1、1.1.2 余 弦 定 理 必备知识自主学习 1.余弦定理(1)定理的内容.条件 三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的_减去这两边与它们的夹角的_的积的两倍 符号语言 a2=_,b2=_,c2=_.平方的和 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 余弦(2)本质:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的等量关系.(3)作用:求三角形的边和角;实现三角形边角之间的互化.思考 勾股定理和余弦定理的联系与区别?提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任一三角 形中三边平方间的关
2、系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系,是余 弦定理的特例.2.余弦定理的变形 cos A=_;cos B=_;cos C=_.222bca2bc222acb2ac222abc2ab思考 观察余弦定理及其变形的结构形式,想一想,遇到什么样的条件适合用这些公式?提示:当条件中出现a2+b2-c2,ab,a2+b2,(a+b)2等,可以考虑使用余弦定理及其变 形.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只能用正弦定理,不能用 余弦定理.()(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.()(3)在ABC中,若a2b2+c2,则
3、ABC一定为钝角三角形.()(4)在ABC中,若a2b2+c2时cos A=0,又A(0,),所以A ,故ABC 为钝角三角形.(4).由a2b2+c2可推出A为锐角,但ABC不一定是锐角三角形.222bca2bc()2，2.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-,则三角形的另一 边长为()A.52 B.2 C.16 D.4【解析】选B.设另一边长为x,则x2=52+32-253 =52,所以x=2 .35133()5133.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a=3,b=5,c=7,则角C=.【解析】根据余弦定理的变形得cos C=又因
4、为 C(0,),所以C=.答案:222222abc3571.2ab2 3 52 2323关键能力合作学习 类型一 利用余弦定理解三角形(数学运算)角度1 已知两边及其夹角解三角形 【典例】(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A.B.C.D.1223131923【思路导引】已知两边及其夹角的余弦值,可以利用余弦定理列方程求解第三边,然后利用余弦定理求解即可.【解析】选A.由余弦定理可知 cos C=可得AB=3,又由余弦定理可知:cos B=2222222BCACAB34AB32BC AC2 3 4，222222ABBCAC3341.2AB BC2
5、3 39 角度2 已知两边及其一边的对角解三角形 【典例】(2020青岛高一检测)已知ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,b=1,C=,则a=()A.B.2 C.D.3 72353【思路导引】根据余弦定理列出关于a的方程求解即可.【解析】选B.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,因为c=,b=1,C=,所以 =a2+12-2a1 ,所以a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).72(7)231()2角度3 已知三边或三边的关系解三角形 【典例】(1)(2020洛阳高二检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值是
6、 .(2)在ABC中,已知a=2 ,b=2 ,c=+,解三角形.33226【思路导引】(1)根据余弦定理先求cos B,再求角B;(2)知三角形的三边,可以用余弦定理解三角形.【解析】(1)因为a2+c2-b2=ac,所以cos B=因为B是三角形的内角,所以B=.答案:3222acb32ac2，66(2)由余弦定理得:cos A=又0A180,所以A=60.cos B=又0B180,所以B=45.所以C=180-A-B=75.222222bca2 2622 312bc22 2 262（）（）（）（）222222acb2 3622 222ac22 2 362（）（）（），（）【变式探究】将本例
7、(1)的条件“a2+c2-b2=ac”,改为“=1”,求角A.【解析】由 =1得a2-(b-c)2=bc,则b2+c2-a2=bc,由余弦定理得 cos A=,又因为0A180,所以A=60.322abcbc（）22abcbc（）222bca12bc2【解题策略】1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边.要注意判断解的情况.(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此 边长.2.已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一:首先用余弦定理求出第三边,再用余弦定理和三角形内角和
8、定理求出其 他两角.方法二:首先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求出其 他两角.3.已知三边解三角形的步骤(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;(2)用三角形内角和定理求出第三个角.【题组训练】1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90 B.120 C.135 D.150【解析】选B.设中间角为,则cos=所以=60,所以此三角形的最大角与最小角的和为180-60=120.22258712 5 82，2.(2020通化高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 a=3,c=,sin ,则b=.【解析】由cos C=1-2sin2 ,c
9、2=a2+b2-2abcos C得12=9+b2-23 b,解得 b=3或b=-1(舍).答案:3 2 3C323C123133.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则 的值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为a2=b2+c2,所以b2=a2-c2.由余弦定理得cos B=所以 14acos Bc14545838141422222221ac(ac)acb5c4.2ac2ac8a 5caacos B58a.cc8【补偿训练】1.在ABC中,若三个角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+cacos B+abcos C的值为 .【解析
