1、第4讲 证明不等式的基本方法 第十二章 选修4系列考纲解读 了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点预测2021 年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型1 基础知识过关 PART ONE 1.基本不等式定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2 01 _，当且仅当 02_时，等号成立定理 2：如果 a，b0，那么ab2 03 _，当且仅当04 _时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数定理 3：如果
2、a，b，cR，那么abc305 _，当且仅当06_时，等号成立2abababab3 abcabc2.比较法依据若a，bR，则ab0 01 _；ab0 02 _；ab0，b0，则ab1 04 _；ab1ab；abbababa1，则 x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数 x，y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则()A.ad2 bc B.ad2 bc.答案解析(2)已知 a，b 是不相等的正数，x a b2，y ab，z(ab)0.25，则x，y，z 的大小关系是
3、()A.xyzBxyxzDyzz2，y2x2ab2 ab2 a b220，y2x2z2，又 x0，y0，z0，yxz.答案解析(3)设 xa2b25，y2aba24a，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为_解析 因为 xy(a2b25)(2aba24a)(a2b22ab1)(a24a4)(ab1)2(a2)20，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为 ab1 或 a2.ab1 或 a2解析(4)已知 x0，则 yx22x的最小值为_解析 因为 x0，所以 yx22xx21x1x33x21x1x3，当且仅当 x21x即 x1 时等号成立，所以 yx22x的最小值为 3.3解析2 经典题型冲
4、关 PART TWO 1.已知 a，b 都是正实数，且 ab2，求证：a2a1 b2b11.证明 a0，b0，ab2，a2a1 b2b11a2b1b2a1a1b1a1b1a2ba2b2ab2abab1a1b1a2b2abababab1a1b1证明题型一 比较法证明不等式 a2b22abab3a1b1ab23aba1b11aba1b1.ab22 ab，ab1.1aba1b10.证明2.(2019吉林长春模拟)(1)如果关于 x 的不等式|x1|x5|m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围；(2)若 a，b 均为正数，求证：aabbabba.解(1)令 y|x1|x5|2x4，x1，6，1x5
5、，2x4，x5，可知|x1|x5|6，故要使不等式|x1|x5|m 的解集不是空集，有 m6.解(2)证明：由 a，b 均为正数，则要证 aabbabba，只要证 aabbba1，整理得abab1.当 ab 时，ab0，可得abab1；当 ab 时，ab1.可知 a，b 均为正数时，abab1，当且仅当 ab 时等号成立，从而 aabbabba 成立.解结论探究 本例中(2)条件不变，求证：aabb.证明 当 ab 时，1；当 ab 时，ab1，ab2 0，由指数函数的性质知1，当 ab 时，0ab1，ab2 1.所以 aabb.证明1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比
6、较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法已知函数 f(x)|x2|.(1)求不等式 f(x1)f(x3)2 的解集 M；(2)若 aM，|b|2，求证：f(ab)|a|fba.解(1)由题意，知f(x1)f(x3)|x1|x1|，而|x1|x1|(x1)(x1)|2，当且仅当(x1)(x1)0，即1x1 时取等号，因此 Mx|x1解(2)证明：由 f(ab)|a|fba，得|ab2|b2a|.因为 aM，|b|1，b2
7、4，所以(ab2)2(b2a)2a2b24a2b24(a21)(b24)0，因此|ab2|b2a|，故 f(ab)0)；abba2(ab0)；abba2(ab0)(2019广州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)|xm|x|，mN*，存在实数 x 使 f(x)2 成立(1)求实数 m 的值；(2)若 1，1，f()f()4，求证：413.解(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.所以要使不等式|xm|x|2 有解，则|m|2，解得2m2.因为 mN*，所以 m1.(2)证明：因为 1，1，所以 f()f()21214，即 3，所以411341()1354 13524 3.当且仅当4，即 2
8、，1 时等号成立，故413.解题型三 分析法证明不等式(2019泉州模拟)已知函数f(x)x14x14，M为不等式f(x)2的解集(1)求 M；(2)求证：当 a，bM 时，2 1abab.解(1)f(x)x14x14 2x，x14，12，14x14，2x，x14，当 x14时，2x2，解得 x1，1x14.当14x14时，不等式成立，14x0，b0 没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.用分析法证“若 A 则 B”这个命题的模式为了证明命题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而有只需证明命题 B2 为真，从
