1、第3讲 机械能守恒定律及其应用【知识梳理】知识点1 重力做功与重力势能 1.重力做功的特点:(1)重力做功与_无关,只与_有 关。(2)重力做功不引起物体_的变化。路径 始末位置的高度差 机械能 2.重力势能:(1)表达式:_。(2)重力势能的特点。系统性:重力势能是_所共有的。相对性:重力势能的大小与参考平面的选取_,但 重力势能的变化与参考平面的选取_。Ep=mgh 物体和地球 有关 无关 3.重力做功与重力势能变化的关系:(1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能就_;重 力对物体做负功,重力势能就_。(2)定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的 _量,即WG=_=_。减小 增大
2、减小-(Ep2-Ep1)-Ep 知识点2 弹性势能 1.定义:物体由于发生_而具有的能。2.弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性 势能_;弹力做负功,弹性势能_,即W=_。弹性形变 减小 增加-Ep 知识点3 机械能守恒定律及其应用 1.机械能:_统称为机械能,其中势能包括 _和_。2.机械能守恒定律:(1)内容:在_的物体系统内,动能 与势能可以相互转化,而总的机械能_。(2)守恒条件:_。动能和势能 重力势能 弹性势能 只有重力或弹力做功 保持不变 只有重力或系统内弹力做功(3)常用的三种表达式:守恒式:E1=E2或_。(E1、E2分别表示系 统初末状态时的总机械能)转化式:Ek
3、=_或 Ek增=_。(表示系统势 能的减少量等于动能的增加量)转移式:EA=_或 EA增=_。(表示系统只 有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2-Ep Ep减-EB EB减【直观解读】如图所示,质量为m1、m2(m1HC,故小球可以通过O点 2Cvmgm R22CC1mgHmv2R4(3)小球由P点落下通过O点的过程,由机械能守恒定律得:mgH=解得:v0=10 m/s 小球通过O点后做平抛运动,设小球经时间t落到AB圆弧轨道上,则有:x=v0t 201 mv22y=gt2 且:x2+y2=R2 解得:t=1s(另解舍弃)又有:vy=gt v=解得
4、:v=10 m/s 答案:(1)10m(2)见解析(3)10 m/s 12220yvv3【强化训练】1.(多选)(2017汕尾模拟)如图所示,两个质量相同的小球A和B,分别用细线 悬在等高的O1、O2两点,A球的悬线比B球的悬线长,把 两球的悬线拉至水平位置后将小球无初速释放,则小球 经过最低点时(以悬点所在水平面为零势能面),下列说 法正确的是()A.A球的角速度大于B球的角速度 B.悬线对A球的拉力等于对B球的拉力 C.A球的向心加速度等于B球的向心加速度 D.A球的机械能大于B球的机械能【解析】选B、C。对小球从释放到经过最低点的运动,由机械能守恒定律得mgL=mv2,解得v=,角速度
5、=,则知A球的角速度小于B球的角速度,故A 错误;小球经过最低点时由牛顿第二定律得FT-mg=,解得FT=3mg,可知悬线对两球的拉力相等,故B正确;向 心加速度a=2g,可知两小球经过最低点时的向心加 122gL2gLvLL2vm L2vL速度相同,故C正确;小球运动过程中机械能守恒,由于以悬点所在水平面为零势能面,两小球的机械能都为零,因此两球的机械能相等,故D错误。2.(2015海南高考)如图,位于竖直平面内的光滑轨道 由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成,圆弧半径Oa水平,b 点为抛物线顶点。已知h=2m,s=m。重力加速度大小 g取10m/s2。2(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下
6、,当其在bc段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,求圆弧轨道的半径。(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下,求环到达c点时速度的水平分量的大小。【解析】(1)小环在bc段轨道运动时,与轨道之间无相 互作用力,即小环在该段以某一初速度vb做平抛运动,运动轨迹与轨道bc重合,故有 s=vbt h=gt2 从ab滑落过程中,根据机械能守恒定律可得 mgR=联立三式可得R=0.25m 122b1 mv22s4h(2)下滑过程中,初速度为零,只有重力做功,根据机械 能守恒定律可得 mgh=因为小环滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做 平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角,设 为,则根据
