1、第10讲 平面解析几何 热 点 调 研 调研一 直线与圆考向一 直线方程 命题方向：1求直线的倾斜角与斜率；2求直线的方程；3两直线的位置关系直线方程(1)(2016湖北四地七校联考)已知 f(x)asinxbcosx，若 f(4x)f(4 x)，则直线 axbyc0 的倾斜角为()A.4 B.3C.23D.34【解析】依题意，x4 为函数 f(x)图像的一条对称轴，故|22 a 22 b|a2b2，解得 ab，故直线 axbyc0 的斜率为1，倾斜角为34.【答案】D(2)(2016河南八市质检)已知直线 l1 与直线 l2：4x3y10垂直且与圆 C：x2y22y3 相切，则直线 l1 的
2、方程是_【解析】圆 C 的标准方程为 x2(y1)24，其圆心为(0，1)，半径 r2，设直线 l1 的方程为 3x4yc0，则|304（1）c|32422，解得 c14 或 c6，故 l1 的方程为 3x4y140 或 3x4y60.【答案】3x4y140 或 3x4y60(3)(2016长沙调研)已知点 P 是函数 f(x)32x2lnx 图像上一点，若点 P 到直线 2xya0 的最小距离为3 510，则 a()A2 或 1 B.12C1 D2 或1【解析】由题意可知，当距离最小值，函数图像在点 P 处的切线平行于 2xya0，则 f(x)3x1x2，可得 x1，x13(舍去)，此时 P
3、(1，32)，所以点 P 到直线 2xya0 的最小距离为|2132a|53 510，可得 a2 或1.【答案】D(4)(2016济南调研)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34【解析】如图，作出点 P(2，3)关于 y 轴的对称点 P0(2，3)由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点 P0.故设反射光线为 yk(x2)3，即 kxy2k3 0.圆 心 到 直 线 的 距 离d|3k22k3|k21112k225k120k43，或 k34，故选 D 项【答案】D(1)给定直
4、线 l：AxByC0，则 l1：AxByC10(C1C)与 l 平行，l2：BxAyC20 与 l 垂直(2)判定两直线平行的方法 判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k1k2，且 b1b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合 直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，(A1B10，A2B20)l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10.(3)判定两直线垂直的方法 判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k1k21，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，此
5、时两直线也垂直 直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.考向二 圆的方程 命题方向：1求圆的方程；2直线与圆的位置关系；3圆与圆的位置关系求圆的方程(1)(2016长沙四校联考)已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形 OAB 的外接圆的方程是_【解析】设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2y2DxEyF0，依题意可得F0，4162D4EF0，3646D2EF0解得F0，D6，E2故三角形 OAB 的外接圆的方程是 x2y26x2y0.【答案】x2y26x2y0(2)
6、(2016太原调研)圆心在曲线 y2x(x0)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的圆的方程为_【解析】由于圆心在曲线 y2x(x0)上，设圆坐标为(a，2a)(a0)，又圆与直线 2xy10 相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径 r.由 a0 得到，d2a2a15415 5，当且仅当 2a2a，即 a1 时取等号，所以圆心为(1，2)，半径 r 5，则所求的圆的方程为(x1)2(y2)25.【答案】(x1)2(y2)25(3)(2016济南调研)设直线 l：xy40 被半径为 3 的圆 C截得的弦 AB 的中点为 P(3，1)，且弦长|AB|2 7，则圆 C 的标准方程是_【解析】
7、设圆心坐标为(a，b)，由半径为 3，弦长|AB|2 7，得圆心到直线的距离为 2.圆心到直线 l：xy40 的距离又可表示为 d|ab4|2 2，圆心和点 P 的连线与直线 l 垂直，则b1a31，解得a4，b2或a2，b0.故圆 C 的标准方程为(x4)2(y2)29 或(x2)2y29.【答案】(x4)2(y2)29 或(x2)2y29【回顾】确定圆的方法主要有两种，一是待定系数法，确定 D、E、F 或 a、b、r，二是几何法，确定了圆心和半径根据具体情况灵活选用恰当的方法 直线与圆(1)(2016湖北七市联考)已知直线 axby60(a0，b0)被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为
8、2 5，则 ab 的最大值是()A9 B.92C4 D.52【解析】将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1，2)，半径 r 5，故直线过圆心，即 a2b6，a2b62 a2b，可得 ab92，当且仅当 a2b3 时等号成立，即 ab 的最大值是92，故选 B.【答案】B(2)(2016新课标全国)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|_【解析】设圆心到直线 l：mxy3m 30 的距离为 d，则弦长|AB|2 12d22 3，得 d3，即|3m 3
9、|m21 3，解得 m 33，则直线 l：x 3y60，数形结合可得|CD|AB|cos304.【答案】4(3)(2016合肥调研)过点 P(4，0)作直线 l 与圆 x2y22x4y200 交于 A，B 两点，若|AB|8，则 l 的方程为()A5x12y200B5x12y200C5x12y200 或 x40D5x12y200 或 x40【解析】圆 x2y22x4y200，即(x1)2(y2)225，圆心坐标为(1，2)，半径为 5.设直线 l：yk(x4)，圆心到直线 l 的距离 d|3k2|k21.由 d2(|AB|2)2r2，得(|3k2|k21)24252.解得 k 512，直线 l
10、：y 512(x4)，即 5x12y200.又直线 x40 也符合，故直线 l 的方程为 5x12y200或 x40.【答案】C(4)(2016芜湖模拟)点 P 是圆 x2y22x4y30 上任一点，则点 P 到直线 xy10 距离的最大值为()A.2B2 2C3 2D22 2【解析】依题意，圆心(1，2)到直线 xy10 的距离d|121|112 2，因为圆的半径为 2，故所求最大距离为2 2 23 2.【答案】C(5)(2016长春质量监测)已知 AB 为圆 O：(x1)2y21 的直径，点 P 为直线 xy10 上任意一点，则PAPB的最小值为()A1 B.2C2 D2 2【解析】由题意
11、，设 A(1cos，sin)，P(x，x1)，则B(1cos，sin)，PA(1cosx，sinx1)，PB(1cosx，sinx1)，PAPB(1cosx)(1cosx)(sinx1)(sinx1)(1x)2cos2(x1)2sin22x211，当且仅当 x0 时，等号成立，故选 A.【答案】A(6)(2016河北七校)已知圆的方程为 x2y26x8y0，设该圆过点 P(3，5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为()A10 6B20 6C30 6D40 6【解析】圆 x2y26x8y0，即(x3)2(y4)225，圆心坐标为(3，4)，半径为 5.最长弦 AC
12、10，最短弦 BD2 52（33）2（54）24 6，四边形 ABCD 的面积 S12104 620 6.【答案】B【回顾】(1)过一点作直线与圆相交，若弦长等于直径，只有一条；若弦长小于直径，则一定有两条(2)有关圆的弦长的求法 已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点 C 到 l 的距离为 d，圆的半径为 r.代数法：弦长|AB|1k2|x2x1|1k2（x1x2）24x1x2.几何法：弦长|AB|2 r2d2.(3)有关弦的中点问题 圆心与弦的中点连线和弦所在直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系 弦心距、半径、半弦长组成直角三角形(4)设
