1、第十节 圆锥曲线的综合问题 考向一 圆锥曲线的定点问题【典例1】(2016淄博模拟)椭圆C:=1(ab0)的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 .(1)求椭圆C的标准方程.2222xyab1210(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标.【解题导引】(1)由左焦点到点P(2,1)的距离,即可求出c值,再由离心率得出a的值,从而得出椭圆方程.(2)直线方程与椭圆方程联立,由圆过椭圆C的右顶点,得出k,m的关系式,从而证明直线过定点.【规范解答】(1)因为左焦点(-c,0)到点
2、P(2,1)的距离 为 ,所以 解得c=1.又e=解得a=2,所以b2=a2-c2=3.所以所求椭圆C的方程为 =1.1022c110，c1a2，22xy43(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,化为3+4k2m2.所以 22ykxm,xy1,4321212224 m38mkxxx x.34k34k，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0),kADkBD=-1,所以 =-1,所以y1y2+x1x
3、2-2(x1+x2)+4=0,所以 =0.化为7m2+16mk+4k2=0,2223 m4k.34k1212yyx2 x22222223 m4k4 m316mk434k34k34k解得m1=-2k,m2=且满足3+4k2-m20.当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m=时,l:y=直线过定点 综上可知,直线l过定点 2k.72k72k(x)7，2(0)7，2(0)7，【母题变式】1.若本例的条件“以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点”,改为“以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点”.则直线l是否还过定点?若过定点,求出该定点的坐标；若不过定点,说明理由.【解析】设A(
4、x1,y1),B(x2,y2),由 消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,化为3+4k2m2.所以 22ykxm,xy1,4321212224 m38mkxxx x.34k34k，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=因为以AB为直径的圆过椭圆左顶点D(-2,0),kADkBD=-1,所以 =-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,所以 =0.化为7m2-16mk+4k2=0,2223 m4k.34k1212yyx2 x22222223 m4k4 m316mk434k
5、34k34k解得m1=2k,m2=且满足3+4k2-m20.当m=2k时,l:y=k(x+2),直线过定点(-2,0)与已知矛盾;当m=时,l:y=直线过定点 综上可知,直线l过定点 2k.72k72k(x)7，2(0)7，2(0)7，2.若典例1条件不变,将(2)改为直线y=kx+m(k0)与y轴交点为P,与x轴交点为Q,与椭圆C交于点M,N(点M,N在第一或第四象限).若 求证:直线y=kx+m过定点.113,PMPNPQ【证明】直线y=kx+m(k0)与y轴交于点P(0,m),与x轴交于点 设M(x1,y1),N(x2,y2),则|PM|=|PN|=|PQ|=mQ(,0)k，211 k
6、x,221 k x,2 m1k.k因为 所以 由 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,113,PMPNPQ121212xx113k3k,xxmx xm 即22ykxm,xy1,43所以 因此 又m0,所以m=3,因此直线y=kx+m过定点(0,3).12221228kmxx,4k34m12x x,4k328mk3k,4m12m【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.【变式训练】(2015全国卷)在
7、直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a0)交于M,N两点,(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.2x4【解题提示】(1)先求出M,N的坐标,再利用导数求出在M,N处切线的斜率,进而得到切线方程.(2)先作出判定,再将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思想,将直线PM,PN的斜率之和用a表示出来,利用直线PM,PN的斜率之和为0,即可求出a,b关系,从而找出适合条件的P点坐标.【解析】(1)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a),或
8、M(-2 ,a),N(2 ,a).又y=,故y=在x=2 处的导数值为 ,曲线C 在点(2 ,a)处的切线方程为y-a=(x-2 ),即 x-y-a=0.aaaax22x4aaaaaay=在x=-2 处的导数值为-,曲线C在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=-(x+2 ),即 x+y+a=0.2x4aaaaaa(2)存在符合题意的点P,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=当b=-a时,有k1+k2=0,则直线
9、PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.12121212122kx xabxxk abybyb.xxx xa【加固训练】1.(2016哈尔滨模拟)已知圆M：x2+(y-2)2=1,直线l：y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心 P的轨迹为E.(1)求E的方程.(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且 =-16,求证:直线AB恒过定点.OA OB【解析】(1)设P(x,y),则 =(y+1)+1x2=8y.所以E的方程为x2=8y.(2)易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).将
