1、2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 必备知识自主学习 1.数列的前n项和(1)定义:对于数列an,一般地,我们称_为数列an的前n项和.(2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=_.导思 1.数列前n项和的定义是什么?2.等差数列前n项和公式是什么?a1+a2+a3+an a1+a2+a3+an 思考 由Sn=a1+a2+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之间是什么关系?提示:S1=a1,当n2时,an=Sn-Sn-1.2.等差数列前n项和公式(1)两个公式及应用条件.公式结构适用条件公式一 Sn=_ 知首项、末项、项数公式二 Sn=_ 知首项、公差、项数1nn(aa)2
2、1n(n1)nad2(2)应用:求等差数列的前n项和;为求复杂数列的前n项和奠定基础;解决实际问题.思考 对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有 什么特点?提示:公式二可变形为Sn=n2+n,当d0时可以看作不含常数项的关于 n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此 数列是等差数列.d212(a)d【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是nN*.()(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.()(3)若数列an的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S
3、2.()(4)1+3+5+7+9=.()9(1 9)2提示:(1).n1且nN*.(2).等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=的特征,可用倒序相加法.(3).由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4).1+3+5+7+9=.5(1 9)22.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列an满足a1=1,n=50,d=2,则其前n项和Sn等于()A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500【解析】选D.S50=501+2=2 500.50 4923.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an的前8项和为()A.128 B.80 C.64 D.56【解析
4、】选C.设数列an的前n项和为Sn,则S8=64.188(aa)2278(aa)283132（）关键能力合作学习 类型一 有关等差数列的前n项和的计算(数学运算)【典例】1.(2020全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.2.根据下列条件,求相应等差数列an的有关未知数:(1)a1=1,a3+a5=14,Sn=100,求d及n;(2)S8=48,S12=168,求a1和d.【思路导引】1.根据等差数列的通项公式,解方程,求出首项和公差,然后用等差数列的前n项和公式计算;2.(1)先由a1=1,a3+a5=14,求公差,再根据Sn=100求n;(2)列
5、方程组求首项和公差.【解析】1.设等差数列an的公差为d.因为an是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+(-2)+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,nN*,可得:S10=10(-2)+=-20+45=25,所以S10=25.n(n1)21010 12（）答案:25 2.(1)a1=1,a3+a5=2a1+6d=14,所以d=2,所以Sn=n+2=100.所以n=10.(2)在等差数列an中,S8=8a1+87d=48,所以2a1+7d=12,S12
6、=12a1+1211d=168,所以2a1+11d=28,解方程组 得a1=-8,d=4.n(n1)21212112a7d122a11d28，【解题策略】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧 类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意利用等差数列的性质简化计算;注意已知与未知条件的联系;有时运用整体代换的思想【跟踪训练】1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ()A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
7、 12【解析】选A.由题知,解得 所以an=2n-5,故选A.114 34ad02a4d5g，1a3d2 ，2.已知等差数列an中,(1)a1=,S4=20,求S6.(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.123212【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为Sn=n +=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)=-4.4(4 1)26(6 1)2n(n1)21()2321()2(
8、3)由Sn=-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.1nn(aa)2n(5121)2【补偿训练】在等差数列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.【解析】(1)方法一:由已知条件得 解得 所以S10=10a1+=103+4=210.112a13d582a11d50，1a3d4.，1010 1 d2（）10 92方法二:由已知条件得 所以a1+a10=42,所以S10=542=210.(2)S7=7a4=42,所以a4=6.所以Sn=510.所以n=
9、20.110110(aa)4d58(aa)2d50，11010 aa2（）177(aa)21nn(aa)24n3n(aa)2n(645)2类型二 等差数列前n项和的性质(数学运算、逻辑推理)角度1 关于通项公式的性质的应用 【典例】(2020汕尾高二检测)记等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若 ,则 =.【思路导引】结合等差数列的性质,寻找a12,a1+a23,S23三者之间的联系.nnS3n8T4n71212ab【解析】因为 ,则 =.答案:nnS3n8T4n71212ab12122a2b6199123123aabb2323ST3 23 84 2376199【变式探究】将本例条件
