1、第三节 平面向量的数量积及应用举例【知识梳理】1.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零 向量a和b,作 =a，=b,则_就 是a与b的夹角 设 是a与b的 夹角,则 的 取值范围是_ _ =0或=180_ _,_ abOAOBAOB 0 180 a b=90 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为,则数量_叫做a与b的数量积,记作ab 投影 _叫做向量a在b方向上的投影,_叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos 3.数量积的性质 设a,b都是非零向
2、量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则 ea=ae=_.cos=.ab_.|a ba b|a|cos|a|b|4.数量积的运算律(1)交换律:ab=ba.(2)数乘结合律:(a)b=_=_.(3)分配律:a(b+c)=_.(ab)a(b)ab+ac5.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则 数量积ab=_模|a|=_夹角cos=向量垂直的 充要条件abab=0_2211xy121222221122x xy yxyxyx1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0【特别提醒】1.平面向量数量积的常用结论(1)a与b为两非零向量,则abab
3、=0.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa=|a|2或者|a|=,0a=0.a a2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2ab+b2.(3)(a-b)2=a2-2ab+b2.3.两个注意点(1)ab=0不能推出a=0或b=0.(2)ab=ac(a0)不能推出b=c.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修4P107例6改编)设a=(,1),b=(1,-),则向量a,b的夹角为()A.30 B.60 C.120 D.150 333【解析】选B.由题意,得|a|=2,|b|=ab=设向量
4、a与b的夹角为,则cos=因为0180,所以=60.3 112 31,3332 33.332 313.|22 323a ba b2.(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=()A.B.5 C.D.5555【解析】选D.由已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=.1555感悟考题 试一试 3.(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则 =()BD CD22223333A.a B.a C.a D.a
5、2442【解析】选D.由菱形ABCD的边长为a,ABC=60得 BCD=120,ABD=30,在BCD中,由余弦定理得 BD=a,所以 3233BD CDBD BA3a acos 303a aa.22 4.(2016枣庄模拟)平面向量a,b的夹角为60,a=(2,0),|a+2b|=2 ,则|b|=.3【解析】因为a=(2,0),所以|a|=2,把|a+2b|=2 两边平方可得a2+4ab+4b2=12,即|a|2+4|a|b|cos+4|b|2=12,代入数据可得22+42|b|+4|b|2=12,整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1.答案:1 3125.(2016临沂模拟)已知
6、向量|a|=1,|b|=2,a(a-b),则向量a与b的夹角大小是 .【解析】设向量a与b的夹角大小是,则由题意可得 a(a-b)=a2-ab=1-12cos=0,解得cos=,所以=.答案:1233考向一 平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2015四川高考)设四边形ABCD为平行 四边形,|=6,|=4.若点M,N满足 则 =()A.20 B.15 C.9 D.6 ABADBM3MC，DN2NC，AM NM(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.的最大值为 .DE DC【解题导引】(1)利用数量积的定义求解.要注意选择基底,进行向量的分解.(2)结合已知条件建系,利用坐
7、标求解.【规范解答】(1)选C.在平行四边形ABCD内,易得,所以 311AMABAD,NMABAD,434311AM NM(ABAD)(ABAD)434133(ABAD)(ABAD)344221913(AB)(AD)36161239.316316(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0),0t1,则D(0,1),C(1,1),=(t,-1),=(1,0),所以 =t1.答案:1 DEDCDE DC【一题多解】解答本题,还有以下解法:方法一:选取 作为基底,设 0t1,则 答案:1 AB,ADAEtAB，DE DC(tABAD)ABt1.方法二:设 则
8、1cosAED=|=|t|=|t|1.答案:1 AEtAB，DE DCDE AB|DE|AEAB【母题变式】1.在本例题(2)中,试求 的取值范围.【解析】由本例题(2)的规范解答知,=(t,-1),=(t-1,-1),t0,1,所以 =t(t-1)+1=t2-t+1=因为t0,1,所以 即 的取值范围为 DE CEDECEDE CE213(t)24，3DE CE1,4 DE CE3,1.42.本例题(2)中,当E是AB的中点时,试求 在 上的投影.【解析】方法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F,由投影的定义知,在 上的投影是 .DEDCDEDC12方法二:如图,向量 与 的夹角是EDC,所
