1、第4讲 圆周运动 梳理基础强化训练 基础知识清单一、匀速圆周运动1匀速圆周运动质点运动的轨迹是圆周的运动叫做圆周运动如果在任意相等的时间内通过的弧长都相等，这种运动叫做匀速圆周运动2匀速圆周运动的性质匀速圆周运动的速度方向在不断改变因此是一种变速运动，并且加速度的方向始终指向圆心也在不断变化，因此它是一种变加速度的变速运动3匀速圆周运动的条件物体所受合力大小不变，方向始终指向圆心或方向始终与速度垂直二、描述圆周运动的物理量1线速度(1)物理意义：描述质点做圆周运动快慢的物理量(2)定义：做圆周运动的物体，通过的孤长 s 与所用时间 t 的比值(3)大小：vst(4)方向：质点在圆弧上某点的线速
2、度方向沿圆弧该点的切线方向【名师点拨】线速度 vst中的 s 是弧长、不是位移线速度只不过为区分角速度而在速度前冠以“线”字罢了，因其方向总是沿弧的切线方向而称之为线速度 2角速度(1)物理意义：描述质点做圆周运动快慢的物理量(2)定义：连接运动质点和圆心的半径转过的圆心角 与所用时间 t 的比值(3)大小：t.(4)方向：利用右手螺旋定则判断(了解即可，高中范围不作要求)(5)单位：弧度/秒(rad/s)3周期和频率(1)周期(T)：做圆周运动的质点运动一周所用的时间单位：秒(s)(2)频率(f)：单位时间内质点绕圆心转过的圈数叫频率，也叫转速(n)单位：赫兹(Hz)(3)关系：Tf14v、
3、T、f(n)的关系vr2T r2 fr2 nr，2T 2 f2 n.【名师点拨】应用以上公式时注意将 n 的单位化成“转/秒”5向心加速度(1)定义：由于匀速圆周运动的速度方向时刻改变，因此做匀速圆周运动的质点一定具有加速度这种加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小方向始终指向圆心因此叫做向心加速度(2)匀速圆周运动的向心加速度的大小：av2r 2rv.三、向心力1定义由于匀速圆周运动具有向心加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合外力不为零，且时刻与速度方向垂直，总是指向圆心使物体产生向心加速度的力叫做向心力2公式Fmamv2r m2rm4 2T2 rm4 2f2rmv.3向心力是效果力向心力
4、不是一种特殊的新力，它是根据力的效果命名的力向心力是前面已学过的重力、弹力、摩擦力等力或这几个力的合力四、离心现象1离心运动物体所受的合力不足以使物体做圆周运动，逐渐远离圆心的运动2物体做离心运动、近心运动的条件当 Fm2r 时，物体做离圆心越来越近的运动；当 Fm2r 时，物体做离圆心越来越远的运动；当 F 突然消失变为零时，物体沿切线方向飞出 基础随堂训练1(2016河北张家口)关于向心加速度的说法正确的是()A速度变化的越快，向心加速度越大B速度大小变化得越快向心加速度越大C速度方向变化得越快向心加速度越大D物体做变速圆周运动时向心加速度也有可能不指向圆心解析 向心加速度专指垂直速度方向
5、指向圆心的加速度故 A、B、D 项错C 项正确 答案 C设置目的 考查向心加速度概念2(2014上海)如图所示，带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转 30 圈在暗室中用每秒闪光 31 次的频闪光源照射圆盘，观察到白点每秒沿()A顺时针旋转 31 圈 B逆时针旋转 31 圈C顺时针旋转 1 圈D逆时针旋转 1 圈解析 本题实质涉及到参考系问题，在暗室中如果用每秒闪光 30 次的频闪光源照射圆盘，看到白点不动，如果用每秒闪光31 次的频闪光源照射圆盘，观察点在如图中的白点处，每秒沿顺时针方向旋转 30 圈的白点还未到观察点，看起来白点像是逆时针运动，以
6、31 次频闪为参考系，白点每秒逆时针旋转 1 圈 答案 D3(题根)A、B 两轮经过皮带传动(不打滑)，C 轮与 A 轮同轴，它们的半径之比分别是 RARBRC123，如图所示，求：(1)三轮边缘的线速度之比 vAvBvC；(2)三轮的角速度之比 A B C；(3)轮边缘的点的向心加速度之比 aAaBaC.解析(1)由于 A、B 两轮是通过皮带传动，因此两轮边缘的线速度大小相等，即 vAvB11.而 A、C 两轮固定在同一轴上所以两轮角速度相同，而线速度跟两轮半径成正比即 vAvCRARC13，所以三轮边缘的线速度之比 vAvBvC113(2)由于 A、C 两轮同轴，其角速度相同，即 AC11
