1、 2016 年 9 月 26 日,教育部考试中心函件关于 2017 年普通高考考试大纲修订内容的通知,要求“增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学文化的内容”.因此,从中国古代数学和世界数学名题中挖掘素材,既符合考生的认知水平,又可以引导学生关注中华优秀传统文化.一、数学文化融入高考试题 2015-2017 年全国卷都成功地命制了以古代数学优秀成果为背景的相关问题,并达到了考查的目的.综合这几年的高考试题和模拟试题,主要分为以下四种类型:1.源于数学名著,渗透基础知识 1 算法统宗是中国古代数学名著,由
2、明代数学家程大位所著,该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框图 的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输出的 m 的值为 0,则输入的 a 的值为().A.218 B.4516 C.9332 D.18964 【解析】起始:m=2a-3,i=1,第一次循环:m=2(2a-3)-3=4a-9,i=2;第二次循环:m=2(4a-9)-3=8a-21,i=3;第三次循环:m=2(8a-21)-3=16a-45,i=4,接着可得 m=2(16a-45)-3=32a-93,此时跳出循环,输出
3、m 的值为 32a-93.令 32a-93=0,解得 a=9332,故选 C.【答案】C 本题直接指出了问题源于算法统宗及该书的重要性,试题背景新颖,要求学生用学过的知识解决问题,了解数学的价值,让学生在解题的过程中感受传承优秀数学文化的意义,是基础题.2.源于数学文化,渗透推理论证 2 (2017 年全国卷)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是().A.14 B.8 C.12 D.4 【解析】设正方形的边长为 a,则圆的半径为2,正方形的面积为 a2,圆的面积为24
4、.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计算公式得,此点取自黑色部分的概率是12242=8,选 B.【答案】B 本题直接以太极图(太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼)为试题,难度不大,创设的问题情境具有浓厚的文化底蕴,考查学生的应用与推理能力.3.源于数学史料,渗透数学应用 3 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,古代用它作为长方棱台(上、下底面均为矩形的棱台)的专用术语.关于“刍童”体积计算的描述,九章算术注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底
5、面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.依此算法,现有上、下底面为相似矩形的棱台,相似比为12,高为 3,且上底面的周长为 6,则该棱台的体积的最大值为().A.14 B.56 C.634 D.63【解析】依算法,设棱台的上底面的长、宽分别为 x、y(x0,y0),则下底面的长、宽分别为 2x、2y,所以棱台的体积V=16(2x+2x)y+(4x+x)2y3=7xy.又因为 x+y=3,由基本不等式得 7xy7(+2)2=634,当且仅当 x=y=32时取得最大值,选 C.【答案】C 立体几何是中国古代
6、数学的一个重要研究内容,从中国古代数学中挖掘素材,考查立体几何的有关知识,既符合考生的认知水平,又可以引导学生关注中华优秀传统文化.4.源于古今名题,渗透数学思想 4 孙子算经是中国古代重要的数学专著,其中记载了一道有趣的数学问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色.”则这个数学问题中动物有 只.(数字作答)【解析】由题意知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成首项为 9,公比为 9 的等比数列,其通项公式为 an=99n-1=9n,则动物的数量为 a5+a6=95+96=590490(只).【答案】590490 孙子算经是中国古代重要
7、的数学著作.成书大约在 4、5世纪,也就是大约一千五百年前.具有重大意义的是卷下第 26 题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:二十三”.孙子算经不但提供了答案,而且还给出了解法.南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广“物不知数”的问题.德国数学家高斯于公元 1801 年出版的算术探索中明确地写出了上述定理,在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理”.5 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两
8、个数的和.人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”,则(a1a3-22)(a2a4-32)(a3a5-42)(a2015a2017-20162)=().A.1 B.-1 C.2017 D.-2017【解析】由“斐波那契数列”知,(a1a3-22)=1,(a2a4-32)=-1,(a3a5-42)=1,(a4a6-52)=-1,所以根据计算的规律可得,当 n 为偶数时,(anan+2-+12)=-1;当 n 为奇数时,(anan+2-+12)=1.所以(a1a3-22)(a2a4-32)(a3a5-42)(a2015a2017-20162)=-1.故选 B.【答案】B 斐波那契数列,
