1、第五章 四边形与多边形中考数学教材基础练 第17节 平行四边形 知识点58 平行四边形的判定 教材变式 1.华师八下P87第1题如图所示,小明在做平行四边形框架时,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形.这种做法的依据是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形答案1.A教材变式 2.北师八下P140议一议,2022 如皋期中如图,在四边形ABCD中,ABCD.添加下列条件后,仍不能判定该四边形为平行四边形的是()A.ADBC B.AB=
2、CDC.A=CD.AD=BC答案2.D 逐项分析如下.(已知ABCD)依据是否成立A选项:ADBC两组对边分别平行B选项:AB=CD一组对边平行且相等C选项:A=C两组对边分别平行D选项:AD=BC无教材变式 3.华师八下P80习题第3题,2021 北京海淀区期中如果四边形ABCD中A,B,C,D的度数之比分别是2323,那么四边形ABCD是平行四边形,判定的依据是.答案3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形(答案不唯一,或两组对边分别平行的四边形是平行四边形)教材变式 4.华师八下P83试一试如图,不规则图形ABCD是一块木板的余料,已知ADBC,点E在线段BC上.(1)尺规作图:作四边形
3、ABEF,使四边形ABEF为平行四边形(点F在线段AD上).(2)(1)中用到的平行四边形的判定方法是 .答案4.【参考答案】(1)在AD上截取AF=BE,连接EF即可(图略)(作图方法不唯一).(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(符合(1)中平行四边形的判定方法即可)一题多练 5.原创如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,BD与AC相交于点O,连接DE,DF,BE,BF.【基础设问】(1)(添加条件)若AB=CD,只添加一个条件:,使四边形ABCD是平行四边形.(写出一个即可)(2)(探究结论)若DF=BE,DFBE,(填“能”或“不能”)判定四边形ABCD是平行四边形
4、.(3)(探究结论)若DEAC,BFAC,EO=FO,则四边形DEBF是平行四边形吗?请说明理由.【创新设问】(4)若四边形ABCD是平行四边形,AC=12 cm,点E在线段AO上从点A出发以1 cm/s的速度向点O运动,点F在线段OC上从点O出发以2 cm/s的速度向点C运动.若点E,F同时出发,设运动时间为t s,则当t=时,四边形DEBF为平行四边形.一题多练 答案5.【参考答案】(1)AD=BC(答案不唯一,或ABCD等)(2)不能(3)四边形DEBF是平行四边形.理由:DEAC,BFAC,DEBF,DEO=BFO.在DEO和BFO中,=,=,=,DEOBFO(ASA),DE=BF,四
5、边形DEBF是平行四边形.(4)2解法提示:由题意可得,AE=t cm,OF=2t cm.若四边形DEBF为平行四边形,则EO=OF.四边形ABCD为平行四边形,BO=OD,AO=OC=12AC=6 cm,EO=(6-t)cm,6-t=2t,解得t=2,当t=2时,四边形DEBF是平行四边形.知识点59 平行四边形的判定与性质 教材变式 1.华师八下P95第9题,2022南通崇川区期末改编如图,将ABCD的一边BC延长至点E,若A=110,则1=()A.70 B.65 C.60 D.55答案1.A 四边形ABCD是平行四边形,A=110,BCD=A=110,1=180-BCD=70.一题多解
6、四边形ABCD是平行四边形,A=110,ADBC,ABCD,B=180-A=70,1=B=70.教材变式 2.北师八下P159第6题,2022 武威凉州区期中改编如图,两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合的阴影部分构成了一个四边形,转动其中一张纸条,则下列结论一定成立的是()A.AD=ABB.AD=BCC.DAC=ACDD.AO=BO答案2.B 由题意可知ABCD,ADBC,四边形ABCD为平行四边形,AD=BC.教材变式 3.人教八下P44第1题,2021 重庆期末如图,AOB与AOD的周长之差为5,且AB=2AD,则ABCD的周长是()A.15B.20C.30D.40答案3.C 四
7、边形ABCD是平行四边形,OB=OD,AB=CD,AD=BC.AOB的周长与AOD的周长之差为5,(OA+OB+AB)-(OA+OD+AD)=AB-AD=5.又AB=2AD,AB=10,AD=5,ABCD的周长=2(AB+AD)=30.教材变式 4.人教八下P49练习第1题,2022 驻马店期中如图,在ABCD中,EFAD且分别交AB,DC于点E,F,GHAB且分别交AD,EF,BC于点G,I,H,则图中有平行四边形()A.5个B.7个C.8个D.9个答案4.D 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知四边形AEIG,GIFD,AEFD,BEIH,ABHG,HIFC,BEFC,GHCD,
8、ABCD均是平行四边形,共9个.教材变式 5.人教八下P50第8题在平面直角坐标系中,若以A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案5.C图示速解 如图,分三种情况:以CB为对角线作平行四边形ABD1C,此时第四个顶点D1落在第一象限;以AC为对角线作平行四边形ABCD2,此时第四个顶点D2落在第二象限;以AB为对角线作平行四边形ACBD3,此时第四个顶点D3落在第四象限.综上,第四个顶点不可能落在第三象限.教材变式 6.华师八下P75第2题,2022 禹州期中如图,a,b是两条平行线,则平
9、行四边形甲、乙的面积关系是:S甲 S乙.(填“”“”或“=”)答案6.=【点拨】两平行四边形同底等高教材变式 7.人教八下P47 第4题如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,且BE=DF.连接AE,AF,CE,CF.求证:AE=CF.答案7.【参考答案】证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,ABE=CDF.在ABE和CDF中,=,=,=,ABECDF(SAS),AE=CF.教材变式 8.人教八下P51第12题,2021 长沙雨花区二模如图,在四边形ABCD中,OD=OB=5,ABCD.(1)求证:四边形ABCD为平行四边形.(2)若AD=12,AC=26,求四边
10、形ABCD的面积.答案8.【参考答案】(1)证明:ABCD,OAB=OCD.在AOB和COD中,=,=,=,AOBCOD(AAS),OA=OC.OD=OB,四边形ABCD是平行四边形.(2)由(1)得,四边形ABCD为平行四边形,OA=OC=12AC=13.OD=5,AD=12,OA=13,AD2+OD2=OA2,AOD是直角三角形,ADO=90,BDAD,四边形ABCD的面积=ADBD=1210=120.教材变式 9.华师八下P87 第3题,2022 济宁任城区期末如图,在四边形ABCD中,ADBC,对角线AC,BD交于点O,且AO=OC,过点O作EFBD,交AD于点E,交BC于点F.(1)
