1、第三部分 讲重点解答题专练 高考数学，56 个解答题已形成固定模式，其重要性勿用赘述，高考的选拔功能最终将以此体现它也是高考数学试题的精华部分，知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，突出中学数学的主要思想方法，考查考生的创新意识和创新能力那么，怎样提高解答题的求解效率？一、认识解答题的特点，把握审题中的“三性”解答题从题设到结论，从题型到内容，条件丰富且变化多样，因此这就决定了审题思考的复杂性和解题思路的多样性1目的性：明确解题的终极目标和每一个步骤的分项目标；2准确性：注意概念把握的准确性和运算的准确性；3隐含性：注意题设条件的隐含性审题不怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这
2、是提高解题速度和准确性的保证二、认识解答题的特点掌握解题思维中的“三化”1抽象问题具体化(包括对抽象函数可用与其具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)；2复杂问题简单化；3尽量使陌生问题熟悉化，即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系，变成熟悉的形式三、认识解答题的特点，提高解题思维过程中的转化能力1语言转换能力；2概念转换能力；3数形转换能力四、做到解题过程中的“三思”1思路：由于解答题具有知识容量大，解题方法多的特点，因此，审题时应考虑应用多种解题思路；2思想：高考解答题的设置往往着重考查数学思
3、想方法，解题时应注意数学思想方法的合理运用；3思辨：即在求解解答题时注意对思路和运算方法的选择和解题后的反思.第1讲 三角函数 三角函数或三角函数与平面向量的综合题，往往处于解答题的第一题位置，一般题目难度不大，以考查基础知识为主根据历年的阅卷情况，本题的得分率并不是太高，其原因主要是审题不严谨、答题不规范导致失分，希望引起同学们注意.热点调研 典型例题1(2015安徽蚌埠质检)已知 f(x)2cosx2(3sinx2cosx2)1，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设，(0，2)，f()2，f()85，求 f()的值类型一 三角恒等变换2(2015陕西附中二模)如图所示，在平面直角
4、坐标系 xOy中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点已知 A，B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值规范解答1解析(1)f(x)3sinxcosx2sin(x6)，f(x)的最小正周期 T2.(2)2sin(6)2，sin(6)1，6623，62，3.2sin(6)85，sin(6)45，6623，又45 32，660，从而 sin 1cos27 210.同理可得 sin 55.因此 tan7，tan12.所以 tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()31213121.又
5、，均为锐角，故有 2(0，32)，故 234.预测1(2015北京东城联考)已知函数 f(x)tan(2x4)(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设(0，4)，若 f(2)2cos2，求 的大小解析(1)由 2x42k，kZ，得 x8k2，kZ.所以 f(x)的定义域为xR|x8k2，kZf(x)的最小正周期为2.(2)由 f(2)2cos2，得 tan(4)2cos2.sin4cos42(cos2sin2)，整理得sincoscossin2(cossin)(cossin)因为(0，4)，所以 sincos0.因此(cossin)212.即sin212.由(0，4)，得 2(0，2)
6、，所以 26，即 12.2(2015山西四校联考)(1)已知 02，且 cos(2)19，sin(2)23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan17，求 2 的值解析(1)02，422，420，02，020，022.tan170，2，20，bR，|2)的图像类型二 图像变换、性质(1)求实数 a，b，的值；(2)设函数(x)g(x)3f(x)，x0，2，求函数(x)的单调递增区间和最值2(2015河南安阳专项训练)已知函数f(x)sin(2x6)sin(2x6)cos2xa(aR，a 为常数)(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若将函数 f(x
7、)的图像向左平移 m(m0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图像关于 y 轴对称，求实数 m 的最小值规范解答1解析(1)依题意化简得 g(x)12sin(32x)，则 f(x)12sin32(x4)1212sin(2x6)1212cos(2x23)12cos2(x3)，所以 a1，b0，3.(2)(x)g(x)3f(x)12sin(2x23)32 cos(2x23)32 sin(2x3)32，由22k2x322k(kZ)，得512kx 12k(kZ)因为 x0，2，所以当 k0 时，(x)在0，12上单调递增，所以(x)的单调增区间为0，12，值域为 3，1 32，故(x)的最小值为 3，
8、最大值为 1 32.2解析(1)f(x)sin(2x6)sin(2x6)cos2xa 3sin2xcos2xa2sin(2x6)a，f(x)的最小正周期为22.当 2k22x62k2(kZ)，即 k6xk3(kZ)时，函数 f(x)单调递增，故所求单调递增区间为k6，k3(kZ)(2)将函数 f(x)的图像向左平移 m(m0)个单位长度后，得 g(x)2sin2(xm)6a，要使 g(x)的图像关于 y 轴对称，只需 2m6k2(kZ)，即 mk2 3(kN*)，所以 m 的最小值为3.预测1(2015济南调研)已知函数 f(x)2sinxcosx2 3sin2x 3(0)的最小正周期为.(1
