1、第6讲 函数的性质及图像 热 点 调 研 调研一 函数的性质命题方向：1函数的三要素；2.函数的单调性；3函数的奇偶性；4.函数的周期性；5分段函数函数的三要素(1)(2016湖南东部六校)已知全集 UR，集合 Ax|ylg(x1)，集合 By|yx22x5，则 AB()A B(1，2C2，)D(2，)【审题】本题主要考查函数的定义域、二次函数的值域和集合的交集运算【解析】由 x10，得 x1，故集合 A(1，)，又 y x22x5（x1）24 42，故集合 B2，)，所以 AB2，)，故选 C.【答案】C【回顾】函数的定义域、值域往往与集合相结合着考查，注意集合元素的意义(2)(2016芜湖
2、检测)设 P(x，y)是函数 f(x)图像上任意一点，且y2x2，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)x1xBf(x)ex1Cf(x)x4xDf(x)tanx【解析】选项正误原因A当 x1 时，y0，y2x2 B当 x3 时，ye31，y2|x|，即|y|x|，故 y2x2 D当 x时，y21)f(x)4sinxf(x)x13(1x8)f(x)2x22x1其中是三角形函数的有_个()A1 B2C3 D4【审题】f(a)、f(b)、f(c)分别为某个三角形的边长，其中任何两个边长的和一定要大于第三边的长【解析】f(x)lnx(x1)的值域为(0，)，不是“三角形函数”，f(x)4sinx 的
3、值域为3，5，是“三角形函数”，f(x)x13(1x8)的值域为1，2，不是“三角形函数”，f(x)2x22x1的值域为(1，2)，是“三角形函数”【答案】B【回顾】在正确理解题意的基础上，求出 4 个函数的值域是关键点(4)(2016百校联盟)已知函数 f(x)的定义域为 R，且对任意实数 x，都有 ff(x)exe1(e 是自然对数的底数)，则 f(ln2)()A1 Be1C3 De3【解析】设 tf(x)ex，则 f(x)ext，则 ff(x)exe1 等价于 f(t)e1，令 xt，则 f(t)ette1，分析可知 t1，f(x)ex1，即 f(ln2)eln21213.故选 C.【答
4、案】C(5)(2016郑州质检)已知函数 f(x)x4x，g(x)2xa，若x112，1，x22，3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围为()Aa1 Ba1Ca2 Da2【审题】对x1，x2 使 f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.【解析】由题意知 f(x)min(x12，1)g(x)min(x2，3)，因为 f(x)min5，g(x)min4a，所以 54a，即 a1，故选 A.【答案】A(6)(2016广东深圳中学测试)若函数 f(x)1mx26mxm8的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是_【解析】由题意知，mx26mxm80 对一切实数 x都成立，即 m
5、x26mxm80 在实数集上无解当 m0 时，定义域为 R，满足题意；当 m0 时，由(6m)24m(m8)0，解得 0m0 得其定义域为(，0)(2，)，其增区间为(2，)，故 p 为假命题；函数 y13x1在 R 上为减函数，其值域为(0，1)，故 q 为真命题，故 pq 是真命题【答案】B【回顾】函数的单调区间是定义域的子区间；复合函数的单调性：同增异减(2)(2016开封调研)设函数 f(x)x|xa|，若对x1，x23，)，x1x2，不等式f（x1）f（x2）x1x20 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，3 B3，0)C(，3 D(0，3【解析】由题意分析可知条件等价于 f(
6、x)在3，)上单调递增，又f(x)x|xa|，当 a0 时，结论显然成立，当 a0时，f(x)x2ax，xa，x2ax，x0f(x)递增，f（x1）f（x2）x1x20f(x)递减 函数的奇偶性(1)(2016东北四市联考)下列函数中与 f(x)2x2x 具有相同奇偶性的是()Aysinx Byx2x1Cy|x|Dy|lgx|【解析】f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数易得 y|x|也为偶函数【答案】C(2)(2016唐山模拟)若函数 f(x)xlg(mxx21)为偶函数，则 m()A1 B1C1 或 1 D0【解析】因为函数 f(x)为偶函数，则有 xlg(mx x21)xlg(mx