11、求证:四边形ABCD为平行四边形.(2)连接BE,若BAD=100,DBF=2ABE,求ABE的度数.答案9.【参考答案】(1)证明:ADBC,OAD=OCB.在AOD和COB中,=,=,=,AODCOB,AD=CB.ADBC,四边形ABCD为平行四边形.教材变式 答案(2)设ABE=x,则DBF=2x.由(1)得四边形ABCD为平行四边形,OB=OD.EFBD,BE=DE,EBD=EDB.ADBC,EDB=DBF,EBD=DBF=2x,BAD+ABE+EBD+DBF=180,即100+x+2x+2x=180,解得x=16,即ABE=16.一题多解(1)由上知,AODCOB,OD=OB.AO=
12、CO,四边形ABCD为平行四边形.【点拨】线段垂直平分线的判定与性质一题多练 10.原创在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EF过点O分别交AD于点E,交BC于点F.【基础设问】(1)求证:OE=OF.(2)(判定)连接BE,DF,求证:四边形BEDF是平行四边形.(3)(性质)若AB=6 cm,AC=8 cm,BAC=90,则CD=cm,AD=cm.(4)若AB=AC,BAC=90,则ADC的度数为 ,BCD的度数为 .(5)若ABCD的周长是18 cm,且OE=1.5 cm,则四边形CDEF的周长为 cm.【创新设问】(6)ABCD可以被两条对角线分成 对全等的三角形.(7)在(3)的
13、条件下,求AD与BC间的距离.一题多练 答案10.【参考答案】四边形ABCD是平行四边形,ADC=ABC,OA=OC,ADBC,CD=AB,AD=BC.(1)证明:ADBC,AEO=CFO.在AEO和CFO中,=,=,=,AEOCFO(AAS),OE=OF.(2)证明:由(1)得,AEOCFO,AE=CF,易得DE=BF.DEBF,四边形BEDF是平行四边形.(3)6 10(4)45 135解法提示:AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,ADC=ABC=45.ADCB,ADC+BCD=180,BCD=180-45=135.一题多练 答案(5)12解法提示:根据中心对称可知OF=OE=
14、1.5 cm,EF=3 cm.由(2)知AE=CF,CF+ED=AE+ED=AD.ABCD的周长是18 cm,AD+DC=1218=9(cm),四边形CDEF的周长=ED+CF+DC+EF=AD+DC+EF=9+3=12(cm).(6)4解法提示:分别是AOBCOD,AODCOB,ABDCDB,ABCCDA.(7)由(3)得BC=10 cm.设AD与BC间的距离为x,则12ABAC=12BCx,即68=10 x,解得x=4.8,AD与BC间的距离为4.8 cm.【另解】也可由 得出【关键】等面积法第18节 矩形、菱形、正方形与多边形 知识点60 矩形的判定 教材变式 1.人教八下P54定理,2
15、022 眉山东坡区模拟下列条件中,能判定平行四边形ABCD是矩形的是()A.AC=BD B.AB=BCC.AC平分BADD.ACBD答案1.A【题眼】对角线相等的平行四边形是矩形教材变式 2.北师九上P15议一议,2022 金华婺城区期末陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm、宽为3 cm的矩形零件.在交给客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,有可能不合格的零件是()答案2.C(排除法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故A选项不符合题意;有三个角是直角的四边形是矩形,故B选项不符合题意;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,有一个角
16、是直角的平行四边形是矩形,故D选项不符合题意.故选C.教材变式 3.北师九上P16第1题,2022 北京西城区一模如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DG=EF.要使四边形DFGE是矩形,添加的条件可以是 .(写出一个即可)答案3.DE=FG(答案不唯一,或DFEG等)D,E分别是AB,AC的中点,DEBC.DE=FG,四边形DFGE是平行四边形.DG=EF,四边形DFGE是矩形.【题眼】三角形的中位线定理教材变式 4.北师九上P16随堂练习,2022 开封期中如图,在ABCD中,E是DC边上的中点,且EA=EB.(1)求证:ADEBCE.(2)求证:四边形A
17、BCD是矩形.答案思路导图 教材变式 答案4.【参考答案】证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC,D+C=180.(1)E是DC边的中点,DE=CE.在ADE和BCE中,=,=,=,ADEBCE(SSS).(2)由(1)可知,ADEBCE,D=C.D+C=180,D=C=90.四边形ABCD是平行四边形,D=90,四边形ABCD是矩形.一题多练 5.原创如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.【基础设问】(1)若E,F是对角线AC上两点,AE=CF,BEBF,求证:四边形DEBF是矩形.(2)若ADBD,AOD=60,E,F分别是AO,CO的中点,四边形DEBF
18、是矩形吗?请说明理由.(3)若E,F是对角线AC上两点,DEBE,DFBF,DE=3,DF=4,EF=5,求证:四边形DEBF是矩形.(4)若E,F是线段AC上两动点,同时分别从A,C两点出发,都以1 cm/s的速度分别向点C,A运动.求证:不论点E,F在线段AC上的任何位置(点E,F不与点O重合),四边形DEBF始终是平行四边形.【创新设问】(5)(与动点结合)在(4)的基础上,若BD=12 cm,AC=16 cm,当点E,F的运动时间为 s时,四边形DEBF是矩形.一题多练 答案5.【参考答案】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO.AE=CF,OE=OF,四边形D
19、EBF是平行四边形.BEBF,EBF=90,四边形DEBF是矩形.(2)是.理由如下:E,F分别是AO,CO的中点,AO=CO,BO=DO,EO=12AO,FO=12CO,EO=FO,四边形DEBF是平行四边形.ADBD,AOD=60,DO=12AO,DO=EO,BD=EF,四边形DEBF是矩形.(3)证明:DEBE,DFBF,DEB=DFB=90.DE=3,DF=4,EF=5,DE2+DF2=EF2,一题多练 答案DEF是直角三角形,EDF=90,四边形DEBF是矩形.(4)证明:设运动时间为t s,由题意得AE=CF=t.四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO,EO=FO,四边