9、)求函数 f(x)的单调增区间；(2)将函数 f(x)的图像向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x)的图像，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10个零点，求 b 的最小值解析(1)由题意得 f(x)2sinxcosx2 3sin2x 3sin2x 3cos2x2sin(2x3)，由最小正周期为，得 1.所以 f(x)2sin(2x3)函数的单调增区间为 2k22x32k2，kZ，整理得k 12xk512，kZ，所以函数 f(x)的单调增区间是k 12，k512，kZ.(2)将函数 f(x)的图像向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin2x1 的图
10、像，所以 g(x)2sin2x1.令 g(x)0，得 xk712或 xk1112(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点若 yg(x)在0，b上有 10个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即 b 的最小值为41112 5912.2(2015浙江嘉兴月考)函数 f(x)(sinx 3cosx)sinx12.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)将 yf(x)的图像向左平移3个单位长度，再将得到的图像横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)后得到 yg(x)的图像，若 yg(x)(x0)的图像与直线 y 32 交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，xn，求数列xn的前 2n 项的和
11、解析(1)f(x)(sinx 3cosx)sinx12sin2x 3cosxsinx121cos2x2 32 sin2x12 32 sin2x12cos2xsin(2x6)令 2k22x62k32，kZ，解得 k3xk56，kZ.f(x)的单调递减区间为k3，k56，kZ.(2)将函数 f(x)sin(2x6)的图像向左平移3个单位长度，得到ysin2(x3)6sin(2x2)cos2x 的图像再将得到的图像的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 yg(x)cosx 的图像若函数 g(x)cosx(x0)的图像与直线 y 32 交点的横坐标由小到大依次是 x1，x2，xn，则由余弦曲线
12、的对称性、周期性可知x1x22，x3x422，x2n1x2n22(n1)，所以 x1x2x2n1x2n(x1x2)(x3x4)(x2n1x2n)2610(4n2)135(2n1)2n12n1222n2.1三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等2通过各种方法，技巧将三角函数式化归成 yAsin(x)B 或 yAcos(x)B 或
13、 yAtan(x)B 的形式3三角函数性质定义域；值域；周期性；奇偶性；对称性；单调性典型例题1(2015黑龙江高三模拟)已知函数 f(x)3sin(x)(0，22)的图像关于直线 x3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值；(2)若 f(2)34(60，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图像若 yg(x)图像的一个对称中心为(512，0)，求 的最小值规范解答1解析(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以 f(x)的最小正周期为，从而 2T 2，又因为 f(x)的图像关于直线 x3对称，所以 23k3(kZ)因为22，得k0，所以 2236.(2)由(1)
14、得 f(2)3sin(226)34，所以 sin(6)14.由623，得 060 可知，当 k1 时，取得最小值6.预测1(2015福建龙岩检测)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|0，3sinBcosB10，即 sin(B6)12.B(0，)，B3.(2)由(1)得 2R bsinB2，2ac2R(2sinAsinC)5sinA 3cosA2 7sin(A)，其中 sin32 7，cos 52 7.A(0，23)，2 7sin(A)(3，2 72解析(1)如题图，在ADC 中，由余弦定理，得cosCADAC2AD2CD22ACAD.故由题设知，cosCAD7142
15、72 77.(2)如题图，设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD 714，所以 sinCAD 1cos2CAD12 772 217.sinBAD 1cos2BAD1 71423 2114.于是 sinsin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，得 BCsinACsinCBA.故 BC ACsinsinCBA7 322163.3解析 如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD40，此时DBF45，过点 B 作 BECD 于 E，则AEB30.在BCD
16、 中，CD40，BCD30，DBC135.由正弦定理，得CDsinDBCBDsinBCD.BD40sin30sin135 20 2.BDE1801353015.在 RtBED 中，BEDBsin1520 2 6 2410(31)在 RtABE 中，AEB30，ABBEtan30103(3 3)(米)故所求的塔高为103(3 3)米预测1(2015河北唐山二模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c,2(a2b2)2accosBbc.(1)求 A 的大小；(2)D 为边 BC 上一点，BD3DC，DAB2，求 tanC.解析(1)因为 2accosBa2c2b2，所以 2(a2
