1、第三部分 讲重点解答题专练 第3讲 概率与统计 热点调研 概率和统计的解答题是每年高考必考的内容，文科的解答题一般是必修内容中的概率与统计的计算题，理科的解答题一般是包括离散型随机变量的分布列与期望为主的概率与统计综合试题概率与统计的计算、离散型随机变量的分布和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的良好素材本部分用到的思想方法主要有：分类讨论的思想方法、转化与化归的思想方法、函数与方程的思想方法等.典型例题1(2015安徽)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检
2、测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；类型一古典概型与分布列(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)2(2015贵阳监测)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600 人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的 80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：调查人群态度应该
3、取消应该保留无所谓在校学生2 100 人120 人y 人社会人士600 人x 人z 人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人，再平均分成两组进行深入交流求第一组中在校学生人数 的分布列和数学期望规范解答1解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，P(A)A12A13A25 310.(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X200)A22A25
4、 110，P(X300)A33C12C13A22A35 310，P(X400)1P(X200)P(X300)1 110 31035.故 X 的分布列为X200300400P11031035E(X)200 110300 31040035350.2解析(1)抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，120 x3 600 0.05，解得 x60.持“无所谓”态度的人数共有 3 6002 10012060060720.应在持“无所谓”态度的人中抽取 720 3603 60072 人(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生为12018064 人，社会人士
5、为6018062 人，于是第一组在校学生人数 1,2,3，P(1)C14C22C36 15，P(2)C24C12C36 35，P(3)C34C02C36 15，的分布列为 1 2 3P 153515E()1152353152.预测1(2015湖北黄冈中学月考)一个袋子中装有 7 个小球，其中红球 4 个，编号分别为 1,2,3,4，黄球 3 个，编号分别为 2,4,6，从袋子中任取 4 个小球(假设取到任一小球的可能性相等)(1)求取出的小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望解析(1)设取出的小球中有相同编号的事件为 A，编号相同可分成一
6、个相同和两个相同，则P(A)2C12C13C231C471935.(2)随机变量 X 的可能取值为：3,4,6，P(X3)1C47 135，P(X4)C12C34C24C4725，P(X6)C36C4747，随机变量 X 的分布列为X 34 6P 1352547所以随机变量 X 的数学期望 E(X)3 13542564717935.2已知袋子中放有大小和形状完全相同的小球若干，分别标有标号 0,1,2，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 2 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率为12.(1)求 n 的值；(2)从袋子中随机抽
7、取 2 个小球，记抽到的小球的标号分别为a，b.在区间0,4内任取 2 个实数 x，y，记“x2y2ab”为事件 B，求事件 B 一定发生的概率；记抽到标号为 1 的小球的个数为，求随机变量 的数学期望 E()解析(1)由题意知n12n12，n3.(2)ab 的最大值为 4，事件 B 一定发生等价于 x2y216，(x，y)可以看作平面直角坐标系中的点，则全部的基本事件所构成的区域(x，y)|0 x4,0y4，x，yR，而事件 B 所包含的基本事件所构成的区域 B(x，y)|x2y216，x，y，P(B)SBS4444414.由题意知，所有可能的取值为 0,1,2，且P(0)C02C24C26
8、 25；P(1)C12C14C26 815；P(2)C22C26 115.的分布列为 012P 25815115随机变量 的数学期望 E()0251 8152 11523.1解决古典概型问题的一般步骤：首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解2分布列(1)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤：理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的分布列(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所
9、取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识典型例题1(2015安徽高中联考)某选修课的考试按 A 级，B 级依次进行，只有当 A 级成绩合格时，才可继续参加 B 级的考试已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书现某人参加这个选修课的考试，他 A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响类型二互斥、独立与分布列(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求 的数学期望 E()2(2015陕西质量检测)某中学为
10、丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分其规则是：按先 A 后 B再 A 的顺序投篮教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相互独立(1)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分 X 的分布列和数学期望；(2)若教师乙与甲在 A，B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率3(2015福建华安联考)2013 年 6 月“神舟十号”发射成功这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别