10、直线AB的方程代入x2=8y中,得x2-8kx-8b=0,22xy2所以x1+x2=8k,x1x2=-8b,=x1x2+y1y2=x1x2+=-8b+b2=-16b=4,所以直线AB恒过定点(0,4).OA OB2212x x642.(2016长春模拟)已知点E(m,0)为抛物线y2=4x内一个定点,过点E斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB,CD的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的 最小值.(2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.【解析】(1)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点,则AB方程为y=k1(x-1),设A(x
11、1,y1),B(x2,y2).由 得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=y1y2=-4.AB中点 同理,点N(2k12+1,-2k1).112yk xk,y4x,14k，1212211xxyy22M()M(1)22kk，；因为k1k2=-1,所以ABCD,所以SEMN=|EM|EN|=当且仅当 即k1=1时,EMN的面积取最小值.12222222111221111221()()2k2k2 k22 2242kkk ，21211kk，(2)设AB方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),由 得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=,y1y2=-4m,AB中点 所以 同理
12、,点 12ykxm,y4x,14k1212xxyyM(,),2221122M(m,);kk22222N(m,).kk因为k1+k2=1,所以kMN=k1k2,所以lMN:即y=k1k2(x-m)+2,所以直线MN恒过定点(m,2).MN12MN12yyk kxxkk1221122yk k x(m)kk，考向二 圆锥曲线中的定值问题【典例2】(2015全国卷)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点 延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边
13、形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明 理由.m(,m),3【解题导引】(1)将直线y=kx+b(k0,b0)与椭圆C：9x2+y2=m2(m0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分求解证明.【规范解答】(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 于是直线OM的斜率kOM=即kOMk=-9,所以直线 OM的斜率与l的斜率的积是定值.12MMM22xxkb9bxykxb.2k9k9，
14、MMy9xk ，【一题多解】解答本例(1),还有以下解法:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),因为A,B两点在椭圆C:9x2+y2=m2上,所以9x12+y12=m2 9x22+y22=m2 两式相减得:9(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,又因为AB的中点为M(xM,yM),所以92xM(x1-x2)+2yM(y1-y2)=0,直线l的斜率kl=又因为kOM=所以klkOM=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12MM12MMyy9 2x9xxx2yy ，MMyx，MMMM9xyyx(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l
15、过点 所以l不过原点且与C有两个交点 的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为y=设点P的横坐标为xp.m(,m)3，9 x.k由 得 将点 的坐标代入l的方程得b=因此 xM=四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互 相平分,即xP=2xM.2229yx,k9xym,222pp22k mkmxx.9k813 k9，即m(,m)3m 3k3，2km k3,3 k9于是 解得k1=4-,k2=4+.因为ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.22k k3 mkm23 k93 k9，7777【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两
16、大解法(1)特点：特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.引进变量法:其解题流程为【变式训练】(2015全国卷)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为 ,点(2,)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点 A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的 斜率的乘积为定值.2222xyab222【解题提示】(1)可利用方程的思想,求出椭圆C的方程.(2)设直线l的方程,同时和椭圆方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系求弦AB的中点,从而完成证明.【解析】(1)由题意有 解得a
17、2=8,b2=4,所以C的方程为 =1.22ab2a2，22421ab，22xy84(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入 =1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.xM=yM=kxM+b=22xy84122xx2kb22k1，2b.2k1于是直线OM的斜率kOM=即kOMk=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.MMy1x2k，12【一题多解】解答本题(2),还有以下解法:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),因为A,B两点在椭圆C:=1上,所以 =1 =1 22xy8422
