1、第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.21.1.3四种命题四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.(原创题)命题“若an=2n-1,则数列an是等差数列”的逆否命题是()A.若an2n-1,则数列an不是等差数列B.若数列an不是等差数列,则an2n-1C.若an=2n-1,则数列an不是等差数列D.若数列an是等差数列,则an2n-1答案B2.“若sin x12,则x6”的否命题是()A.若sin x12,则x6B.若x6,则sin x12C.若x6,则sin x12D.若sin x12,则x6解析“若sinx12,则x6”的否命题是“若sinx12,则x2,则方程x2+2x+3
2、m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.解逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m2,假命题.否命题:若m2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m2,真命题.10.已知p3+q3=2,求证:p+q2.思路分析此题不易从已知推导出求证的结论,可转化为证明它的逆否命题:如果p+q2,那么p3+q32.证明假设p+q2,则q2-p,根据幂函数y=x3的单调性,得q3(2-p)3,即q38-12p+6p2-p3,p3+q38-12p+6p2=6(p-1)2+132,故p3+q32.因此p3+q32.这与题设p3+q3=
3、2矛盾,从而假设不成立.故p+q2成立.能力提升1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的()A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上都不对解析设命题p:“若x,则y”,则其逆命题q:“若y,则x”,那么命题q的否命题r:“若y,则x”所以p是r的逆否命题,故选B.答案B2.设原命题:若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题解析原命题的逆否命题为“若a,b中没有一个大于等于1,则a+
4、b2”,等价于“若a1,b1,则a+b12(a+b)2,则xa2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是()A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题解析设a,bR,原命题“若x12(a+b)2,则xa2+b2”,是假命题,原命题的逆否命题是假命题;原命题的逆命题:“若xa2+b2,则x12(a+b)2”,是真命题,原命题的否命题是真命题.故选A.答案A4.原命题为:“若+2,则sin cos ”,则下列说法正确的是()A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题D
5、.与逆否命题同为假命题解析该命题的逆否命题是“若sin=cos,则+=2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.而其否命题是“若+=2,则sin=cos”,显然是真命题,故D项正确.答案D5.有下列四个命题:“相似三角形周长相等”的否命题;“若xy,则x|y|”的逆命题;“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;“若b0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”,不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;“若xy,则x|y|”的逆命题为“若x|y|,则xy”,正确;“若x
6、=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x1,则x2+x-20”,不正确;“若b0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”由=4b2-4(b2+b)=-4b0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C.答案C6.已知命题“若1x2,则m-1xm+1”的逆否命题是真命题,则实数m的取值范围是.解析因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有m-11,m+12,解得1m2.答案1,27.给出下列命题:命题“若b2-4acb0,则3a3b0”的逆否命题;命题“若m1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为.解析命题“若b2-4acb0,则3a3b0”
7、为真命题,故其逆否命题也为真命题;“若m1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)0的解集为R”的逆命题为“若mx2-2(m+1)x+(m-3)1”,由于mx2-2(m+1)x+(m-3)0的解集为R等价于m-15,故逆命题为假命题.答案8.求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-30,则a+b1.证明构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-30,则a+b1.其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0,下面证明逆否命题为真命题.因为a+b=1,所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0.即逆否命题成立,所以原命题为真命题.
