1、周期性与奇偶性A级新教材落实与巩固一、选择题1若函数f(x)sin (0)的周期为，则等于(B)A5 B10 C15 D20【解析】 由T，得10.2 下列函数中是偶函数，且最小正周期为的函数是(ABC)Aycos |2x| By|sin x|Cysin Dycos 【解析】 ycos |2x|cos 2x是偶函数，周期为；y|sin x|是偶函数，周期为；ysin cos 2x是偶函数，周期为；ycos sin 2x是奇函数，且其周期T.故选ABC.3函数y4sin (2x)的图象关于(B)Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线x对称【解析】 y4sin (2x)4sin 2x是奇函数，其
2、图象关于原点对称4 若函数ysin 是R上的偶函数，则的值可以是(AC)A B C D2【解析】 要使函数ysin 是R上的偶函数，则需当x0时，函数值取最大或最小，即sin ()1，sin 1，k(kZ).当k0时，；当k1时，.故选AC.5设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函数yf(x)的图象可能是(B)A.B.C.D.6下列函数：ycos |2x|；y|cos x|；ycos ，周期为的是(A)A BC D【解析】 对于，因为ycos |2x|cos 2x，T，所以ycos |2x|的周期为；对于，因为ycos x的周期为2，所以y|cos x|的周期为；
3、对于，ycos 的周期T.综上，的周期都为，故选A.二、填空题7已知函数f(n)sin (nZ)，则f(1)f(2)f(100)_1_【解析】 易知f(1)f(2)f(8)0，f(9)f(10)f(16)0，依此循环，f(1)f(2)f(100)0f(97)f(98)f(99)f(100)f(1)f(2)f(3)f(4)1.8若0，函数g(x)sin 是偶函数，则的值为_【解析】 要使g(x)sin 为偶函数，则需k，kZ，所以k，kZ因为0，所以.9若函数f(x)2cos 的周期为T，且T(1，4)，则正整数的最大值为_6_【解析】 T，14，则2，所以正整数的最大值是6.10若函数f(x)
4、3cos (0)的最小正周期为，则_3_，f _【解析】 由已知得，解得3，所以f(x)3cos ，所以f3cos 3cos 3cos 3sin .11已知函数f(x)，若f(5)2，则f(5)_2_【解析】 由cos x0，得xk，kZ，定义域关于原点对称，则f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数所以f(5)f(5)2.三、解答题12判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos cos (x)；(2)f(x).解：(1)因为xR，f(x)cos cos (x)sin 2x(cos x)sin 2x cos x，所以f(x)sin (2x)cos (x)sin 2x cos xf(x)，所以函数f
5、(x)是奇函数(2)对任意xR，1sin x1，所以1sin x0，1sin x0，所以f(x)的定义域为R因为f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数B级素养养成与评价13设函数f(x)2sin m的图象关于直线x对称，其中0.则函数f(x)的最小正周期是(D)A B C2 D3【解析】 由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin 1，所以2k(kZ)，即(kZ).又0，所以，所以函数f(x)的最小正周期为3.14函数y的最小正周期是_2_【解析】 因为ysin 的周期为T4，而y的图象是把ysin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所以y的周期为2.15已知f(x)是以为周期的
6、偶函数，且当x时，f(x)1sin x，求当x时，f(x)的解析式解：当x时，3x.x时，f(x)1sin x，f(3x)1sin (3x)1sin x.又f(x)是以为周期的偶函数，f(3x)f(x)f(x)，f(x)的解析式为f(x)1sin x，x.16已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)(f(x)0).(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)3，求ff(21)的值解：(1)证明：因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以f(x)是周期函数，周期为4.(2)由(1)知f(x)是周期函数，且周期为4，又f(1)3，则f(21)f(451)f(1)3，所以ff(21)f(3)f(41)f(1).
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