20、形DEBF始终是平行四边形.(5)2或14解法提示:(分类讨论思想)AO=CO=12AC=8 cm,BO=DO=12BD=6 cm.若四边形DEBF是矩形,则OE=OB.分两种情况讨论.当点E在AO段运动时,OE=8-t,则8-t=6,解得t=2.当点E在OC段运动时,OE=t-8,则t-8=6,解得t=14.综上,当运动时间为2 s或14 s时,四边形DEBF是矩形.知识点61 矩形的判定与性质 教材变式 1.北师九上P12议一议如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列说法不正确的是()A.ABDC B.AC=BDC.ACBDD.OA=OB答案1.C【注意】矩形的对角线不一定
21、互相垂直教材变式 2.人教八下P53例1如图,矩形ABCD的对角线AC=8 cm,BOC=120,则BC的长为()A.2 3 cm B.4 cm C.4 3 cm D.8 cm答案2.C 四边形ABCD是矩形,OB=OC,ABC=90.BOC=120,ACB=(180-120)2=30,AB=12AC=4,由勾股定理可得BC=4 3(cm).教材变式 3.华师八下P100第3题如图,在矩形ABCD中,点M在边CD上,将该矩形沿AM折叠,恰好使点D落在边BC上的点N处,若DAM=20,则MNC=.答案3.50 四边形ABCD是矩形,BAD=B=C=D=90.根据折叠可知ANM=D=90,MAN=
22、DAM=20,NAB=90-DAM-MAN=50,ANB=90-NAB=40,MNC=180-ANB-ANM=50.一题多解 四边形ABCD是矩形,D=C=90,DAM+AMD=90,AMD=90-20=70.由折叠可知,AMN=AMD=70,DMN=140.DMN=C+MNC,MNC=140-90=50.【注意】外角的性质教材变式 4.北师九上P19第5题,2022 长春朝阳区期末如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=8,BC=6,点P为边AB上任意一点(不与点A,B重合),过点P作PEAC,PFBD,垂足分别为E,F,则PE+PF=.答案4.245 连接OP.四边形AB
23、CD是矩形,ABC=90,OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=OB,AC=2+2=82+62=10,S矩形ABCD=ABBC=48,SAOB=14S矩形ABCD=12,OA=OB=5,SAOB=SAOP+SBOP=12OAPE+12OBPF=12OA(PE+PF)=125(PE+PF)=12,PE+PF=245.一题多解 四边形ABCD是矩形,AB=8,BC=6,AC=2+2=10.连接PD,PC,易得SAPC+SBPD=SABC,则12ACPE+12BDPF=1286.AC=BD,AC(PE+PF)=48,10(PE+PF)=48,PE+PF=4810=245.【题眼】利用“等面积”法
24、求两线段之和教材变式 5.北师九上P17例4,2022 宿州埇桥区段考如图,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,AN是ABC的外角CAM的平分线,CEAN,垂足为E.连接DE交AC于点F.(1)判断四边形ADCE的形状,并说明理由;(2)判断DF与AB之间的关系,并说明理由.答案思路导图 教材变式 答案5.【参考答案】(1)四边形ADCE为矩形.理由:AD平分BAC,AN平分CAM,CAD=12BAC,CAN=12CAM,DAE=CAD+CAN=12(BAC+CAM)=12180=90.AB=AC,AD平分BAC,ADBC,ADC=90.CEAN,AEC=90,DAE=ADC=AE
25、C=90,四边形ADCE为矩形.(2)DFAB,DF=12AB.理由:四边形ADCE是矩形,AF=CF.AB=AC,AD平分BAC,BD=CD,DF是ABC的中位线,即DFAB,DF=12AB.【关键】等腰三角形的“三线合一”【提示】三角形的中位线教材变式 一题多解(2)DFAB,DF=12AB.理由:四边形ADCE是矩形,AC=DE,AE=DC,DF=12DE.AB=AC,AD平分BAC,BD=CD,AB=DE,BD=AE,四边形ABDE是平行四边形,DF=12AB,DFAB,DF=12AB.一题多练 6.原创如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点.连接EF交AC于点O,连接
26、AE,CF.【基础设问】(1)若点O是AC的中点,求证:DF=BE.(2)若AECF,求证:ABECDF.(3)若CD=CO,点O是AC的中点,则ACB的度数为 .【创新设问】(4)在(2)的条件下,若ACEF,则四边形AECF的形状是 .(5)在(4)的基础上,若AE=5,AC=8,求EF的长.一题多练 答案6.【参考答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC,FAO=ECO.点O是AC的中点,AO=CO.AOF=COE,AOFCOE,AF=CE,DF=BE.(2)证明:ADBC,AECF,四边形AECF是平行四边形,AE=CF.四边形ABCD是矩形,B=D=90,AB=C
27、D.在RtABE和RtCDF中,=,=,RtABERtCDF(HL).一题多练 答案(3)30解法提示:点O是AC的中点,AO=CO=12AC.CD=CO,CD=12AC.在矩形ABCD中,AB=CD,B=90,AB=12AC,ACB=30.(4)菱形(5)由(4)知,四边形AECF是菱形,EF=2OE,AO=CO=12AC=4.ACEF,AE=5,AO=4,EO=22=5242=3,EF=2EO=6.知识点62 菱形的判定 教材变式 1.北师九上P6做一做,2022 北京西城区期中在数学活动课上,老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形,下面是某小组拟定的4种方案,其中不正确的是()A.测量两条
28、对角线是否分别平分两组内角B.测量四个内角是否相等C.测量两条对角线是否互相垂直且平分D.测量四条边是否相等答案1.B 测量四个内角是否相等,能判定矩形,不能判定菱形,故选B.教材变式 2.人教八下P60第6题,2022 南京秦淮区期中证明:对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.已知:如图,在ABCD中,.求证:四边形ABCD是菱形.答案2.【参考答案】BD平分ABC,BD平分ADC证明:四边形ABCD是平行四边形,ABC=ADC.BD平分ABC,BD平分ADC,ABD=12ABC,ADB=12ADC,ABD=ADB,AB=AD,四边形ABCD是菱形.【点拨】等腰三角形等角对等边教材变式 3.