7、平抛运动规律可知 sin=2c1 mv2b2bvv2gh根据运动的合成与分解可得 sin=联立可得v水平=m/s 答案:(1)0.25m(2)m/s cvv水平2 1032 103【加固训练】如图所示,压力传感器能测量物体对其正压力的大小,现将质量分别为M、m的物块和小球通过轻绳连接,并跨 过两个水平固定的定滑轮(滑轮光滑且较小),当小球在 竖直面内左右摆动且高度相等时,物块始终没有离开水 平放置的传感器,小球摆到最低点时,压 力传感器示数为0。已知小球摆动偏离 竖直方向的最大角度为,滑轮O到小球间轻绳长度为l,重力加速度为g,求:(1)小球摆到最低点的速度大小。(2)的大小。Mm【解析】(1
8、)小球下摆过程中只有重力做功,小球的机械能守恒,由机械能守恒定律得:mgl(1-cos)=mv2-0 解得:v=122g(1 cos)l(2)小球在最低点时,压力传感器的示数为0,则轻绳的 拉力大小F=Mg 对小球在最低点应用牛顿第二定律得:F-mg=解得:=3-2cos 答案:(1)(2)3-2cos 2vm lMm2g(1 cos)l考点3 对多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用【核心要素精讲】多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路:(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功,内力是否造成了机械能与其他形式能的转化,从而判断系统机械能是否守恒。(2)若系统机
9、械能守恒,则机械能从一个物体转移到另一个物体,E1=-E2,一个物体机械能增加,则一定有另一个物体机械能减少。【高考命题探究】【典例3】(2016江苏高考)如图所示,倾角为 的斜面A被固定在水平面上,细线的一端固定于墙面,另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连,B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平,右侧的细线与斜面平行,A、B的质量均为m,撤去固定A的装置后,A、B均做直线运动。不计一切摩擦,重力加速度为g。求:世纪金榜导学号42722112(1)A固定不动时,A对B支持力的大小N。(2)A滑动的位移为x时,B的位移大小s。(3)A滑动的位移为x时的速度大小vx。【思考探究】(1)A固定不动时,
10、B处于什么状态?提示:B处于平衡状态,满足平衡条件。(2)撤去固定A的装置后,两个物体均做直线运动,两个物体的运动图景如何?提示:两个物体的运动图景如图所示。(3)A、B两物体运动过程中,系统机械能是否守恒?提示:A、B两物体运动过程中,只有重力和系统内弹力做功,A、B组成的系统机械能守恒。【解析】(1)支持力的大小,N=mgcos(2)根据几何关系sx=x(1-cos),sy=xsin,且s2=解得s=x(3)B下降的高度sy=xsin 根据机械能守恒定律 22xyss2(1 cos)根据速度的定义得vA=则vB=解得vx=vA=。答案:(1)mgcos(2)(3)22yAB11mgsmvm
11、v22Bxsvtt，A2(1 cos)v，2gxsin32cos2(1 cos)x 2gxsin32cos【强化训练】1.(2017濮阳模拟)如图所示,把小车放在倾角为30的光滑斜面上,用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连,不计滑轮质量及摩擦,已知小车的质量为3m,小桶与沙子的总质量为m,小车从静止释放后,在小桶上升竖直高度为h的过程中()A.小桶处于失重状态 B.小桶的最大速度为 C.小车受绳的拉力等于mg D.小车的最大动能为mgh 1gh2【解析】选B。小桶能够由静止上升是由于小车对它的 拉力大于它自身的重力,小桶加速度向上,则小桶处于 超重状态,选项A错误;由于整个系统均在加速,当
12、小桶 上升至h高度时速度最大,对系统由机械能守恒定律得 3mghsin30-mgh=,解得vm=,选项B正确;由于小桶处于超重状态,绳对小桶的拉力与绳对小车的 拉力为相互作用力,大小相等,即FT=mg+ma,选项C错误;速度最大时的动能也最大,即Ekm=,选项 D错误。2m1 4mv2 gh22m133mvmgh282.如图所示,跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质 量相同的物体A和B,A套在光滑水平杆上,定滑轮离水平 杆的高度h=0.2m,开始时让连着A的细线与水平杆的夹 角 1=37,由静止释放B,当细线与水平杆的夹角 2=53时,A的速度为多大?在以后的运动过程中,A所获得 的最大速度为