11、为34，13，12，23，并且各个环节的直播收看互不影响(1)现有该班甲、乙、丙三名同学，求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率；(2)若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数，求 X 的分布列和期望规范解答1答案(1)13(2)83解析 设“A 级第一次考试合格”为事件 A1，“A 级补考合格”为事件 A2；“B 级第一次考试合格”为事件 B1，“B 级补考合格”为事件 B2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为 A1B1，注意到 A1 与B1 相互独立，则 P(A1B1)P(A1)P(B1)231213.故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为13.(2)由已知，
12、得 2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：P(2)P(A1B1)P(A 1 A 2)23121313131949.P(3)P(A1 B1 B2)P(A1 B1 B2)P(A1 A2B1)23121223121213231216161949，P(4)P(A1 A2 B1 B2)P(A1 A2 B1 B2)1323121213231212 118 11819，故 E()24934941983.即该考生参加考试的次数 的期望为83.2答案(1)E(X)3(2)1948解析 设“教师甲在 A 点投中”的事件为 A，“教师甲在 B点投中”的事件为 B.(1)根据题意知 X 的可能取值为 0
13、,2,3,4,5,7.P(X0)P(A B A)(112)2(113)16，P(X2)P(A B A A B A)C1212(113)(112)13，P(X3)P(A B A)(112)13(112)112，P(X4)P(A B A)12(113)1216，P(X5)P(AB A A BA)C1212(112)1316，P(X7)P(ABA)121312 112.所以 X 的分布列为X 0 234 57P 16131121616112E(X)0162133 1124165167 1123.(2)教师甲胜乙包括：甲得 2 分，3 分，4 分，5 分，7 分五种情形，这五种情形之间彼此互斥，因此所
14、求事件的概率为P1316 112(1613)16(1613 112)16(1613 11216)112(1 112)571441948.3解析(1)设“这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播”为事件 A，则 P(A)C23(34)2(134)C33(34)32732.(2)由条件可知 X 可能的取值为 0,1,2,3,4.P(X0)(134)(113)(112)(123)136；P(X1)34(113)(112)(123)(134)13(112)(123)(134)(113)12(123)(134)(113)(112)231372；P(X2)3413(112)(123)34(113)12
15、(123)34(113)(112)23(134)1312(123)(134)13(112)23(134)(113)1223 718；P(X3)(134)13122334(113)12233413(112)23341312(123)2372；P(X4)34131223 112.即 X 的分布列为X 01234P 13613727182372112X 的期望 E(X)0 136113722 718323724 11294.预测1(2015江西百强联考)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球(1)求取出的 4 个
16、球中恰有 1 个红球的概率；(2)设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望解析(1)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C，“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D.由于事件 C，D 互斥，且 P(C)C23C24C12C14C26 415，P(D)C13C24C24C2615.故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P(CD)P(C)P(D)41515 715.(2)可能的取值为 0,1,2,3.P(0)C23C24C24C2615，P(1)C
17、13C24C24C26C23C24C12C14C26 715，P(3)C13C24 1C26 130.从而 P(2)1P(0)P(1)P(3)310.故 的分布列为 0123P 15715310130 的数学期望 E()0151 7152 3103 13076.2(2015河北唐山一模)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放 1 个(1)若小王发放 5 元的红包 2 个，求甲恰得 1 个的概率；(2)若小王发放 3 个红包，其中 5 元的 2 个，10 元的 1 个记乙所得红包的总钱数为 X，求 X 的分布列和期望解析(1)设“甲恰得一个红包”为事件 A，则 P(
18、A)C12132349.(2)X 的所有可能值为 0,5,10,15,20.P(X0)(23)223 827，P(X5)C1213(23)2 827，P(X10)(13)223(23)21329，P(X15)C12(13)223 427，P(X20)(13)3 127.X 的分布列为X 051015 20P 82782729427127E(X)0 8275 827102915 42720 127203.3(2015沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老
19、师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望解析(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为 A，则事件 A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，P(A)C23(13)2(23)1C33(13)3 727.(2)所含“获
20、奖”和“待定”票票数之和 X 的值为 0,1,2,3.P(X0)(13)3 127；P(X1)C13(23)1(13)229；P(X2)C23(23)2(13)149；P(X3)(23)3 827.因此 X 的分布列为X 01 23P 1272949827X 的数学期望为 E(X)0 1271292493 8272.1(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式2对离散型随机变量的数学期望(均值)应注意如下几点：(1)