7、x21)，即 mx x211mx x21，整理得 x2m2x2，所以 m21，所以 m1，故选 C.【答案】C(3)(2016开封调研)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数 a 满足 f(log2a)f(log12a)2f(1)，则 a 的最小值是()A.32B1C.12D2【审题】偶函数具有性质：f(|x|)f(x)【解析】根据偶函数的性质得 f(x)f(x)f(|x|)，log12alog2a，f(log12a)f(log2a)f(log2a)，原不等式等价于f(log12a)f(1)，即 f(|log12a|)f(1)，f(x)在区间0，)上单调递增
8、，|log12a|1，即1log12a1，解得12a2，故选 C.【答案】C(4)(2016天星教育联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且f(x)在(，0上单调递增，设 af(74)，bf(95)，cf(43)，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc BbacCcab Dacb【审题】由已知得函数 f(x)在0，)上单调递减，而 af(74)f(74)，bf(95)f(95)，cf(43)，所以只需比较43，74，95的大小即可【解析】f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在(，0上单调递增，f(x)在0，)上单调递减，且 af(74)f(74)，bf(95)f(95)，又
9、 cf(43)，且 04374ab，故选 B.【答案】B【回顾】(1)注意总结归纳常见的奇函数、偶函数(2)牢记判断函数奇偶性的规范步骤(3)掌握奇、偶函数的常规性质 函数的周期性、对称性(1)(2016马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)1，其对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)成立，则 f(2 015)f(2 016)_【解析】令 x3，故 f(36)f(3)f(3)，又 f(3)f(3)，故 f(3)0，故 f(x6)f(x)，故 f(2 015)f(5)f(1)f(1)1，f(2 016)f(0)0，故 f(2 015)f(2 016)1.【答案】1(2)(
10、2016湖北八校)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x1)f(1x)，且当 x0，1时，f(x)log2(x1)，则 f(31)()A1 B1C1 D2【解析】由条件可得 f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x)，所以 f(31)f(1)f(1)log221.【答案】C(3)(2016石家庄模拟)已知函数 yf(x2)的图像关于直线 x2 对称，且当 x(0，)时，f(x)|log2x|，若 af(3)，bf(14)，cf(2)，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc BbacCcab Dacb【解析】由函数 yf(x2)的图像关于
11、直线 x2 对称，得函数 yf(x)的图像关于 y 轴对称，即 yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f(1x)|log2x|，且当 x1，)时，f(x)log2x 单调递增，又 af(3)f(3)，bf(14)f(4)，所以 bac，选项 B 正确【答案】B(4)(2016洛阳统考)若函数 yf(2x1)是偶函数，则函数 yf(x)的图像的对称轴方程是()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】f(2x1)是偶函数，f(2x1)f(2x1)f(x)f(2x)，f(x)图像的对称轴为直线 x1.【答案】A【回顾】(1)若 f(xT)f(x)，则 T 为周期；若 f(xa)f(x)，则 T2a；
12、若 f(xa)1f（x），则 T2a；若 f(xa)1f（x），则 T2a.(2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)2b，即 f(x)f(2ax)2b，则 yf(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；若函数yf(x)满足 f(ax)f(ax)成轴对称；若 yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称，若yf(xa)是奇函数，则函数 yf(x)的图像关于点(a，0)对称(3)对称性与周期的关系：若函数 f(x)的图像关于直线 xa 和直线 xb 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期；若函数 f(x)的图像关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数