29、北师九上P9随堂练习第2题,2022 肇庆期末如图,在RtABC中,ABC=90,D,E分别是边BC,AC的中点,连接ED并延长到点F,使DF=ED,连接BE,BF,CF.求证:四边形BFCE是菱形.答案3.【参考答案】证明:D是边BC的中点,BD=CD.DF=ED,四边形BFCE是平行四边形.ABC=90,E是边AC的中点,BE=CE,四边形BFCE是菱形.【关键】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半一题多练 4.原创如图,在ABC中,D,E,F分别在BC,AB,AC边上.【基础设问】(1)若AD平分BAC,DEAC,DFAB.求证:四边形AEDF是菱形.(2)连接EF,若EF是ABC的中位
30、线,B=C,AD平分BAC.求证:四边形AEDF是菱形.(3)在(2)的条件下,若EF=3,B=60,求菱形AEDF的面积.【补充设问】(4)如图,若ABC不是等腰三角形,P是边BC上的一个动点,PDAC交AB于点D,PEAB交AC于点E.请利用尺规作图确定点P的位置,使得四边形ADPE是菱形.(不写作法,保留作图痕迹)一题多练 答案4.【参考答案】(1)证明:DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形.AD平分BAC,BAD=CAD.DEAC,CAD=ADE,BAD=ADE,AE=DE,四边形AEDF是菱形.(2)证明:B=C,AB=AC.AD平分BAC,ADBC,BD=CD.EF是AB
31、C的中位线,EFBC,E,F分别是AB,AC的中点,ADEF,DE,DF是ABC的中位线,DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形.【提示】等量代换【另解】=60=3 3【提示】菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半一题多练 答案ADEF,四边形AEDF是菱形.(3)由(2)可知,EFBC,ADBC.C=B=60,易得ABC和AEF均是等边三角形.EF=3,易得BD=3,AB=6,AD=6232=3 3,S菱形AEDF=1233 3=9 32.(4)如图,点P即为所求.【另解】=tan 60=3 3【提示】菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半知识点63 菱形的判定与性质 教材变式 1.人教
32、八下P58第1题,2022 重庆模拟下列说法错误的是()A.四条边都相等的四边形是菱形B.菱形的对角线长度等于边长C.一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案1.B 教材变式 2.华师八下P113第1题,2022 深圳期末已知菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm,则这个菱形的面积是()A.20 cm2 B.24 cm2C.48 cm2D.100 cm2答案2.B教材变式 3.北师九上P9第3题在菱形ABCD中,若AB=5,AC=6,则BC边上的高为()A.1.2B.2.4C.3.6D.4.8答案3.D图示速解 如图,作BC边上的高h.四边形ABCD是菱形,
33、AOBO,AC=2AO,BD=2BO,BC=AB=5.在RtAOB中,AB=5,AO=12AC=3,BO=22=5232=4,BD=2BO=8,菱形ABCD的面积=12BDAC=1286=24,BCh=24,即5h=24,h=4.8.教材变式 4.北师九上P9习题第1题,2022 武汉江岸区期中如图,在菱形ABCD中,过点C作CEBC,交对角线BD于点E,若A=130,则BEC=.答案4.65 四边形ABCD是菱形,A=130,ABC=180-130=50,DBC=12ABC=25.CEBC,BEC=90-25=65.一题多解 四边形ABCD是菱形,A=130,ADC=180-130=50,B
34、DC=12ADC=25.CEBC,DCE=BCD-90=40,BEC=BDC+DCE=65.【注意】外角的性质教材变式 5.北师九上P27第11题,2022 南平建阳区期中改编如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DEAC,CEBD.(1)求证:四边形OCED是菱形.(2)若AB=3,AD=4,求四边形OCED的周长和面积.答案5.【参考答案】(1)证明:DEAC,CEBD,四边形OCED是平行四边形,OC=DE,OD=CE.又矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OC=OD,OC=OD=CE=DE,四边形OCED是菱形.(2)如图,连接OE,交CD于点F.由(1)知,四边形O
35、CED是菱形,OECD,OC=DE.教材变式 答案四边形ABCD是矩形,OA=OC,OA=DE,四边形AOED是平行四边形,OE=AD,菱形OCED的面积=12OECD=12ADAB=1243=6.在RtABD中,AB=3,AD=4,BD=5,OD=12BD=52,菱形OCED的周长=4OD=452=10.【点拨】菱形的周长=4 边长一题多练 6.原创如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD边上.【基础设问】(1)(证明线段相等)若AEBC,AFCD.求证:BE=DF.(2)(证明角相等)若BE=DF.求证:AFD=AEB.(3)(证明三角形的形状)连接EF,若BE=DF,ABC=AE
