1、第2课时 二元一次不等式组表示的 平面区域 必备知识自主学习 1.二元一次不等式组的有关概念(1)定义:由几个_组成的不等式组.(2)解集:所有满足二元一次不等式组的x和y的取值构成的_构 成的集合.2.二元一次不等式组表示的平面区域 各个不等式表示的平面区域的_,即各个不等式表示的平面区域的公共部 分.导思 1.上一节学习了二元一次不等式,那么什么是二元一次不等式组?2.二元一次不等式组表示的平面区域如何表示?如何确定?二元一次不等式 有序数对(x,y)交集 思考 二元一次不等式组的解与所表示的平面区域内的点的关系是什么?提示:以不等式组的解为坐标的点都在平面区域内;平面区域内点的坐标都是不
2、等式组的解.不等式组的解与区域内的点一一对应.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)二元一次不等式组中的不等式必须是二元一次不等式.()(2)二元一次不等式组表示的平面区域都是封闭的区域.()(3)点(1,1)不在不等式(x+y-1)(x+y+1)0表示的区域内.()提示:(1).也可以有一元一次不等式.(2).也可以是半封闭的区域.(3).因为(1+1-1)(1+1+1)0成立,故点在不等式表示的区域内.2.下面给出的四个点中,位于 表示的平面区域内的点是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)【解析】选C.验证法,把四个点分别代入不等式组进行验证
3、知,只有(0,-2)在平 面区域内.xy 10,xy 10 3.(教材二次开发:例题改编)不等式组 ,表示的平面区域是()【解析】选B.因为不等式组 ,可以取(0,0),在不等式的区域内,故A、C、D错误;B正确.xy 10 x1 xy 10 x1 关键能力合作学习 类型一 二元一次不等式组表示的平面区域(数学抽象、数学建模)【题组训练】1.不等式组 表示的平面区域为()y3x12,x2y 【解析】选B.因为不等式x2y,表示直线x=2y的上半部分.y3表示直线x-2y-3=0右下方的区域.不等式x+2y0表示直线x+2y=0及右上方的区域.所以不等式组表示的平面区域如图所示.(2)不等式x-
4、y-10表示直线x-y-1=0左上方的平面区域.画出直线2x-y-3=0(实 线),不等式2x-y-30表示直线2x-y-3=0及右下方的平面区域.所以不等式组 表示的平面区域是如图所示的阴影部分.xy 10,2xy30 【解题策略】画平面区域的三步骤(1)画线画出不等式对应的方程所表示的直线;(2)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律,确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;(3)求“交”如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.【补偿训练】1.不等式组
5、表示的平面区域是()【解析】选B.x-2y+40表示在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+20,表示在 直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为B.x2y40,xy20 2.画出不等式组 表示的平面区域.【解析】不等式x-y2表示直线x-y=2左上方的区域;不等式2x+y1表示直线2x+y=1及其右上方的区域;不等式x+y”,否则为“0、2x-3y-60、2x+3y-120,注意到包括各边界,故题图中阴影部分所示平面区域的不等式组 是 答案:2x3y 120,2x3y60,3x2y602x3y 120,2x3y60,3x2y60.类型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用(逻辑推理、数
6、学运算)角度1 求平面区域的面积【典例】不等式组 所表示的平面区域的面积为()yx2,yx1,y0 111A.1 B.C.D.234【思路导引】画出约束条件表示的可行域,求出交点坐标,然后求出可行域的面积.【解析】选D.作出不等式组 所表示的平面区域,如图所示的三角形 ABC,由题意可得C(1,0),B(2,0),由 可得A ,SABC=.yx2,yx1,y0 yx2,yx1 3 1(,)2 21111=224【变式探究】1.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示区域的面积.x2y 10,2xy50,yx2 【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域 由 得A(1,3).
7、同理得B(-1,1),C(3,-1).所以|AC|=,而点B到直线2x+y-5=0的距离为d=,所以SABC=|AC|d=2 =6.xy2=0,2xy5=0,222(4)=2 5|2 1 5|6=55 12126552.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示的平面区域的面 积.y2,xyx1【解析】可将原不等式组分解成如下两个不等式组:或 上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,所围成的面积S=42-21=3.x0,yx,yx1,y2,x0,yx,yx1,y2.1212角度2 二元一次不等式组表示的平面区域与参数 【典例】若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围 是()A.