13、 f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期；若函数 f(x)的图像关于点(a，0)和直线 xb 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期 分段函数(1)(2016山西协作体联考)已知函数 f(x)log2x，x0，x2，x0，若 f(4)2f(a)，则实数 a 的值为()A1 或 2 B2C1 D2【解析】f(4)log242，因而 2f(a)2，即 f(a)1，当 a0时，f(a)log2a1，因而 a2；当 a0 时，f(a)a21，因而 a1，故选 A.【答案】A(2)(2016开封模拟)设函数f(x)2x（x0），|log2x|（x0），则方程f(x)1 的解
14、集为_【解析】由 f(x)1，知当 x0 时，2x1，则 x0；当x0 时，则|log2x|1，解得 x12或 2，所以所求解集为0，12，2【答案】0，12，2(3)(2016沧州模拟)已知函数 f(x)ex2，x0，lnx，x0，则 f(f(3)_【解析】f(f(3)f(e1)lne11.【答案】1(4)(2016河北五校)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且 x0 时，f(x)x21，0 x1，（12）x32，x1，方程 f(x)m 恰好有4 个实数根，则实数 m 的取值范围是()A(12，32 B(12，2C(32，2)D(2，52【解析】由 f(x)f(x)可
15、得 f(x)的图像关于 y 轴对称，结合 x0 时的解析式可知，f(x)在0，1上单调递增，在(1，)上单调递减，在 x1 时取得最大值 2.又当 x1 时，f(x)32，再结合对称性可以画出函数 yf(x)与 ym 的图像如图所示由图可知，当函数 yf(x)与 ym 恰好有 4 个公共点时，32m0 时单调性一致，当 k0 时单调性相反；f(x)与1f（x）单调性相反(6)复合函数的单调性：同增异减 4若函数 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)f(x2)x10），则 f(f(19)()A2 B3C9 D.19答案 C解析 f(19)log319log3322，f(f(1
16、9)f(2)(13)29.4(2016湖南东部六校)已知 f(x)是偶函数，且在0，)上是减函数，若 f(lgx)f(2)，则 x 的取值范围是()A(1100，1)B(0，1100)(1，)C(1100，100)D(0，1)(100，)答案 C解析 由偶函数的定义可知，f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(lgx)f(2)可化为|lgx|2，即2lgx2，解得 1100 x1，则f(x)2 的解集是_答案(，18，)解析 不等式 f(x)2 等价于x1，（12）x2或x1，log2x12，解得 x1 或 x8，故不等式的解集是(，18，)6(2016衡水调研)已知函数 f(x)loga(
17、x2ax)在区间2，3上为增函数，则实数 a 的取值范围为_答案(1，2)解析 f(x)loga(x2ax)，由 ylogau(x)，u(x)x2ax 复合而成 当 0a0，故a23，93a0，无解 当 a1 时，ylogau(x)为增函数，而 f(x)在2，3上为增函数，故 u(x)x2ax 在2，3上为增函数，且 x2ax0，故a22，42a0，所以a4，a2，从而 a2，故 1a2.综上，a 的取值范围为a|1ab1.若 logablogba52，abba，则 a_，b_【解析】由于 ab1，则 logab(0，1)，因为 logablogba52，即 logab 1logab52，所以
18、 logab12或 logab2(舍去)，所以a12b，即 ab2，所以 ab(b2)bb2bba，所以 a2b，b22b，所以 b2(b0 舍去)，a4.【答案】4 2(2)(2016唐山模拟)已知 2a5b 10，则1a1b()A.12B1C.2D2【解析】2a5b 10，所以 alog2 10，blog5 10，利用换底公式可得：1a1blog102log105log10102.【答案】D比较大小(1)(2016太原模拟)已知 a413，blog1413，clog314，则()Aabc BbcaCcba Dbac【解析】因为 a4131，0blog1413log431，clog314bc