36、B=80.求证:AEF为等边三角形.(4)连接AC,若ABCBCD=12,AC=6,则菱形ABCD的面积为 .(5)过点C作CPAC,交AB的延长线于点P,连接PD,若CPA=30,CD=4,则PC=,PD=.【创新设问】(6)若AB=4,BAD=120,AEF为等边三角形,点E(不与点B,C重合),F(不与点C,D重合)分别在边BC,CD上运动.求证:不论点E,F分别在边BC,CD上如何运动,总有BE=CF.一题多练 答案6.【参考答案】(1)证明:AEBC,AFCD,AEB=AFD=90.四边形ABCD是菱形,AB=AD,ABE=ADF.在ABE和ADF中,=,=,=,ABEADF(AAS
37、),BE=DF.(2)证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,ABE=ADF.在ADF和ABE中,=,=,=,ADFABE(SAS),AFD=AEB.一题多练 答案(3)证明:由(2)得,ABEADF,AE=AF,AFD=AEB=80.四边形ABCD是菱形,ADF=ABE=80,ADBC,BAD=180-ABE=100,DAF=BAE=180-ABE-AEB=180-80-80=20,EAF=BAD-BAE-DAF=60,AEF是等边三角形.(4)18 3解法提示:连接BD.ABCBCD=12,ABC+BCD=180,ABC=60,易得ABC是等边三角形,AB=AC=6,BD=2ABsin 6
38、0=2632=6 3,S菱形ABCD=12ACBD=1266 3=18 3.(5)4 3 4 7一题多练 答案解法提示:如图,过点D作DMPC,交PC的延长线于点M,PCA=90,APC=30,CD=4,CB=CD=4,PAC=60,ABC为等边三角形,AC=CB=4,PA=2AC=8,PC=22=4 3.四边形ABCD是菱形,CDAP,DCM=APC=30,DM=12CD=2,CM=22=2 3,PM=6 3,PD=2+2=108+4=4 7.(6)证明:四边形ABCD是菱形,BAD=120,ABC与ACD均为等边三角形,AB=AC,BAC=ABC=ACD=60.一题多练 答案AEF为等边三
39、角形,EAF=60,BAE+EAC=CAF+EAC=60,BAE=CAF.在ABE和ACF中,=,=,=,ABEACF(ASA),BE=CF.不论点E,F分别在边BC,CD上如何运动,总有BE=CF.【注意】等量代换知识点64 正方形的判定 教材变式 1.人教八下P59第1题,2022 北京东城区期中如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE,若沿EF将右侧的矩形纸片剪下来,把所折叠的部分展开,是一个正方形,其数学原理是()A.有一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.两个全等的直角三角形可以构成一个正方形D.成轴对称图形的四边形是正方形答案1.
40、A教材变式 2.人教八下P59思考,2022 株洲天元区期中下列说法不正确的是()A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形答案2.D 有一个角是直角的平行四边形是矩形.教材变式 3.北师九上P27第13题,2022 咸阳期末如图,在RtACB中,C=90,E是两锐角的平分线的交点,EDBC,EFAC,垂足分别为D,F,求证:四边形CDEF是正方形.答案思路导图 教材变式 答案3.【参考答案】证明:如图,过点E作EMAB于点M,AE平分CAB,EFAC,EF=EM.EB平分CBA,EDBC,EM
41、=ED,EF=ED.EDBC,EFAC,C=90,CFE=CDE=C=90,四边形CDEF是矩形.EF=ED,四边形CDEF是正方形.【点拨】角平分线上的点到角两边的距离相等【提示】一组邻边相等的矩形是正方形一题多练 4.定义:依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.【基础设问】(1)任意四边形的中点四边形一定是 形.(2)(对角线垂直)对角线互相垂直的四边形的中点四边形一定是 形.(3)(对角线相等)对角线相等的四边形的中点四边形一定是 形.(4)(对角线垂直且相等)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形一定是 形.(5)正方形的中点四边形是什么图形?并说明理由.【补充设问】
42、(6)如图,在四边形ABCD中,E,G,F,H分别是AD,BC,BD,AC的中点.当AB,CD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?并说明理由.一题多练 答案4.【参考答案】(1)平行四边解法提示:如图(1),由三角形的中位线定理得,EHBD,FGBD,EHFG.同理可得EFHG,四边形EHGF是平行四边形.(2)矩【提示】如图(2),有一个角是直角的平行四边形是矩形(3)菱【提示】如图(3),一组邻边相等的平行四边形是菱形(4)正方【提示】有一个角是直角的菱形是正方形(5)正方形.理由:因为正方形的对角线相等且互相垂直,结合(4)可得其中点四边形是正方形.(6)当ABCD,且AB=CD时,
43、四边形EFGH是正方形.理由:E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,EFAB,EF=12AB,GHAB,GH=12AB,EHCD,EH=12CD,FGCD,FG=12CD,EFGH,EF=GH,四边形EFGH是平行四边形.ABCD,AB=CD,EFEH,EF=EH,四边形EFGH是正方形.一题多练 图示速解 知识点65 正方形的判定与性质 教材变式 1.北师九上P22第2题,2022 衡水期中如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,P为边BC上一点,且BP=OB,则COP=()A.15 B.22.5 C.25 D.17.5答案1.B 四边形ABCD是正方形,BOC=90,