13、圆的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d，若 l 与圆相离，则圆上一点到直线距离最大值为 dr，最小值为 dr.若 l 与圆相交，则圆上一点到直线距离最大值为 dr，最小值为 0.圆的切线(1)(2016武昌调研)已知点 A(1，0)，过点 A 可作圆 x2y2mx10 的两条切线，则 m 的取值范围是_【解析】因为过点 A 可以作圆 x2y2mx10 的两条切线，所以点 A(1，0)在圆外，1m10，m2.又(xm2)2y2m24 1 表示圆，m24 10m2 或 m2.【答案】(2，)【回顾】(1)对于方程 x2y2DxEyF0，当 D2E24F0 时，方程表示圆；当 D2E24F0
14、时，方程表示一个点；当 D2E24Fr2，则点 P 在圆外；若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆上；若(x0a)2(y0b)20)经过抛物线 x24y 的焦点，点 P 的坐标为(a，3a10)(aR)，由点 P 向圆 O引切线，则切线长的最小值为_【解析】抛物线的焦点为(0，1)代入圆的方程可得 r1，而点 P 在直线 3xy100 上且此直线与圆 O 相离，结合实际图形可知，当 OP 与直线 3xy100 垂直时，切线长最短，此时|OP|1091 10，则切线长的最小值为 1013.【答案】3(3)(2016云南统考)已知 f(x)x3ax2b，如果 f(x)的图像在切点 P(1，
15、2)处的切线与圆(x2)2(y4)25 相切，那么 3a2b_【解析】由题意得 f(1)2a2b3，又f(x)3x2a，f(x)的图像在点 P(1，2)处的切线方程为 y2(3a)(x1)即(3a)xya50，|（3a）24a5|（3a）212 5a52，b14，3a2b7.【答案】7(4)(2016山西质检)过点 P(1，2)作圆(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为()Ay 34By12Cy 32Dy14【解析】由题得圆心 C(1，0)，半径 r1，而点 P(1，2)，可得|PC|2，那么切线段的长为|PC|2r2 3，根据等面积法可得|AB|2 31
16、2 3，则圆心 C 到直线 AB 的距离为 dr2（|AB|2）212，故结合图形可得直线 AB 所在直线方程为 y12.【答案】B【回顾】以点(1，2)和(1，0)为直径的圆为(x1)(x1)(y2)y0.即(x1)2y22y0.令它与圆(x1)2y21 作差得 2y1，即 y12.即 AB直线方程(5)(2016河北五一学校)设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21上存在点 N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是_【解析】由题意可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆 x2y21 相切于点 P(0，1)当 x00，即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(1，0)符
17、合要求；当 x00 时，过 M作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有 x01.结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范围为1，1【答案】1，1(6)已知 P(x0，y0)是O：x2y2r2 上一点，则O 在 P 点处的切线方程是_【解析】P 在O 上，x02y02r2，当 x0r 时，在方程 x2y2r2，两边同时对 x 求导得 2x2yy0，yxy.y|xx0 x0y0.由点斜式得切线方程 yy0 x0y0(xx0)整理得 x0 xy0yx02y02r2.当 x0r 时，切线方程为 xr.也适合
18、上式 由、可知切线方程为 x0 xy0yr2.【答案】x0 xy0yr2【回顾】(1)圆的方程为 x2y2r2(r0)，点 M(x0，y0)，若点 M 在O 上，则过 M 的切线方程为 x0 xy0yr2；若点 M 在O 外，则直线 x0 xy0yr2 与O 的位置关系是相交；若点 M 在O 内，则直线 x0 xy0yr2 与O 的位置关系是相离(2)过圆 x2y2DxEyF0 外一点 M(x0，y0)引切线，切点为 T，切线长公式为|MT|x02y02Dx0Ey0F.(3)求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用
19、待定系数法求解注意如果只解出一条，就要检验是否有斜率不存在的情况 圆与圆的位置关系(1)(2016河南六校)已知 M，N 是圆 x2y22x0 与圆 B：x2y22x4y0 的公共点，则BMN 的面积为_【解析】将两圆方程相减可得直线 MN 的方程为 xy0，圆 B 的标准方程为(x1)2(y2)25，所以圆心 B(1，2)到直线 MN 的距离为 32，弦长|MN|2592 2，则BMN 的面积为12 2 3232.【答案】32【回顾】已知两圆相交和两圆的方程，将两圆方程相减可得公共弦 MN 所在直线的方程求两圆的公共弦长，首先求公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再利
20、用弦长公式：弦长2 r2d2(其中 r 是圆的半径，d 为圆心到直线的距离)，注意半径和圆心是同一个圆的半径和圆心(2)(2016上海五校调研)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24 B.171C62 2D.17【解析】圆心 C1(2，3)，C2(3，4)，作 C1 关于 x 轴的对称点 C1(2，3)，连接 C1C2，与 x 轴交于点 P，此时|PM|PN|取得最小值，为|C1C2|135 24.【答案】A(3)(2016杭州调研)若点 A(1，0)和点 B(
21、4，0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有()A1 条B2 条C3 条D4 条【解析】如图，分别以 A，B 为圆心，1，2 为半径作圆依题意直线 l 是圆 A 的切线，因 A 到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B的切线，B 到 l 的距离为 2，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条(2 条外公切线，1 条内公切线)【答案】C【回顾】(1)利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距 d 和两圆的半径 R 和 r，再根据 d 与 Rr，d 与 Rr(Rr)的大小关系来判断(2)两圆的位置关系与它们公切线条数
22、一一对应(3)两圆相交，方程作差即得交点弦所在直线方程1(2016东北三校)已知两条直线 l1：(m3)x4y3m50，l2：2x(m6)y80，且 l1l2，则直线 l1 的一个方向向量是()A(1，12)B(1，1)C(1，2)D(1，12)答案 D解析 因为直线(m3)x4y3m50 与直线 2x(m6)y80 垂直，所以 2(m3)4(m6)0，解得 m5，所以直线 l1 的方程为2x4y200，即 x2y100.结合选项可知，直线 l1 的一个方向向量是(1，12)2(2016江西质检)过圆 x2y21 上一点作该圆的切线，分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，则|OA|
23、OB|有()A最大值 2B最小值 2C最大值 2 D最小值 2答案 D解析 设直线 AB 的方程为xayb1(a0，b0)，即 bxayab0，圆心到直线的距离为aba2b21(ab)2a2b22ab|OA|OB|ab2.3(2016新课标全国)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C.3D2答案 A解析 由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得 d|a41|a21 1，解得 a43，故选 A.4(2016宜昌二模)若圆 x2y2a2 与圆 x2y2ay60的公共弦长为 2 3，则 a