9、以 在 上的投影是 DEDCDEDC1112DE cos EDC1.42114【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角 时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.【变式训练】(2015全国卷)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.由题意可得a2=2,ab=-3,所以(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1.【加固训练】1.(2016长沙模拟)已知向量a=(1,2),ab=5,|a-b
10、|=2 ,则|b|等于()A.B.2 C.5 D.25 555【解析】选C.由a=(1,2),可得a2=|a|2=12+22=5.因为|a-b|=2 ,所以a2-2ab+b2=20,所以5-25+b2=20,所以b2=25,所以|b|=5.52.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.3.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影为()ABCD3 23 153 23 15A.B.C.D.22
11、22【解析】选A.=(2,1),=(5,5),由定义知 在 方向上的投影为 ABCDABCDAB CD153 2.25 2CD4.(2016湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a,=b,=c,则ab+bc+ca=.ABBCCA【解析】如图,得a与b,b与c,c与a的夹角都是120,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=11cos120+11cos120+11cos120 答案:-13()3.22 32考向二 平面向量的夹角及模【考情快递】命题方向命题视角平面向量的夹角主要考查利用平面向量数量积公式的变形求平面向量的夹角,属中档题平面向量的垂直问题主要考查向量垂直其数量积为0,由此
12、列方程求参数的值,属容易题平面向量的模 以求平面向量的模或求模的最值为载体考查平面向量的数量积,属中档题【考题例析】命题方向1:平面向量的夹角【典例2】(2015重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|，且(a-b)(3a+2b)，则a与b的夹角为()(真题溯源:本题源自A版必修4P108A组T7)25A.B.C.D.32362 23【解题导引】根据垂直条件列式求解,注意模的关系的利用.【规范解答】选A.设a与b的夹角为，|a|=|b|，因为(a-b)(3a+2b)，所以(a-b)(3a+2b)=3|a|2-2|b|2-ab解得cos=，因为0,，所以=.2 2322282 22cos 0
13、,33bbb224命题方向2:平面向量的垂直问题【典例3】(2015福建高考)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb,若bc,则实数k的值等于()(真题溯源:本题源自A版必修4P119A组T12)3553A.B.C.D.2332【解题导引】由向量垂直,其数量积为0列方程求解.【规范解答】选A.c=a+kb=(1+k,2+k),因为bc,所以bc=0,即1+k+2+k=0k=3.2命题方向3:平面向量的模【典例4】(2015湖南高考)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9|PAPBPC|【解题导引】
14、根据已知条件知A与C关于原点对称,由此设各点的坐标,建立函数关系求解.【规范解答】选B.由题意得,AC为圆的直径,故可设A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),则x-1,1 所以 =(x-6,y),而(x-6)2+y2=37-12x49,所以 的最大值为7.|PAPBPC|PAPBPC【一题多解】解答本题,还有以下解法:方法一:选B.数形结合,利用向量加法的几何意义求解.如图,由题意知,AC为圆的直径,即O是AC的中点,所以 PAPC2PO,|PAPBPC|2POPB|2|PO|PB|.当P,O,B三点共线时取等号,即当B在点(-1,0)处时,|取得最大值,此时|=2,|=3,|4+3=
15、7.即|的最大值为7.PAPBPCPOPBPAPBPCPAPBPC方法二:选B.数形结合.利用向量的线性运算及数量积求解.由方法一中的图形可知,所以 设向量 与 的夹角为,因为 PAPC2PO,PBPOOB,|PAPBPC|2POPOOB|3POOB|.|PO|2,|OB|1,POOB所以 当且仅当=0,即B在点(-1,0)处时,“=”成立,所以|的最大值为7.2|3POOB|(3POOB)9 4 1 6PO OB 376 2 1 cos 37 12cos 37 127,PAPBPC【技法感悟】1.平面向量夹角的求法 若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos=(夹角公式),所以平面
16、向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.|a ba b2.平面向量垂直问题的解题思路 解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab=0求解.3.平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可直接 利用|a|=(2)若向量a,b是非坐标形式出现的,求向量a的模可应 用公式|a|2=a2=aa,或|ab|2=(ab)2=a22ab+b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.22xy.【题组通关】1.(2014山东高考)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m=()36A.2 3 B.3 C.0 D.3【解析】选B.ab=3+m,ab