19、，故选 A.【答案】A(2)(2016新课标全国)若 ab1，0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogac Dlogac0，所以yxc 为增函数，又 ab1，所以 acbc，A 错误对于选项 B，abcbac(ba)c0，2x，x0.若 f(a)12，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(1，2)C(，1)(0，2)D(2，)【解析】已知函数是分段函数，通过分类讨论，分别求解指(对)数不等式，再求并集 若 a0，由 2a12，得 a0，由 log2a12，得 0af(2)，则 a 的取值范围是_【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，
20、所以 f(x)在区间(0，)上单调递减又 f(2|a1|)f(2)，f(2)f(2)，故 22|a1|2，故|a1|12，所以12a0)为增函数，所以若求函数 f(x)ln(43xx2)的递减区间，根据复合函数“同增异减”的原则，则求 的递减区间根据二次函数的性质可求得 的递减区间为32，)又由 f(x)的定义域，得 43xx20，即1x1，对于定义域内的任意 x1，x2，有 0 x1x21，给出下列结论：(x2x1)f(x2)f(x1)x1f(x2)；f（x1）f（x2）21，函数是增函数，其图像如图所示，对于定义域内的任意 x1，x2，有 0 x1x20，f(x2)f(x1)0，(x2x1
21、)f(x2)f(x1)0，显然结论不正确；由 x2f(x1)x1f(x2)，得f（x1）x1f（x2）x2，即表示两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)与原点连线的斜率的大小，可以看出结论正确；结合函数图像，容易判断结论正确【答案】C(3)(2016福州调研)已知函数 f(x)|lnx|ax(x0，0a1)的两个零点是 x1，x2，则()A0 x1x21 Bx1x21C1x1x2eDx1x2e【解析】因为 f(x)|lnx|ax0|lnx|ax，作出函数 y|lnx|，yax的图像如图所示，不妨设 x1x2，则 0 x11x2，从而lnx10，因此|lnx1|ax1lnx1，|lnx2|a
22、x2lnx2.故 lnx1x2lnx1lnx2ax2ax10，所以 0 x1x21.【答案】A【回顾】注意函数 y|logax|的性质1(2016石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()Ay1xBy|x|1Cylgx Dy(12)|x|答案 B解析 A 中函数 y1x不是偶函数且在(0，)上单调递减，故 A 错误；B 中函数满足题意，故 B 正确；C 中函数不是偶函数，故 C 错误；D 中函数不满足在(0，)上单调递增，故选 B.2(2016河北五校)设函数 f(x)1log2（2x），x1，2x1，x1，则f(2)f(log212)()A3 B6C9 D12答案
23、C解析 f(2)1log243，f(log212)2log21212log21221122 6，f(2)f(log212)9.3(2016合肥调研)已知函数 f(x)|log12x|，若 mn，有 f(m)f(n)，则 m3n 的取值范围是()A2 3，)B(2 3，)C4，)D(4，)答案 D解析 f(x)|log12x|，若 mn，有 f(m)f(n)，log12mlog12n.mn1.0m1.m3n 在 m(0，1)上单调递减当 m1时，m3n4，m3n4.4(2016九江调研)已知 xln，ylog52，ze12，则()Axyz BzxyCzyx Dyz1，ylog52 1log25，
24、ze12 1e，又因为 log252，e2，所以 yzx.5(2016湖北七校)函数 f(x)3xx24 的零点个数是_答案 2解析 令 f(x)0，则 x24(13)x，分别作出函数 g(x)x24，h(x)(13)x 的图像，由图可知，显然 h(x)与 g(x)的图像有 2个交点，故函数 f(x)的零点个数为 2.调研三 图像与变换命题方向：1知式选图；2.知图选式；3图像变换；4.函数图像的应用知式选图(1)(2016新课标全国)函数 y2x2e|x|在2，2的图像大致为()【解析】当 x0 时，令函数 f(x)2x2ex，则 f(x)4xex，易知 f(x)在0，ln4)上单调递增，在