10、】由余弦定理,得bccos A+cacos B+abcos C=bc 答案:222222222acbabcabc61ab.2ac2ab22 222bcaac2bc 6122.(1)在ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30,求a;(2)已知在ABC中,a=8,b=7,B=60,求c.3【解析】(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2 )2-232 cos 30=3,所以a=.(2)方法一:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得72=82+c2-28ccos 60,整理得c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.方法二:由正弦定理,得sin A=333asin
11、 B8 sin 6043b77，所以cos A=所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=所以sin C=224 311sin A1().77411337272，5 33 3sin C.1414或5 314 3sin Ccsin C51433 314 3sin Ccsin C3.143当时，；当时，类型二 利用余弦定理判断三角形的形状(逻辑推理)【典例】在ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断ABC的形状.【思路导引】方法一:化角为边,通过因式分解得出边的关系;方法二:用正弦定理,化边为角,通过三
12、角变换求解.【解析】方法一:因为(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,所以由正、余弦定理,得 a,整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2+b2-c2=0或a2=b2.所以a2+b2=c2或a=b.故ABC为直角三角形或等腰三角形.222222acbbca(ac)b(bc)2ac2bc方法二:根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A,即sin CcosBsin B=sin Ccos Asin A.因为sin C0,所以s
13、in Bcos B=sin Acos A.所以sin 2B=sin 2A.所以2B=2A或2B+2A=,即A=B或A+B=.所以ABC是等腰三角形或直角三角形.2【变式探究】将本例的条件改为“acos B+acos C=b+c”,试判断该三角形的形状.【解析】由acos B+acos C=b+c结合余弦定理,得 a =b+c,即 =b+c,整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.因为b+c0,所以a2=b2+c2,故ABC是直角三角形.222222acbabca2ac2ab222222acbabc2c2b【解题策略】判断三角形形状的基本思想和两条思路【跟踪训练】在ABC中,已知cos 2
14、,判断ABC的形状.【解析】在ABC中,由已知cos 2 ,得 ,所以cos A=.根据余弦定理,得 ,所以b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2,所以ABC是直角 三角形.Abc22cAbc22c1cos Abc22cbc222bcab2bcc【补偿训练】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,确定ABC的形状.【解析】由正弦定理得 由2cos Asin B=sin C,有cos A=又由余弦定理得cos A=所以 即c2=b2+c2-a2,sin Ccsin Bb，sin Cc.2sin B2b222bca,2bc 222cbca,
15、2b2bc 所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以ABC为等边三角形.类型三 正、余弦定理的综合应用(数学运算)【典例】(2020新余高二检测)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(2a+c)cos B+bcos C=0.(1)求角B的大小;(2)若b=,ac=3,求ABC的周长.13四步 内容 理解题意 条件：（2a+c）cos B+bcos C0；b=，ac3；结论:求角B的大小;求ABC的周长 思路探求(1)利用正弦定理把已知的等式化边为
16、角根据两角和与差的正弦公式及诱导公式进行变形求cos B求B;(2)利用余弦定理求a+c求出三角形ABC的周长.13四步 内容 书写表达（1）由已知得 2sin Acos B+sin Ccos B+sin Bcos C0，所以2sin Acos B+sin（B+C）0，因为B+C-A，所以sin（B+C）sin（-A）sin A，由0A 可得sin A0，所以2cos B+10，cos B=-，又0B，所以B=.（2）因为b=，ac3，B=，由b2a2+c2-2accos B可得 13a2+c2+ac（a+c）2-ac（a+c）2-3，可得：a+c4.所以ABC的周长a+b+c4+.12232
17、31313四步 内容 书写表达 注意书写的规范性:用正弦定理化边为角是解题的关键;易忽视内角和定理与诱导公式结合应用;根据所求将余弦定理公式变形.题后反思 解答正、余弦定理的综合应用问题,一方面要注意依据题目条件确定好用哪个定理,另一方面要注意内角和定理、诱导公式、三角恒等变换等知识的综合应用.【解题策略】正、余弦定理的综合应用(1)常见命题角度.正弦定理、余弦定理、向量、三角函数、三角恒等变换等知识联系在一起出题.(2)解题策略.解答此类题目,首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件,然后根据题目条件 和要求选择正弦或余弦定理求解.【跟踪训练】1.若ABC的内角A,B,C满足6sin A=4s
18、in B=3sin C,则cos B=()【解析】选D.由正弦定理:6a=4b=3c,所以b=a,c=2a,由余弦定理cos B=1533 1511A.B.C.D.4416163222222229a4aaacb114.2ac(2a)16 2.(2020新高考全国卷)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任 选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角 形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.3336【解析】方案一:选条件.由C=和余弦
19、定理得 由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是 ,由此可得b=c.由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.6222abc3.2ab23322223bbc322 3b33方案二:选条件.由C=和余弦定理得 由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是 ,由此可得b=c,B=C=,A=.由csin A=3,所以c=b=2 ,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2 .6222abc3.2ab23322223bbc322 3b62333方案三:选条件.由C=和余弦定理得 由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是 ,由此可得b=c