9、而有只需证明命题 A 为真，而已知 A 为真，故 B 必真 某同学在一次研究性学习中发现以下五个不等关系式子：312 2；2 2 5 3；5 3 62；62 7 5；7 52 2 6.(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解(1)102 2 113(答案不唯一)(2)a2 a a3 a1.证明：要证原不等式，只需证a2 a1 a3 a，因为不等式两边都大于 0，只需证2a32 a2a12a32 aa3，只需证 a23a2 a23a，只需证 a23a2a23a，只需证 20，显然成立，所以
10、原不等式成立解3 课时作业 PART THREE 1设不等式|2x1|1 的解集为 M.(1)求集合 M；(2)若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小解(1)由|2x1|1，得12x11，解得 0 x1，所以 Mx|0 x1(2)由(1)和 a，bM 可知 0a1,0b0，故 ab1ab.解A组基础关2(2019长春模拟)设不等式|x1|x1|1.解(1)由已知，令 f(x)|x1|x1|2，x1，2x，1x1，2，x1，由|f(x)|2 得1x1，即 Ax|1x1，只需证|1abc|abc|，只需证 1a2b2c2a2b2c2，只需证 1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2
11、)(1c2)0，由 a，b，cA，得1ab1，c20 恒成立综上，|1abcabc|1.解3设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd，得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.证明(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd；由(1)得 a b c d，即必要性成立；若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|c d是|ab|0，b0，c0，函
12、数 f(x)|ax|xb|c.(1)当 abc2 时，求不等式 f(x)8 的解集；(2)若函数 f(x)的最小值为 1，求证：a2b2c213.解(1)当 abc2 时，f(x)|x2|x2|222x，x2，6，2x2，2x2，x2.当 x2 时，f(x)8 即为 22x3，所以3x2.当2x2 时，f(x)8 即为 68，不等式恒成立，所以2x2.当 x2 时，f(x)8 即为 2x28，解得 x3，所以 2x3.综上所述，不等式 f(x)8 的解集为x|3x0，b0，c0，所以 f(x)|ax|xb|c|axxb|c|ab|cabc.因为 f(x)的最小值为 1，所以 abc1.所以(a
13、bc)2a2b2c22ab2ac2bc1.因为 2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以 1a2b2c22ab2ac2bc3(a2b2c2)，所以 a2b2c213.解B组能力关1已知 a，b 为正实数(1)求证：a2b b2a ab；(2)利用(1)的结论求函数 y1x2x x21x(0 x0，b0，所以ab2abab0，当且仅当 ab 时等号成立所以a2b b2a ab.(2)因为 0 x0，由(1)的结论，函数 y1x2x x21x(1x)x1.当且仅当 1xx 即 x12时等号成立所以函数 y1x2x x21x(0 x6；(2)记 f(x)的最小值为 m，已知实数 a，b，
14、c 都是正实数，且1a 12b 13cm4，求证：a2b3c9.解(1)f(x)|x1|x5|6，则有x6 或1x5，x15x6或x5，x1x56，解得 x6.综上所述，不等式 f(x)6 的解集为(，0)(6，)(2)证明：由 f(x)|x1|x5|x1(x5)|4(x3 时取等号)f(x)min4.即 m4，从而1a 12b 13c1，a2b3c1a 12b 13c(a2b3c)3 a2b2ba a3c3ca 2b3c3c2b9.解3已知 a0，b0，且 a2b22.(1)若1a2 4b2|2x1|x1|恒成立，求 x 的取值范围；(2)证明：1a1b(a5b5)4.解(1)设 y|2x1
15、|x1|x，x1，3x2，12x1，x，x12，由 a2b22，得12(a2b2)1，故 1a2 4b2121a2 4b2(a2b2)解1214b2a24a2b212142 b2a24a2b2 92，当且仅当 a223，b243时取等号，所以92|2x1|x1|.当 x1 时，x92，得 1x92；当12x1 时，3x292，解得 x136，故12x1；解当 x12时，x92，解得 x92，故92x12，综上可知，92x92.(2)证明：1a1b(a5b5)a4b4b5a a5b(a2b2)2b5a a5b 2a2b2(a2b2)22b5a a5b 2a2b2(a2b2)24，当且仅当 ab1
16、 时取等号解4(2019全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.当且仅当 abc1 时，等号成立所以1a1b1ca2b2c2.证明(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333 ab3bc3ca33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.证明本课结束