25、ln4，2上单调递减，又 f(0)10，f(1)4e0，f(2)8e20，所以存在 x0(0，12)是函数 f(x)的极小值点，即函数 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为 D.【答案】D(2)(2016广东协作体联考)已知函数 f(x)xexln|x|，则该函数的图像大致为()【解析】f(1)1eln11，而 f(3)3e3ln30，故排除 B、D 选项，又 f(3)3e3ln30，故排除 C，选 A.【答案】A【回顾】关于函数图像的识别，一般可以利用导数研究函数的单调性即可确定函数的大致图像，也可以利用奇偶性、对称性、定义域、值域特
26、殊函数值等来排除干扰项，得到正确选项 知图选式(2016衡水调研)函数 f(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)xsinxBf(x)cosxxCf(x)xcosxDf(x)x(x2)(x32)【解析】函数图像过点(2，0)，可排除 A；函数图像过原点，可排除 B；函数图像过点(32，0)，可排除 D.故选 C.【答案】C【回顾】由函数图像可以得到函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、周期性等性质，也可以得到函数图像过的某些特殊点，从而就可以通项验证选项的方法就可以排除干扰项，得到正确选项 图像变换(1)(2016沈阳调研)已知 f(x)x1，x1，0），x21
27、，x0，1，则下列函数的图像错误的是()【解析】首先作出函数 f(x)x1，x1，0）x21，x0，1的图像如下：函数 f(x1)的图像可由 f(x)的图像向右平移 1 个单位得到，故 A 正确；函数 f(x)的图像可由 f(x)的图像作关于 y 轴的对称得到，故 B 正确；函数 f(|x|)的图像可由 f(x)的图像擦除 y 轴左侧图像，而将 y 轴右侧图像关于 y 轴翻折到 y 轴左侧得到，故 C 正确；函数|f(x)|的图像可由 f(x)的图像保持 x 轴上方图像不变，而将 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方得到，故 D 错误故选 D.【答案】D(2)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单
28、位长度，所得图像与曲线yex 关于 y 轴对称，则 f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1【解析】依题意，与曲线 yex 关于 y 轴对称的曲线是 yex，于是 f(x)相当于 yex向左平移 1 个单位长度的结果，所以 f(x)e(x1)ex1，故选 D.【答案】D函数图像的应用(1)(2016山西四校联考)已知函数 f(x)x2ex12(x0)与 g(x)x2ln(xa)的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是()A.，1eB(，e)C.1e，eD.e，1e【审题】(x，y)与(x，y)关于 y 轴对称【解析】由题意可得，存在 x0(，0)，满足 x02ex012(x0
29、)2ln(x0a)，即 ex012ln(x0a)0 有负根yln(xa)ln(xa)(x0)的图像可由 yln(x)(x0 时)或向左(a0 时)平移|a|个单位得到，由图易得，此时 ex12ln(xa)0 有负根的条件是 lna12，解得 a e，要保证 ex012ln(x0a)0 有负根，则必须 a0 且 a1)和函数g(x)sin2 x，若 f(x)与 g(x)两图像只有 3 个交点，则 a 的取值范围是()A(15，1)(1，92)B(0，17)(1，92)C(17，12)(3，9)D(17，13)(5，9)【解析】作出函数 g(x)的图像如图所示，寻找临界状态，观察可知，若 a1，则
30、函数 f(x)的图像应当介于曲线 y1，y2 之间，其曲线 y1 过点(5，1)，故 y1log5x；曲线 y2 过点(9，1)，故 y2log9x，即 5a9；同理，当 0a1 时，函数 f(x)的图像应当介于曲线 y3，y4 之间，其中曲线 y3 过点(3，1)，故 y3log13x；曲线y4 过点(7，1)，故 y4log17x，即17a4，故选 D.【答案】D1平移变换(1)水平平移：yf(xa)(a0)的图像，可由 yf(x)的图像向左()或向右()平移 a 个单位而得到(2)竖直平移：yf(x)b(b0)的图像，可由 yf(x)的图像向上()或向下()平移 b 个单位而得到 2对称
31、变换 yf(x)与 yf(x)的图像关于 y 轴对称；yf(x)与 yf(x)的图像关于 x轴对称；yf(x)与yf(x)的图像关于原点对称；yf(|x|)的图像当 x0 与 yf(x)的图像重合，当 x0 时图像关于 y 轴对称；y|f(x)|的图像可将 yf(x)的图像在 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分不变 3函数图像的对称性(1)满足条件 f(xa)f(bx)的函数的图像关于直线 xab2对称(2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)；曲线 yf(x)关于x 轴的对称曲线方程为 yf(x)(3)点(x，y)关于 y 轴的对称点为(x，y)；曲线 yf
