以 MN 中的元素的个数为 2.答案解析7.设全集 UR，A
21、x|x22x0，By|ycosx，xR，则图中阴影部分表示的区间是()A0,1B.(，12，)C.1,2D.(，1)(2，)解析 Ax|x22x00,2，By|ycosx，xR1,1图中阴影部分表示U(AB)(，1)(2，).答案解析8.集合 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为_解析 因为 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则a216，a4，所以 a4.解析49.设集合 A1,1，集合 Bx|ax1，aR，则使得 BA 的 a 的所有取值构成的集合是_解析 因为 BA，所以当 B时，可知 a0，显然成立当 B1时，可得 a1，符合题意当
22、 B1时，可得 a1，符合题意故满足条件的 a 的取值集合是1,0,1.解析1,0,110.已知 a，bR，若a，ba，1 a2，ab,0，则 a2019b2019_.解析 a，ba，1 a2，ab,0，a0.b0，a21，又 a1，a1，a2019b20191.解析11.设集合 Mx|x54aa2，aR，Ny|y4b24b2，bR，则下列关系中正确的是()A.MNBNMC.MNDMNB组能力关解析 因为集合 Mx|x54aa2，aRx|x(a2)21，aRx|x1，Ny|y(2b1)21，bRy|y1所以 MN.答案解析2.(2019衡水模拟)已知集合 Ax|log2x1，Bx|0 xc，若
23、 ABB，则 c 的取值范围是()A.(0,1 B1，)C.(0,2 D2，)解析 因为集合 Ax|log2xlog22x|0 x2，Bx|0 xc，又由 ABB，得 AB，所以 c2.答案解析3.已知集合 A1，)，BxR 12ax2a1，若 AB，则实数 a 的取值范围是()A.1，)B.12，1C.23，D(1，)解析 因为 AB，所以2a11，2a112a，解得 a1.答案解析4.对于任意两集合 A，B，定义 ABx|xA 且 xB，A*B(AB)(BA)，记 Ay|y0，Bx|3x3，则 A*B()A.3,0)(3，)B.3,0)3，)C.3,3)D.(，3(3，)解析 由题意知，A
24、Bx|x3，BAx|3x0，故 A*B(AB)(BA)3,0)(3，).答案解析5.设集合 A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若 ABB，则实数 a 的取值范围是_解析 ABB，BA.又 A0，4，B 的可能情况有，4，0，4，0若 B，则 4(a1)24(a21)0，解得 a1.若 B4，则 a.若 B0，则 a1.若 B4,0，则 a1.综上可知，a1 或 a1.解析a1 或 a16.设数集 Mxmxm34，Nxn13xn，且 M，N 都是集合Ux|0 x1的子集，定义 ba 为集合x|axb的“长度”，则集合MN 的长度的最小值为_解析 由已知得，当 m0 且 n1 或 n130 且 m341 时，MN的长度最小当 m0 且 n1 时，MNx23x34，其长度为3423 112.当 m14且 n13时，MNx14x13，其长度为1314 112.综上可知，MN 的长度的最小值为 112.解析112本课结束