9、又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域,都有直接的应用,为此,美国数学会从 1963 起出版了以斐波那契数列季刊为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果.二、创新能力在高考试题中的设计与解题思想 创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力.如果自主创新能力上不去,一味靠技术引进,那么就永远难以摆脱技术落后的局面.一个没有创新能力的民族,难以屹立于世界先进民族之林.高考作为高校选拔人才的测试,试题更加重视创新能力的考查.数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁,纵观近几
10、年的高考试题,重点考查的数学思想有数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想.近几年来,几乎每一道高考数学试题都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用,目的也是加强这些方面的考查.同样,这些高考试题也成为检验数学知识、数学思想方法的良好素材,复习时应有意识地加以运用.预测 2018 年数学高考中,还会有较 多的题目以数学知识为背景,考查数学思想方法,并且对数学思想方法的考查不会削弱,只会更加鲜明,更加重视.(一)函数与方程思想 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想,是用变化的观点,将给定的数学问题转化为函数关系,通过研究函数的图象和性质去分析、转化问题,从而使问题得到解决.
11、经常利用的性质有单调性、奇偶性、周期性、最值以及图象变换等.解题时要善于挖掘题目中隐含的条件.高考中有关函数思想的试题主要涉及以下两个方面:利用有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;在研究问题的过程中通过建立函数关系或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.(2)方程的思想,就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数,根据题中各量之间的关系列出等式,沟通已知与未知的关系,或者运用方程的性质去分析、转化问题,从而使问题得以解决.高考中关于方程的单独命题较少,在解题中的应用主要表现在以下三个方面:方程、函数
12、、不等式的综合题;求曲线方程及判定曲线的位置关系;构造方程或不等式求解.2.和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y0时,就化为不等式 f(x)0,借助函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题,例如:直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有
13、关理论.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.热点一 运用函数与方程思想解决方程(零点)问题 1 若 a,b 分别是方程 x+lg x=4,x+10 x=4 的解,函数f(x)=2+(a+b)x+2,x 0,2,0,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由题意知,a,b 是方程 lg x=4-x,10 x=4-x 的实数根,在同一直角坐标系中分别作出函数 f(x)=lg x,g(x)=10 x与函数 h(x)=4-x 的图象如图所示.则
14、函数 f(x)=lg x 与函数 h(x)=4-x 交于点 A(a,lg a),函数g(x)=10 x与函数 h(x)=4-x 交于点 B(b,10b).由于函数 f(x)=lg x 与函数 g(x)=10 x的图象关于直线 y=x 对称,又直线 y=x 与 y=4-x 垂直,且交于点 C(2,2),故点 A,B 也关于直线 y=x 对称,且它们的中点为点 C(2,2),因此 a+b=4.当 x0 时,f(x)=x2+4x+2,由 f(x)=x,即 x2+3x+2=0,解得 x=-2或 x=-1;当 x0 时,f(x)=2,由 f(x)=x 得 x=2.故关于 x 的方程 f(x)=x 的解的
15、个数为 3,故选 C.【答案】C 研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题,通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.热点二 运用函数与方程思想解决不等式问题 2(2017 年天津卷)已知函数 f(x)=2-x+3,x 1,+2,x 1.设 aR,若关于 x 的不等式 f(x)|2+a|在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是().A.-4716,2 B.-4716,3916 C.-2 3,2 D.-2 3,3916【解析】根据题意,有xR,-f(x