24、的值为()A2 B2C1 D1答案 B解析 设圆 x2y2a2 的圆心为原点 O，半径 r|a|.将圆 x2y2a2 与圆 x2y2ay60 相减，可得 a2ay60，即得两圆的公共弦所在直线方程为 a2ay60.原点 O 到 a2ay60 的距离 d|6aa|.设两圆交于点 A，B，根据勾股定理可得 a2(3)2(6aa)2，a24，a2.故选 B.5(2016宜春调研)设点 M(x0，x0 2)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是_答案 2，0解析 由题意可知点 M 在直线 yx 2上运动，设直线 yx 2与圆 x2y21 相切于点M1(22，22
25、)当 x0 22 即点 M 与点 M1 重合时，显然圆上存在点 N(22，22)或(22，22)符合要求；当 x0 22 时，过点 M 作圆的切线，切点之一为 M1，此时对于圆上任意一点 N，都有OMNOMM1，故要使得OMN45，只需OMM145.特别地，当OMM145时，有 x0 2或 x00，结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范围为 2，0调研二 椭 圆命题方向：1定义和方程；2.椭圆的性质；3直线与椭圆定义和方程(1)(2016东北四市联考)F1，F2 分别为椭圆x236y2271 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且OB 12(OA OF1)，OC 12(OA OF2)，则|OB|
26、OC|_【解析】设 A(x0，y0)，则OB(12(x03)，12y0)，OC(12(x0 3)，12 y0)，|OB|OC|12(（x03）2y02（x03）2y02)，又（x03）2y02（x03）2y02为椭圆上的点到两焦点的距离之和，根据椭圆的定义知，其值为 12，|OB|OC|12126.【答案】6(2)(2016上海六校联考)已知点 F 为椭圆 C：x22 y21 的左焦点，点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为(4，3)，则|PQ|PF|取最大值时，点 P 的坐标为_【解析】设椭圆的右焦点为 E，|PQ|PF|PQ|2a|PE|PQ|PE|2 2.当 P为线段 QE的延
27、长线与椭圆的交点时，|PQ|PF|取最大值，此时，直线 PQ 的方程为 yx1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，1)，即点 P 的坐标为(0，1)【答案】(0，1)(3)(2016湖南四校联考)若椭圆x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在x 轴上，过点(2，1)作圆 x2y24 的切线，切点分别为 A，B，且直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为_【解析】由题意可知，其中一个切点，坐标为(2，0)，则可设另一个切点坐标为(m，n)，则由相切可得，n1m2nm1，即 m2n2n2m0，m2n24，2mn40，即直线AB 的方程为 2xy40，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和
28、上顶点，2c40，b40，解得 c2，b4，又椭圆的焦点在 x 轴上，a2b2c220，椭圆方程为x220y2161.【答案】x220y2161(4)(2016广州综合测试)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，点 F 关于直线 y12x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为_【解析】设 F(1，0)关于直线 y12x 的对称点为(x，y)，则0y2 121x2，y0 x1121解得x35，y45.由于椭圆的两个焦点为(1，0)，(1，0)，所以 2a（351）2（45）2（351）2（45）26 55，a3 55，又 c1，所以 b2a2c295145，所以椭圆C
29、的方程为x295y2451，即5x29 5y24 1.【答案】5x29 5y24 1(5)(2016河北七校)已知圆 M：(x 5)2y236，定点 N(5，0)，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足NP2NQ，GQ NP0，则点 G 的轨迹方程是()A.x29 y24 1 B.x236y2311C.x29 y24 1 D.x236y2311【解析】NP2NQ，GQ NP0 知，GQ 是线段 NP 的垂直平分线，|GN|GP|，|GM|GN|MP|6.点 G 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆由 2a6，得 a3，又 c 5，b24.点 G 的轨迹方
30、程为x29 y24 1.【答案】A【回顾】(1)椭圆的定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距(2)两种标准方程：x2a2y2b21(ab0)，焦点在 x 轴上；y2a2x2b21(ab0)，焦点在 y 轴上(3)椭圆方程的一般形式：mx2ny21(m0，n0，mn)，其焦点位置有如下规律，当 mn 时，焦点在 y 轴上 椭圆的性质(1)(2016湖南东部四校联考)设 F1、F2 分别是椭圆x24 y21的左、右焦点，点 P 是该椭圆上一个动点，则PF1 PF2 的取值范围是()
31、A2，1)B(2，1)C(2，1 D2，1【解析】由椭圆x24 y21 可知 F1(3，0)，F2(3，0)，设 P(x，y)，则PF1 PF2(3x)(3x)(y)2x2y2334x22，又 x2，2，所以PF1 PF2 2，1【答案】D(2)(2016郑州预测)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若F1AB是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B2 3C.52 D.6 3【解析】设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF
32、1|2m.由椭圆的定义可得ABF1 的周长为 4a，即有 4a2m 2m，即 m(42 2)a，则|AF2|2am(2 22)a，在 RtAF1F2 中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2 2)2a24(21)2a2，即有 c2(96 2)a2，即 c(6 3)a，即 eca 6 3，故选 D.【答案】D(3)(2016武昌调研)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点 F(c，0)关于直线 bxcy0 的对称点 P 在椭圆上，则椭圆的离心率是()A.24B.34C.33D.22【解析】设焦点 F(c，0)关于直线 bxcy0 的对称点为P(m，n)则nmc（bc）1
33、，bmc2cn20所以nmccb，bmbcnc0.所以 mb2cc3b2c2（a22c2）ca2(12e2)c，nc2bbc2b2c2 2bc2a2 2be2.因为点 P(m，n)在椭圆上，所以（12e2）2c2a24b2e4b2 1，即(12e2)2e24e41，即 4e6e210，将各选项代入知 e 22 符合，故选 D.【答案】D(4)(2016衡中调研)已知圆 C1：x22cxy20，圆 C2：x22cxy20，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0，焦距为 2c)，若圆 C1，C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A12，1)B(0，12C 22，1)D(0，22【解析】易得圆
34、 C1：(xc)2y2c2，圆 C2：(xc)2y2c2，若圆 C1，C2 均在椭圆 C 内，即圆心到椭圆上点的最小距离大于或等于圆的半径 c，根据椭圆上的点到焦点的最小距离是 ac，则圆心 C1(c，0)到椭圆左端点和圆心 C2(c，0)到椭圆右端点的距离为最小，均为 ac，所以 acc，即 a2c，故ca12，又ca0，则椭圆离心率的范围是(0，12【答案】B直线与椭圆(1)(2016洛阳调研)已知 P(1，1)为椭圆x22 y24 1 内一定点，过点 P 引一弦，使此弦被点 P(1，1)平分，则此弦所在的直线方程是_【解析】由已知条件，可知此弦所在直线的斜率存在，所以设直线的斜率为 k，