20、.由c=b与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.6222abc3.2ab222223bbc322 3b333【补偿训练】在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,cos C=-,5sin(B+C)=3sin(A+C).(1)求边c;(2)求sin 的值.115(B)3【解析】(1)因为A+B+C=,所以由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sin A=3sin B,由正弦定理得5a=3b,所以b=3=5,又因为cos C=-,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+25-235 =36,解得c=6;5a5331151()15(2)因为cos B
21、=所以sin B=所以sin 222acb9362552ac2 3 69，2252 141 cos B1()99，1312 14352 145 3(B)sin Bcos B.322292918课堂检测素养达标 1.在ABC中,已知a=1,b=2,C=60,则c等于()A.B.3 C.D.5【解析】选A.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=1+4-212 =3,得c=.351232.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=4,b=5,c=,则角C等于 ()A.120 B.90 C.60 D.45【解析】选A.由余弦定理得cos C=故C=120.61222222abc
22、456112ab2 4 52 （），3.在ABC中,B=60,b2=ac,则ABC一定是()A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选D.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B和B=60及b2=ac,得ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0.所以a=c.又B=60,所以ABC是等边三角形.4.在ABC中,若b=1,c=,C=,则a=.【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以a2+1+a=3,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍).答案:1 3235.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,已知a=8,B=60,c=4(+1),解此
23、三 角形.3【解析】由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B=82+4(+1)2-284(+1)cos 60=64+16(4+2 )-64(+1)=96,得b=4 .cos A=因为0A180,所以A=45.故C=180-A-B=180-45-60=75.33312362222bca96 163 1642.2bc22 4 643 1 （）（）课时素养评价 二 余 弦 定 理【基础通关】(20分钟 35分)1.(2020桂林高二检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a=3,b=7,cos B=-,则c=()A.4 B.5 C.8 D.10 12【解析】选B.a=3,b=
24、7,cos B=-.由余弦定理:b2=a2+c2-2cacos B.即49=9+c2-6 c,得c=5划c=-8(舍去).121()22.在ABC中,已知AB=3,AC=2,BC=,则 等于()A.-B.-C.D.10ABuurACuuur32233223【解析】选D.由余弦定理得cos A=.故 =|cos A=32 =.222ABACBC2AB ACg14ABuurACuuurABuurACuuur14323.若a,b,c为ABC的三边,B=120,则a2+c2+ac-b2的值()A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定【解析】选C.由题意知,cos B=cos 120=-,所以a2
25、+c2-b2=-ac,所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.222acb2ac 124.在锐角ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是()A.1a3 B.1a5 C.a D.不确定 35【解析】选C.若a,b,c可以构成三角形,则1a0,即a25,所以2ac2,即a23,所以a ,故 a2.综上知,a .53335【补偿训练】在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在【解析】选B.因为c2a2+b2,所以C为锐角.因为abc,所以C为最大角,所以ABC为锐角三角形.5.设ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
26、且c=,cos C=-,sin A=2sin B,则b=.614【解析】因为sin A=2sin B,所以由正弦定理可得:a=2b,又因为c=,cos C=-,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得:6=a2+b2-2ab =4b2+b2+2b2,解得:b=1.答案:1 6141()4126.在ABC中,(1)已知a=5,b=3,C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求第三边长c;(2)若A=120,a=7,b+c=8,求b,c.【解析】(1)5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0.所以x1=,x2=-2(舍去).所以cos C=.根据余弦定理c2=a2+b2
27、-2abcos C,即c2=52+32-253 =16.所以c=4,即第三边长c为4.353535(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A),所以49=64-2bc ,即bc=15,由 解得 或 1(1)2bc8bc 15 ，b3c5，b5c3.，【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则 =()A.6 B.5 C.4 D.3 14bc【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,
28、由余弦定理推论可得-=cos A=,所以 =-,所以 =,所以 =4=6,故选A.14222bca2bc22c4c2bc143c2b14bc322.ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则C的大小为()A.B.C.D.63223【解析】选B.因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),pq,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即 a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cos C=,因为0C,所以C=.222abc2ab ab2ab1233.在ABC中,sin Asin Bsin C=4 ,则角C的大小为()A.