32、(x)关于y 轴的对称曲线方程为 yf(x)(4)点(x，y)关于原点的对称点为(x，y)；曲线 yf(x)关于原点的对称曲线方程为 yf(x)(5)曲线 f(x，y)0 关于点(a，b)的对称曲线方程为 f(2ax，2by)0.1(2016黄冈调研)在同一坐标系中画出函数 ylogax，yax，yxa 的图像，可能正确的是()答案 D解析 分 0a1 两种情形，易知 A、B、C 均错，选D.2(2016河北七校)下列四个函数中，图像如图所示的只能是()Ayxlgx ByxlgxCyxlgx Dyxlgx答案 B解析 特殊值法：当 x1 时，由图像可知 y0，而 C，D 中，y0，而 A 中
33、y110lg 110 9100，排除 B，故选 A.4(2016九江调研)为了得到函数 ylog2x1的图像，可将函数 ylog2x 图像上所有点的()A纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移 1 个单位B纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移 1 个单位C横坐标伸长为原来的12，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位D横坐标伸长为原来的12，纵坐标不变，再向右平移 1 个单位答案 A解析 把函数 ylog2x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数 y12log2x 的图像，再把图像上的点向右平移 1 个单位，得到函数 y12log2(x1)的图像，即函数 y
34、log2 x1的图像5(2016安徽六校)对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*ba2ab，ab，b2ab，ab设 f(x)(2x1)*(x1)，且关于 x 的方程为 f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是_答案(1 316，0)解析 当 2x1x1，即 x0 时，f(x)(2x1)2(2x1)(x1)2x2x；同理，当 x0 时，f(x)x2x.作出函数 f(x)的图像如图所示；f(x)m 有两个根时 m0，可知 x1x2x30，另一个是 m14，此时解方程 2x2x14，解得 x11 34，由x2x14得 x2x314，可得 x1x
35、2x31 316，故 x1x2x3(1 316，0)6(2016惠州调研)若方程 x2(k2)x2k10 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，则实数 k 的取值范围是_答案(12，23)解析 设 f(x)x2(k2)x2k1，由题意知f（0）0，f（1）0，即2k10，3k20，解得12k0，f(x)在 R 上单调递增，又f(12)e74 3740，零点在区间(12，1)上【答案】B(2)(2016湖南调研)设 x0是函数 f(x)2x|log2x|1 的一个零点，若 ax0，则 f(a)满足()Af(a)0 Bf(a)1 时，f(x)2xlog2x1，易证 2xx
36、1x，又函数 y2x的图像与 ylog2x 的图像关于直线 yx 对称，所以2xx1xlog2x，从而 f(x)0，故若 a1，有 f(a)0；若 0a1，因为当 00，f(12)220，所以 x0 是 f(x)唯一的零点，且 0 x00.【答案】A【回顾】要充分利用函数的单调性，单调函数，如果要有零点，则只能有 1 个 零点个数问题(1)(2016广州综合测试)已知函数 f(x)1|x1|，x1，x24x2，x1则函数 g(x)2|x|f(x)2 的零点个数为_【审题】本题主要考查函数与方程及数形结合思想【解析】由 g(x)2|x|f(x)20 得，f(x)(12)|x|1，作出 yf(x)
37、，y(12)|x|1 的图像，由图像可知共有 2 个交点，故函数的零点个数为 2.【答案】2(2)(2016郑州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，当1x0 时，f(x)log12(x)，则方程f(x)120 在(0，6)内的零点之和为()A8 B10C12 D16【解析】因为函数 f(x)的图像关于 x1 对称，所以 f(1x)f(1x)，则 f(x)f(2x)又 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)，所以 f(x)f(x)f(2x)f(x4)，即函数 f(x)的周期为 T4，当1x0 时，f(x)log12(x)，由奇函数的性质得当01，2ex，x1，
