1、第2课时 基本不等式的应用 应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：一、正数条件，即a,b都是正数；二、定值条件，即和是定值或积是定值；三、相等条件，即ab时取等号；简称“一正，二定，三等”.忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题.（重点）2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）3.会求给定条件的最值问题.4.能证明一些简单的不等式.11f(x)2x1(x0).x例求的最大值为条应负数转为数1x 0,所以2x 0,0,不符合基本不等式x的件.故把分因化：正析.1.化正型 探究点1 基本不等式
2、在求最大、最小值中的应用 12且-2x=-,即x=-,取等.x2f(x)的最大值-2 2-1.当仅当时号为1所以f(x)=2x+-1-2 2-1.x10,-0.x11所以（-2x)+(-)2 2.所以2x+-2 2.xx解：因x为 特别提醒：如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.关注因式是负数例2 求函数 的最小值.1yx(x3)x3积为变积为1 与x的不定值，故需形使定值.x析：3分-min1x 3,所以x-3 0,0.x-3111所以y=x+=x-3+32(x-3)+3=2+3=5,x-3x-3x-31且x-3=,即x=4解,y=5-:.x 3因当仅当时为2.凑定型(1)
3、构造积为定值，利用基本不等式求最值.(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值130 x,yx(1 3x).3例已知求函数的最大值为x+(1-3x)不是定值，3x+(1-3x)分析：定值.为210 x 0.311 3x+1-3x1所以y=x(1-3x)=3x(1-3x)()=.32因解：3123x=1-3x1x6max1y.12当且仅当，即 时，合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.【提升总结】11所以 xy,即2 2.xy2 2为1=2x+y2解：因2xy,111所以+222 2=4 2.xyxy即 的最小值为 11xy4 2.11xy例4
4、 已知x0,y0,且2x+y=1,求的最小值.3.整体代换型 这个解法正确吗？不正确.过程中两次运用了基本不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错误.21xy11xy1=2,xy11f(x)xy分析：本题给定约束条件，来求 注意到故可以采用对目标函数乘“1”构造使用基本不等式的条件.的最小值,112x+y2x+y+=+xyxyy2x=3+3+2 2,xy因f（x）解=:为正确解答:当且仅当2,yxxy即 2yx时取“=”号.1,222,21.2,22xyxxyy而即此时min11()32 2.xy对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式
5、的条件.【提升总结】例5 已知 a0,b0,a+b=1,求证：11(1)(1)9.ab分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？探究点2 利用基本不等式证明简单的不等式,从证由a+b=12 ab11得ab,而4.4ab11111a+b1(1+)(1+)=1+=1+ababababab2=1+：ab明9.当且仅当 时取等号.12ab范围是（）D1.（真题福建高考）若221,则的取值xyxy0,22,0 2,)(,2 A B C D 11100.111111112(1)1211.1，所以，所以为解：因xxxxxxxxx 当且仅当 11,1xx即 0 x 时，11xx有最小值1.2.若则 为何值时11xx有最小值，最小值为多少？1,x x19.0,0,1,.xyxyxy3 已知且求的最小值199xy(x+y)(+)=10+xyy解：x9x y10+2.=16.yx9xy=，yx且等成立,19+=1xy当仅当时号x=4,即,y=12时取得最小值16.xy把握基本不等式成立的三个条件：1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造：互为相反数、互为倒数）3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域.