1、1.2 应 用 举 例 第1课时 解三角形的实际应用举例距离问题 必备知识自主学习 1.基线(1)定义和选取原则.定义 在测量上,根据测量需要适当确定的_ 选取 原则 在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度,一般来说,基线_,测量的精确度越高.越长 线段(2)本质:解三角形必须知道三角形的一条边长,这恰是基线的意义所在.(3)作用:基线的选择决定了测量方案的设计.2.方位角和方向角(1)方位角:从_方向_转到目标方向线所成的角.如图(1)目标A的方 位角为135.(2)方向角:从_方向线到_方向线所成的小于90的水平角.如图(2),北偏东30,南偏东45.指北
2、顺时针 指定 目标 思考 方位角与方向角有什么共同点?提示:方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同.()(2)东偏北45的方向就是东北方向.()(3)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角 形并求解.()(4)如图所示,为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b,进行计算.()提示:(1).(2).由方向角的定义可知.(3).可由正弦定理解三角形求解.(4).由余弦定理可求出AB.2.某次测量中,A在B的北偏东55,则B在A的()A.北偏西3
3、5 B.北偏东55 C.南偏西35 D.南偏西55【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示=55,则=55.所以B在A的南偏西55.3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距 离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a km B.a km C.a km D.2a km【解析】选B.由题意得ACB=120,AB2=a2+a2-2a2cos 120=3a2,所以AB=a.323关键能力合作学习 类型一 用正弦定理或余弦定理求距离(数学建模)角度1 用正弦定理求距离 【典例】如图所示
4、,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120 m,则BC为 m.【思路导引】在ABC中,知两角和一边,可以用正弦定理解三角形,求BC的长.【解析】由题意知,ACB=180-30-75=75,由正弦定理得,BC=sin CAB=sin 30=60(-).答案:60(-)ABsin ACB120sin 75120126242626角度2 用余弦定理求距离 【典例】如图,甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方 向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙
5、船航行到甲船的北偏西 120方向的B2处,此时两船相距10 海里,问乙船每小时航行多少海里?22【思路导引】连接A1B2,先解A1A2B2,再解A1B2B1.【解析】如图连接A1B2,A2B2=10 ,A1A2=30 =10 ,A1A2B2是等边三角形,B1A1B2=105-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理得 B1 =A1 +A1 -2A1B1A1B2cos 45=202+(10 )2-22010 =200,B1B2=10 .因此乙船的速度的大小为 60=30 (海里/时).答:乙船每小时航行30 海里.220602222B21B22B222210 220222【解题策略】1.用正弦定
6、理求距离问题的策略(1)找基线.根据题意找出哪些线段的长度可以求出,这样的线段在哪些三角形 中.(2)测基线长及视角.注意根据平面几何知识推出有关角的大小.(3)用正弦定理求解两点间的距离.特别提醒:求距离问题要注意的两点:(1)基线的选取要准确恰当.(2)选定或创建的三角形要确定.2.用余弦定理求距离问题的策略(1)总体思路.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需 作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.(2)方程思想的应用.设出未知量,从几个三角形中用余弦定理列出方程(组),解方程(组)得出所要求 的解.【题组训练】1.如图,货轮
7、在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为140的方向航行,为了确定货轮的位置,货轮在B点观测灯 塔A的方位角为110,航行 h到达C点,观测灯塔A的方位角是65,则货轮到达 C点时,与灯塔A的距离是()A.10 km B.10 km C.15 km D.15 km 1222【解析】选B.在ABC中,BC=40 =20(km),ABC=140-110=30,ACB=(180-140)+65=105,所以A=180-(30+105)=45.由正弦定理,得AC=BC sin ABC20 sin 3010 2 km.sin Asin 45122.某观察站C与
8、两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向上,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A,B间的距离为()A.500 m B.600 m C.700 m D.800 m【解析】选C.根据题意画出图形如图.在ABC中,BC=500,AC=300,ACB=120,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=3002+5002-2300500 =490 000,所以AB=700 m.1()2【补偿训练】一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30方向.若货轮的速度为30n mile/h,当