13、多大?(设B不会碰到水平杆,sin37=0.6,sin53=0.8,g取10m/s2)【解析】A、B两物体组成的系统,只有动能和重力势能的转化,机械能守恒。设2=53时,A、B两物体的速度分别为vA、vB,B下降的高度为h1,则有:vAcos2=vB 代入数据解得:vA=1.1m/s 221AB11211mghmvmv22hhhsinsin其中 由于绳子的拉力对A做正功,使A加速,至左滑轮正下方 时速度最大,此时B的速度为零,此过程B下降高度设为 h2,则由机械能守恒定律得:代入数据解得:vAm=1.6m/s 答案:1.1m/s 1.6m/s 22Am211mghmv2hhhsin其中【加固训
14、练】(多选)如图所示,倾角为30、高为L的固定斜面底端与光滑水平面平滑相连,质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接,A球置于斜面顶端。现由静止释放A、B两球,B球与弧形挡板碰撞过程时间极短,无机械能损失,且碰后只能沿斜面下滑,两球最终均滑到水平面上。已知重力加速度为g,不计一切摩擦,则 ()A.A球刚滑至水平面时的速度大小为 B.B球刚滑至水平面时的速度大小为 C.在A球沿斜面下滑的过程中,轻绳对B球先做正功、后 不做功 D.两小球在水平面上不可能相撞 5gL26gL2【解析】选A、C。B球运动至斜面顶端的过程,两个小 球A、B系统机械能守恒,则3mg L-mgL=(3m+m
15、)v2,解得v=,此后绳中无张力。A球运动至水平面过程 对A由机械能守恒定律得3mg L=(3m)vA2-(3m)v2,解得vA=,故A正确;B球运动至水平面过程对B由 机械能守恒定律得mgL=mvB2-mv2,解得vB=,故B错误;B球在上升过程轻绳对B球做正功,二者一起 12121gL212125gL212123 gL212沿斜面下滑时,轻绳张力为零,不做功,故C正确;两个小球A、B运动到水平面上,由于后面的B球速度大于A球速度,所以小球A、B在水平面上会相撞,故D错误。考点4 含弹簧类机械能守恒问题 【核心要素精讲】解答含弹簧类机械能守恒问题“四点”注意:(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧
16、弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧机械能都不守恒。(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题,符合一般的运动学解题规律,同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。(3)弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量,而弹簧弹力做功与路径无关,只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。(4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体具有相同的速度;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)。【高考命题探究】【典例4】(多选)(2016全国卷)如图,小球 套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端
17、与小球相连。现将小球从M点由静止释 放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且ONMOMN 。在 小球从M点运动到N点的过程中 世纪金榜导学号 42722113()2A.弹力对小球先做正功后做负功 B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零 D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差【解析】选B、C、D。由于小球在M、N两点 处,弹簧对小球的弹力大小相等,且ONM OMN ,所以小球在M处弹簧处于压缩状 态,弹簧给小球压力;在N处弹簧处于拉伸状 态,弹簧给小球拉力。因为ONMOMN ,所以,小 球向下
18、运动过程中,弹簧先缩短再伸长,故弹力对小球 先做负功再做正功后做负功,选项A错误;弹簧的长度等 22于原长时小球所受的合力等于重力,弹簧处于水平时,小球在竖直方向上合力也等于重力,这两个时刻小球的 加速度等于重力加速度,选项B正确;弹簧长度最短时,弹力的方向垂直于杆,在弹力的方向上小球的速度为零,故弹力对小球做功的功率为零,选项C正确;因为小球在 M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,则小球在M、N两点处,弹簧的缩短量和伸长量相同,弹性势能也相同,弹簧对小球做的功为零,根据动能定理可知小球到达N 点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差,选项D正确。【强化训练】1.(2017铜仁模拟)如图所