7、.A、B 两轮边缘线速度大小相等，其角速度跟半径成反比，即ABRBRA21.所以三轮的角速度之比 ABC 212(3)因为向心加速度 av，所以其向心加速度之比等于它们的线速度和角速度乘积之比即 aAaBaC216 答案(1)113(2)212(3)216名师点拨 相关联的物体的圆周运动问题，关键要抓住两点：一是皮带传动(齿轮传动)，不滑动时，轮边缘上的线速度大小相等；二是同一个转动物体上各质点的角速度相同，进而确定其他关系4(2013新课标全国)公路急转弯处通常是交通事故多发地带如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势则在该弯道处()
8、A路面外侧高内侧低B车速只要低于 vc，车辆便会向内侧滑动C车速虽然高于 vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小解析 汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明路面外高内低，此时重力和支持力的合力恰好提供汽车在水平面上的圆周运动向心力，故 A 项正确；车速低于 vc，汽车有向内侧滑动的趋势，受到向外的摩擦力，这时重力、支持力、摩擦力仍能提供物体做圆周运动的向心力，只有静摩擦力等于滑动摩擦力时，才有可能向内侧滑动，故 B 项错误；当速度为 vc 时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于 vc时，摩擦力指向内侧，只要速度不
9、超出重力、支持力和最大静摩擦力提供向心力所对应的速度，车辆不会侧滑，故 C 项正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则 vc 的值不变故D 项错误 答案 AC名师点拨 本题的易错点为 D 选项，只有重力和支持力提供物体做圆周运动的向心力时，只与路面的倾角有关，与路面的情况无关规律方法技巧 高考调研一 圆周运动中的运动问题1vr 的三点理解当 r 一定时，v 与 成正比当 一定时，v 与 r 成正比当 v 一定时，与 r 成反比2向心加速度 av2r 2rv 的理解当 v 一定时，a 与 r 成反比当 一定时，a 与 r 成正比【考题随练 1】(2015浙江温州)如图所示，自
10、行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，它们的边缘有三个点 A、B、C.关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的关系正确的是()AA、B 两点的线速度大小相等BB、C 两点的角速度大小相等CA、C 两点的周期大小相等DA、B 两点的向心加速度大小相等【解析】自行车的链条不打滑，A 与 B 的线速度大小相等，故 A 项正确；B 与 C 同一转轴转动，角速度相等，故 B 项正确；由 T2rv 可知，A 的半径大于 B 的半径，A 的周期大于 B 的周期，而 B 的周期与 C 的周期相等，所以 A 的周期大于 C 的周期，故 C 项错误；由向心加速度公式 anv2r，A 的半径大于
11、 B 的半径，可知 A 的向心加速度小于 B 的向心加速度，故 D 项错误【答案】AB【设置目的】考查线速度、角速度和周期、转速在常见的传动装置的辨析【考题随练 2】如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图，A、B 为缠绕磁带的两个轮子，其半径均为 r.在放音结束时，磁带全部绕到了 B 轮上，磁带的外缘半径为 R，且 R3r.现在进行倒带，使磁带绕到 A 轮上倒带时 A 轮是主动轮，其角速度是恒定的，B 轮是从动轮经测定磁带全部绕到 A 轮上需要的时间为 t.则从开始倒带到 A、B 两轮的角速度相等所需要的时间()A.t2 B.512tC.612t D.712t【解析】在 A 轮转动的过程中，半径
12、均匀增大，角速度恒定，根据 vr，知线速度均匀增大，设从开始倒带到 A、B 两轮的角速度相等所需要的时间为 t，此时磁带边缘上各点的速度大小为 v.将磁带边缘上各点的运动等效看成一种匀加速直线运动，加速度为 a，磁带总长为 L，则：则有：v2(r)2(3r)2v22aL2 得 v 5r 结合加速度的定义得：vrt 3rrt 代入得 5rrt3rrt 解得 t 512t.故 B 项正确，A、C、D 项错误 故选 B 项【答案】B【思路点拨】本题要从主动轮和从动轮边缘上的点线速度相等，A 的角速度恒定，半径增大，线速度增大，当两轮半径相等时，角速度相等来分析问题求出正确答案也就是要灵活运用等效法，