9、货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时,求A,D两处的距离.【解析】如图所示,在ABC中,CAB=45,ABC=90+30=120,所以ACB=180-45-120=15,AB=300.5=15(n mile),则由正弦定理,得 又因为sin 15=,sin 120=,所以AC=15(n mile).ACABsin ABCsin ACB，AC15sin 120sin 15即，6243,215sin 1203 26sin 152在ACD中,因为A=D=45,所以ACD是等腰直角三角形,所以AD=AC=15(3+)(n mile).答:A,D两处的距离为15(3+)n mile.332类型二
10、综合应用正弦定理和余弦定理求距离(数学建模)【典例】(2020唐山高二检测)如图,为了测量河对岸A,B两点的距离,观察者 找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找 到一个点E,从E点可以观察到点B,C.并测量得到以下数据,DCA=105,ADC=30,BCE=90,ACB=CEB=60,DC=200 米,CE=100 米.求A,B两点的距离.32【解析】由题意可知,在ACD中,DAC=45,由正弦定理得 所以AC=200米,在RtBCE中,BC=100 =300米,在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60=2002+300
11、2-2200300 =70 000,所以AB=100 米.ACDCsin ADCsin DAC，DC sin ADCsin DAC33127【解题策略】正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点(1)画示意图,弄清题目条件.根据题意画图研究问题中所涉及的三角形,它的哪些元素是已知的,哪些元素是 未知的.(2)选准入手点.找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦 定理,还是选用余弦定理求解.【跟踪训练】某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到
12、A的距离缩短了10千米.则汽车到达M汽车站还需行驶 千米.【解析】由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处.在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cos C=则sin2C=1-cos2C=,sin C=所以sin MAC=sin(120-C)=sin 120cos C-cos 120sin C=在MAC中,由正弦定理,得MC=222ACBCAB232AC BC31，24323112 331，35 3.62ACsin MAC3135 335.sin AMC6232从而有MB=MC-BC=15.故汽车到达M汽车站还需行驶15千米.答案:15【补偿训练】1.如图,A,
13、B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点 北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西 60且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里 每小时,该救援船到达D点至少需要 小时.33【解析】由题意知AB=5(3+),DBA=90-60=30,DAB=45,所以ADB=105,所以sin 105=sin 45cos 60+sin 60cos 45=在ABD中,由正弦定理得 所以BD=3213226.22224BDABsin DABsin ADB，AB sin DAB5(33)sin 45sin ADBsin105 又DB
14、C=180-60-60=60,BC=20 ,在DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcos 60=300+1 200-210 20 =900.所以 CD=30(海里),则至少需要的时间t=1(小时).答案:1 210 3(13)25(33)10 3.261343312330302.一条河自西向东流淌,某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在东偏 北45和东偏北60方向,此人向东走300米到达B处之后,再看C,D,则分别在西 偏北75和西偏北30方向,求目标C,D之间的距离.【解析】由题意得,在ABD中,因为DAB=60,DBA=30,所以ADB=90,在RtABD中,
15、因为AB=300,所有BD=300sin 60=150 .在ABC中,因为CAB=45,ABC=75,所以ACB=60.由正弦定理得 3ABBCsin ACBsin CAB，所以BC=在BCD中,因为BC=100 ,BD=150 ,CBD=45,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD=37 500,所以CD=50 .答:目标C,D之间的距离为50 米.3002100 6.232631515类型三 函数与方程思想在距离问题中的应用(数学建模)【典例】已知海岛B在海岛A北偏东45,且与A相距20海里,物体甲从海岛B以 2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时物体乙从海岛A
16、以4海里/小时的速 度沿直线向北偏西15方向移动.(1)求经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向;(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中,甲乙两物体的 最短距离.【思路导引】(1)画出物体甲在物体乙的正东方向时的示意图,由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值.【解析】(1)设经过t(0t10)小时,物体甲移动到E的位置,物体乙移动到F的位 置,如图所示:物体甲与海岛A的距离为AE=(20-2t)海里,物体乙与海岛A距离为AF=4t海里,当甲在乙正东方时,AFE=75,AEF=45,在AEF中,由正弦定理得 即 ,则t=20-10 .答:经过(20-10 )小时,物体甲在物体乙的正