16、)-2af(x)-2,因此只需计算函数 g(x)=-f(x)-2在 R 上的最大值和 h(x)=f(x)-2在 R 上的最小值即可.函数 g(x)=-2+2-3,x 1,-32-2,x 1,其最大值为maxg(x)=max-4716,-2 3=-4716;函数 h(x)=2-32+3,x 1,2+2,x 1,其最小值为minh(x)=min3916,2=2.故 a 的取值范围是-4716,2.【答案】A 根据所证不等式的结构特征构造相应的函数,研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键,体现了导数的工具性以及函数与方程的数学思想.热点三 运用函数与方程思想解决数列问题 3 已知数列an是各项均为
17、正数的等比数列,首项a1=1,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足 an+1=(12),Tn为数列bn的前 n 项和,且 Tnm 恒成立,求 m 的最大值.【解析】(1)由题意知 2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3,即 4a3=a1,31=q2=14.q0,q=12.又a1=1,an=(12)n-1.(2)an+1=(12),(12)n=(12),bn=n2n-1,Tn=11+22+322+n2n-1,2Tn=12+222+323+n2n,由-得-Tn=1
18、+2+22+2n-1-n2n=1-21-2-n2n=(1-n)2n-1,Tn=1+(n-1)2n.Tnm 恒成立,只需(Tn)minm.Tn+1-Tn=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n0,Tn为递增数列.当 n=1 时,(Tn)min=1,m1,m 的最大值为 1.本题考查等差数列与等比数列的综合应用,同时应用函数与方程的思想来解决有关数列中的恒成立问题,考查了逻辑推理和等价转化的能力,对运算能力要求比较高.热点四 函数与方程思想在解析几何中的应用 4(2017 年浙江卷)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12x32).
19、过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.【解析】(1)设直线 AP 的斜率为 k,则 k=2-14+12=x-12,因为-12x1 和 0a1 的讨论;等比数列中分公比q=1 和 q1 的讨论.(4)三角函数:对角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式:解不等式时对参数的讨论,基本不等式相等时对条件是否满足的讨论.(6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何:直线点斜式中 k 存在和不存在的讨论;直线截距式中分 b=0 和 b0 的讨论;轨迹方程中含参数时对曲线类型及形状的讨论.(8)概率中
20、的分类问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.分类讨论思想近几年高考每年必考,一般都在解答题中,难度较大.热点一 运用分类讨论思想解决集合与常用逻辑用语问题 1 已知两个命题 p:sin x+cos xm,q:x2+mx+10.如果对xR,p 与 q 有且仅有一个是真命题,求实数 m 的取值范围.【解析】sin x+cos x=2sin(x+4)-2,当 p 是真命题时,m0 恒成立,=m2-40,-2m2.当 p 为真命题,q 为假命题时,需满足 m-2,且 m-2 或 m2,m-2;当 p 为假命题,q 为真命题时,需满足 m-2,且-2m2,-2m0 时,若 x(-,-23)(0
21、,+),f(x)0,若 x(-23,0),f(x)0,所以函数f(x)在(-,-23)和(0,+)上单调递增,在(-23,0)上单调递减;当 a0,若 x(0,-23),f(x)0,所以函数f(x)在(-,0)和(-23,+)上单调递增,在(0,-23)上单调递减.(2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f(-23)=427a3+b,则函数 f(x)有三个不同的零点等价于 f(0)f(-23)=b(427a3+b)0,-427 3 0 或 0,0 0 时,427a3-a+c0 或当 a0 时,427a3-a+c0.设 g(a)=427a3-a+c,因为当函数 f(x)有三个
22、不同的零点时,a的取值范围恰好是(-,-3)(1,32)(32,+),则在(-,-3)上 g(a)0 均恒成立,从而 g(-3)=c-10,且 g(32)=c-10,因此 c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因为函数有三个不同的零点,则 x2+(a-1)x+1-a=0 有两个异于-1 的不等实根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得 a(-,-3)(1,32)(32,+).综上可得 c=1.本题主要考查函数与导数的综合,考查了分类讨论思想在求函数的单调性的应用,考查了利用导数与二分法讨论函数
