1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后篇巩固提升基础巩固1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电B.猜想数列112,123,134,的通项公式为an=1n(n+1)(nN*)C.半径为r的圆的面积为r2,则单位圆的面积为D.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2解析选项A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.答案C2.(多选)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:增函数的定义是大前提;增
2、函数的定义是小前提;函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故正确.答案AD3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()y=cos x(xR)是三角函数;三角函数是周期函数;y=cos x(xR)是周期函数.A.B.C.D.解析三段论为大前提,小前提,结论,所以排序为三角函数是周期函数;y=cosx(xR)是三角函数;y=cosx(xR)是周期函数.故选B.答案B4.某
3、学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨茶馆天籁马蹄声碎四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧雷雨不能在周一和周四上演,茶馆不能在周一和周三上演,天籁不能在周三和周四上演,马蹄声碎不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是()A.雷雨只能在周二上演B.茶馆可能在周二或周四上演C.周三可能上演雷雨或马蹄声碎D.四部话剧都有可能在周二上演解析由题意可知,周一上演天籁,周四上演茶馆,周二上演雷雨(或马蹄声碎),周三上演马蹄声碎(或雷雨),故选C.答案C5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:大前提.小前提.结论.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y=x2+2x+1是二次函数函数
4、y=x2+2x+1的图象是一条抛物线6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是.解析大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.而因为F1(-2,0),F2(2,0)间距离为|F1F2|=4,平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.答案大前提7.将下列演绎推理写成“三段论”的形式.(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆
5、形轨道绕太阳运行;(2)菱形对角线互相平分;(3)函数f(x)=x2-cos x是偶函数.解(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提海王星是太阳系中的大行星,小前提所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论(2)平行四边形对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提所以菱形对角线互相平分.结论(3)若对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,大前提对于函数f(x)=x2-cosx,当xR时,有f(-x)=f(x),小前提所以函数f(x)=x2-cosx是偶函数.结论8.设数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2(nN*).(1)求a1,a2,
6、a3的值,并猜想数列an的通项公式;(2)运用(1)中的猜想,写出用三段论证明数列an是等比数列时的大前提、小前提、结论.解(1)由Sn+an=2,当n=1时,S1+a1=2a1=2,解得a1=1,当n=2时,S2+a2=2a2+a1=2,解得a2=12,当n=3时,S3+a3=2a3+a2+a1=2,解得a3=14,由此猜想得an=12n-1,nN*.(2)大前提:在数列an中,若an+1an=p,p是非零常数,nN*,则an是等比数列;小前提:在数列an中,an=12n-1,an+1an=12;结论:数列an是等比数列.能力提升1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.某中学高二有10个班
7、,一班有51人,二班有52人,由此得高二所有班人数都超过50人B.根据等差数列的性质,可以推测等比数列的性质C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D.平行四边形对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分解析演绎推理是由一般到特殊的推理,“平行四边形对角线互相平分”是大前提,“菱形是平行四边形”是小前提,“菱形的对角线互相平分”是结论,符合演绎推理的三段论模式,故D正确;A选项,由高二两个班的人数估计高二所有班级人数,属于归纳推理,排除A;B选项,由等差数列的性质推测等比数列的性质,属于类比推理,排除B;C选项,由6=3+3,
8、8=3+5,10=3+7,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和,属于归纳推理,排除C.故选D.答案D2.三段论“船只要准时起航,就能准时到达目的港,这艘船准时到达目的港,这艘船是准时起航的.”中的小前提是()A.B.C.D.解析本题中为大前提,为小前提,为结论.答案D3.三位同学获得本年度数学竞赛前三名,老师告知他们如下信息:甲不是第一名;乙是第三名;丙不是第三名,并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息,则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为()A.甲、乙、丙B.丙、甲、乙C.甲、丙、乙D.乙、甲、丙解析若正确,不正确,即甲不是第一名;乙不是第三名,丙是第三名,可得乙是第
9、一名,甲是第二名,丙是第三名;若正确,不正确,即甲是第一名,乙是第三名,丙是第三名,此时乙与丙矛盾;若正确,不正确,即甲是第一名,乙不是第三名,丙不是第三名,此时没有人是第三名,不符合题意.综上可得,乙是第一名,甲是第二名,丙是第三名.故选D.答案D4.若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)(a,bN*),且f(1)=2,则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(2020)f(2019)=.解析因为f(a+b)=f(a)f(b)(a,bN*),所以可令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),于是f(a+1)f(a)=2,故f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(2020)f(201
10、9)=22019=4038.答案4 0385.如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,运用三段论证明:BD平面PAC.证明如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线,大前提PO平面ABCD,BD平面ABCD,小前提所以POBD.结论正方形的对角线互相垂直,大前提AC,BD是正方形ABCD的对角线,小前提所以ACBD.结论如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,大前提POBD,ACBD,POAC=O,且PO平面PAC,AC平面PAC,小前提所以BD平面PAC.结论6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地
11、看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规定,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);(2)求证:1f(1)+1f(2)+1f(3)+1f(n)43.(1)解f(4)=37,f(5)=61.由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=26,f(4)-f(3)=37-19=36,f(5)-f(4)=61-37=46,因此,当n2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1)=6(n-1)+(n-2)+2+1+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=312-31+1满足上式,所以f(n)=3n2-3n+1.(2)证明当k2时,1f(k)=13k2-3k+113k2-3k=131k-1-1k,所以1f(1)+1f(2)+1f(3)+1f(n)1+131-12+12-13+1n-1-1n=1+131-1n1+13=43.
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