17、东方向.AEAFsin AFEsin AEF，202t4tsin 75sin 4533(2)由(1)题设,AE=20-2t,AF=4t,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AEAFcos EAF=(20-2t)2+(4t)2-2(20-2t)4t 由0t10,得当t=时EFmin=海里.答:甲乙两物体之间的距离最短为 海里.21201 20028(t)277，20720 21720 217【解题策略】函数与方程思想在距离问题中的应用(1)函数思想的应用.将三角形中边角之间的关系问题借助正弦定理和余弦定理建立函数关系,结合 有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值
18、 问题.(2)方程思想的应用.正弦定理和余弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.【跟踪训练】一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B 时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动,如图所示,已 知AB=4 dm,AD=17 dm,BAD=45,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该 机器人最快可在何处截住足球?2【解析】设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接B
19、C,如图所示,设BC=x dm,由题意知CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,即x2=(4 )2+(17-2x)2-8 (17-2x)cos 45,解得x1=5,x2=.所以AC=17-2x=7或AC=-(舍去).所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.22373233【补偿训练】甲船在A处,乙船在A的南偏东45方向,距A有9海里的B处,并以20海里/时的速 度沿南偏西15方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,用多少小时能最快 追上乙船?【解析】如图所示,设用t小时甲船能追上乙船,
20、且在C处相遇.在ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,ABC=180-45-15=120.由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB BCcos ABC,即(28t)2=92+(20t)2-2920t ,128t2-60t-27=0,1()2所以t=或t=-(舍去).答:甲船用 小时能最快追上乙船.3434932课堂检测素养达标 1.为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图:测得下面四组数据,较合理的是()A.c与 B.c与b C.b,c与 D.b,与 【解析】选D.因为A,C在河岸的同一侧,所以可以测量AC的长度和BAC,BCA 的大小,并用正弦定理求BC.2.学校体育
21、馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4米,A=30,则其跨度AB的长为()A.12米 B.8米 C.3 米 D.4 米 33【解析】选D.ABC为等腰三角形,A=30,AC=4,所以B=30,C=120,BC=4,所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=42+42-244 =48,所以AB=4 .1()233.已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为2 km,船B在灯塔C西偏北25且到 C的距离为 km,则A,B两船的距离为 .【解析】如图,可知ACB=85+(90-25)=150,AC=2,BC=,所以AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150=
22、13,所以AB=.答案:km 3313134.(教材二次开发:例题改编)如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,为测出A,B的距离,其方法为测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时 在C,D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC 中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB.若测得CD=km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,求A,B两点间的 距离.32【解析】因为ADC=ADB+CDB=60,ACD=60,所以DAC=60,所以AC=DC=.在BCD中,DBC=45,由正弦定理,得 BC=sin