13、将磁带边缘上点的运动与匀加速直线运动等效，建立模型，可理清思路，同时要知道线速度与角速度的关系，以及知道A、B 两轮的角速度相等时，半径相等【考题随练 3】(2014天津)半径为 R 的水平圆盘绕过圆心 O 的竖直轴匀速转动，A 为圆盘边缘上一点，在 O 的正上方有一个可视为质点的小球以初速度 v 水平抛出时，半径 OA 方向恰好与 v 的方向相同，如图所示，若小球与圆盘只碰一次，且落在 A 点，重力加速度为 g，则小球抛出时距 O 的高度 h_，圆盘转动的角速度大小 _【解析】小球做平抛运动，小球在水平方向上做匀速直线运动，则运动的时间 tRv，竖直方向做自由落体运动，则 h12gt2gR2
14、2v2.根据 t2n，得 2nt2nvR(n1、2、3)【答案】gR22v2 2n vR(n1、2、3)【设置目的】考查平抛与圆周运动的结合及运动的周期性高考调研二 向心力来源分析1物体做匀速圆周运动的条件物体做匀速圆周运动的向心力，由物体所受的合外力提供，即物体所受合力大小不变，方向始终指向圆心2分析匀速圆周运动的向心力来源的步骤第一步确定匀速圆周运动轨道所在的平面第二步找出圆心所在的位置第三步然后分析圆周运动物体所受的力，并作出受力图，最后找出这些力在指向圆心方向的合外力就是向心力第四步沿径向，垂直于径向建轴，正交分解，沿径向列牛顿第二定律方程，垂直于径向列平衡方程3摩擦力提供向心力【考题
15、随练 1】(2015山西省山大附中)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体 A 和 B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则()A两物体均沿切线方向滑动B物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远【解析】当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B靠指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以烧断细线后，A
16、 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A 要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是 B 所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力，所以 B 仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小故 B、D 项正确，A、C 项错误故选 B、D 项【答案】BD【思路点拨】对 AB 两个物体进行受力分析，找出向心力的来源，即可判断烧断细线后 AB 的运动情况【考题随练 2】(2014安徽)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止物体与盘面间的动摩擦因数为 32，(设最大静摩擦力等
17、于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2，则 的最大值是()A.5 rad/s B.3 rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s【解析】当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律，得 mgcos30mgsin30m2r，则 10（32 32 12）2.5 rad/s1 rad/s，C 选项正确，其他选项错误【答案】C【设置目的】考查临界状态和条件的寻找【考题随练 3】(2015浙江)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在 O 点的半圆，内外半径分别为 r 和 2r.一辆质量为 m 的赛车通过 AB
18、 线经弯道到达 AB线，有如图所示的三条路线，其中路线是以 O为圆心的半圆，OOr.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()A选择路线，赛车经过的路程最短B选择路线，赛车的速率最小C选择路线，赛车所用时间最短D三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等【解析】路线的路程为 s12r122r2rr，路线的路程为 s22r1222r2r2r，路线的路程为s32r，故选择路线，赛车经过的路程最短，A 项正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以