35、且设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x122 y124 1，x222 y224 1.上 述 两 式 左 右 分 别 相 减 得（x1x2）（x1x2）2（y1y2）（y1y2）40.x1x22，y1y22，x1x2y1y220，ky1y2x1x22，此弦所在直线的方程为 y12(x1)，即 2xy30.【答案】2xy30【回顾】设出两个交点的坐标，将它们分别代入椭圆的方程，将两个式子相减得到有关相交弦的中点与弦所在直线的斜率关系，是直线与椭圆问题中的一种常用解题方法点差法，一般涉及弦的中点及对应直线斜率的关系，具体步骤：(1)设直线 AxByC0 与椭圆 mx2ny21(m
36、0，n0，mn)的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，AB 的中点为 M(x0，y0)；(2)把 A，B 两点的坐标代入椭圆方程，则 mx12ny121，mx22ny221；(3)将所得两式作差，得 m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)，整理成左边为直线的斜率的形式为y1y2x1x2m（x1x2）n（y1y2），即 kmx0ny0，从而转化为直线 AB 的斜率与中点 M 的坐标的关系；(4)将中点坐标代入并化简(2)(2016福州五校)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)及圆 O：x2y2a2，如图过点 B(0，a)与椭圆相切的直线 l 交圆 O 于点
37、 A，若AOB60，则椭圆的离心率为_【解析】由已知，显然直线 l 的斜率存在，故可设直线 l的方程为 ykxa，则由ykxa，x2a2y2b21 得(b2a2k2)x22a3kxa2c20，4a6k24a2c2(b2a2k2)0，结合图形解得 kca，即直线 l 的方程为 ycaxa.故直线 l 的斜率为cae，由于AOB60，设 AB 与 x 轴交于点 C，则在 RtOBC 中，OCB30，因此 etanOCB 33.【答案】33(3)(2016太原期末)已知点 P 是圆 C：x2y28x8y280上任意一点，曲线 N：x24y24 与 x 轴交于 A，B 两点，直线OP 与曲线 N 交于
38、点 M，记直线 MA，MB，OP 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1k2k3 的取值范围是_【解析】由题意可得 A(2，0)，B(2，0)，设 M(x0，y0)，则有 x024y024，而 k1k2 y0 x02 y0 x02 y02x024y0244y02414，配方可得(x4)2(y4)24，得其圆心 C(4，4)，半径 r2，设直线 OP 的方程为 yk3x，则直线 OP 所对应的斜率 k3取最值时恰好直线 OP 与圆 C 相切，则有圆心 C 到直线 OP 的距离 d|4k34|k321r2，则有 3k328k330，解得 k34 73，故 k1k2k3 的最小值为144 73 7
39、412，最大值为144 73 7412，则 k1k2k3 的取值范围是 7412，7412【答案】7412，74121求椭圆离心率的方法(1)定义法：直接求出 a，c 的值来解 e，通过已知条件列方程，解出 a，c 的值(2)解方程法：由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置求离心率此方法多用于选择题和填空题(4)求椭圆离心率的最值，往往借助图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于 a，b，c 的不等式，从而达到求解的目的 2椭圆中常用结论(1)设 F1，F2 是椭圆x2a2y2b21(ab0)
40、的左、右焦点，AB 是过F1 的弦，则ABF2 的周长为 4a.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin2b2a.(3)AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 弦长 l 1k2|x1x2|11k2|y1y2|；直线 AB 的斜率 kABb2x0a2y0.1(2016湖北八校)设 F1，F2 为椭圆x29 y25 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则|PF2|PF1|的值为()A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由条件可得 PF2
41、与 y 轴平行，椭圆的焦距为 4，把 x2 代入椭圆方程可得 y53，故|PF2|53，则|PF1|2a|PF1|653133，故|PF2|PF1|513.2(2016福建质检)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A.512B.33C.22D.63答案 D解 析 设 椭 圆 的 方 程 为 x2a2 y2b2 1(ab0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|a，所以|OA|22 a，所以点 A 的坐标为(a2，a2)，又点 A 在椭圆上，所以 a24a2 a24b21，所以 a23b2，所以 a23(a2c
42、2)，所以 3c22a2，所以椭圆的离心率 eca 63，故选 D.3(2016新课标全国)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_答案 13解析 设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为xaym1，由题意可知 M(c，mmca)，(0，m2)和 B(a，0)三点共线，则mmca m2cm2a，化简得 a3c，则 C 的离心率 eca13.4(2016福州五校)如图，F1，F
43、2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2 与圆 x2y2b2 相切于点 Q，且点 Q 是线段 PF2 的中点，则a2e23b(e 为椭圆的离心率)的最小值为_答案 53解析 连接 F1P，OQ，因为点 Q 为线段 PF2 的中点，所以|F1P|2|OQ|2b，由椭圆的定义得|PF2|2a2b，由 F1PF2P，得(2b)2(2a2b)2(2c)2，解得 2a3b，e 53，所以a2e23b a2592a 12(a 59a)122a 59a 53(当且仅当 a 53 时等号成立)5(2016山西协作体)若椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)
44、的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为 1 的正方形，则椭圆 C 的内接正方形的面积为_答案 43解析 由已知得，a1，bc 22，所以椭圆 C 的方程为x2y2121，设 A(x0，y0)是椭圆 C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则 x0y0，所以 1x022y023x02，解得 x0213，所以椭圆 C 的内接正方形的面积 S(2x0)24x0243.6已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)和圆 O：x2y2b2，若 C上存在点 P，使得过点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，满足APB60，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_答案 32，1)解析 OAAP，由APB
45、60，知OPA30.|OP|2|OA|2b.设 P(x，y)，则x2y24b2，x2a2y2b21，消去 x，得 y2b2（a24b2）c2，由 y20，得 a24b20，即 a24(a2c2)0，c2a234，e 32.又 e0)，所以椭圆的离心率 e1 12，双曲线的离心率 e2 2b22.由 e1e21 得 b22.因此双曲线方程为 y2x22.【答案】D(3)(2016唐山期末)焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线y24x21 有相同渐近线的双曲线的标准方程是_【解析】设所求双曲线的标准方程为y24 x2(0)，即x2 y241，则有 425，解得 5，所以所求双曲线的标准方程为