10、“”改为“”,求 +的值.3n84n77nn310912abb11813abb【解析】因为数列an和bn都是等差数列,所以 .101011120201191281391212020aaaaaSa7 20140bbbbbbbbT20323角度2 有关奇数项和、偶数项和的问题 【典例】在项数为2n+1的等差数列an中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的 和为150,则n等于()A.9 B.10 C.11 D.12【思路导引】综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出 与n的关系.SS偶奇【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以 =,所以n
11、=10.12n1n 1(aa)2（）22nn(aa)2SS偶奇nn11501651011角度3 构造新等差数列 【典例】已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.【思路导引】方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列 解答;方法二:依据数列 是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.Snn【解析】方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10100+d=10,所以d=-22,所以前11项
12、的和S110=11100+d=11100+(-22)=-110.方法二:设等差数列an的公差为d,则 =(n-1)+a1,所以数列 成等差数列.10 9211 10211 102nSnd2Snn所以 ,即 ,所以S110=-110.10010110100SSSS10010110100100 10110 100110S101001010010110100100 1010方法三:设等差数列an的公差为d,S110=a1+a2+a10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10=d
13、-d=10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.100 992100 92【解题策略】等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则 =.(3)若等差数列an的前n项和为Sn,则数列 是等差数列,且首项为a1,公差 为 .nnab2n 12n 1SSd2Snn(4)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列,公差为d.若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;=;若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;=SS偶
14、奇nn1SS偶奇nna1a(5)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(6)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.1.在等差数列an中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若 -=5,则S2 020=()A.0 B.2 018 C.-2 019 D.2 020 15S1510S10【解析】选D.在等差数列an中,其前n项和为Sn,所以数列 是等差数列,设其公差为d,则5d=-,所以d=1,又a1=-2 018,所以 =+2 019 1=1,所以S2 020=2 020.Snn15S1510S102020S20201S12.设Sn是等差数列an
15、的前n项和,若 =,则 等于()A.B.C.D.48SS13816SS310131918【解析】选A.设S4=m(m0),则S8=3m,所以S8-S4=2m,由等差数列的性质知,S12-S8=3m,S16-S12=4m,所以S16=10m,故 =.816SS3103.(1)一个等差数列共2 019项,求它的奇数项和与偶数项和之比.(2)一个等差数列前20项和为75,其中的奇数项和与偶数项和之比为12,求公差d.【解析】(1)等差数列an共有1 010个奇数项,1 009个偶数项,所以S奇=,S偶=.因为a1+a2 019=a2+a2 018,所以 =.(2)前20项中,奇数项和S奇=75=25
16、,偶数项和S偶=75=50,又S偶-S奇=10d,所以d=2.5.12 0191 010 aa2（）22 0181 009(aa)2SS奇偶1 0101 0091323502510【补偿训练】1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且 =,则使得 为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5 nnAB7n45n3nnab【解析】选D.由等差数列的性质可得:=7+.只有n=1,2,3,5,11时,为整数,可得使 为整数的正整数n的个数是5.nnab12n 12n 112n 12n 1(2n1)aaA2(2n1)bbB2（）（）7(2n 1)452n 1 3 12n
17、1nnab12n12.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是()A.130 B.170 C.210 D.260【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.类型三 等差数列前n项和的最值(数学运算)【典例】(2020榆林高二检测)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a3=-6,S7=-28.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【思路导引】(1)列关于a1与d的方程组,求a1与d,写出其通项公式;(2)方法一:分析an
18、从哪项开始符号发生改变,下结论;方法二:根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的性质求最值.【解析】(1)设an的公差为d,由题意得 解得a1=-10,d=2.所以an的通项公式为an=2n-12.11a2d67(a3d)28 ，(2)方法一:由(1)得,当n6时,an6时,an0.所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为S5=S6=5(-10)+2=-30.5 42方法二:由(1)得Sn=n2-11n=(n-5.5)2-,因为nN*,所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为-30.n(102n12)21214【解题策略】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号
19、转折点法.当a10,d0时,由不等式组 可求得Sn取最大值时的n值.当a10时,由不等式组 可求得Sn取最小值时的n值.an0an10，n 1an0a0，(2)利用二次函数求Sn的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我 们可将其变形为Sn=.若a0,则当 最小时,Sn有最小值;若a0,S200,S210,S210,并且a110,所以数列an的前10项和最大.2.在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得2517+(17-1)d=259+(9-1)d,解得d=