19、有 Fmaxma，所以运动的向心加速度相同，根据公式 Fmaxmv2R可得 vFmaxRm，即半径越大，速度越大，路线的速率最小，B 项错误，D 项正确；因为 s1s3s2，v1v3v2，结合 vFmaxRm，根据公式 tsv可得选择路线，赛车所用时间最短，C 项正确【答案】ACD【考点】圆周运动，运动学公式4弹力提供向心力【考题随练 4】如图所示，质量为 m 的小球与穿过光滑水平板中央小孔 O 的轻绳相连，用力拉着绳子另一端使球在水平板内绕 O 做半径为 R1、角速度为 1 的匀速圆周运动，求：(1)此时小球的速率为多大？(2)若将绳子迅速放松，后又拉直使小球做半径为 R2 的圆周运动，则从
20、放松到拉直这段时间为多长？(3)小球做半径为 R2的圆周运动的角速度 2 为多大？【解析】(1)小球做半径为 R1的圆周运动时，其速度 v11R1(2)绳子放松后，小球保持以 v1速度沿切线做匀速直线运动 从右图中可看出从放松到拉直绳子这段位移为 x，则 xR22R12.因是匀速直线运动，则所需时间为 t xv1 R22R121R1(3)绳子拉直绷紧时，v1 分解成切向速率 v2 和法向速率 v3，小球将以 v2做半径为 R2 的匀速圆周运动，而法向速度 v3损失减小到零(绳子不断)则由几何知识，有 v2v1cos 而 cosR1R2，有 v2R1R2v1 即 2R2R1R21R1 得 2R1
21、2R221【答案】(1)1R1(2)R22R12 1R1(3)R12R22 1【名师点拨】物理过程要清晰，第(2)问是匀速运动，第(3)问，匀速过来后，绳子拉直过程为非完全弹性碰撞，有能量损失，由以后的运动为 R2的匀速圆周运动可知，沿半径方向的 vn被拉掉了【考题随练 5】(2015江苏)一转动装置如图所示，四根轻杆 OA、OC、AB 和 CB 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为 l，球和环的质量均为 m，O 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在 O 与小环之间，原长为 L，装置静止时，弹簧长为32L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升弹簧始终在弹性限度内，忽略一
22、切摩擦和空气阻力，重力加速度为 g，求：(1)弹簧的劲度系数 k；(2)AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度 0；(3)弹簧长度从32L 缓慢缩短为12L 的过程中，外界对转动装置所做的功 W.【解析】(1)装置静止时，设 OA、AB 杆中的弹力分别为F1、T1，OA 杆与转轴的夹角为 1 小环受到弹簧的弹力 F 弹 1kL2 小环受力平衡 F 弹 1mg2T1cos1 小球受力平衡 F1cos1T1cos1mg F1sin1T1sin1 解得 k4mgL (2)设 OA 杆中的弹力为 F2，OA 杆与转轴的夹角为 2，弹簧长度为 x 小环受到弹簧的弹力 F 弹 2k(xL)小环受力平衡 F
23、 弹 2mg，得 x54L 对小球 F2cos2mg F2sin2m02lsin2 cos2x2l解得 08g5L(3)弹簧长度为12L 时，设 OA、AB 杆中的弹力分别为 F3、T3，OA 杆与转轴的夹角为 3 小环受到弹簧的弹力 F 弹 312kL 小环受力平衡 F 弹 3mg2T3cos3，cos3L4l 对小球 F3cos3mgT3cos3 F3sin3T3sin3m32lsin3 解得 316gL 整个过程弹簧弹性势能变化为 0，则弹力做功为 0，由动能定理 Wmg(32L12L)2mg(34L14L)122m(3lsin3)2 解得 WmgL16mgl2L【答案】(1)4mg/L
24、(2)08g5L(3)mgL16mgl2L5火车转弯问题火车驶过转弯处时，受力如图所示，只要速度 v 选取恰当，这时所需的向心力完全由火车自身的重力 mg 和轨道对火车的支持力 N的合力提供所谓“恰当”的 v可根据牛顿运动定律求得：Ncos mgNsin mv2R，由以上两式，可得 v2Rgtan.【名师点拨】对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的平面的向心力近似处理思想在火车转弯中的应用，对火车转弯问题，在实际计算中，由于 很小这时 tansinhL，其中 L 为两轨间的距离，h为两轨的高度差所以 v2RghL，v、h、L、R 四量知三可求其一【考题随练