46、x25 y2201.【答案】x25 y2201(4)(2016贵州适应性考试)在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了 A，B，C 三个观测点已知 B 在 A 的正西方向 4a 米处，C 在 A 的正南方向 a 米处实验中，在 B，C 两点听到导弹着地时的爆炸声比在 A 点分别晚 2 秒和 1 秒，且声速 va 米/秒，则此导弹爆炸点离 A 点的距离为()Aa 米B2a 米C3a 米D4a 米【解析】以 BA 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(2a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，设爆炸点为 P，由|PB|PA|2a 得，点 P 的轨迹方程
47、是x2a2 y23a21(x0)，设P(x，y)(x0)，则 由|PC|PA|a得（x2a）2（ya）2（x2a）2y2a，化简得 x2a，则 PAx 轴，|PA|b2a 3a，选项 C 正确【答案】C【回顾】(1)在解决双曲线的其中一个焦点的问题时，要善于和另外一个焦点联系起来，这样就可以根据定义对问题进行转化双曲线的标准方程是在特殊坐标系下建立起来的代数方程，这个代数方程是我们用代数方法研究双曲线的几何性质的基础，求双曲线标准方程的基本方法是定义法和待定系数法(2)求双曲线标准方程的方法 定义法，根据题目条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的 a，b，c 的值即可求得方程 待定
48、系数法，先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再由条件求出 的值即可 渐近线(1)(2016太原模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点坐标为(2，0)，则双曲线的方程为()A.x22 y26 1 B.x26 y22 1Cx2y23 1 D.x23 y21【解析】由双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点坐标为(2，0)，可知双曲线的焦点在 x 轴上，且 c2，渐近线方程为y 3x
49、，ba 3，b2a2c2a2a23，a1，b 3，双曲线的方程为 x2y23 1，故选 C.【答案】C(2)(2016福建质检)已知 F1，F2 分别为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若点 P 是以 F1F2 为直径的圆与 C 右支的一个交点，F1P 交 C 于另一点 Q，且|PQ|2|QF1|，则 C 的渐近线方程为()Ay2x By12xCy 2x Dy 22 x【解析】设|PF1|m，|PF2|n，双曲线的焦距为 2c.因为|PQ|2|QF1|，所以|QF1|m3.依题意知，F1PF290，所以|QF2|（2m3）2n2.因为点 P，Q 都在双曲线上，根据双曲线
50、的定义，得mn2a，（2m3）2n2m3 2a，所以 m2n，又因为 m2n2|F1F2|24c2，所以 m4c5，n2c5，所以4c52c52a，所以 c 5a，所以 c25a2，所以 a2b25a2，所以 b24a2，所以双曲线 C的渐近线方程为 y2x，故选 A.【答案】A(3)(2016湖北四地七校)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为双曲线 x22y21 的右支上的一个动点，若点 P 到直线 2x2y20 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为()A2 B.32C.63D.2 63【解析】依题意，双曲线 x22y21 的渐近线为 x 2y0，c 的最大值即为直线 x 2y
51、0 到 2x2y20 的距离，故cmax224 63.【答案】C(4)(2016广东六校)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示若 SABF214SAOB，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为()A.54B.247C2124D.2 55【解析】因为 SABF214SAOB，所以12(ca)b1412ab，即 c54a，因为 c2a2b2，所以(54a)2a2b2，所以b2a2 916，即ba34.设双曲线的渐近线 y34x 与 x 轴正方向的夹角为，所以 tan34，所以 tan22341（34）2247
52、，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.【答案】B【回顾】(1)双曲线 mx2ny21(mn0)的渐近线方程为mx2ny20.(2)双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长(3)双曲线渐近线上承载着 a、b 的信息 离心率(1)(2016山东)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)若矩形ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_【解析】如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设 AB，CD 的中点分别为 M，N，则在 RtBMN中，|MN|2c 2，故|BN|BM|2|MN|2（32）22252.由双曲线
53、的定义可得 2a|BN|BM|52321，而 2c|MN|2，所以双曲线的离心率 e2c2a2.【答案】2(2)(2016临汾模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点分别为 F1，F2，A，B 为其左、右顶点，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且MAB30，则双曲线的离心率为()A.212B.213C.193D.192【解析】设 M(x，y)，依题意x2y2c2，ybax，x0，y0，解得 xa，yb，即 M(a，b)，又 A(a，0)，B(a，0)，|MB|b，|AB|2a，又MAB30，b2a 33，化简得b2a243，故 eca1
54、b2a2 213.【答案】B(3)(2016江南九校)已知 F1，F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点 M，使得(OMOF2)F2M 0(其中 O 为坐标原点)，且|MF1|3|MF2|，则双曲线的离心率为()A.51 B.312C.512D.31【解析】F2M OM OF2，(OM OF2)F2M(OM OF2)(OM OF2)0，即OM 2OF2 20，|OF2|OM|c，在MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半，可得MF1 MF2.|MF1|3|MF2|，可设|MF1|3，|MF2|(0)，得(3)224c2，解
55、得 c，|MF1|3c，|MF2|c，根据双曲线定义得 2a|MF1|MF2|(31)c，双曲线的离心率 e2c2a31.【答案】D(4)(2016邯郸调研)已知 F 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，c 为双曲线的半焦距，定点 G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是()A(2，)B(1，2)C 3，)D(1，3)【解析】若双曲线上存在点 P 满足|PF|PG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则 P 是线段 FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线 FG 的方程为 yxc，所以直线 FG 中垂线的方程为 yx，又双曲线的渐近线
56、方程为 ybax，则ba1，所以 e1b2a2 2，所以双曲线的离心率的取值范围为(2，)【答案】A【回顾】在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于 eca是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的一个关系式，利用 b2c2a2 消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e1.(1)求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，再计算 eca；二是依据条件提供的信息建立关于参数 a，b，c 的等式，进而转化为关于离心率 e 的方程，再解出 e 的值(2)求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 a，b，c 的不