17、=|a|b|cos=所以 所以m=.3232 9m2，233m39m,32.(2014湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原 点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|的取值范围是()A.4,6 B.C.2 ,2 D.3CDOAOBOD191,19171,7137【解析】选D.方法一:|OAOBOD|(OAOBOC)CD|OAOBOC|CD|71,|OAOBOC|CD|71|(OAOBOC)CD|OAOBOD.方法二:设D(x,y),则 =(x-3,y),所以 即(x-3)2+y2=1.因为 =(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以 CD22|CD|
18、(x3)y1,OAOBOD3322|OAOBOD|(x 1)(y3)点D(x,y)是以M(3,0)为圆心1为半径的圆上的点,式子 的几何意义是点D(x,y)到N(1,-)的距离.因为|MN|=所以 即 22(x 1)(y3)322(3 1)(03)7,2271(x 1)(y3)71,71|OAOBOD|71.3.(2015安徽高考)ABC是边长为2的等边三角形,已 知向量a,b满足 =2a,=2a+b,则下列结论正确的 是()A.|b|=1 B.abC.ab=1 D.(4a+b)ABACBC【解析】选D.因为 =(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故A错误;由于 =2a(2a+b)=4|a
19、|2+2ab=22 =2,所以2ab=2-4|a|2=-2,所以ab=-1,故B,C错误;BCACABAB AC12又因为(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=412 +4=0,所以(4a+b),故D正确.BC1()2BC4.(2015上海高考)已知平面向量a,b,c满足ab,且|a|,|b|,|c|=1,2,3,则|a+b+c|的最大值是 .【解析】分类讨论:因为ab且|a|,|b|,|c|=1,2,3.当|c|=1时,|a+b|=|a+b+c|a+b|+|c|=当|c|=2时,|a+b|=|a+b+c|a+b|+|c|=4913,131;1 910,102;当|c|=3时,|a+
20、b|=|a+b+c|a+b|+|c|=又 所以|a+b+c|max=答案:145,53;13110253,53.53考向三 平面向量与三角函数的综合问题【典例5】(1)(2016德州模拟)在ABC中,(cos18,sin18),=(2cos63,2cos27),则三 角形的面积为()AB BC223A.B.C.D.2422(2)(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向 量m=n=(sinx,cosx),x 若mn,求tanx的值;若m与n的夹角为 ,求x的值.22(),22，(0).2，3【解题导引】(1)运用向量的数量积的坐标表示和定义,结合同角公式和诱导公式、两角和的正弦公式,
21、即可得到cosB,sinB,再由三角形的面积公式,即可得到所求值.(2)根据平面向量数量积的坐标运算列式求解;根据平面向量数量积的定义和坐标运算求解.【规范解答】(1)选B.由于 =(cos18,sin18),=(2cos63,2cos27),则 =2cos18cos63+2sin18cos27=2(cos18sin27+sin18cos27)=2sin45=ABBC22|AB|cos 18sin 181,2222|BC|4cos 634cos 274(sin 27cos 27)2,AB BC222,2 cos(-B)=-12cosB=-2cosB,即有cosB=-,sinB=,则三角形ABC
22、的面积S=AB BC|AB|BC|22221122|AB|BC|sin B1 2.2222 (2)因为m=n=(sinx,cosx)且mn,所以mn=(sinx,cosx)=sinx-cosx=sin(x-)=0,又x 所以 所以x-=0即x=,所以tanx=tan =1.22(,),2222(,)2222224(0,)2，x(,)44 4 444由及题意知 所以 又x-所以x-,所以x=cos 3|m nmn2222sin(x)4sin(x),422()()sin xcos x22 1sin(x),42(,),44 4 465.12【规律方法】求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路(1)求
23、三角函数值,一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解.(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角.(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.【变式训练】已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),0 .(1)若|a-b|=,求证:ab.(2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.2【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故ab.