23、的零点个数.热点三 运用分类讨论思想解决解析几何问题 3 设椭圆 E:22+22=1(ab0)的离心率为12,E 上一点 P到右焦点的距离的最小值为 1.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)过点(0,2)的直线交椭圆于不同的两点 A,B,求 的取值范围.【解析】(1)由题意得=12,且 a-c=1,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,故椭圆 E 的标准方程为24+23=1.(2)当 k 不存在时,A(0,-3),B(0,3),=-3;当 k 存在时,设直线方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 =+2,24+23=1,整理得(3+4k2)x2+16kx+4=0,x1+x
24、2=-163+42,x1x2=43+42.=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=4-2823+42+4=-7(3+42)+253+42+4=-3+253+42.由=256k2-16(3+4k2)0,得 k214.把代入中,得 0,所以当 x0 时,函数 h(x)的零点个数为 3,故选 C.【答案】C 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要做适当变形,转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系
25、中画出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.利用数形结合求方程的解(或函数的零点)应注意两点:(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转化为讨论两条曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.(2)正确画出两个函数的图象是解决此类问题的关键,采用数形结合应以快和准为原则,不要刻意去数形结合.热点二 运用数形结合思想解不等式或求参数的取值范围 2 已知函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)0,则 a 的取值范围是 .(e 为自然对数的底数)【解析】设 g(x)=ex(2x-
26、1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数 x0使得 g(x0)在直线 y=ax-a 的下方(如图).g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当 x-12时,g(x)-12时,g(x)0,当 x=-12时,g(x)取最小值-2e-12.当 x=0时,g(0)=-1;当 x=1 时,g(1)=e0.直线 y=ax-a 恒过定点(1,0)且斜率为 a.故-ag(0)=-1 且 g(-1)=-3e-1-a-a,解得32ea1.【答案】32ea0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点,若MAN=60,则 C 的离心
27、率为 .【解析】如图,由题意知,|OA|=a,|AN|=|AM|=b.MAN=60,|AP|=32 b,|OP|=|2-|AP|2=2-34 2.tan=|=32 b 2-342.又tan=,32 b 2-342=,解得 a2=3b2,e=1+22=1+13=2 33.【答案】2 33 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使复杂的问题简单化.(四)转化与化归思想
28、 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程,不断地改变待解决的问题,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西.1.转化与化归应遵循的原则(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单的问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐化原
29、则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式,或者转化命题,使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.2.转化与化归的基本类型(1)正与反、一般与特殊的转化,即正难则反,特殊化原则.(2)常量与变量的变化,即在处理多元问题时,选取其中的变量(或参数)当“主元”,其他的变量看作常量.(3)数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直观地反映函数或方程中的变量之间的
30、关系.(4)数学各分支之间的转化,如利用向量方法解立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.(5)相等与不等之间的转化,如利用均值不等式、判别式等.(6)实际问题与数学模型的转化.3.利用转化与化归的思想解决问题的模式如下图所示:热点一 特殊与一般的转化 1 函数 y=22-3xe的图象大致是().A B C D【解析】因为 y=22-3xe有两个零点 x=0,x=32,所以排除 B.当x=0.1 时,y0,a1).(1)求函数 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数 f(x)单调递增区间;(3)若存在 x1,x2-1,1,使得|f(x1)-f(x2)|e-1(