19、示,在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上,球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时,小球被弹出,小球落地时的速度方向与水平方向成60角,则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10m/s2)()A.10J B.15J C.20J D.25J【解析】选A。由h=gt2得,t=s,则落地时 竖直方向上的分速度vy=gt=10 m/s,tan60=,解得v0=m/s,由机械能守恒定律得弹簧被压缩时具 有的弹性势能为物体所获得动能,即Ep=10J,故A 正确,B、C、D错误。122h3g10310y0vv10201 mv22.(2017孝感模拟)如图所示,竖直光滑杆固定不
20、动,弹簧下端固定,将滑块向下压缩弹簧至离地高度h=0.1m处,滑块与弹簧不拴接,现由静止释放滑块,通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h,并作出其Ek-h图象,其中高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线,其余部分为曲线,以地面为零势能面,g取10m/s2,由图象可知 ()A.轻弹簧原长为0.3m B.小滑块的质量为0.1kg C.弹簧最大弹性势能为0.5J D.小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.4J【解析】选C。在Ek-h图象中,图线的斜率表示滑块所 受的合外力,由于高度从0.2m上升到0.35m范围内图象 为直线,其余部分为曲线,说明滑块从0.2m上升到0.35m 范围内
21、所受作用力为恒力,所以从h=0.2m,滑块与弹簧 分离,故A错误;在从0.2m上升到0.35m范围内,图线的斜 率绝对值为k=mg=2N,解得m=0.2kg,故B错误;由机械能 守恒定律得,当滑块上升至最大高度时,增加的重力势 能即为弹簧最大弹性势能,即Epm=mg h=0.210(0.35-0.1)J=0.5J,故C正确;在滑块整个运动过程中,系统机械能守恒,其动能、重力势能和弹性势能之间相 互转化。系统总机械能E总=Epm=mghm=0.210 0.35J=0.7J。由图象可知,Ekm=0.32J时,小滑块的重力 势能与弹簧的弹性势能之和最小,其值为:E=Epm-Ekm=0.7J-0.32
22、J=0.38J,故D错误。【加固训练】(多选)如图,直立弹射装置的轻质弹簧顶端原来在O点,O与管口P的距离为2x0,现将一个重力为mg的钢珠置于弹簧顶端,再把弹簧压缩至M点,压缩量为x0。释放弹簧后钢珠被弹出,钢珠运动到P点时的动能为4mgx0,不计一切阻力,下列说法中正确的是()A.弹射过程,弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒 B.弹簧恢复原长时,弹簧的弹性势能全部转化为钢珠的动能 C.钢珠弹射所到达的最高点距管口P的距离为7x0 D.弹簧被压缩至M点时的弹性势能为7mgx0【解析】选A、D。弹射过程中,对弹簧和钢珠组成的系 统而言,只有重力和系统内弹力做功,故系统机械能守 恒,故A正确;弹簧恢
23、复原长时,弹簧的弹性势能一部分 转化为钢珠的动能,一部分转化为钢珠的重力势能,B错 误;钢珠由M到P的过程,弹簧的弹性势能转化为钢珠的 动能和重力势能,故弹簧被压缩至M点时的总弹性势能 为Ep=4mgx0+3mgx0=7mgx0,D正确;钢珠到达管口P点时动能为4mgx0,当钢珠达到最大高度时,动能为0,动能转化为重力势能,则上升的最大高度距离管口的距离h满足mgh=4mgx0,故上升的最大高度距离管口的距离h=4x0,C错误。考点5 机械能守恒中的轻杆模型 【核心要素精讲】解答轻杆连接类问题的“三点”注意:(1)通过轻杆连接的物体系统,轻杆对两个物体都施加力的作用,物体各自的机械能不守恒,但
24、轻杆只使机械能在物体间转移,并不把机械能转化为其他形式的能。(2)轻杆不可伸长和压缩,若轻杆绕某点转动时,轻杆上各点具有相同的角速度,各点的线速度不一定相等;若轻杆两端连接的物体沿接触面运动时,两物体沿杆方向的分速度大小相等。(3)轻杆对与其连接的物体的作用力属于变力,该力对物体做功一般用动能定理求解。【高考命题探究】【典例5】(多选)(2015全国卷)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g,则()世纪金榜导学号42722114 A.a落地前,轻杆对b一直
25、做正功 B.a落地时速度大小为 C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg 2gh【解析】选B、D。选b滑块为研究对象,b滑块的初速度 为零,当a滑块落地时,a滑块没有在水平方向上的分速 度,所以b滑块的末速度也为零,由此可得b滑块速度是 先增大再减小,当b滑块速度减小时,轻杆对b一直做负 功,A项错误;当a滑块落地时,b滑块的速度为零,由机械 能守恒定律,可得a落地时速度大小为 ,B项正确;当b滑块速度减小时,轻杆对a、b都表现为拉力,拉力在 2gh竖直方向上有分力与a的重力合成,其加速度大小大于g,C项错误;a的机械能先减小再增大
