1、第七节 生活中的圆周运动1巩固向心力和向心加速度的知识。2会在具体问题中分析向心力的来源。3会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。01课前自主学习 1.铁路的弯道(1)运动特点：火车在弯道上的运动可看做圆周运动，因而具有，由于其质量巨大，需要很的向心力。01 向心加速度02 大(2)轨道设计：转弯处外轨略(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力 FN 的方向是，它与重力的合力指向。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由来提供。03 高04 斜向弯道内侧05 圆心06 支持力和重力的合力2拱形桥3航天器中的失重现象(1)向心力分析：宇航员受到的地球引
2、力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mv2r，所以 FN，故宇航员处于状态。(2)完全失重状态：当 v时，座舱对宇航员的支持力 FN0，宇航员处于完全失重状态。15 mgFN16 mgmv2r17 失重18gr4离心运动(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做圆心的运动。(2)原因：向心力突然或合外力不足以提供。(3)应用：洗衣机的，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。(4)危害：汽车转弯时，若不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故。高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。19 逐渐远离20 消失21 所需的向心力22 脱水筒23 最大静摩擦
3、力判一判(1)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。()(2)若弯道处重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处于平衡状态。()(3)水平路面上，车辆转弯时，静摩擦力提供向心力。()提示：(1)铁轨外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。(2)火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。(3)水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由静摩擦力提供向心力。提示 想一想洗衣机脱水的原理是什么？提示：洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动。当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动
4、，离开衣服，于是衣服被脱水。提示 02课堂探究评价 课堂任务 火车转弯问题仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。提示 活动 2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点？若火车的速度为 v，轨道平面与水平面之间的夹角 应满足什么样的
5、关系，轨道才不受挤压？提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力 G 的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要重力和支持力的合力提供向心力，则 FnFmgtanmv2R，所以 应满足 tanv2gR，其中 R 为弯道半径。提示 活动 3：讨论、交流、展示，得出结论。(1)弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即 mgtanmv20R，则v0 gRtan，其中 R 为弯道半径，为轨道平面与水平
6、面间的夹角，v0 为转弯处的规定速度。(2)速度与轨道压力的关系当火车行驶速度 v 等于规定速度 v0 时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。当火车行驶速度 vv0 时，火车对外轨有挤压作用。当火车行驶速度 vm2r 或 F 合mv2r，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。(3)若 F 合m2r 或 F 合 gr时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度 v gr时，细杆会受到小球的压力。提示 规范解答 设小球以速率 v0 通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即 mgmv20L得 v0 gL 100.50 m/s 5 m/s
7、。答案 由于 v2.0 m/s gL，所以小球在 P 点受到的弹力向下，且随着 vP 增大，受到向下的弹力增大，A、C 错误，D 正确。在最低点 Q 点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B 正确。解析 变式训练42(多选)如图所示，半径为 L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点 P 时的速度为 v，则()Av 的最小值为 gLBv 若增大，球所需的向心力也增大C当 v 由 gL逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D当 v 由 gL逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案 BD答案 解析 由于小球在
8、圆管中运动，最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有 Fnmv2L，v 若增大，球所需的向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当 v gL时，圆管弹力为零，故 v 由 gL逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v 由 gL逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C 错误，D 正确。解析 例 5 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量 m0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l50 cm，g 取 10 m/s2。求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若
9、在最高点水桶的速率 v3 m/s，求水对桶底的压力大小。(1)最高点水不流出来是什么意思？提示：如果桶在最高点的速度为 0 或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。提示 (2)绳模型中最高点的临界速度是多少？提示：绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所以向心力最小等于重力。由 mgmv2r 求出临界速度 v gr。提示 规范解答(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有：mgmv20l则所求速率即为桶的最小速
10、率：v0 gl2.24 m/s。(2)在最高点水桶的速率 v3 m/s2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有：FNmgmv2l代入数据可得：FN4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN4 N。完美答案(1)2.24 m/s(2)4 N答案 绳、杆模型对比(1)绳模型、杆模型中小球做的都是变速圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。(2)在最低点的受力特点是一致的，在最高点杆、轨道可以提供竖直向上的支持力，而绳不能提供支持力，只能提供向下的拉力。变式训练5 杂技演员表演“水流星”，在长为 1.6 m 的细绳的一端，
11、系一个与水的总质量为 m0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N答案 B答案 解析“水流星”在最高点的速度 v4 m/s gL，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有 B 正确。解析 03课后课时作业 A 组：合
12、格性水平训练1(离心运动的理解)关于离心运动，下列说法中正确的是()A物体一直不受外力作用时，可能做离心运动B做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动C做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动D做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动答案 D答案 解析 物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A 错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周
13、运动，也可能做近心运动或离心运动，C 错误；根据离心运动的条件可知，D 正确。解析 2(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是()A航天员仍受重力作用B航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力C航天员处于超重状态D航天员对座椅的压力为零答案 ABD答案 解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即 mgmv2R，A、B 正确；此时航天员不受座椅弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D 正确，C 错误。解