17、b2)a2c2b2bc.整理得 a2b2c2bc，所以 cosA12，即 A23.(2)因为DAB2，所以 ADBDsinB，DAC6.在ACD中，有 ADsinCCDsinDAC.又因为 BD3CD，所以 3sinB2sinC.由 B3C，得3 32 cosC32sinC2sinC.整理得 tanC3 37.2(2015广东海珠联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，已知 A4，cosB45.(1)求 cosC 的值；(2)若 a10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长解析(1)cosB45，且 B(0，)，sinB 1cos2B35.cosCcos(AB)co
18、s(34 B)cos34 cosBsin34 sinB 22 45 22 35 210.(2)由(1)可得 sinC 1cos2C1 2102 710 2.由正弦定理 asinA csinC，得1022c710 2，解得 c14.BD7，在BCD 中，CD27210227104537，CD 37.3(2015河南豫北联考)如图所示，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救
19、援船到达 D 点需要多长时间？解析 由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB.DBABsinDABsinADB53 3sin45sin10553 3sin45sin45cos60cos45sin605 3 3131210 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210 320 312900.CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)故救援船到达
20、D 点需要 1 小时1解三角形就是利用正、余弦定理确定边、角的值(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断(2)三角形中常见的结论三内角和等于 180.在三角形中大边对大角，反之亦然任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边sinAsin(BC)，cosAcos(BC)2解决实际问题的步骤(1)分析题意，准确理解题意根据题意画出示意图(2)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解(3)检验解出的答案是否符合实际意义，对解进行取舍典型例题1(2015江
21、西重点中学)在三角形 ABC 中，2sin2AcosAsin3A 3cosA 3.(1)求角 A 的大小；(2)已知 a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，若 a1 且 sinAsin(BC)2sin2C，求三角形 ABC 的面积类型五 三角形的面积及应用2(2015郑州预测)在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，D 为边 AC 的中点，a3 2，cosABC 24.(1)若 c3，求 sinACB 的值；(2)若 BD3，求ABC 的面积3(2015山西四校三次联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，已知 acos2C2ccos2A
22、232b.(1)求证：a，b，c 成等差数列；(2)若 B3，S4 3，求 b.规范解答1解析(1)2sin2AcosAsin3A 3cosA2sin2AcosAsin(2AA)3cosAsin2AcosAcos2AsinA 3cosAsinA 3cosA2sin(A3)，2sin(A3)3，sin(A3)32.A(0，)，A3(3，43)A323，A3.(2)sinAsin(BC)2sin2C，sin(BC)sin(BC)4sinCcosC.2sinBcosC4sinCcosC，cosC0 或 sinB2sinC.当 cosC0 时，C2，B6，batanB 33.SABC12ab121 3
23、3 36.当 sinB2sinC 时，由正弦定理可得 b2c，又由余弦定理 a2b2c22bccosA，可得 14c2c24c212.c213，SABC12bcsinA13 32 36.综上，SABC 36.2解析(1)a3 2，cosABC 24，c3，由 b2c2a22cacosABC32(3 2)223 23 2418，得 b3 2.又ABC(0，)，所以 sinABC 1cos2ABC 144.由正弦定理csinACBbsinABC，得 sinACBcsinABCb 74.(2)以 BA，BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE，如图，则 cosBCEcosABC 24，BE2BD
24、6，在BCE 中，BE2CB2CE22CBCEcosBCE，即 36CE21823 2CE(24)，解得 CE3，即 AB3，所以 SABC12acsinABC9 74.3解析(1)由正弦定理得 sinAcos2C2sinCcos2A232sinB，即sinA1cosC2sinC1cosA232sinB.sinAsinCsinAcosCcosAsinC3sinB，即 sinAsinCsin(AC)3sinB.sin(AC)sinB，sinAsinC2sinB，即 ac2b.a，b，c 成等差数列(2)S12acsinB 34 ac4 3，ac16.又 b2a2c22accosBa2c2ac(a