23、 BDC=sin 30=在ABC中,由余弦定理,得 32DCsin DBC32sin 456.4AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45 所以A,B两点间的距离为 km.3336236=2.AB km.4824284 所以64课时素养评价 三 解三角形的实际应用举例距离问题【基础通关】(15分钟 30分)1.(2020大庆高一检测)一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南 偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航 行的速度是()A.海里/时 B.34 海里/时 C.海里/时 D.34 海里/时 17 6217 2262【解析】选A.由题意知
24、MPN=75+45=120,PNM=45,在PMN中,由正弦定理,得 =,所以MN=34 ,又由M到N所用时间为14-10=4(小时),所以船的航行速度v=(海里/时)MNsin 120PMsin 4536822234 617 64262.(2020成都高一检测)随着“一带一路”倡议的实施,交通运输发展的外部环 境和内在要求面临深层次的调整和变化.内河水运作为现代综合交通运输体系的 重要组成部分,迎来了新的历史机遇.为做好航道升级的前期工作,成都市组织相 关人员到府河现场进行勘察.现要测量府河岸边A,B两地间的距离.如图,在B的正 东方向选取一点C,测得CB=2 km,A位于C西北方向,A位于
25、B北偏东15,则A,B两地 间的距离为()A.km B.2 km C.km D.2 km 2 3332 636【解析】选C.在ABC中,依题意知ABC=90-15=75,ACB=45,那么 A=180-ABC-ACB=60,由正弦定理得 =,又因为CB=2 km,所以AB=km.ABsin ACBBCsin ABC sin ACBsin Ag22232g2 633.某人从A处出发,沿北偏东60行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C 处,则A,C两地的距离为 .3【解析】如图所示,由题意可知 AB=3 ,BC=2,ABC=150,由余弦定理得AC2=27+4-23 2cos 150=4
26、9,所以AC=7,所以A,C两地的 距离为7 km.答案:7 km 334.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,那么x=cm.【解析】如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在AOB中,AB=10 cm,OAB=75,ABO=45,则AOB=60,由正弦定理 知:x=(cm).答案:AB sin ABOsin AOBg10 sin 45sin 6010 6310 635.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75,距离为12 n mile;在A处看灯 塔C,在货轮的北偏西30,距离
27、为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看 灯塔B的方位角为120.求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.63【解析】由题意,画出示意图,如图所示.(1)在ABD中,由已知ADB=60,则B=45.由正弦定理,得AD=24(n mile)(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8 )2-2248 =(8 )2,所以CD=8 (n mile).答:A处与D处之间距离为24n mile,灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.ABsin 45sin 603333233【补偿训练】如图所示,若小河两岸平行,为了知道河对岸
28、两棵树C,D(CD与河岸平行)之间的距离,选取岸边两点A,B(AB与河岸平行),测得数据:AB=6 m,ABD=60,DBC=90,DAB=75.试求C,D间的距离.【解析】ABC=ABD+DBC=60+90=150,所以C=180-150=30,ADB=180-75-60=45.在ABD中,由正弦定理得AD=3 .由余弦定理得 BD=3+3 .在RtBDC中,CD=6+6 ,即CD的长为(6+6 )m.AB sin ABDsin ADBg622ADAB2AD AB cos DABgg3BDsin 3033【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示为起重机装
29、置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起 吊的货物与岸的距离AD为()A.30 m B.m C.15 m D.45 m 1532319【解析】选B.在ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得cos ACB=-,所以sin ACB=.又ACB+ACD=180,所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中,AD=ACsin ACD=15 =(m).19222ACBCAB2 AC BC22215105 192 15 10（）12323215 32322.甲船在岛B的正南A处,AB=10 km,甲船以4 km/h的速度从A出发向正北航行
30、,同 时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距 最近时,它们的航行时间是()A.min B.h C.21.5 min D.2.15 h 1507157【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图,设两船航行t小时后,甲船位 于C点,乙船位于D点,如图.则BC=10-4t,BD=6t,CBD=120,根据余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100,所以当t=时,CD2取得最小值,即两船间的距离最近,所以它们的航行时间是 min.51415073.一艘海警船从港口A出发,以