57、等关系 双曲线的其他性质(1)(2016河北三市二次联考)已知双曲线x24 y2b21(b0)的离心率等于 33 b，则该双曲线的焦距为()A2 5B2 6C6 D8【解析】设双曲线的焦距为 2c，由已知得ca 33 b，又 c24b2，解得 c4，则焦距为 8.【答案】D(2)(2016新课标全国)已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()A(1，3)B(1，3)C(0，3)D(0，3)【解析】由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)的渐
58、近线相同，且双曲线 C2 的焦距为 4 5，则 b()A2 B4C6 D8【解析】由题意得，ba2b2a，C2 的焦距 2c4 5c a2b22 5b4，故选 B.【答案】B(4)(2016衡水调研)已知双曲线 C1：x24 y21，双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双曲线 C2的一条渐近线上的某一点，且 OMMF2，若 C1，C2 的离心率相同，且 SOMF216，则双曲线 C2 的实轴长为()A4 B8C16 D32【解析】依题意，不妨设点 M 在直线 ybax 上，因为OMMF2，所以|MF2|为点 F2 到直线 ybax 的距离，即|M
59、F2|bca2b2b；因为OMF2 为直角三角形，|OF2|c，故|OM|a，故 SOMF21612ab，即 ab32，因为双曲线 C1 的离心率 e 52 1b2a2，解得 a2b，联立，解得 a8，b4，故双曲线 C2 的实轴长为 2a16.【答案】C(5)(2016沈阳监测)已知 P 是双曲线x23 y21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，则PAPB的值是()A38B.316C 38D不能确定【解析】令点 P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 x3y0，x3y0，所以可取|PA|x03y0|131，|PB|x03y0|131，又 cosA
60、PBcosAOBcos2AOxcos3 12，所以PAPB|PA|PB|cosAPB|x023 y02|43(12)34(12)38，选 A.【答案】A【回顾】曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两顶点构成的三角形)，研究它们之间的相互关系 直线与双曲线(1)(2016石家庄模拟)过点 A(0，1)作直线，与双曲线 x2y29 1 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条件为()A0 B2C4 D无数【解析】通解：由题意可得直线的斜率一定存在，设为
61、k，则直线方程为 ykx1，代入双曲线方程整理得(9k2)x22kx100，当 k3 时，方程有一解，直线与双曲线只有一个公共点；当 k3 时，由 0 解得 k 10，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有 4 条，选项C 正确 优解：由图像可知，过点 A(0，1)作与双曲线渐近线平行的直线有 2 条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有 4 条，选项 C 正确【答案】C(2)(2016沈阳调研)直线 l：yk(x 2)与曲线 x2y21(x0)相交于 A，B 两点，则直线 l 倾斜角 的取值范围是()A0，)B(4，2)(2，34)C0，2)D
62、4，2)(2，34【解析】因为曲线 x2y21(x0)的渐近线方程为 yx，若直线 l：yk(x 2)与曲线 x2y21(x0)相交于 A，B 两点，则 k1，而直线 l 的斜率存在，所以(4，2)(2，34)【答案】B(3)(2016衡中调研)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，且 F1(2，0)，双曲线的离心率为 2，经过F2 的直线 l 的斜率为m，直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点A、B，若AOB(O 为坐标原点)不是锐角，则实数 m 的取值范围为()A(3 3，)B(，155)(155，)C(，3)(3，)D(，155 155，)【解析】因为
63、 F1(2，0)，双曲线的离心率为 2，所以 c2，a1，b2c2a23，所以双曲线的标准方程为 x2y23 1.因为经过 F2 的直线 l 的斜率为m，所以直线 l 的方程为 ym(x2)，将其与双曲线的标准方程联立，化简整理得(3m2)x24m2x4m230，由 0，得 4m4(3m2)(4m23)0，即m210 恒成立设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x20，x1x20，即 4m2m230，4m23m23 0，所以 m23.因为AOB 不是锐角，所以OA OB 0，即 x1x2y1y20，又 y1y2m2x1x22m2(x1x2)4m2，所以(1m2)x1x22m2(x1x
64、2)4m20，整理得5m23，解得 m235.综上，m23，即实数 m 的取值范围为(，3)(3，)【答案】C(4)(2016黄冈调研)过双曲线x2a2y23 1(a0)的右焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，使得|AB|6，若这样的直线有且只有两条，则 a 的取值范围是()A(0，1(3，)B(0，1)(3，)C(0，1)D(3，)【解析】若 A，B 在同一支上，则有|AB|min2b2a 6a；若 A，B 不在同一支上，则|AB|min2a.依题意，6a与 2a 不可能同时等于6，所以2a6，6a6或2a6，解得 a3 或 0a1.(1)求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条
65、件求出 a，c，再计算 eca；二是依据条件提供的信息建立关于参数 a，b，c 的等式，进而转化为关于离心率 e 的方程，再解出 e 的值(2)求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 a，b，c 的不等关系 3在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容(1)掌握方程，渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程(2)掌握其倾斜角、斜率的求法(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数 4双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长！1(2016天津)已知双曲线x24 y2b21(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近
66、线相交于A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为()A.x24 3y24 1 B.x24 4y23 1C.x24 y24 1 D.x24 y2121答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为 yb2x，圆的方程为 x2y24，不妨设交点 A 在第一象限，由 yb2x，x2y24 得 xA44b2，yA2b4b2，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 32b4b22b，解得b212，故所求的双曲线方程为x24 y2121，选 D.2(2016广东综合测试)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点 F 作一条