44、OBC=45.BP=OB,BOP=BPO=12(180-45)=67.5,COP=90-67.5=22.5.教材变式 2.北师九上P21例1,2022 邵阳期末如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,过点D作DFDE交BC的延长线于点F,连接EF,若AE=1,则EF的值为()A.3B.10C.2 3D.4答案2.B 四边形ABCD是正方形,DCF=DCB=A=90.DFDE,EDF=90,CDF+EDC=90.ADE+EDC=90,CDF=ADE.在ADE与CDF中,=,=,=,ADECDF,CF=AE=1.E为AB边的中点,AE=1,BE=1,BC=AB=2,BF=3.在RtBEF中,根
45、据勾股定理得EF=2+2=12+32=10.教材变式 3.人教八下P61第12题,2022 三明三元区期中如图,四边形ABCD是正方形,AD平行于x轴,A,C两点的坐标分别为(-2,2),(1,-1),则点B的坐标是 .答案3.(-2,-1)四边形ABCD是正方形,BCAD,ABCD.AD平行于x轴,A,C两点的坐标分别为(-2,2),(1,-1),点B的坐标为(-2,-1).教材变式 4.人教八下P67第6题如图,顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH,如果正方形ABCD的面积为64 cm2,判断四边形EFGH的形状并求EF的长.答案思路导图 教材变式 答案4.【参考答案】四边形
46、EFGH是正方形.如图,连接AC,BD.E,H分别为AB,AD的中点,EHBD,EH=12BD.F,G分别为BC,CD的中点,FGBD,FG=12BD,EHFG,EH=FG,四边形EFGH是平行四边形.四边形ABCD是正方形,ACBD,AC=BD.又EH 12BD,EF 12AC,教材变式 答案EF=EH,且EFEH,四边形EFGH是正方形.正方形ABCD的面积为64 cm2,E,F分别是AB,BC的中点,AB=BC=8 cm,BE=BF=4 cm,易得EF=4 2 cm.一题多练 5.原创四边形ABCD为正方形,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EFDE,交BC于点F,以DE,EF
47、为邻边作矩形DEFG,连接CG.【基础设问】(1)(判定与性质)求证:四边形DEFG是正方形.(2)(求线段长度)若AB=2 2,CE=2,则CG的长为 .(3)当点E在对角线AC上运动时,试判断CE与CG之间的位置关系,并说明理由.(4)(求角度)若线段DE与正方形ABCD的边的夹角是40,则EFC的度数为 .【创新设问】(5)在(3)的条件下,若AB=4,CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.一题多练 答案5.【参考答案】(1)证明:如图(1),过点E作EPCD于点P,EQBC于点Q.四边形ABCD是正方形,易得四边形EQCP是正方形,EQ=EP.由题意知,D
48、EF=90,且QEP=90,QEF=PED.在EQF和EPD中,=,=,=,EQFEPD(ASA),EF=ED.四边形DEFG是矩形,且EF=ED,四边形DEFG是正方形.(2)2解法提示:在RtABC中,易得AC=2AB=4.CE=2,AE=4-2=2,AE=CE,如图(2),一题多练 答案此时点F与点C重合,CG=CE=2.(3)CECG.理由如下:四边形DEFG,ABCD均是正方形,DE=DG,AD=DC,ADC=EDG=90,ADE+CDE=CDG+CDE=90,ADE=CDG.在ADE和CDG中,=,=,=,ADECDG(SAS),DCG=DAE=45.ACD=45,ACD+DCG=
49、90,CECG.(4)130或40(5)CE+CG的值为定值,为4 2.理由如下:【注意】等量代换一题多练 答案由(3)得ADECDG,AE=CG,CE+CG=CE+AE=AC.四边形ABCD是正方形,AB=4,易得AC=2AB=4 2,CE+CG=4 2,CE+CG的值是定值.一题多练 答案图示速解(4)解法提示:(分类讨论思想)分以下两种情况讨论.如图(3),当线段DE与边AD的夹角为40时,ADE=40,则EDC=90-40=50.DEF=BCD=90,EFC=180-50=130.如图(4),当线段DE与边DC的夹角为40时,EDC=40,DCF=DEF=90,1=2,EFC=EDC=
50、40.综上所述,EFC=130或40.【提示】利用四边形的内角和定理知识点66 四边形综合 教材变式 1.人教八下P59思考,2022 深圳罗湖区期中矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行且相等 B.邻角互补C.对角线互相平分 D.对角线相等答案1.D教材变式 2.华师八下P126第14题如图,已知ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列说法正确的是()A.当OA=OB时,ABCD为菱形B.当AB=AD时,ABCD为正方形C.当ABC=BCD时,ABCD为矩形D.当ACBD时,ABCD为正方形答案2.C(排除法)四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.又OA=O
51、B,AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由菱形的定义可知,ABCD为菱形,故选项B中说法错误.在ABCD中,ABCD,ABC+BCD=180.当ACBD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定ABCD为菱形,但无法判定其为正方形,故选项D中说法错误.故选C.教材变式 3.北师九上P25第2题,2022 福州期末如图,在正方形ABCD中,点E,F在对角线BD上,且AECF,连接AF,CE.求证:四边形AECF是菱形.答案3.【参考答案】证明:如图,连接AC交BD于点O,四边形ABCD是正方形,ACBD,AO=CO.