20、-2.所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.17292n2方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=250,由 得 所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=1325+(-2)=169.nn1a252(n1)0a252n0，1n13 21n12.2 ，13 122方法三:由S17=S9,得a10+a11+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-20,所以a130,a140,a2+a2 018=0,则S2 019=;当Sn取得最大值
21、时,n=.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019=0.因为a10,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当Sn取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:0 1 009或1 010 12 0192 019(aa)22.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【解析】(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)方法一:(二次函
22、数法)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.1nn(aa)2方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,则Sn=n2-8n.由Sn最小 即 所以 n ,又nN*,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.1nn(aa)2nn1a0a0，2n902n70，7292课堂检测素养达标 1.在等差数列an中,若S10=4S5,则 等于()A.B.2 C.D.4 1ad1214【解析】选A.由题意得10a1+109d=4(5a1+54d),所以10a1+45d=20a1+40d,所以10a1=5d,所以 =.12121ad122.已知数列a
23、n的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则 ()A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为4的等差数列 D.不是等差数列 nSn【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,所以 =2n+3,当n2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,故 是公差为2的等差数列.nSnnSnn1Sn1nSn3.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列an中,a1=3,d=4,an=39,则Sn=.【解析】因为an=a1+(n-1)d,a1=3,d=4,an=39,所以39=3+4(n-1),解得n=10,所以S10=210.答案:210 11010 aa10 33922（）（）4.已知等差数列an中
24、,|a5|=|a9|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .【解析】由|a5|=|a9|且d0得,a50且a5+a9=02a1+12d=0a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7 5.在等差数列an中,(1)已知a6=10,S5=5,求a8;(2)已知a2+a4=,求S5.485【解析】(1)方法一:因为a6=10,S5=5,所以 解得 所以a8=a6+2d=16.11a5d105a10d5，1a5d3.，方法二:因为S6=S5+a6=15,所以15=,即3(a1+10)=15.所以a1=-5,d=3.所以a8=a6+2d=16.166(aa)261a
25、a5(2)方法一:因为a2+a4=a1+d+a1+3d=,所以a1+2d=.所以S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5 =24.方法二:因为a2+a4=a1+a5,所以a1+a5=,所以S5=24.485245245485155(aa)252485课时素养评价 十 等差数列的前n项和【基础通关】(20分钟 35分)1.(2020大庆高一检测)正项等差数列an的前n项和为Sn,已知a3+a7-+15=0,则S9=()A.35 B.36 C.45 D.54 25a【解析】选C.在正项等差数列an中,由等差数列的性质得a3+a7=2a5,因为a3+a7-+15=0,所以2a5-+15=0,即 -
26、2a5-15=0,解得a5=5或a5=-3,因为数列an是正项等差数列,所以a5=5,所以S9=9a5=95=45.25a25a25a19aa92（）【补偿训练】若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()A.12 B.13 C.14 D.15【解析】选B.因为S5=5a3=25,所以a3=5,所以d=a3-a2=5-3=2,所以a7=a2+5d=3+10=13.2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27【解析】选B.由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以a7+a8+a9=S9-S6=2(
27、S6-S3)-S3=45.3.(2020大连高二检测)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其 前n项和取最小值时的n的值为()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选C.因为等差数列an中,|a6|=|a11|,且公差d0,所以a60,a6=-a11,a1=-d,有Sn=(n-8)2-64,所以当n=8时前n项和取最小值.152d24.(2020惠州高二检测)等差数列an的前n项和为Sn,若a4+a5=25,S6=57,则an的公差为 .【解析】设等差数列an的公差为d,因为a4+a5=25,S6=57,所以2a1+7d=25,6a1+d=57,解得d=3.答案:3 6 5
28、2【补偿训练】(2020西安高二检测)在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,则插入的50个数的和等于 .【解析】根据题意,在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,设这个等差数列为an,且a1=3,a52=156,插入的50个数的和 S=3 975.答案:3 975 251aa503 1565022（）（）5.(2020新高考全国卷)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为 .【解析】由题意知数列2n-1为1,3,5,7,9,11,13,3n-2为1,4,7,10,13,16,19,所以数列an为1,7,13,19,即an=1+6