26、,当a的机械能最小时,轻杆对a、b的作用力均为零,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。【迁移训练】迁移1:轻杆绕固定转轴转动(多选)如图所示,在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间,用一根长为L的轻杆连接,两小球可绕穿过轻杆中心O的水平轴无摩擦转动。现让轻杆处于水平位置,然后无初速释放,重球b向下,轻球a向上,产生转动,在轻杆转至竖直位置的过程中()A.a球的重力势能增加,动能减少 B.b球的重力势能减少,动能增加 C.a球和b球的总机械能守恒 D.a球和b球的总机械能不守恒【解析】选B、C。a向上运动速度增大,高度增大,所以动能和重力势能都增大,故A错误;b向下运动速度增大,所以动能
27、增大,高度减小,所以重力势能减小,故B正确;a球和b球系统只有重力做功,机械能守恒,故C正确,D错误。迁移2:两物体通过轻绳连接跨过定滑轮(多选)如图所示,质量均为m的两个物体A和B,其中物体A置于光滑水平台上,物体B穿在光滑竖直杆上,杆与平台有一定的距离,A、B两物体通过不可伸长的细轻绳连接跨过台面边缘的光滑小定滑轮,细线保持与台面平行。现由静止释放两物体,当物体B下落h时,B物体的速度为2v,A物体的速度为v。关于此过程下列说法正确的是()A.该过程中B物体的机械能损失了 mgh B.该过程中绳对物体A做功为 mv2 C.物体A在水平面上滑动的距离为h D.该过程中绳对系统做功 mv2 1
28、51252【解析】选A、B。在图中的虚线对应的位置,将物体B的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解,如图所示:物体A、B沿着绳子的分速度相等,故sin=,解 得=30,该过程中A、B系统机械能守恒,则mgh=m(2v)2+mv2,物体B的机械能减少量为EB=mgh-m(2v)2,解得EB=mgh,故选项A正确;根据动能定 理,该过程中绳对物体A做功为WT=mv2-0=mv2,故选 项B正确;结合几何关系,物体A滑动的距离x=(2-)h,故C错误;由于绳子不可伸长,故不能 v12v2121212151212hsin 30 htan303储存弹性势能,绳子对两个物体做功的代数和等于弹性势能的变化
29、量,该过程中绳对系统做功为零,故选项D错误。迁移3:两物体通过轻杆连接绕光滑圆环转动(多选)如图所示,半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内,C是圆环最低点。两个质量均为m的小球A、B套在圆环上,用长为R的轻杆相连,轻杆从竖直位置静止释放,重力加速度为g,则()A.当轻杆水平时,A、B两球的总动能最大 B.A球或B球在运动过程中机械能守恒 C.A、B两球组成的系统机械能守恒 D.B球到达C点时的速度大小为 gR【解析】选A、C。A、B组成的系统只有重 力和系统内弹力做功,系统机械能守恒,在 杆从竖直状态到水平状态的过程中,系统 重力势能减少最大,A、B两球的总动能最大,故A、C正 确;A球和B球从
30、开始时的位置运动的过程中,除重力对 其做功外,杆的作用力对它们都做功,A球或B球的机械 能不守恒,故选项B错误;因为A与B一起沿圆周运动,它 们的相对位置保持不变,所以A与B具有相等的线速度;由于杆的长度也是R,所以当B运动到C点时,A球恰好运 动到B点,如图所示,A球下降的高度是R,B球下降的高度 h=Rcos60=0.5R,根据机械能守恒得mgR+0.5mgR=2mv2,解得v=,故选项D错误。121.5gR【加固训练】轻杆可绕其一端为轴自由转动,在杆的中点和另一端分别固定质量相同的小球A、B,如图所示,将杆从水平位置由静止释放,当杆转动到竖直位置时,小球B突然脱落,以下说法正确的是()A
31、.A球仍能摆到水平位置 B.A球不能摆到水平位置 C.两球下摆至竖直位置的过程中,A球的机械能守恒 D.两球下摆至竖直位置的过程中,B球的机械能减少【解析】选B。设杆长为2L,当杆转到竖直位置时,A球 和B球的速度分别为vA和vB。由系统机械能守恒可得:mgL+mg2L=,又因A球和B球在各个时刻对 应的角速度相同,故vB=2vA,由式得:vA=,vB=。根据动能定理,可解出杆对A、B做的功。对于A有:WA+mgL=-0,即WA=-0.4mgL,对于B有:WB+mg2L=-0,即WB=0.4mgL。由做功情况可知:A球的 22AB11mvmv226gL524gL52A1 mv22B1 mv2机械能减少,B球的机械能增大,小球B脱离,小球A不能摆到水平位置,选项B正确,A、C、D错误。