21、数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E()是一个实数，由 的分布列唯一确定，即作为随机变量 是可变的，可取不同值，而 E()是不变的，它描述 取值的平均状态(3)E()x1p1x2p2xnpn 直接给出了 E()的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加(4)教材中给出的 E(ab)aE()b，说明随机变量 的线性函数 ab 的期望等于随机变量 数学期望的线性函数此式可有如下几种特殊形式：当 b0 时，E(a)aE()，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望等于这个常量与随机变量的数学期望的乘积当 a1 时，E(b)E()b，此式表明随机变量与常量和的数学期望等于随机变量
22、的数学期望与这个常量的和当 a0 时，E(b)b，此式表明常量的数学期望等于这个常量3对离散型随机变量的方差应注意如下几点：(1)D()表示随机变量 对 E()的平均偏离程度(2)D()与 E()一样也是一个实数，由 的分布列唯一确定(3)教材中给出的 D(ab)a2D()，在记忆和使用此结论时，请注意 D(ab)aD()b，D(ab)aD()，事实上，D()与E()的关系有 D()E(2)(E)2.典型例题1(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球，6 个白球的甲箱和装有 5 个红球，5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出
23、的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖类型三二项分布(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望2(2015河北石家庄一模)集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3 个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立若 3 个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元(1)求集成电路 E 需要维修的概率；(2)若某电
24、子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望3(2015保定二模)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠，某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了 16 名学生进行测试，用“10 分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若所得分数不低于 9.5 分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”若从这 16 人中随机选取 3 人，求至多有 1 人“非常了解”的概率；(3)以这 16 人的样本数据来估计该所学校学
25、生的总体数据，若从该所学校(人数可视为很多)任选 3 人，记 表示抽到“非常了解”的人数，求 的分布列及数学期望规范解答1解析(1)记事件 A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球，A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖 1 次能获奖由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1A1A2，B2A1 A2 A1 A2，CB1B2.因为 P(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215，P(B2)P(A1 A2 A1 A2)P(A1 A
26、2)P(A1 A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)25(112)(125)1212.故所求概率为 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512 710.(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为15，所以 XB(3，15)于是P(X0)C03(15)0(45)3 64125，P(X1)C13(15)1(45)2 48125，P(X2)C23(15)2(45)1 12125，P(X3)C33(15)3(45)0 1125.故 X 的分布列为P6412548125121251125X 的数学期望为 E(X)31535.2解
27、析(1)3 个电子元件能正常工作分别记为事件 A，B，C，则 P(A)12，P(B)12，P(C)23.依题意，集成电路 E 需要维修有两种情形：3 个元件都不能正常工作，概率为P1P(A B C)P(A)P(B)P(C)121213 112；3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为P2P(A B C AB C A BC)121213121213121223 41213.所以，集成电路 E 需要维修的概率为 P1P2 11213 512.(2)设 为维修集成电路的个数，则 B(2，512)，而 X100，P(X100k)P(k)Ck2(512)k(712)2k，k0,1,2.X 的分布列为X
28、0100200P49144357225144E(X)0 491441003572200 251442503 或 E(X)100E()1002 5122503.3解析(1)众数：8.6；中位数：8.78.828.75.(2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有 1 人对钓鱼岛“非常了解”记为事件 A，则 P(A)P(A0)P(A1)C312C316C14C212C316 121140.(3)的可能取值为 0,1,2,3.P(0)(34)32764；P(1)C1314(34)22764；P(2)C23(14)2(34)964；P(3)(14)3 164.所以 的分布
29、列为0123P 27642764964164E()02764127642 9643 1640.75.另解：的可能取值为 0,1,2,3，则 B(3，14)，P(k)Ck3(14)k(34)3k.所以 E()3140.75.预测1(2015江西上饶二模)一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为(5,15，(15,25，(25,35，(35,45，由此得到样本的质量频率分布直方图，如图所示(1)求 a 的值；(2)根据样本数据，试估计盒子中小球质量的平均值；注：设样本数据第 i 组的频率为 pi，第 i 组区间的