29、(n-1)=6n-5,所以数列an的前n项和为 =3n2-2n.答案:3n2-2n n(1 6n5)26.已知数列an是等差数列,Sn是an的前n项和,a10=16,a8=10.(1)判断2 024是否是数列an中的项,并说明理由;(2)求Sn的最值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,又因为a10=16,所以d=3.所以a1+73=10,解得a1=-11.所以an=-11+3(n-1)=3n-14,令2 024=3n-14,解得n=不是整数,所以2 024不是数列an中的项.(2)由3n-140,可得n4+.所以Sn有最小值,无最大值.最小值为S4=-26.16 1022 0383234
30、1122（）【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设Sn是等差数列an的前n项和,若a2=1,S5+S731,则S10的取值范围是()A.(45,+)B.(50,+)C.(55,+)D.(60,+)【解析】选A.因为a2=1,S5+S731,所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)31,所以d1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d45.2.数列an为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+,则 的值是()A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】选B.因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+B
31、n,所以=-1.3.一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差为10,最小内角为100,则边数n=()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得 100n+10=(n-2)180,化简可得n2-17n+72=0,即(n-8)(n-9)=0,解得n=8或n=9.当n=9时最大内角为100+810=180,不满足多边形为凸n边形,应舍去.所以n=8.n(n1)24.已知等差数列an中,前m项(m为偶数)和为126,其中偶数项之和为69,且am-a1=20,则数列an的公差为()A.-4 B.4 C.6 D.-6【解析】选B.由题意可得,a1+a3+a
32、m-1=57,a2+a4+am=69,所以57+=69,因为am-a1=(m-1)d=20,解得,d=4.md2【补偿训练】在等差数列an中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,an+an-1+an-2+an-3=60,又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以+得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.Sn=100.将代入中得n=10.1naan2（）5.若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且 -1,那么使Sn取最小正值的项 数n=()A
33、.15 B.17 C.19 D.21 1110aa【解析】选C.由于Sn有最大值,所以d0,因为 -1,所以 0a11,且a10+a110,所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)0,又a1a2a100a11a12,所以S10S9S2S10,S10S11S190S20S21,又S19-S1=a2+a3+a19=9(a10+a11)S7S5,有下列四个结论:d0;S12S5,正确结论的序号是 .(填序号)【解析】依题意,因为S6S7S5,所以a7=S7-S60,a6+a7=S7-S50.所以d=a7-a60,故对;S12=12=120,故不正确;S8-S5=a6+a7+a8=3a
34、70,故错误.答案:112aa267aa2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.(1)求通项an.(2)求数列bn的前n项和Tn的最小值.12【解析】(1)由a3=10,S6=72,得 所以an=4n-2.(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.由 得 n ,因为nN*,所以n=15.所以bn的前15项为负值,所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.1a2d4，122n3102(n1)310，29231210.已知an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,且S7=7,S15=75,求数
35、列 的前n项和Tn.nSn【解析】设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+d.因为S7=7,S15=75,所以 即 解得 n(n1)2117a21d715a105d75，11a3d 1a7d5，1a2d1，所以 =a1+d=-2+,所以 ,所以数列 是等差数列,且其首项为-2,公差为 .所以Tn=n2-n.nSnn12n12n 1nSS1n1n2 nSn121494【创新迁移】1.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方(如图(1)所示).将1,2,9填入33的方格内(如图(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2
36、,3,n2填入nn的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn,如N3=15,那么N9=()A.41 B.45 C.369 D.321【解析】选C.根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的 性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式 得Nn=,则N9=369.2n(1n)2291 92（）2.已知Sn是等差数列an的前n项和,S2=2,S3=-6.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn;(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列an的公差为d,则 所以 所以an=4-6(n-1)=10-6n,Sn=na1+d=7n-3n2.112ad23 23ad62 ，1a4d6，n(n1)2(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4,若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.