25、c)23ac，由(1)得 ac2b，b24b248.b216，即 b4.预测1(2015贵阳监测)如图所示，在四边形 ABCD 中，D2B，且 AD1，CD3，cosB 33.(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 3，求 AB 的长解析(1)因为 D2B，cosB 33，所以 cosDcos2B2cos2B113.因为 D(0，)，所以 sinD 1cos2D2 23.因为 AD1，CD3，所以ACD 的面积 S12ADCDsinD12132 23 2.(2)在ACD 中，AC2AD2DC22ADDCcosD12，所以 AC2 3.因为 BC2 3，ACsinBABsinACB，所以2 3
26、sinBABsin2B ABsin2BAB2sinBcosBAB2 33 sinB.所以 AB4.2(2015河北衡水中学)已知圆 O 的半径为 R(R 为常数)，它的内接三角形 ABC 满足 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB 成立，其中 a，b，c 分别为A，B，C 的对边，求三角形 ABC 面积 S的最大值解析 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB，4R2(sin2Asin2C)2R(2ab)sinB.由正弦定理得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 代入上式得a2c2 2abb2.由余弦定理，得 cosCa2b2c22ab 22.C4，AB34.所以
27、S12absinC 24 ab 24 4R2sinAsinB 2R2sinAsin(34 A)22 R2sin(2A4)R22.当且仅当 AB38 时，Smax 212R2.3(2015陕西质量检测)在ABC 中，sinAsinBcosC.(1)求角 A，B，C 的大小；(2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7，求ABC 的面积解析(1)由 sinAsinB，可知 AB.从而有 C2A.又 sinAcosCcos2A12sin2A，2sin2AsinA10.sinA1(舍去)，或 sinA12.故 AB6，C23.(2)设 BC2x，则 AC2x，在ACM 中，AM2AC2MC22ACMC
28、cosC，74x2x222xxcos23.x1.ABC 的面积 S12CACBsinC122x2xsin23 3.有关三角形面积问题的求解方法：1灵活运用正、余弦定理实现边角转化2合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等3灵活运用三角形的面积公式(1)S12ah(h 为 BC 边上的高)；(2)S12absinC12bcsinA12acsinB.(3)S2R2sinAsinBsinC(R 为ABC 外接圆的半径)；(4)Sabc4R；(5)S ppapbpc(p12(abc)4涉及面积的最值问题时，要注意联系基本不等式典型例题1(2015河北正定月考)已知向量 a(2sin
29、(x23)，2)，b(2cosx,0)(0)，函数 f(x)ab 的图像与直线 y2 3的相邻两个交点之间的距离为.(1)求函数 f(x)在0,2上的单调递增区间；类型六 三角函数与向量(2)将函数 f(x)的图像向右平移 12个单位，得到函数 yg(x)的图像若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值2(2015安徽十校联考)已知 a(sinx，cosx)，b(cos，sin)(|0)上至少含有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，b 的最小值为 47125512.2解析(1)f(x)absin(x)，由 f(3x)f(x)，知函数 yf(
30、x)的图像关于直线 x6对称，所以62k，kZ.又|2，所以 3，即 f(x)sin(x3)所以函数 f(x)的单调递增区间为2k56，2k6(kZ)(2)由题知 g(x)sin(x33)sinx，所以 g(x)1axcosx，即 sinx1axcosx 在 x0，4上恒成立，也即 sinxcosxax1 在 x0，4上恒成立令 h(x)sinxcosx 2sin(x4)，x0，4，(x)ax1.由题意可知，h(x)的图像在(x)图像的下方，则 ak01404，故 a4.预测1(2015吉林实验中学)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 m(cosA，3sinA)，
31、n(2cosA，2cosA)，mn1.(1)若 a2 3，c2，求ABC 的面积；(2)求b2cacos3C的值解析(1)因为 mn2cos2A 3sin2Acos2A 3sin2A12cos(2A3)11，所以 cos(2A3)1.又32A323，所以 2A3，A3.由 124b222bcos3，得 b4(舍负值)所以ABC 的面积为1224sin32 3.(2)b2cacos3C sinB2sinCsinAcos3CsinAC2sinC32 cos3C32 cosC32sinC32 cos3C3cos3C32 cos3C2.2(2015湖南十三校联考)已知向量 m(cosx2，1)，n(3
32、sinx2，cos2x2)，设函数 f(x)mn.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)求函数 f(x)在 x0，时的零点解析(1)m(cosx2，1)，n(3sinx2，cos2x2)，函数 f(x)mn，f(x)3sinx2cosx2cos2x2 32 sinx1cosx2 32 sinx12cosx12sin(x6)12.令 2k2x62k2，kZ，解得 2k3x2k23，kZ.因此函数 f(x)的单调递增区间为2k3，2k23，kZ.(2)由 f(x)0，得 sin(x6)12.x662k，或 x656 2k，kZ.x32k，或 x2k，kZ.又x0，x3或.f(x)在区间0，上的零点是3和.1三角函数的核心是角，而向量有方向，方向的表示就是用角表示，两个向量之间有夹角，所以三角函数与向量之间存在着某种必然的联系2向量的平行、垂直以及两向量的数量积往往出现在三角函数的题目当中，通过这些实现某种转化3cosa，b ab|a|b|.