67、渐近线的垂线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，若FB2FA，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C2 D.5答案 C解析 设 B(x，bax)，|OB|x2（bax）2c，可取 B(a，b)，由题意可知点 A 为 BF 的中点，所以 A(ca2，b2)，又点 A在直线 ybax 上，则baca2 b2，c2a，e2.3(2016湖南东部四校)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为()Ay14x By13xCy12x Dyx答案 C解析 设双曲线 C 的焦距为 2c，因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则有c
68、aa2b2a2 52，解得 a24b2，即ba12，则双曲线 C 的渐近线方程为 y12x.4(2016太原模拟)已知双曲线 C 的焦点为 F1，F2，点 P 是双曲线上任意一点，若双曲线的离心率为 2，且|PF1|2|PF2|，则cosPF2F1()A.14B.13C.24D.23答案 A解析 设该双曲线的实半轴长 a，半焦距为 c，由于双曲线的离心率为 2，则 eca2，则 c2a，又|PF1|2|PF2|，根据双曲线的定义有|PF1|PF2|2a，联立可得|PF1|4a，|PF2|2a，而|F1F2|2c4a，由余弦定理可得 cosPF2F1|F1F2|2|PF2|2|PF1|22|F1
69、F2|PF2|14.5(2016北京)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正方形OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_答案 2解析 双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对性称可得ba1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c2 2，所以 a2b2c2(2 2)2，解得 a2.6(2016浙江名校联盟)已知双曲线 x2y23 1 的左顶点为A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1 PF2 的最小值为_答案 2解析 由题可知 A1(1，0)，
70、F2(2，0)设 P(x，y)(x1)，则PA1(1x，y)，PF2(2x，y)，PA1 PF2(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.x1，函数 f(x)4x2x5 的图像的对称轴为直线 x18，当 x1 时，PA1 PF2 取得最小值2.调研四 抛物线命题方向：1定义与方程；2.简单性质；3焦点弦；4.直线与抛物线定义与方程(1)(2016广州六校)如图，抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F，A 为抛物线 C 上的点，以 F 为圆心，p2为半径的圆与直线 AF 在第一象限的交点为 B，AFO120，A 在 y 轴上的射影为 N，则ONB_【解析】因为点 A 到抛
71、物线 C 的准线的距离为|AN|p2，点 A 到焦点 F 的距离为|AB|p2，所以|AN|AB|，因为AFO120，所以BAN60，所以在ABN 中，ANBABN60，则ONB30.【答案】30(2)(2016合肥质检)已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为()A 3B1C34D 33【解析】设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xMp22p，解得 xM3p2，代入抛物线方程可得 yM 3p，则直线 MF的斜率为 yMxMp2 3pp 3，选项 A 正确【答案】A(3)(2016南昌调研)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为
72、l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP3FQ，则|QF|()A.83B.52C3 D2【解析】设准线 l 与 x 轴交于 M 点，则|FM|4，过 Q 作x 轴的平行线交 l 于点 N，由FP3FQ及抛物线的定义，得|QF|QN|23|FM|83.【答案】A(4)(2016长沙六校)已知双曲线 C：x2a24y21(a0)的右顶点到某一条渐近线的距离等于 34，抛物线 E：y22px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线 E 上的动点 M 到直线 l1：4x3y60 和 l2：x1 的距离之和的最小值为()A1 B2C3 D4【解析】x2a24y21 的右顶
73、点坐标为(a，0)，一条渐近线为 x2ay0.由点到直线的距离公式得 d|a|124a2 34，解得 a 32 或a 32(舍去)，故双曲线的方程为4x23 4y21.因为 c34141，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以 p2，x1 是抛物线的准线，如图，作MAl1，MBl2，设抛物线的焦点为 F，连接 MF，则由抛物线的定义知|MB|MF|，当 M，A，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点 F 到 l1 的距离，由点到直线的距离公式可得 d1|46|（3）242105 2，即距离之和的最小值为 2，选 B.【答案】B(5)(2016四川宜宾诊断)顶点在原点
74、，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x Bx28yCy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y【解析】若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得 a1，所以抛物线的标准方程为y2x；若焦点在 y 轴上，设方程为 x2by，将点 P(4，2)的坐标代入，得 b8，所以抛物线的标准方程是 x28y.故所求抛物线的标准方程是 y2x 或 x28y.【答案】D(6)(2016临汾模拟)设抛物线 C：y23px(p0)的焦点为 F，点M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C 的方程为_【解析】抛物线
75、C：y23px(p0)的焦点为 F(3p4，0)，|OF|3p4，以 MF 为直径的圆过点(0，2)，设 A(0，2)，可得 AFAM，在 RtAOF 中，|AF|49p216，sinOAF|OF|AF|3p449p216，根据抛物线的定义，得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于点 A，OAFAMF，可得在 RtAMF 中，sinAMF|AF|MF|3p449p216，|MF|5，|AF|49p216，49p21653p449p216，整理得 49p216 15p4，解得 p43或p163，C 的方程为 y24x 或 y216x.【答案】y24x 或 y216x【回顾】(1)抛物线的焦半径是定
76、义的另一种表现形式根据开口方向的不同而略有不同(2)抛物线的标准方程有 4 种形式(3)数形结合，灵活转化是解决抛物线问题的良方 简单性质(1)(2016新课标全国)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A(4p，2 2)，D(p2，5)，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16p28p24 5，得 p4，所以选 B.【答案】B(2)(2016江西九校)已知抛物线
77、 y22px(p0)的焦点为 F，点A，B 为抛物上的两个动点，且满足AFB120.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|AB|MN|的最小值为_【审题】先画出图像、作出辅助线，设|AF|a，|BF|b，由抛物线的定义得 2|MN|ab，由题意和余弦定理可得|AB|2(ab)2ab，再根据基本不等式，求得|AB|2 的取值范围，代入|AB|2|MN|2化简即可得到答案【解析】如图，过 A，B 分别作准线的垂线 AQ，BP，垂足分别是 Q，P，设|AF|a，|BF|b，则由抛物线的定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形 ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab.