25、 6】(2015景德镇三检)如图所示，在某外高内低的弯道测试路段上汽车向左转弯，把汽车的运动看作是在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动设路面内外高度相差 h，路基的水平宽度为 d，路面的宽度为 L，已知重力加速度为 g.要使车轮与路面之间垂直前进方向的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.gRhLB.gRLhC.gRhdD.gRdh【解析】设路面的倾角为，要使车轮与路面之间的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时，由路面的支持力与重力的合力提供汽车的向心力，作出汽车的受力图，如图：根据牛顿第二定律，得：mgtanmv2R 又由数学知识得到：tanhd 联立解得：vgRhd 故选 C 项【
26、答案】C【命题立意】本题旨在考查向心力【考题随练 7】质量为 m 的飞机以速率 v 在水平面上做半径为 R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于()Amg2（v2R）2Bmv2RCm（v2R）2g2Dmg【解析】如图所示，飞机受重力 mg、空气对飞机的作用力 N 的合力提供向心力，则有 Ncosmg，Nsinmv2R.以上两式联立，解得 Nmg2（v2R）2.【答案】A6圆锥摆问题【考题随练 8】如图所示，长为 L 的轻绳一端拴住物体，另一端固定，并让物体在某一水平面内做匀速圆周运动，这样就形成了一个圆锥摆，如图所示设物体质量为 m，物体做圆锥摆运动时绳与竖直方向间夹角为.(1)绳上拉力
27、大小 F_(2)提供圆周运动的向心力 Fn_(3)物体做圆周运动的向心加速度 an_(4)物体做圆周运动的线速度 v_(5)物体做圆周运动的角速度 _(6)物体做圆周运动的周期 T_【解析】对物体受力分析如图所示，由于物体在水平面内做匀速圆周运动，其合外力一定指向圆心，并提供物体做圆周运动的向心力，因此，有 Fcosmg FnFsinmanmv2r m2rm42T2 r 其中 rLsin 联立以上三式，得 F mgcos，Fnmgtan angtan；vgLcossin gLcos；T2Lcosg【答案】(1)mgcos (2)mgtan (3)gtan(4)gLcos sin (5)gLco
28、s (6)2Lcosg【名师点拨】对于圆锥摆运动，关键是正确找出圆周运动的圆心，不是悬点半径是 Lsin，不是 L.其中周期 T2Lcosg2hg，如下图圆锥摆的周期相同 【考题随练 9】如图所示，两绳系一个质量为 m0.1 kg 的小球，两绳的另两端分别固定于轴上的 A、B 两处上面绳长 l2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为 30与 45.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？当角速度为 3 rad/s 时，上、下两绳的拉力分别为多大？【解析】两绳始终张紧的制约条件有以下两种情况：当由零逐渐增大时可能出现两个临界值其一是 BC 恰好拉直，但不受力；其二是 AC 仍然拉直，但不受拉力选 C
29、小球为研究对象，对 C 受力分析如图所示 当 BC 恰好拉直，但 T20 时，设此时的角速度为 1，则有 T1cos30mg T1sin30m12lsin30 代入数据，解得 12.40 rad/s 当 AC 拉直，但 T1 已为零设此时的角速度为 2，则有T2cos45mg T2sin45m22lsin30 代入数据，得 23.16 rad/s 所以要两绳始终拉紧，必须满足 240 rad/s3.16 rad/s 当 3 rad/s 时，T1、T2同时存在，所以 T1sin30T2sin45m2lsin30 T1cos30T2cos45mg 将数值代入，得 T10.27 N，T21.09 N
30、【答案】2.40 rad/s 3.16 rad/s，0.27 N，1.09 N【学法指导】当 2.40 rad/s时小球的合外力 Fm2r，将产生近心现象；当 3.16 rad/s 时，AC 不再被拉直，此时已不满足 AC 与竖直轴夹角为 30的条件，此时绳 BC 与竖直方向夹角大于 45.临界条件的确定多数情况下可以采用极限分析法找到，在该题中假设角速度很大和很小就可以看出 AC 绳和 BC绳的拉力均有出现零值的情况【考题随练 10】(2015安徽江淮名校高三)如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为 R，质量为 m 的带孔小球穿于环上，同时有一长为 R 的细绳一端系于球上，另一端系于圆