29、150 B.120 C.60 D.30 313【解析】选A.因为sin Asin Bsin C=4 ,所以由正弦定理知abc=4 ,不妨设a=k,则b=4k,c=k,则由余弦定理可得cos C=-,因为0C180,所以C=150.313331331222abc2ab 2223k16k31k23k4k324.在ABC中,cos B=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为 ()A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ac【解析】选A.因为cos B=,由余弦定理得 =,整理得b2+a2=c2,即 C为直角,则ABC为直角三角形.ac222abc
30、2ab ac5.(2020阜阳高二检测)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a2+c2=ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.B.C.D.(,2)33 3()22，2(2)2，1 3()2 2，3【解析】选A.由a2+c2=ac+b2,结合余弦定理得cos B=,又B(0,),所以B=,C=-A,故cos A+sin C=cos A+sin =cos A+sin =cos A+sin A=sin ,3222acb2ac 326565(A)6(A)632323(A)3因为三角形为锐角三角形,则 A ,所以 A+,所以 sin ,所以sin C+cos
31、A的取值范围为 .【误区警示】解答本题容易忽视利用锐角三角形这一条件求角的范围.322335612(A)3323 3()22，二、填空题(每小题5分,共15分)6.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccos B=2a+b,则C=.【解析】因为2ccos B=2a+b,所以由余弦定理得2c =2a+b,整理得a2+b2-c2=-ab,所以cos C=-,又因为0Cc,所以C ,所以C=.4 2455sin C22(0)2，410.(2020烟台高二检测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=ccos A+asin C.(1)求角C;(2)若AC边上的高长为 b,求
32、cos B.13【解析】(1)因为b=ccos A+asin C,由正弦定理得:sin B=sin Ccos A+sin Asin C,所以sin(A+C)=sin Ccos A+sin Asin C,即sin Acos C+cos Asin C=sin Ccos A+sin Asin C,即sin Acos C=sin Asin C,因为sin A0,所以tan C=1,因为C(0,),所以C=.4(2)由题意可得:b=asin =a,则b=a,在ABC中,由余弦定理可得:c2=a2+b2-ab=a2+a2-3a2=a2,则c=a,由余弦定理可得cos B=-.134223 22292521
33、02222acb2ac22259aaa22102 aa2 1010【创新迁移】1.已知三角形两边长分别为1和 ,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆 半径为 .3【解析】如图,AB=1,BD=1,BC=,设AD=DC=x,在ABD中,cosADB=,在BDC中,cosBDC=,32x1 12x x22x132x 2x22x因为ADB与BDC互补,所以cosADB=-cosBDC,所以 =-,所以x=1,所以A=60,由 =2R得R=1.答案:1 x22x22x3sin 602.在ABC中,B=,b=,.求BC边上的高.sin A=;sin A=3sin C;a-c=2这三个条件中任选一个,补
34、充在上面 问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.37217【解题指南】选择,利用正弦定理求得a,利用余弦定理求得c,再计算BC边上的高.选择,利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出c,再求BC边上的高.选择,利用余弦定理列方程求出c,再计算BC边上的高.【解析】选择,在ABC中,由正弦定理得 =,即 =,解得 a=2;由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 =22+c2-22c ,化简得c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去);所以BC边上的高h=csin B=3 =.asin Absin Ba2177322(7)12323 32选择,在ABC中,由正弦定理得 ,又因为sin A=3sin C,所以 ,即a=3c;由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即 =(3c)2+c2-23cc ,化简得7c2=7,解得c=1或c=-1(舍去);所以BC边上的高h=csin B=1 =.2(7)acsin Asin Cac3sin Csin C123232选择,在ABC中,由a-c=2,得a=c+2;由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即 =(c+2)2+c2-2(c+2)c ,化简得c2+2c-3=0,解得c=1或c=-3(舍去);所以BC边上的高h=csin B=1 =.2(7)123232