78、由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos120a2b2ab，配方得|AB|2(ab)2ab，因为 ab(ab2)2(当且仅当 ab 时等号成立)，所以(ab)2ab(ab)2(ab2)234(ab)2，即|AB|234(ab)2，所以|AB|2|MN|2 34（ab）214（ab）23，则|AB|MN|3，即所求的最小值是 3.【答案】3【回顾】抛物线的准线恒与对称轴垂直，焦点到准线的距离恒为 p，离心率恒为 1，顶点恒是焦点与准线和对称轴交点的中点，通径长恒为 2p.焦点弦(1)(2016东北三校)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限
79、分别交于 A，B 两点，则|AF|BF|的值等于()A5 B4C3 D2【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2p 2psin28p3，x1x25p3，又 x1x2p24，可得 x132p，x2p6，则|AF|BF|p232pp2p63.【答案】C(2)(2016西安六校)已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|2，则|BF|_【解析】抛物线 y24x 的焦点 F(1，0)，p2.由 1|AF|1|BF|2p，即12 1|BF|22，|BF|2.【答案】2(3)(2016衡水调研)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过F 的
80、直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且|AF|4|FB|，O 为坐标原点，若AOB 的面积 SAOB58，则 p_【解析】抛物线 y22px 的焦点 F(p2，0)，准线 xp2，如图，过 A，B 作准线的垂线 AA，BB，垂足分别为 A，B.过点 B 作 BHAA，交 AA于 H，则|BB|HA|.设|FB|t，则|AF|4t，|AH|AA|AH|4tt3t.又|AB|5t，在 RtABH 中，cosAAB35，tanAAB43.则可得直线 AB 的方程为 y43(xp2)，由y22px，y43（xp2）得 8x217px2p20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2
81、p17p8 p25p8.又点 O 到直线 AB 的距离为 d|OF|sinAABp2452p5.SAOB1225p8 2p5 5p28，又 SAOB58，故 p21，又 p0，p1.【答案】1(4)(2016安徽六校)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线AB 过 F 点与抛物线 C 交于 A，B 两点，且 AD6，若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点，则|OP|_【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)，则由抛物线的性质得|AB|AF|BF|x1x2px1x226，即 x1x24，所以 D(2，y0)又 y124x1，y224x2，两式相减
82、，得 4(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即y1y2x1x24y1y22y0，所以kDPy02，所以直线 DP 的方程为 yy0y02(x2)，令 y0，解得 x4，所以点 P 的坐标为(4，0)，|OP|4.【答案】4【回顾】抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点 P(x0，y0)与焦点 F 之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作 r|PF|.y22px(p0)，rx0p2；y22px(p0)，rx0p2；x22py(p0)，ry0p2；x22py(p0)，ry0p2.(2)焦点弦：AB 为抛物线 y22px(p0)的焦点弦，A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦
83、中点 M(x0，y0)，|AB|l.x1x2p24；y1y2p2；弦长 lx1x2p，因 x1x22 x1x2p，故当 x1x2 时，l 取得最小值，最小值为 2p，此时弦 AB 垂直于 x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；1|AF|1|BF|2p.直线与抛物线(1)(2016重庆调研)抛物线 y2x2 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxm 对称，若 x1x212，则 2m 的值是()A3 B4C5 D6【解析】由已知得 kAB1，且 AB 的中点 C(x0，y0)在直线 yxm 上，设
84、直线 AB 的方程为 yxn，联立yxn，y2x2，消去 y 并整理得 2x2xn0，依题意得，18n0，x1x2n212，n1.又 x1x212，x014，y0 x0154.点 C(x0，y0)在直线 yxm 上，5414m，解得 m32，2m3，故选 A.【答案】A(2)(2016成都检测)已知直线 l：ykxt 与圆 x2(y1)21相切且与抛物线 C：x24y 交于不同的两点 M，N，则实数 t 的取值范围是_【解析】因为直线与圆相切，所以|t1|1k21，即 k2t22t.将直线方程代入抛物线方程并整理，得 x24kx4t0.由直线与抛物线交于不同的两点，得 16k216t16(t2
85、2t)16t0，得 t0 或 t0)上一点 A(x0，y0)，则在 A 处的切线斜率为 kpy0.1(2016广东综测)P1，P2，Pn是抛物线 C：y24x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20C2n10 D2n20答案 A解析 依题意，抛物线的准线为 x1，由定义知，|P1F|P2F|PnF|(x11)(x21)(xn1)(x1x2xn)n10n.2(2016河南九校)已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点P 在 x 轴上的射影是 Q，点 A 的坐标是(8，7)，则|PA|PQ
86、|的最小值为()A7 B8C9 D10答案 C解析 将 x8 代入 x24y，得 y167，所以点 A 在抛物线外部抛物线焦点为 F(0，1)，准线 l：y1.如图所示，过 P 点作 PBl 于点B，交 x 轴于点 Q，则|PA|PQ|PA|PB|1|PA|PF|1.由图可知，当 A、P、F 三点共线时，|PA|PF|的值最小，所以|PA|PF|的最小值为|FA|82（71）210，故|PA|PQ|的最小值为 1019.3(2016河北七校)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F的直线 AB 交抛物线于点 A，B，交抛物线的准线于点 C，若|BF|BC|55，则|AB|_答案 5解析 设
87、直线 AB 的倾斜角为，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点 B 作准线的垂线，垂足为 D，则|BD|BF|，那么 cos|BD|BC|BF|BC|55 tan2，于是直线 AB 的方程为 y2(x1)，由y2（x1）y24xx23x10 x1x23，故|AB|x1x225.4(2016沈阳监测)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PAl 于点 A，当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_答案 43解析 通解：令 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB|2 33，若 P(x0，y0)，则 x02 3
88、3，代入 x24y 中，得 y013，而|PF|PA|y0143.优解：如图所示，AFO30，PAF30，又|PA|PF|，APF 为顶角APF120的等腰三角形，而|AF|2cos304 33，|PF|AF|3 43.5(2016江西综合测试)已知过抛物线 x4y2 的焦点 F 的直线交该抛物线于 M、N 两点，且|MF|18，则|MN|_答案 14解析 抛物线 x4y2 可化为 y214x，其焦点为 F(116，0)，准线方程为 x 116，|MF|18，点 M 到抛物线的准线的距离为18，点 M 的横坐标为 116，故直线 MF 垂直于 x 轴，|NF|MF|18，|MN|14.请做：小题专练作业（十五）