30、中点值为xi(i1,2,3，n)，则样本数据的平均值为 x x1p1x2p2x3p3xnpn.(3)从盒子中随机抽取 3 个小球，其中质量在(5,15内的小球个数为，求 的分布列和数学期望解析(1)由题意，得(0.020.032a0.018)101，解得 a0.03.(2)50 个样本小球质量的平均值 x 0.2100.32200.3300.184024.6(克)由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均值约为 24.6克(3)利用样本估计总体，该盒子中小球质量在(5,15内的概率为0.2，则 B(3，15)的可能取值为 0,1,2,3，P(0)C03(45)3 64125，P(1)C13(1
31、5)1(45)2 48125，P(2)C23(15)2(45)1 12125，P(3)C33(15)3 1125.的分布列为0123P6412548125121251125E()0 641251 481252 121253 112535(或者 E()31535)2(2015南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N(80，2)(满分为 100 分)，已知 P(X75)0.3，P(X95)0.1，现从该市高三学生中随机抽取 3 位同学(1)求抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间80,85)，85,95)，
32、95,100内各有 1 位同学的概率；(2)记抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间75,85内的人数为，求随机变量 的分布列和数学期望 E()解析(1)由题知，P(80X85)12P(X75)0.2，P(85X95)0.30.10.2，所以所求概率 PA330.20.20.10.024.(2)P(75X85)12P(X75)0.4，所以 服从二项分布 B(3,0.4)，P(0)0.630.216，P(1)30.40.620.432，P(2)30.420.60.288，P(3)0.430.064.所以随机变量 的分布列为0123P0.2160.4320.2880.064E()30.41.2.
33、3(2015武汉调研)为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉字听写比赛”比赛成绩只有 90 分，70 分，60 分，40 分，30 分五种，将本次比赛的成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名，并把它们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)9070604030人数(名)461073(1)根据上面的统计数据，试估计从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取 1 人，其成绩等级为“A 或 B”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选 3 人，记 X 表示抽到成绩
34、等级为“A 或 B”的学生人数，求 X 的分布列及其数学期望 E(X)解析(1)根据统计数据可知，从这 30 名学生中任选 1 人，其成绩等级为“A 或 B”的频率为 430 630103013.故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取 1 人，其成绩等级为“A 或 B”的概率约为13.(2)由已知得，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3，所以 P(X0)C03(13)0(23)3 827，P(X1)C13(13)1(23)2122749，P(X2)C23(13)2(23)1 62729，P(X3)C33(13)3(23)0 127.故随机变量 X 的分布列为X 01 23P 82
35、74929127所以 E(X)0 8271492293 1271.另解：易知 xB(3，13)，P(xi)Ci3(13)i(23)3i(i0,1,2,3)分布列(同上)，E(X)np3131.1二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验(2)在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，那么事件 A 发生 k 次的概率为 Cknpk(1p)nk(p 为事件 A 发生的概率，k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 XB(n，p)2若 XB(n，p)，则(1)E(x)np；(2)D(x)np(1p)典型例题1(2015河北名校联
36、考)市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100类型四频率分布直方图(1)求直方图中 x 的值；(2)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1 200 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选 4 名学生，这 4 名学生中上学路上所需时间少于 20 分钟的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望(以直方图中高一学生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学
37、所需时间少于 20 分钟的概率)2(2015天星联考)为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的节排器，分别从甲、乙两种节排器中随机抽取100 件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示节排器等级及利润率如表格(110a16)所示.综合得分k的范围 节排器等级节排器利润率k85一级品a75k85二级品5a270k75三级品a2(1)视频率分布直方图中的频率为概率，则若从甲型号节排器中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10 件，再从这 10 件节排器中随机抽取 3 件，求至少有 2 件一级品的概率；若从乙型号节排器中随机抽取 3 件，求二级品数 的分布列及数学期望 E；
38、(2)从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？规范解答1解析(1)由直方图，可得20 x0.025200.006 5200.0032201.所以 x0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为：00032200.12，因为 1 2000.12144，所以估计 1 200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿(3)X 的可能取值为 0,1,2,3,4，由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为14，P(X0)(34)4 81256，P(X1)C14(14)(34)32764，P(X2)C24(14)2(34)2 27128，P(X3)C34(14)3(