31、每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航 行,30分钟后到达B处,这时候接到从C处发出的求救信号,已知C在B的北偏东65,港口A的东偏南20处,那么B,C两点的距离是()A.10 海里 B.10 海里 C.20海里 D.15 海里 232【解析】选A.如图,由已知可得,BAC=30,ABC=105,AB=20,从而 ACB=45.在ABC中由正弦定理可得BC=sin 30=10 (海里).ABsin 4524.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为()A.0.5小时 B.1小时 C.1.5
32、小时 D.2小时【解析】选B.设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x千米,在ABP中,PB2=AP2+AB2-2APABcos A,即302=x2+402-2x40cos 45,化简得x2-40 x+700=0,设该方程的两根为x1,x2,则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即图中的PP=20(千米),故时间t=1(小时).220205.(2020葫芦岛高一检测)自古以来,人们对于崇山峻岭都心存敬畏,同时感慨 大自然的鬼斧神工,一代诗圣杜甫曾赋诗望岳:“岱宗夫如何?齐鲁青未了.造化钟神秀,阴阳割昏晓.荡胸生曾云,决眦入归鸟.会当凌绝顶
33、,一览众山小.”然而,随着技术手段的发展,山高路远便不再是人们出行的阻碍,伟大领袖毛主席 曾作词:“一桥飞架南北,天堑变通途”.在科技腾飞的当下,路桥建设部门仍然 潜心研究如何缩短空间距离方便出行,如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将 从A到D修建一条隧道,测量员测得一些数据如图所示(A,B,C,D在同一水平面内),则A,D间的距离为()A.km B.km C.km D.km 65 12 365 12 1335 12 335 12 13【解析】选A.如图所示,连接BD,在BCD中,因为BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=25+9-253 =49,所以BD=7,又因为 =,即 ,解得
34、:sinDBC=,因为ABD=ABC-DBC,所以cosABD=cos(90-DBC)=sinDBC=,在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+49-247 =65-12 ,即A,D间的距离为 km.1()2CDsin DBCBDsin BCD733sin DBC23 3143 314365 12 33二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020汕头高一检测)如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为 海里/分.【解析】由
35、已知得 ACB=45,BAC=75,所以B=60由正弦定理可得 =,所以AC=10 ,所以海轮的速度为 =(海里/分).答案:ACsin 60ABsin 45320222610 63063637.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为_km.【解析】因为A,B,C,D四点共圆,所以D+B=.在ABC和ADC中,由余弦定理可得82+52-285cos(-D)=32+52-235cos D,整理得cos D=-,代入得AC2=32+52-235 =49,故A
36、C=7.答案:7 121()28.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45,与观测站A距离 20 海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测 站A东偏北(0 1.在OCD中,由题意易得COD=30,OD=20 x,CD=60(x-2).3由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2OD OCcos COD,所以602(x-2)2=(20 x)2+(60 )2-220 x60 cos 解得x=3或x=,因为x1,所以x=3.所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇.3338【补偿训练】如图所示,海中小岛A周围38 n mile内有暗礁,一船正向南航行
37、,在B处测得小岛A在船的南偏东30,航行30 n mile后,在C处测得小岛A在船的南偏东45,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?【解析】在ABC中,BC=30,B=30,ACB=135,所以BAC=15,由正弦定理,得 即:,所以AC=60cos 15=60cos(45-30)=60(cos 45cos 30+sin 45sin 30)=15(+),所以A到BC的距离为d=ACsin 45=15(+1),40.98 n mile38 n mile,所以继续向南航行,没有触礁危险.BCACsin Asin B30ACsin 15sin 30623【创新迁移】如图是曲柄连杆机构的示意图.当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞 作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在 A0处.设连杆AB长为60 cm,曲柄CB长为60 cm,曲柄自CB0的位置绕点C按顺时 针方向旋转60,求活塞移动的距离.3【解析】在ABC中,由正弦定理可得 sin A=,因为BCAB,所以A为锐角,所以A=30,B=90,所以AC=120(cm),所以A0A=A0C-AC=(AB+BC)-AC=60 -60(cm).答:活塞移动的距离为(60 -60)cm.BCsin CAB60 sin 6060 312BCsin 3033