31、环最低点，绳的最大拉力为 2mg.当圆环以角速度 绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用则 可能为()A3gRB.32gRC.3g2RD.g2R【解析】因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力，细绳要产生拉力，绳要处于拉升状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为 60，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为：Fm2r，根据几何关系，其中 rRsin60一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得：Fmin
32、2mgsin60，即 2mgsin60mmin2Rsin60，解得：min2gR，当绳子拉力 FT2mg 最大时，此时小球角速度最大，对小球进行受力分析：FTcos60mgFNcos60，FTsin60FNsin60mmax2Rsin60，解得 max6gR，所以2gR 6gR.故选 B 项【答案】B【思路点拨】圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力，细绳要产生拉力，绳要处于拉升状态，根据几何关系，此时细绳与竖直方向的夹角为 60，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，根据几何关系所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最
33、小，需要的向心力最小高考调研三 圆周运动中的临界问题绳和杆在物体的圆周运动中体现出各自不同的特性，绳对小球只能产生沿绳收缩方向的力，而杆对球既能产生拉力、也能产生支持力，因此两者对应的临界条件有所不同一、绳模型1原型如图所示，长为 R 的轻绳，一端固定，另一端拴质量为 m的小球，在竖直平面做圆周运动2受力分析与临界条件小球达到最高点时受到绳子的拉力、重力，这两个力的合力提供向心力，有 mgTGmv2R，随着速度的减小，只能是绳子拉力减小，当绳子拉力为零时，速度达最小，仅有小球的重力提供向心力，mgmv临2R，得到 v 临 gR，是小球能通过最高点的最小速度球能通过最高点的条件：vv 临球不能到
34、达最高点的条件：vv 临(球在到达最高点前就脱离轨道做斜上抛运动)3模型拓展一：小球在光滑的轨道内侧做圆周运动小球在固定的光滑竖直圆形轨道内侧的圆周运动，如图所示小球在竖直平面内做圆周运动通过最高点时受到轨道向下的弹力(如同上图绳子拉力，只能向下)、重力，在最高点的临界条件如同“绳模型”，仅有小球的重力提供向心力，mgmv临2R，得到v 临 gR，是小球能通过最高点的最小速度【考题随练 1】(2015北京西城区二模)如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P 点是这段轨道的最高点，A、B、C 三处是过山车的车头、中点和车尾假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受
35、阻力可忽略那么，过山车在通过 P 点的过程中，下列说法正确的是()A车头 A 通过 P 点时的速度最小B车的中点 B 通过 P 点时的速度最小C车尾 C 通过 P 点时的速度最小DA、B、C 通过 P 点时的速度一样大【解析】山车在通过 P 点的过程中，车头 A 和车尾 C 通过 P 点时，还不是整体过最高点，所以其重力比所需向心力要大，故经过时速度不是最小；而车的中点 B 通过 P 点时，如某质点过最高点，要能过最高点，其重力刚好提供向心力，所以车的中点B 通过 P 点时的速度最小，故 B 项正确，A、C、D 项错误故选 B 项【答案】B【命题立意】本题旨在考查竖直平面内圆周运动 二、杆模型
36、1原型长为 R 的轻杆，一端连接光滑的转轴，另一端固定一个质量为 m 的小球，如图所示，在竖直面内做圆周运动2受力分析与临界条件球能通过最高点完成圆周运动，小球的速度最小可以为零，因为小球由惯性能够完成下半周运动由于球受杆的力可以为拉力或支持力，对应的情景为：当 v gR时，杆对球有向下的拉力3变形小球在固定的光滑竖直圆形轨道上侧的圆周运动，如图所示，在球未脱落情况下类似“杆模型”当球在外轨上脱离后将做拋体运动，如图所示位置小球速度 v gR，则在该位置将脱离轨道做平抛运动【考题随练 2】(2015湖北襄阳)如图甲所示，轻杆一端与质量为 1 kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖
37、直平面内自由转动现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示，A、B、C 三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是 1、0、5.g 取 10 m/s2，不计空气阻力下列说法中正确的是()A轻杆的长度为 0.5 mB小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上CB 点对应时刻小球的速度为 3 m/sD曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积为 0.6 m【解析】A 项，设杆的长度为 L，小球从 A 到 C 的过程中机械能守恒，得12mvA22mgL12mvC2，所以 LvC2vA24
38、g（5）21240 m0.6 mA 项错误；B 项，若小球在 A 点恰好对杆的作用力是 0，则 mv02L mg，临界速度 v0 gL6.0 m/svA1 m/s.由于小球在 A 点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的方向向上，是竖直向上的支持力故 B 项正确；C 项，小球从 A 到 B的过程中机械能守恒，得12mvA2mgL12mvB2，所以 vBvA22gL 13 m/s，C 项错误；D 项，由于 y 轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积表示 A 到 B 的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即 0.6
39、 m故 D 项正确【答案】BD【命题立意】向心力与圆周运动的应用考查题【思路点拨】已知小球在 A、B、C 三个点的速度，A 到C 的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律即可求出杆的长度；结合小球过最高点的受力的特点，即可求出杆对小球的作用力的方向；由机械能守恒可以求出 B 点的速度；由于 y 轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积表示 A 到 B 的过程小球在水平方向的位移该题考查竖直平面内的圆周运动，将牛顿第二定律与机械能守恒定律相结合即可正确解答该题中的一个难点是 D 选项中“曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积”的意义要理解【考题随练 3】(2015福建
40、)如图，在竖直平面内，滑道 ABC关于 B 点对称，且 A、B、C 三点在同一水平线上若小滑块第一次由 A 滑到 C，所用的时间为 t1，第二次由 C 滑到 A，所用时间为 t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则()At1t2D无法比较 t1、t2的大小【解析】在 AB 段，根据牛顿第二定律 mgFNmv2R，速度越大，滑块受支持力越小，摩擦力就越小，在 BC 段，根据牛顿第二定律 FNmgmv2R，速度越大，滑块受支持力越大，摩擦力就越大，由题意知从 A 运动到 C 相比从 C 到 A，在 AB 段速度较大，在 BC 段速度较小，所以从
41、A 到 C 运动过程受摩擦力较小，用时短，所以 A 项正确【答案】A【考题随练 4】(2014新课标全国)如图所示，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为 m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下重力加速度大小为 g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()AMg5mg BMgmgCMg5mg DMg10mg【解析】小环在最低点时，设 T 为轻杆对大环的拉力，大环对小环拉力为 F 对小环 Fmgmv2R 对大环 TMgF 小环由最高处运动到最低处由动能定理，得 mg2R12mv2 联立以上三式，解得 TMg5mg 由牛顿第三定律知，大环对轻杆拉力的大小为 TTMg5mg，C 项正确【答案】C【命题立意】考查机械能守恒，做圆周运动的物体在最低点的向心力问题【解题思路】根据机械能守恒，小圆环到达大圆环低端时：mg2R12mv2，对小圆环在最低点，由牛顿运动定律可得：FNmgmv2R；对大圆环，由平衡可知：FTMgFN，解得 FTMg5mg，选项 C 正确【解题点拨】最低点的受力分析是关键请做：题组层级快练（十四）