18、11xy842222xy84两式相减得:=0,又因为AB的中点为M(xM,yM),所以 =0,直线l的斜率kl=又因为kOM=所以klkOM=所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12121212xxxxyyyy84M12M122xxx2yyy8412MM12MMyy4 2xxxx8 2y2y ，MMyx，MMMMxy1.2yx2【加固训练】1.已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:=1(ab0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆 的短轴长相等.2222xyab633(1)求椭圆E的方程.(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证：两切线斜
19、率之积为定值.【解析】(1)设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d=所以b=由题意得 631 1，532.222c3,a3abc,又b=,所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的方程为 =1.222yx32(2)设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),联立直线l0与椭圆E的方程得 消去y得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切.所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,0022yk xxy,yx1,32 整理得(2-x02)k2+2kx0y0-(y02-3)=0,设满足题
20、意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=因为点P在圆O上,所以x02+y02=5,2020y3.2x所以k1k2=-1.所以两条切线斜率之积为常数-1.20205x32x2.设椭圆方程 =1(ab0),离心率为 ,过右焦 点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,|AB|=2.(1)求该椭圆的标准方程.(2)设动点P(x0,y0)满足 其中M,N是椭圆 上的点,直线OM与ON的斜率之积为-,求证:x02+2y02为 定值.2222xyab22OPOM2ON，12【解析】(1)e2=即a2=2b2,因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2,所以由椭圆的对称性知,椭圆
21、过点(c,1),即 解得a2=4,b2=2.故椭圆方程为 =1.222ab1a2，2222222c1ab11,1abab，22xy42(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则kOMkON=化简为x1x2+2y1y2=0.因为M,N是椭圆上的点,所以 1212y y1x x2 ，22221122xyxy11.4242，由 得 所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=4+44+0=20.OPOM2ON，012012xx2x,yy2y.考向三 圆锥曲线中的范围(最值)问题【考情快递】命题方向命题视
22、角圆锥曲线中的范围问题主要考查根据直线与圆锥曲线的关系求参数或几何量的范围,属中、高档题圆锥曲线中的最值问题以直线、圆锥曲线为载体,利用直线与圆锥曲线的位置关系以及题设条件找到目标函数,求函数的最值 【考题例析】命题方向1:圆锥曲线中的范围问题【典例3】(2015天津高考)已知椭圆 =1(ab0)的左焦点为F(-c,0),离心率为 ,点M在椭圆上且位于 第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=2222xyab332b44 3.3(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于 ,求直线 OP(O为原点)的斜率的取值范围.2【解题导
23、引】(1)由椭圆知识先求出a,b,c的关系,设直 线FM的方程为y=k(x+c),求出圆心到直线的距离,由勾 股定理可求斜率k的值.(2)由(1)设椭圆方程为 =1,直线与椭圆方程联立,求出点M的坐标,由|FM|=可求出c,从而可求椭圆方程.(3)设出直线FP:y=t(x+1),2222xy3c2c4 33与椭圆方程联立,求得t=求出x的范围,即可求直线OP的斜率的取值范围.2262x23 x1，【规范解答】(1)由已知有 又由a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有 解得k=.22c1a3，2222kcc
24、b()()()22k1，33(2)由(1)得椭圆方程为 =1,直线FM的方程为y=两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为 2222xy3c2c3(xc)3，532 3(c,c).3有 解得c=1,所以椭圆的方程为 =1.222 34 3|FM|cc(c0)33，22xy32(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立 消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.yx122yt x1,xy1,32又由已知,得t=解得-x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,
25、得m=,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=2262x23 x1，32yx222.x3当x 时,有y=t(x+1)0,于是m=得m 当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此mb0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线 AF的斜率为 ,O为坐标原点.2222xyab322 33(1)求E的方程.(2)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.【解题导引】第(1)问根据 及 及b2=a2-c2 求出椭圆方程.第(2)问将直线与椭圆联立,并结合均值 不等式确定当OPQ的面积最大时,直线的斜率,从而求 出l的方程.c3a222 3c3【规范解答】(1)设