39、34)364，P(X4)(14)4 1256.所以 X 的分布列为X01234P812562764271283641256 E(X)0 81256127642 271283 3644 12561.(或 E(X)4141)所以 X 的数学期望为 1.2解析(1)由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号节排器中的一级品的概率为35，二级品的概率为25，则用分层抽样的方法抽取的 10 件甲型号节排器中有 6 件一级品，4 件二级品，所以从这 10 件节排器中随机抽取 3 件，至少有 2 件一级品的概率P1C34C24C16C31023.由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为
40、 710，二级品的概率为14，三级品的概率为 120，若从乙型号节排器中随机抽取 3 件，则二级品数 所有可能的取值为0,1,2,3，且 B(3，14)，所以 P(0)C03(34)3(14)02764，P(1)C13(34)2(14)12764，P(2)C23(34)1(14)2 964，P(3)C33(34)0(14)3 164.所以 的分布列为0123P 27642764964164所以数学期望 E()02764127642 9643 16434(或 E()31434)(2)由题意知，甲型号节排器的利润率的平均值 E甲35a255a22a235a，乙型号节排器的利润率的平均值 E乙 71
41、0a145a2 120a21310a2 710a，E 甲E 乙 710a2 110a 710a(a17)，又 110a16，因而当 110a17时，投资乙型号节排器的平均利润率较大；当17a0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程，得y0.592.36.8.故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元2解析(1)就业(或失业)继续深造合计理科毕业生182442文科毕业生61218合计243660K26018126242243642180.4762.706，有
42、90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关(2)的所有可能取值分别为：0,1 000,2 000,3 000,5 000，则 P(1 000)451225，P(2 000)45123412 320，P(3 000)451234122312 120，P(5 000)45123412231213 160，P(0)125 320 120 1602360.所以 的分布列为01 0002 0003 0005 000P 236025320120160 的数学期望 E()023601 000252 000 3203 000 1205 000 1602 8003.预测1(2015九江统考)心理学家分析发现视觉
43、和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人对她们的答题情况进行全程研究，记丙
44、、丁 2 名女同学被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)下面临界值表仅供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2nadbc2abcdacbd解 析 (1)由 表 中 数 据 得 K2 50221288230203020 5095.5565.024，根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x，y 分钟，则基本事件满足的区域为5x7，6y8，(如图所示)，设事件 A 为“乙比甲先解答完此道题”，则满足
45、的区域为xy，由几何概型的概率计算公式得 P(A)121122 18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)X 的可能取值为 0,1,2，由题可知在选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人，抽取方法有 C2828 种，其中丙、丁 2 人没有一个人被抽到有 C2615 种；恰有一人被抽到有 C12C1612 种；2人都被抽到有 C221 种，P(X0)1528，P(X1)122837，P(X2)128.X 的分布列为X 012P 152837128E(X)01528112282 12812.2(2015太原模拟)在北方某城市随机取了一年内 100 天的空气污染指数(API)的监测数据，统计结
46、果如下：API0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300300以上空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位：元)与空气 污 染 指 数API(记 为)的 关 系 式 为S 0，0100，4400，100300，试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率；(2)若本次抽取样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 22 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？非
47、重度污染 重度污染合计供暖季非供暖季合计100注：K2nadbc2abcdacbd，nabcd.P(K2k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.706 3.841 5.024解析(1)设在本年内随机抽取一天，该天的经济损失 S 大于200 元且不超过 600 元为事件 A，由 200S600，得 1503.841，所以有 95%的把握认为该城市空气重度污染与供暖有关1回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)回归方程：y b
48、x a，其中 bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a y b x.它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解2(1)独立性检验的基本思想类似于反证法要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量 K2 应该很小若由观测数据计算得到的 K2 的观察值 k 很大，则在一定程度上说明假设不合理根据随机变量 K2 的含义，我们把 K2k0 解释为有1P(K2k0)100%的把握认为“两 个 分 类 变 量 有 关 系”；把 K23.841 时，有 95%的把握说 X 与 Y 有关；当 K26.635 时，有 99%的把握说 X 与 Y 有关；当 K210.828 时，有 99.9%的把握说 X 与 Y 有关