8、a B.0a1 C.1a D.0a1或a xy0,2xy2,y0,xya 434343【思路导引】先画出不含参数a的不等式组 的平面区域,再依据直线 x+y=a的平移确定参数a的取值范围.xy0,2xy2,y0【解析】选D.不等式组 表示的平面区域如图所示(阴影部分).由 得A ;由 得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是00表示直线x=0右方的所有点的集合;y0表示直线y=0上方的所有点的集合,故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.(2)如图(1)所示,不等式组表示的平面区域为直角三角形,其面积 S=43=6.(3)当x=1时,代入4x+
9、3y12,得y ,所以整点为(1,2),(1,1).当x=2时,代入4x+3y12,得y ,所以整点为(2,1).所以区域内整点共有3个,其坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1).如图(2).124383【补偿训练】1.设x,y满足 则平面区域中的整点的个数为 .x0,xy70,x3y10,【解析】不等式组 表示的平面区域如图中的阴影部分,由 得 所以A(5,2),当x=0时,整点个数有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),共7个;x0,xy70,x3y 10 x=5,y=2.xy7=0,x3y 1=0,当x=1时,整点个数有(1,1),(1
10、,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6个;当x=2时,整点个数有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),共5个;当x=3时,整点个数有(3,2),(3,3),(3,4),共3个;当x=4时,整点个数有(4,2),(4,3),共2个;当x=5时,整点有(5,2),共1个,所以共有7+6+5+3+2+1=24(个).答案:24 2.设不等式组 表示的平面区域为D,若指数函数y=ax(a0且a1)的 图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是 .xy 110,3xy30,5x3y90【解析】画出不等式组 所表示的平面区域D,如图中阴影部分所示.由 解得 所以A
11、(2,9),当指数函数y=ax的图象经过点A(2,9)时,9=a2,又a0且a1,所以a=3.xy 110,3xy30,5x3y90 x=2,y=9.3xy3=0,xy 11=0,由图象可知,若指数函数y=ax(a0且a1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(1,3.答案:(1,3 3.向量 =(1,0),=(1,1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足 则 点Q(x+y,y)构成图形的面积为 .OAOB0OP OA1,0OP OB2,【解析】因为动点P(x,y),所以 =(x,y),则 =x,=x+y,因为 所以 设点Q(x+y,y)的坐标为(a,b),则满足 即 所以 OAOB0O
12、P OA1,0OP OB2,OPOPOP0 x1,0 xy2,0ab1,0a2,axy,by,xya,xab,yb,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):则A(0,-1),C(2,1),D(2,2),则阴影部分的面积为12=2.答案:2 4.某工艺厂有铜丝5万米,铁丝9万米,准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售,已知一只花篮需要用铜丝200米,铁丝300米;编制一只花盆需要铜丝100米,铁丝300米,该厂准备用这些原料编制x个花篮,y个花盆.试列出x,y满足的关系式,并画出相应的平面区域.【解析】由已知,得x,y满足的关系式为 即 ,该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分中的整
13、点所示:200 x100y50 000,300 x300y90 0002xy500 xy300 x,yN 课堂检测素养达标 1.设不等式组 所表示的平面区域是W,则下列各点在区域W内的是()x1,y0,xy0 111 1A.(,)B.(,)232 3111 1C.(,)D.(,)232 3【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A、不满足y0,不符合题意;对于B、不满足x-y0,不符合题意;对于C、不满足y0,不符合题意;对于D、,有x=,y=,满足 ,符合题意.11(,)231 1(,)2 31 1(,)2 311(,)231213x1y0 xy0 2.(教材二次开发:习题改编)不等式组
14、所表示的平面区域大致为哪 一个()x2y40 xy 10 【解析】选C.根据题意,不等式组 中,x+2y+40表示直线x+2y+4=0 及直线下方的区域,x-y+10表示直线x-y+1=0及直线上方的区域,则不等式组 所表示的平面区域为直线x+2y+4=0及直线下方和直线 x-y+1=0及直线上方的区域,分析可得,C符合.x2y40 xy 10 x2y40 xy 10 3.不等式组 表示的区域为D,已知P1(0,-2),P2(0,0),则()A.P1D,P2D B.P1D,P2D C.P1D,P2D D.P1D,P2D yxxy1y3 【解析】选C.根据题意,将P1(0,-2)代入不等式组 中