31、e 是自然对数的底数),求实数 a 的取值范围.【解析】(1)因为函数 f(x)=ax+x2-xln a(a0,a1),所以f(x)=axln a+2x-ln a,所以 f(0)=0.又因为 f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1.(2)由(1),f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.因为当a0,a1 时,f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0,所以不等式f(x)0 的解集为(0,+).故函数 f(x)的单调递增区间为(0,+).(3)因为存在 x1,x2-1,1,使得|f(x1)-f(x2)|e-1 成立,而当 x-1,1时
32、,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)mine-1 即可.又因为 x,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(-,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)减函数 极小值 增函数 所以 f(x)在-1,0上是减函数,在0,1上是增函数,所以当 x-1,1时,f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值为 f(-1)和 f(1)中的最大值.因为 f(1)-f(-1)=(a+1-ln a)-(1+1+ln a)=a-1-2ln a,令g(a)=a-1-2ln a(a0).因为 g(a)=1+12-2=(1-1)20,所以g(a)=a-1-2l
33、n a 在 a(0,+)上是增函数.又因为 g(1)=0,所以当 a1 时,g(a)0,即 f(1)f(-1);当 0a1 时,g(a)0,即f(1)1 时,f(1)-f(0)e-1,即 a-ln ae-1,函数 y=a-ln a 在 a(1,+)上是增函数,解得 ae;当 0a1时,f(-1)-f(0)e-1,即1+ln ae-1,函数 y=1+ln a 在 a(0,1)上是减函数,解得 0a1e.综上可知,实数 a 的取值范围为(0,1ee,+).本题(3)把不等式转化为关于 a 的函数,利用函数的单调性来解决,合理利用常量与变量的转化,会事半功倍.在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其
34、中的常数(或参数),将其看作是“主元”,而把其他变元看作是常量,从而达到减少变元简化运算的目的.热点三 正与反的相互转化 3 已知命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+16)的定义域为R;命题 q:3x-9x0 对于一切 xR 恒成立.若 a=0,则不等式等价为-x0,解得 x 0,=1-4 16 2,所以 p:a2.记g(x)=3x-9x=-(3x-12)2+1414,所以要使 3x-9x14,即 q:a14.要使 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题.当 p,q 都为真命题时,满足 2,14,解得 a2.所以 p,q 至少有一个为假命题时有 a2,即实数 a 的取值范
35、围是(-,2.一些数学问题,如果从条件出发,正面考虑较难较繁琐,不妨调整思考方向,从问题的结论入手,或条件与结论的反面入手进行思考,迂回地得到解题思路,这叫作“正难则反”.“正难则反”是一种重要的解题策略,灵活用之,能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解.限时训练卷(满分:60 分 时间:40 分钟)一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 4 分,共 36 分.1.已知集合 A=-2,-1,0,2,3,B=y|y=x2-1,xA,则 AB 中元素的个数是().A.2 B.3 C.4 D.5【解析】当 x=2 时,y=3;当 x=-1 时,y=0;当 x=0 时,y=-1;当 x=3 时,y=
36、8,所以 B=-1,0,3,8,所以 AB=-1,0,3,故选 B.【答案】B 2.张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统地介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布 5 尺,一个月(按 30 天计算)总共织布 390 尺,问每天增加的数量为()尺.A.829 B.1629 C.3229 D.12【解析】设每天增加的数量为 d 尺,则由等差数列前 n 项和公式,得 S30=305+30292d=390,解得 d=1629,故选 B.【答案】B 3.已知二次曲线24
37、+2=1,则当 m-2,-1时,该曲线的离心率 e的取值范围是().A.22,32 B.22,62 C.52,62 D.32,62 【解析】当 m-2,-1时,二次曲线为双曲线,双曲线24+2=1 即为24-2-=1,且 a2=4,b2=-m,则 c2=4-m,即有 e=4-2 52,62,故选 C.【答案】C 4.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d 169 V3.人们还用过一些类似的近似公式.根据=3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是().A.