24、(2)因为a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以 由此得,cos=cos(-),由0,得0-,又0,所以=,=.cos cos 0,sin sin 1,12566【加固训练】1.(2016汕头模拟)若向量a=(,sin),b=(cos,),且ab,则锐角 的大小是 .【解析】因为ab,所以 -sin cos=0,所以sin2=1,又 为锐角,故=.答案:32133123442.(2016汾阳模拟)设a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0 )是平面上两个向量,若 ab=,且tan=,则tan=.24543【解析】ab=coscos+sinsin=cos(-)=因
25、为0 ,所以-0,所以sin(-)=-,tan(-)=-.所以tan=tan(-)+=所以tan=.答案:4,5223534tan()tan1tan()tan 34743.34241()43 7247243.(2016济南模拟)设函数f(x)=mn,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,sin2x),xR.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间.(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f(A)=2,b=1,ABC的面积为 ,求ABC外接圆半径R.332【解析】(1)由题意得f(x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+)+1
26、.所以,函数f(x)的最小正周期为T=,由 +2k2x+2k,kZ得 函数f(x)的单调递减区间是 +k,+k,kZ.3623266323(2)因为f(A)=2,所以2sin(2A+)+1=2,解得A=又因为ABC的面积为 ,b=1.得 bcsinA=,所以 c=2.再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,解得a=,所以c2=a2+b2,即ABC为直角三角形.所以R=1.6,33212323c2考向四 平面向量在平面几何、解析几何中的应用【典例6】(1)如图,半圆的直径AB=6,O为 圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则 的最小值为()A.B.9 C.-D.
27、-9(PAPB)PC9292(2)已知直线x+y=a与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是原 点,C是圆上一点,若 ,则a的值为()A.1 B.C.D.2 OAOBOC23【解题导引】(1)根据图形知:O是线段AB的中点,所以 ,再根据向量的数量积运算分析方向与大小即可求出.(2)由A,B,C均在圆上可得 结合 利用平方法,可得AOB=120,则圆心O到 直线AB的距离d=cos60,再由点到直线的距离公 式,可得a的方程,解得答案.PAPB2PO|OA|OB|OC|2,OAOBOC2【规范解答】(1)选C.因为圆心O是直径AB的中点,所以 所以 因为 与 共线且方向相反,所以当大小相等时数量
28、积最小.由条件知当PO=PC=时,最小值为 PAPB2PO，(PAPB)PC2PO PC，POPC323392.222 (2)选A.因为A,B,C均为圆x2+y2=2上的点,故 因为 所以 即 即4+4cosAOB=2,故AOB=120.|OA|OB|OC|2,OAOBOC,22(OAOB)OC,222OA2OA OBOBOC,则圆心O到直线AB的距离 即|a|=1,即a=1.a2d2 cos 60,22【规律方法】向量与几何综合问题的解法(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法 适当选
29、取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.【变式训练】已知F1,F2分别为双曲线 =1的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,O为坐标原点.若向量 与 的夹角为60,则点F2到直线PF1的距 离为()22yx62(OPOF)2F PA.3 B.7 C.2 3 D.21【解析】选C.取PF2的中点M,连接OM,如图,则 2OPOF2OM，故=60,则OMF2=60.因为O为F1F2的中点,所以OMPF1,所以F1PF2=OMF2=60.在F1PF2中,设PF1=m,PF2=n,因为双曲线的方程为 =1,则F1F2=2 ,2OM,F P22yx67所以 解得 过
30、点F2作F2NPF1于点N,在RtPF2N中,F2N=PF2sin60=4 22mn2,mnmn28,m6,n4.32 3.2【加固训练】1.已知圆O:x2+y2=4上有三个不同的点P,A,B,且满足 (其中x0),则实数x的取值范围是()A.(0,1)B.1,3 C.D.1APxOBOA21 3(,)2 23 5,2 2【解析】选C.因为 所以 所以 两边平方得4x2=4+1-设 与 的夹角为,则4x2=5-4cos,因为-1cos1,1APxOBOA,21OPOAxOBOA,21xOBOPOA,2OP OA,OPOA所以15-4cos9,所以14x20,所以 13x.222.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,若 则 =()ADDC,1AEEB,21BD AC,2 CE AB4433A.B.C.D.3322【解析】选A.D是AC的中点 所以cosABC=,ADDC1BD(BABC),211BD AC(BABC)(BCBA)22 2221BCBA1BA5BA5,2 15CE AB(BEBC)AB2(BABC)(BA)322BC BABA3121042552.3335