15、,分析可得三个不等式都成立,则P1D,将P2(0,0)代入不等式组 中,其不满足第一个不等式yx,则 P2D.yxxy1y3 yxxy1y3 4.已知实数x,y满足不等式组 ,则该不等式组表示的平面区域的面 积为 .2xy20 xy2y0 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图 则A(0,2),B(-1,0),C(2,0),则三角形ABC的面积S=32=3.答案:3 125.画出不等式组 所表示的平面区域,并求其面积.xy 10,xy 10,xy 10,xy 10 【解析】如图所示,图中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域.由于x-y-1=0与x-y+1=0互相平行,且两条直线间的距离d1=,
16、同理得x+y+1=0与x+y-1=0互相平行,两条平行线间的距离d2=,又直线l1:x+y+1=0的斜率为k1=-1,直线l2:x-y+1=0的斜率为k2=1,k1k2=-1,所以l1l2,所以阴影部分为正方形.故S阴影=2.22|1(1)|=21(1)222【新情境新思维】不等式组 的解集记为D,若对任意(x,y)D,则()A.x+2y-2 B.x+2y2 C.x-2y-2 D.x-2y2 xy1,x2y4【解析】选A.作出不等式组所表示的图象知A正确.课时素养评价 二十一 二元一次不等式组表示的平面区域 【基础通关】(20分钟 35分)1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0表示的区域为
17、()【解析】选C.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0等价于 或 ,因为(0,0)满足;(0,4)满足,所以不等式(x-2y+1)(x+y-3)0表示的区域为 .x2y 10 xy30 x2y 10 xy30 2.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为()2xy02xy02xy02xy0A.xy3 B.xy3 C.xy3 D.xy3y1y1y1y1【解析】选B.由题图易知平面区域在直线2x-y=0的右下方,在直线x+y=3的左下方,在直线y=1的上方.3.不等式组 表示的平面区域是()A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形【解析】选D.原不等式组化为:或 ,画出它们表示的平面 区域,
18、如图所示是一个等腰梯形.(xy5)(xy)00 x3 xy50 xy00 x3 xy50 xy00 x3 4.若x,y满足约束条件 则围成区域的面积为()【解析】选C.画出约束条件 表示的平面区域,如图所示.则不等式组表示的平面区域面积为S=11=.x1,y2,yx,111A.B.C.D.1842x1,y2,yx12125.已知A(-2,-2),B(0,2),C(2,0),则表示ABC内部区域(含边界)的不等式组 为 .【解析】AC对应的方程为 ,得x-2y-2=0;BC对应的方程为 =1,得x+y-2=0;AB对应的方程为 ,得2x-y+2=0;画出图形,如图所示;则平面区域满足x-2y-2
19、0,且2x-y+20,x+y-20,所以对应不等式组为 答案:y0 x2=2022 xy22y2x2=2202x2y20,2xy20,xy20 x2y20,2xy20,xy20.【补偿训练】若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,当y=a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形,即ABC,当5a7时,表示的平面区域为三角形,综上,当5a0表示的平面区域(用阴影表示)为()【解析】选B.不等式组等价为 或 则对应区域为选项B.yx,yx2 ;yx,yx2 3.不等式组 表示的平面区域内整点的个数是()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
20、【解析】选C.画出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分类代入检验,符合要求的 点有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0)共6个.4x3y12,xy1,y0 4.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为23,请木工需付工资每人50元,请 瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,请写出工 人数的限制条件是()【解析】选C.由题意50 x+40y2 000,即5x+4y200,x,yN*.50 x40y2 0002x3y5x,A.B.x2yN*y35x4y2005x6y100 x2C.x,D.x2y3y3yN*x2y35.已知D是
21、由不等式组 所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧 长为()【解析】选D.不等式组表示的区域D如图所示,圆x2+y2=4在区域D内的部分为 个圆.所以对应弧长为 2r=22=.xy0,xy0 3A.B.C.D.4241414146.ABC的三个顶点坐标为A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则ABC的内部及边界所 对应的二元一次不等式组是 .【解析】如图.直线AB的方程为x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出).直线AC的方程为2x+y-5=0,直线BC的方程为x-y+2=0,把(0,0)代入2x+y-5=-50,所以AC左下方的区域为2x+y-50.所以同理可得ABC区