52、AECF,EAO=FCO,AEO=CFO,AEOCFO(AAS),AE=CF.AE=CF,AECF,四边形AECF是平行四边形.ACEF,四边形AECF是菱形.教材变式 4.北师九上P27第14题,2022 周口期末改编如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)当四边形CEDF是矩形时,求AE的长;当四边形CEDF是菱形时,AE的长为 cm.答案4.【参考答案】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,BCAD,即CFED,FCG=E
53、DG.G是CD的中点,CG=DG.在FCG和EDG中,=,=,=,FCGEDG,FG=EG.四边形CEDF是平行四边形.教材变式 答案(2)四边形ABCD是平行四边形,CDA=B=60,DC=AB=3 cm,AD=BC=5 cm.四边形CEDF是矩形,CED=90,ECD=30.在RtCED中,易得ED=12CD=1.5 cm,AE=AD-ED=5-1.5=3.5(cm).故当四边形CEDF是矩形时,AE=3.5 cm.2解法提示:四边形CEDF是菱形,CE=ED.由可知,CDA=60,CED是等边三角形,DE=CD=AB=3 cm.AE=AD-DE=5-3=2(cm).故当四边形CEDF是菱
54、形时,AE=2 cm.一题多练 5.如图(1),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DPOC,且DP=OC,连接CP.【基础设问】(1)请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(2)如果将矩形变为菱形,如图(2),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(3)如果将矩形变为正方形,如图(3),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.【补充设问】(4)如图,菱形ABCD的面积为96,正方形AECF的面积为72,则菱形ABCD的周长为.一题多练 答案【参考答案】(1)四边形CODP是菱形.理由:DPOC,DP=OC,四边形CODP是平行四边形.四边形ABCD是矩形,思路导图 一
55、题多练 答案AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,OC=OD,四边形CODP是菱形.(2)四边形CODP是矩形.理由:DPOC,DP=OC,四边形CODP是平行四边形.四边形ABCD是菱形,ACBD,DOC=90,四边形CODP是矩形.(3)四边形CODP是正方形.理由:DPOC,DP=OC,四边形CODP是平行四边形.四边形ABCD是正方形,ACBD,AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,一题多练 答案DOC=90,OC=OD,四边形CODP是正方形.(4)40解法提示:如图,连接AC,BD相交于点O.由正方形和菱形的对角线互相垂直平分可知,点B,E,O,F,D共线.正方形AEC
56、F的面积为72,12AC2=72,AC=2 72=12.菱形ABCD的面积为96,12ACBD=96,BD=96212=16.在RtABO中,AO=12AC=6,BO=12BD=8,AB=62+82=10,即菱形ABCD的边长为10,菱形ABCD的周长为40.知识点67 多边形及其性质 教材变式 1.人教八上P22例2,2022 眉山期中若正多边形的一个外角的度数为45,则这个正多边形是()A.正五边形 B.正六边形C.正八边形D.正十边形答案1.C 36045=8(条).【点拨】多边形的外角和等于360教材变式 2.北师八下P154议一议,2022 上海青浦区期中改编若一个多边形截去一个角后
57、,形成的新多边形的内角和是1 620,则原来多边形的边数可能是()A.10或11B.11C.11或12D.10或11或12答案2.D 设新多边形的边数为n,则(n-2)180=1 620,解得n=11.多边形截去一个角后,边数可以增加1、不变或减少1,原来多边形的边数可能是10或11或12.【注意】多边形截去一个角后,如果不经过顶点,则边数增加1;如果只经过1个顶点,则边数不变;如果经过两个顶点,则边数减少1.易漏解教材变式 3.人教九上P106例题,2022 石家庄二模如图,AB是O的内接正六边形的一边,点C在 上,且BC是O的内接正八边形的一边.连接AC,OA,OB.若AC是O的内接正n边
58、形的一边,则n=.答案3.24 连接OC.AB是O内接正六边形的一边,AOB=3606=60.BC是O内接正八边形的一边,BOC=3608=45,AOC=AOB-BOC=60-45=15,n=36015=24.教材变式 4.人教八上P25第6题若一个多边形的外角和比它的内角和的14少90,则这个多边形的边数为 .答案4.12 设这个多边形是n边形,由题意可知,(n-2)18014-90=360,解得n=12.故这个多边形的边数是12.教材变式 5.北师八下P155例题,2022 驻马店期末如图,淇淇从点A出发,直行前进10米后向右转20,再直行前进10米后又向右转20,这样一直走下去,直到他第
59、一次回到出发点A为止,他所走的路线构成了一个多边形.(1)淇淇第一次回到出发点A时,一共走了多少米?(2)求这个多边形的内角和.答案5.【参考答案】(1)由题意可得,淇淇所走的路线正好构成一个外角是20的正多边形,36020=18,1810=180(米).答:淇淇第一次回到出发点A时,一共走了180米.(2)由(1)得,这个正多边形是正十八边形,(18-2)180=2 880答:这个多边形的内角和是2 880.【技巧】边形内角和=(2)180一题多练 6.小虎求出一个多边形的内角和为1 840,小明说他算错了,于是小虎认真地检查了一遍.【基础设问】(1)小明的说法正确吗?请说明理由.(2)若小
60、虎检查发现其中一个内角多算了一次,则这个多边形的边数是 .(3)若小虎检查发现漏算了一个内角,求漏算的内角的度数.(4)在(3)的条件下,求这个多边形正确的内角和.【补充设问】(5)若一个多边形的各边长度相等,周长是100,内角和为1 440,则该多边形的边长为 .答案6.【参考答案】(1)小明的说法正确.理由如下:设这个多边形为n边形,根据题意得(n-2)180=1 840,解得n=1229.n不是整数,小虎算错了,小明的说法正确.一题多练 答案(2)12解法提示:设这个多边形的边数为m,多算的内角的度数是x,则(m-2)180=1 840-x.0 x180,01 840-(m-2)1801