14、析 3(凹桥模型)秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A在下摆过程中 B在上摆过程中C摆到最高点时 D摆到最低点时答案 D答案 解析 当秋千摆到最低点时速度最大，由 Fmgmv2l 知，吊绳中拉力F 最大，吊绳最容易断裂，D 正确。解析 4.(拱桥模型)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是()A玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些B玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大
15、一些C玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态D玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小答案 D答案 解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有 mgFNmv2R，即 FNmgmv2Rmg，可知玩具车此时处于失重状态，C 错误；玩具车静止在拱桥顶端时，示数即总重力，运动通过拱桥顶端时，系统有向下的加速度(向心加速度)，支持力小于总重力，即示数小于总重力，且速度越大，向心加速度越大，示数越小，A、B 错误，D正确。解析 5.(汽车转弯问题)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽
16、车的运动可看做是半径为 R 的圆周运动。设内、外路面高度差为 h，路基的水平宽度为 d，路面的宽度为 L。已知重力加速度为 g，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.gRhL B.gRhd C.gRLh D.gRdh答案 B答案 解析 设路面的倾角为，根据牛顿第二定律得 mgtanmv2R，又由数学知识可知 tanhd，联立解得 vgRhd，B 正确。解析 6.(绳模型)(多选)如图所示，用长为 l 的细绳拴着质量为 m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B小球在最高点时绳子的拉力
17、不可能为零C若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为 glD小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案 CD答案 解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v gl，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故 D 正确。解析 7.(绳模型)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径
18、为 R，人体重为 mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C答案 解析 由题意知，乘客受到座椅的压力 Fmg，则 Fmg2mgmv2R，故最高点处速度大小 v 2gR，C 正确。解析 8(拱桥模型)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为 R 的圆弧形的立交桥 AB 横跨在水平路面上，一辆质量为 m 的小汽车，从 A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为 v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则()A小汽车通过桥顶时处于失重状态B小汽车通过桥顶时处于超重状态C小汽车
19、在上桥过程中受到桥面的支持力大小为 FNmgmv21RD小汽车到达桥顶时的速度必须大于 gR答案 A答案 解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得 mgFNmv21R，解得 FNmgmv21Rmg，故其处于失重状态，A 正确，B 错误；FNmgmv21R只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C 错误；由 mgFNmv21R，FN0，解得 v1 gR，D 错误。解析 9.(杆模型)如图所示，质量为 m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端 O 做圆周运动。小球运动到最高点时速度为 v12Lg，L 是球心到 O 点的距离，则球对杆的作用力是(
20、)A.12mg 的拉力B.12mg 的压力C零D.32mg 的压力答案 B答案 解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mgmv2R，解得 v gL，而12gL gL时，故杆对球是支持力，即 mgFNmv2L，解得 FN12mg，由牛顿第三定律，球对杆的压力为12mg，故选 B。解析 10.(拱桥模型)如图所示，是一座半径为 40m 的圆弧形拱形桥。一质量为1.0103 kg 的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为 10 m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取 g10 m/s2)答案 2.5 m/s2 2.5103 N 7.5103
21、N答案 解析 汽车的向心加速度av2r 10240 m/s22.5 m/s2。汽车的向心力Fma1.01032.5 N2.5103 N。在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，FmgFN，解析 则 FNmgF1.010310 N2.5103 N7.5103 N，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力F 压FN7.5103 N。解析 11(拐弯问题)某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为 100m，一赛车和车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)(1)若赛车的速度达到 72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？(2)若将场
22、地建成外高内低的圆形，且倾角为 30，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车的侧向的运动趋势？答案(1)不会侧滑(2)24 m/s答案 解析(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为 Fmv2R400 N600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知 mgtanmv2R，解得 v gRtan24 m/s。解析 B 组：等级性水平训练12.(火车拐弯)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速
23、度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是()A减小内外轨的高度差 B增加内外轨的高度差C减小弯道半径 D增大弯道半径答案 AC答案 解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即 Fnmgtanmv2R，故 v gRtan，若使火车经过弯道时的速度 v 减小，则可以减小倾角，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径 R，故 A、C 正确，B、D 错误。解析 13.(轻杆模型)(多选)如图所示，小球 m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()A小球通过最高点时的最小速度是 RgB小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线 ab 以
24、下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案 BD答案 解析 圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A 错误，B 正确。小球在水平线 ab 以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C 错误，D 正确。解析 14.(杆模型)长 L0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件 A，A 的质量 m2 kg。现让 A 在竖直平面内绕轻杆另一端 O 点做匀速圆周运动，如图所示。在 A 通过最高点时，求下列两种情况下 A 对杆的作用力大小。(g10 m/s2)(1)A 的速率为 1 m/s；(2)A 的速率为 4 m/s。答案(1)16 N(2)44 N答案 解析 以 A 为研究对象，设其受到杆的拉力为 F，则有 mgFmv2L。(1)代入数据 v11 m/s，可得 F1mv21Lg 2120.510 N16 N，即 A 受到杆的支持力为 16 N。根据牛顿第三定律可得 A 对杆的作用力为压力，大小为 16 N。解析(2)代入数据 v24 m/s，可得 F2mv22Lg 2420.510 N44 N，即 A 受到杆的拉力为 44 N。根据牛顿第三定律可得 A 对杆的作用力为拉力，大小为 44 N。解析 本课结束