22、域(含边界)为 答案:x2y 10,xy20,2xy50 x2y 10,xy20,2xy50.7.已知不等式组 表示的平面区域为D,则点(0,1)D,若直线 y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是 .xy 10,xy 10,3xy30 【解析】区域D如图中的阴影部分所示,则(0,1)D,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.由方程组 解得A(1,0).由方程组 解得B(2,3).所以AB的中点坐标为 ,代入直线方程y=kx+1得,=k+1,解得k=.答案:xy 10,3xy30,xy 10,3x
23、y30,3 3(,)2 232321313【补偿训练】已知点M(a,2a-1)在不等式组 所确定的平面区域之外,则a的取值范围是 .xy0,xy0,x4【解析】不等式组所表示的平面区域如图:根据题意可得若点M(a,2a-1)在平面区域之内,则 解得:a1;所以若点M在平面区域之外,则答案相反.答案:(1,+)0a4,a2a1a,131(,)38.若由不等式组 (n0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的 外接圆的圆心在x轴上,则实数m=.【解析】由题可知三角形为直角三角形,斜边为x轴所在的边,故直线x-my-n=0 与x-y=0互相垂直,由11+m=0,得m=-.答案:-xmyn0,x3y0,
24、y0(n0)333333三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知实数x,y满足 ,记点(x,y)所对应的平面区域为D.(1)在平面直角坐标系xOy中画出区域D(用阴影部分标出),并求区域D的面积S;(2)试判断点 是否在区域D内,并说明理由.xy 10 xy50 x5y50 3(4,)5【解析】(1)如图:由 A(2,3),所以S=6(3-1)=6;(2)点 在区域D内,因为 ,所以点 在区域D内.xy 10 xy50 123(4,)53224105532450553455205 3(4,)5【补偿训练】不等式组 表示的平面区域记为C.(1)画出平面区域C,并求出C包含的整点个数;(2)求
25、平面区域C的面积.2xy20,x2y40,3xy30【解析】(1)不等式组对应的平面区域如图:由图象可知平面区域C包含的整点个数为(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,3),共 5个.(2)平面区域C的面积为梯形OABD的面积减去OAE和BED的面积,即S=2-12-13=5-1-=4-=.232121252323210.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨,列出x,y
26、满足的关系式,并画出相应的平面区域.【解析】x,y满足的关系式为 ,作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),2xy300 x2y250 x0y0 【补偿训练】某校食堂基本以面食和米食为主,面食每百克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元;米食每百克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元.学校要求给学生配制成盒饭,每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围对应平面区域.【解析】设每份盒饭中面食为x百克,米食为y百克,则由题意得:作出不等式组所表示的平面区域如图.6x3y8,4x7y10,x0,y0.【创新迁移】1.若
27、不等式组 表示一个三角形内部的区域,则实数a的取值范围是()xy0,3xy3,xya 33A.(,)B.(,)4433C.(,)D.(,)22【解析】选C.不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由 解得 所以A ,将x+y=a变形为y=-x+a,得到斜率为-1,在y轴上的截距为a的一组平行直线,当直线x+y=a经过点A时,a=,由图可知,若不等式组 表示一个三角形内部的区域,直线x+y=a在y轴上的截距a .所以实数a的取值范围是 .xy0,3xy33x=,43y=.4xy=0,3xy=3,3 3(,)4 4333=442xy0,3xy3,xya 323(,)22.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两 部分,则k的值是()x0,x3y4,3xy4 437343A.B.C.D.3734【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+过定点 .因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点M .当y=kx+过点 时,所以k=.434(0,)3431 5(,)2 2431 5(,)2 25k4=22373