38、d 169 V3 B.d 23 C.d 300157 V3 D.d 2111 V3【解析】由 V=43(2)3,得 d=6V3.设选项中的常数为ab,则可知6ba=,选项 A代入得6916=3.375,选项 B代入得=62=3,选项 C代入可知6157300=3.14,选项 D 代入可知61121=3.142857,故 D的值接近真实的值,故选 D.【答案】D 5.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log12a,(12)b=log12b,(12)c=log2c,则a,b,c 的大小关系为().A.cab B.cba C.abc D.bac【解析】画图可得 0ab12,-12-12,得 3+3
39、n2+3.当 n=4 时,2取得最小值,最小值为-12.故选 A.【答案】A 8.设等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“|q|=1”是“S6=3S2”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由 S6=3S2,得 a1(1+q+q2+q3+q4+q5)=3a1(1+q),即q5+q4+q3+q2-2-2q=0,(q+1)2(q-1)(q2+2)=0,解得 q=1,所以“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件,故选 C.【答案】C 9.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(2x),当 x1,2)时,f(x)=ln x,若在区间
40、1,4)内,函数 g(x)=f(x)-ax 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是().A.1,ln22)B.1,ln24)C.ln24,ln22)D.(ln24,ln22)【解析】由 g(x)=f(x)-ax=0a=(),记 h(x)=()=ln,1 x 2,ln 2,2 x 4,画出图象如图所示,观察图象可得 aln24,ln22),故选 C.【答案】C 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分.10.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过
41、的最短路程为 .【解析】把圆柱侧面展开,并把里面也展开,如图所示,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP,则 AB=,BP=3,AP=2+9.【答案】2+9 11.若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-ax+2a+1)=0 有四个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 .【解析】由 C1:x2+y2-2x=0,得(x-1)2+y2=1,C2:y(y-ax+2a+1)=0,得 y=0 或 y=ax-2a-1.y=0 和(x-1)2+y2=1 有两个交点(0,0),(2,0),需满足 y=ax-2a-1 和(x-1)2+y2=1 有两个交点,且不为(0,0),
42、(2,0),即|+1|2+11,得 a0,c0),且 y=f(x),y=g(x)为区间(0,+)上的“平行曲线”,g(1)=e,g(x)在区间(2,3)上有唯一的零点,则 a 的取值范围是 .【解析】因为 y=f(x),y=g(x)为区间(0,+)的“平行曲线”,所以函数 g(x)的图象是由函数 f(x)的图象经过上下平移得到的,即g(x)=f(x)+h=ex-aln x+c+h.又因为g(1)=e+c+h=e,所以c+h=0,即 g(x)=ex-aln x.令 g(x)=ex-aln x=0,得 a=eln.令 h(x)=eln,则g(x)在区间(2,3)上有唯一的零点等价于函数 y=h(x
43、)与函数 y=a的图象有唯一交点.因为 h(x)=e(ln-1)(ln)2,当 x2 时,h(x)0,函数h(x)在区间(2,3)上单调递增,所以函数y=h(x)与函数y=a的图象有唯一交点等价于 h(2)ah(3),即e2ln2a0).(1)若曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线恰与直线 x-2y+1=0 垂直,求 a的值;(2)若 xa,2a,求 f(x)的最大值;(3)若 f(x1)=f(x2)=0(x1x2),求证:120),得 f(x)=1-1 e,则 f(0)=1-1.由题意知,1-1=-2,解得 a=13.(2)令 f(x)=0,由(1)得 1-1 e=0,即 x=aln a.
44、由 f(x)0,得 xaln a.由 f(x)aln a.f(x)在(-,aln a上为增函数,在(aln a,+)上为减函数.当 aaln a,即 ae 时,f(x)max=f(a)=a-e;当 aaln a2a,即 eae2时,f(x)max=f(aln a)=aln a-a;当 2ae2时,f(x)max=f(2a)=2a-e2.(3)由(2)知 f(x)max=f(aln a)=aln a-a.f(x1)=f(x2)=0,f(x)max=f(aln a)=aln a-a0,ln a1,得 ae.f(a)=a-e0,且 f(aln a)0,得 x2-x1aln a-a.又x1=e1,x2=e2,12=e1(1-2)e1(a-aln)=e.