38、若函数 h(x)f(x)mx2 有且仅有两个零点，则实数 m 的取值范围是()A(64 2，0)(0，)B(64 2，0)(0，)C(64 2，0)D(64 2，64 2)【解析】函数 h(x)f(x)mx2 有两个零点等价于方程 f(x)mx20 有两个不同的解，等价于函数 yf(x)与函数 ymx2 的图像有两个不同的交点，作出函数 yf(x)的图像，如图，根据题意，当直线 ymx2 与曲线 yx1x11 2x1相切时，联立方程，消去 y 可得，mx2 2x1，整理得 mx2(2m)x40，由(2m)216m0，解得 m 64 2，要使 yf(x)与 ymx2 的图像有两个不同的交点，结合
39、图像分析可知，实数 m 的取值范围是(64 2，0)(0，)【答案】B(2)(2016河南九校联考)已知函数 f(x)|ln（x）|，x0，x24x3，x0若 H(x)f(x)22bf(x)3 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为_【解析】作出 f(x)的简图，如图所示：由图像可得当 k(0，3时，f(x)与 yk有四个不同的交点，再结合题中函数 yf(x)22bf(x)3 有 8 个不同的零点，令 kf(x)，可得关于 k 的方程 k22bk30 有两个不同的实数根k1、k2，且 0k13，00，0b3，322b330解得 30，0，0 来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二
40、次函数，则要结合二次函数的图像进行判断(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图像和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题(3)若函数 f(x)在a，b上的图像是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 f(a)f(b)0，则 yf(x)在区间(a，b)内有唯一零点 2函数 yf(x)g(x)的零点个数方程 f(x)g(x)根的个数曲线 yf(x)和 yg(x)交点的个数 3求参数问题，一定要注意数形结合，让某些曲线动起来！1(2016郑州质检)已知函数 f(x)(12)xcosx，则 f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4答案 C解析 作出 g
41、(x)(12)x 与 h(x)cosx 的图像，可以看到其中0，2上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在0，2上的零点个数为 3，故选 C.2(2016广东五校)已知函数 f(x)x22xm，在区间2，4上随机取一个实数 x，若事件“f(x)0g(x)kx1，若方程 f(x)g(x)0 在 x(2，2)有三个实根，则实数 k的取值范围为()A(1，12ln2)B(12ln2，32)C(32，2)D(1，12ln2)(32，2)答案 D解析 显然，x0 不是方程 f(x)g(x)0 的根，由 f(x)g(x)0 得 k(x)x1x4，x0结合(x)在 x(2，2)图像得 k(1，12ln2)(
42、32，2)4(2016河北七校)已知函数 f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)x 14 x的零点依次为 a，b，c，则()Acba BabcCcab Dbac答案 B解析 由 f(x)0 得 exx，由 g(x)0 得 lnxx，由 h(x)0 得 x1，即 c1.在平面直角坐标系中，分别作出函数 yex，yx，ylnx 的图像如图所示，由图像可知，a0，0b1，所以 abc.5(2016衡水调研)设17k14，函数 f(x)|2x1|k 的零点分别为 x1，x2(x1x2)，函数 g(x)|2x1|k2k1的零点分别为 x3，x4(x3x4)，则 2(x1x4)(x2x3)的最大值为()A.2125B.425C.116D.1516答案 D解析 因为函数 f(x)|2x1|k 的零点分别为 x1，x2(x1x2)，所以 2x11k，2x21k，2x2x11k1k，同理可得 2x4x313k1k，故 2(x1x4)(x2x3)（13k）（1k）（1k）214k2（1k）21516.请做：专题训练作业（十一）