26、F(c,0),由条件知,得c=,又 ,所以a=2,b2=a2-c2=1,故E的方程为 +y2=1.c3a222 3c332x4(2)当lx轴时不符合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入 +y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2 时,x1,2=从而|PQ|=2x434228k2 4k3.4k12221224 k14k3k1 xx.4k1又点O到直线PQ的距离d=所以OPQ的面积 SOPQ=d|PQ|=设 =t,则t0,SOPQ=22k1，224 4k34k1，1224k324t4.4t4tt因为t+4,当且
27、仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.4t727272【误区警示】解答本题易出现以下错误：一是没有考虑直线斜率不存在的情况而失分；二是直线方程与椭圆方程联立后,没有考虑该方程的判别式而失分.【技法感悟】1.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素 存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则
28、可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.2.与椭圆有关范围问题的求解方法(1)代数法：从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数和基本不等式、换元法、导数法等方法求范围.(2)几何法：从椭圆几何性质的角度出发,根据椭圆几何意义求范围.【题组通关】1.(2015泉州模拟)过椭圆 =1上一点H作圆 x2+y2=2的两条切线,点A,B为切点,过A,B的直线l与x 轴,y轴分别交于P,Q两点,则POQ面积的最小值为 ()22xy94142A.B.C.1 D.233【解析】选D.因为点H在椭圆 =1上,所以H(3cos,2sin).因为过椭圆 =
29、1上一点H(3cos,2sin)作圆 x2+y2=2的两条切线,点A,B为切点,所以直线AB的方程为:(3cos)x+(2sin)y=2.22xy9422xy94因为过A,B的直线l与x轴,y轴分别交于P,Q两点,所以 所以POQ的面积S=因为-1sin21,所以当sin2=1时,POQ的面积取最小值 .21P(,0),Q(0,),3cossin12121|.23cossin3sin 2232.(2016广州模拟)已知椭圆C的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直线x-y-9=0的距离等于 椭圆的短轴长.3(1)求椭圆C的方程.(2)若圆P的圆心为P(0,t)(t0),
30、且经过F1,F2,Q是椭圆 C上的动点且在圆P外,过点Q作圆P的切线,切点为M,当|QM|的最大值为 时,求t的值.3 22【解析】(1)设椭圆的方程为 =1(ab0).依题意可知,2b=4,所以b=2.又c=1,故a2=b2+c2=5,故椭圆C的方程为 =1.2222xyab1 9222xy54(2)设Q(x0,y0),圆P的方程为x2+(y-t)2=t2+1.因为PMQM,所以|QM|=若-4t-2,即t ,2222200PQt1xytt1 2201 y4t44t.412当y0=-2时,|QM|取得最大值,|QM|max=解得t=(舍去).若-4t-2,即0t ,当y0=-4t时,|QM|
31、取最大值,3 24t32，318212且|QM|max=解得t2=.又0tb0)的离 心率为 ,且过点B(0,1).(1)求椭圆的标准方程.(2)直线l:y=k(x+2)交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以 PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.2222xyab32【解析】(1)由题意知 解得 椭圆的标准方程为 +y2=1.222b1,c3,a2abc,a2,b1,c3,2x4(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 消去y,得:(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.依题意直线l:y=k(x+2)恒过点(-2,0),此点为椭圆的左顶点,所以x1=-2,y1=0,22yk
32、x2,xy1,4 由方程的根与系数的关系可得,x1+x2=可得y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k,由,得 由点B在以PQ为直径的圆内,得PBQ为钝角或平角,2216k,14k2222228k4kx,y,14k14k即 所以 =-2x2-y2+10,整理可得,20k2-4k-3b0)的离 心率为 ,过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭 圆交于A,B两点,与抛物线y2=4x交于C,D两点,且 2222xyab222ABCD.2(1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G,H两点,设P为 椭圆E上一点,且满足 (t0,O为坐标 原点),当
33、时,求实数t的取值范围.OGOHtOP8 11OGOH3【解析】(1)因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直,所以|AB|=,|CD|=.又因为椭圆E的离心率为 ,且 22ba4 c222ABCD2，所以 解得 故椭圆E的方程为 =1.2222c2,a2b2c,aabc,22a32,b16.22xy3216(2)由题意知直线GH的斜率不为零.设直线GH的方程为:x=my+2.联立 =1与x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.22xy3216设P(x,y),G(x1,y1),H(x2,y2),则y1+y2=y1y2=x1+x2=m(y1+y2)+4=因为 所以 24mm2，228m2，28.m2OGOHtOP，1221228txxx,m24mtyyy,m2 所以 因为P点在椭圆上,所以将P点坐标代入椭圆方程得t2=因为 2284mP(),t m2t m2，21.m28 11OGOH3，所以|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y2=整理得14m4+11m2-250,所以0m21,22224m4 281m()m2m2222232(1 m)(4m7)64 11.(m2)9所以t2=所以t 所以实数t的取值范围为 211 1(m23 2，2332)(2332，2332)(2332，