61、80,1129m1229,m为正整数,m=12,x=40.故这个多边形的边数是12.(3)设这个多边形的边数为a,漏算的内角的度数是y,则(a-2)180=1 840+y,a为正整数,0y180,a=13,y=140.故漏算的内角的度数是140.【点拨】实际内角和=原内角和+漏算的内角的度数一题多练 答案(4)结合(3)可知,这个多边形是十三边形,则(13-2)180=1 980,这个多边形的内角和是1 980.(5)10解法提示:设这个多边形为q边形.根据题意,得(q-2)180=1 440,解得q=10.由题意得,这个多边形为正十边形,边长是10010=10.易错自测10 四边形 1.20
62、22 福州晋安区期中若四边形ABCD是 ,则四边形ABCD一定是 ,这两空依次可以填()A.平行四边形 矩形 B.矩形 菱形C.菱形 正方形D.正方形 平行四边形答案1.D图示速解 四边形的关系图如下.2.2022 济宁期中如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使ABECDF,则添加的条件不能为()A.BAE=DCFB.BEA=DFCC.AE=CFD.BE=DF答案2.C【易错】SSA不是判定三角形全等的依据逐项分析如下.选项依据正误AASABAASCSSADSAS3.2022 赣州模拟如图,在ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则下列四个判断中
63、,错误的是()A.四边形ADEF是平行四边形B.若A=90,则四边形ADEF不一定是矩形C.若四边形ADEF是菱形,则ABC是等腰三角形D.若四边形ADEF是正方形,则ABC是等腰直角三角形答案3.B 点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,EF=AD=DB=12AB,DE=AF=FC=12AC,EFAB,DEAC,四边形ADEF是平行四边形.A=90,四边形ADEF是矩形.四边形ADEF是菱形,AD=AF,AB=AC,ABC是等腰三角形.四边形ADEF是正方形,A=90,AD=AF,AB=AC,ABC是等腰直角三角形.故选B.【易错】正方形是特殊的矩形4.如图,在RtABC中,AC=3,B
64、C=4,D为斜边AB上一动点,DEBC,DFAC,垂足分别为E,F.连接EF,则线段EF的长的最小值为()A.45 B.35 C.52 D.125答案4.D 如图,连接CD,DEBC,DFAC,ACB=90,四边形CEDF是矩形,EF=CD.当CDAB时,CD的长有最小值,即此时线段EF的长有最小值.AC=3,BC=4,AB=2+2=5.当CDAB时,SABC=12ABCD=12ACBC,CD=125,即线段EF长的最小值为125.【注意】垂线段最短5.2022 广州越秀区期中改编如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B处,若AE=2,DE=6,EFB=60,则矩形ABCD的面积
65、是()A.12B.24C.12 3D.16 3答案5.D 在矩形ABCD中,ADBC,DEF=EFB=60.由翻折可知,EFB=EFB=60,ABF=B=90,A=A=90,AE=AE=2,AB=AB.在EFB中,BEF=EFB=60,EFB是等边三角形,EBF=60.在RtAEB中,ABE=90-60=30,BE=2AE=4,AB=2 3,即AB=2 3.AE=2,DE=6,AD=AE+DE=2+6=8,矩形ABCD的面积=ABAD=2 38=16 3.6.2021 厦门期末如图,四边形ABCD是正方形,E为正方形ABCD外一点,已知DCE为等边三角形,连接BE交边DC于点G.写出图中一个度
66、数为75的角:.(写出一个即可)答案6.ABG(答案不唯一,或CGB,DGE)7.2022 宁波外国语学校期末在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么m的取值范围是 .答案7.2m8 四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=6,OA=OC=12AC=5,OB=OD=12BD=3.OA-OBABOA+OB,即5-3m5+3,2m8.【注意】利用三角形的三边关系确定m的取值范围8.2022 银川期中如图,E为菱形ABCD的对角线BD延长线上的一点,连接AE,CE.(1)求证:AE=CE;(2)若BC=10,AE=13,ABC=60,求BE的
67、长.答案思路导图 答案【参考答案】(1)证明:如图,连接AC交BD于点O,四边形ABCD是菱形,BD垂直平分AC,即直线BD是线段AC的垂直平分线,AE=CE.(2)四边形ABCD是菱形,ACBD,ABO=12ABC=30,AB=BC=10,AOB=AOD=90,OA=12AB=5,OB=22=10252=5 3,OE=22=13252=12,BE=OB+OE=5 3+12.【注意】利用勾股定理求长度一题多解(1)证明:四边形ABCD是菱形,AD=CD,ADB=CDB,ADE=CDE.DE=DE,ADECDE,AE=CE.教材文化拓展5 四边形与多边形 1.华师八下P120读一读我们先学习了平
68、行四边形的性质和判定定理,再通过平行四边形边角的特殊化得到了特殊平行四边形矩形、菱形和正方形.根据它们的特殊性,得到了这些特殊平行四边形的性质和判定定理,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.转化 B.分类讨论C.数形结合D.由一般到特殊答案1.D 2.华师八下P122阅读材料,2022 长春南关区期末把边长为6a的正方形纸片沿如图(1)的虚线剪开,无缝隙且不重叠地拼接成如图(2)的长方形,则新长方形的周长与正方形的周长相比()A.不变 B.减少2aC.增加2aD.无法确定答案2.C3.北师八下P163综合与实践,2021 苏州工业园区期末用“筝形”和“镖形”两种形状的瓷砖铺设成如图所示的地
69、面,则“筝形”瓷砖中的内角BCD=.答案3.144图示速解 如图,5个“筝形”组成一个正10边形,BCD=(10-2)18010=144.【另解】=180360 10=1444.沪科八下P95阅读与欣赏,2022 亳州期末1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成10个大小不同的正方形(如图所示),图中的数字为正方形编号.其中编号为1,2的正方形的边长分别为x,y.(1)编号为4的正方形的边长为 ;(用含x,y的代数式表示)(2)当y-x=2时,编号为10的正方形的面积为 .答案4.(1)x+2y(2)36(1)由题图得,编号为3的正方形的边长是x+y,所以编号为4的正方
70、形的边长是x+2y.(2)由(1)可得,编号为5的正方形的边长是x+3y,编号为6的正方形的边长是(x+3y)+(y-x)=4y,编号为7的正方形的边长是4y-x,所以易得编号为10的正方形的边长是(4y-x)-x-(x+y)=3y-3x.当y-x=2时,编号为10的正方形的边长为3y-3x=3(y-x)=32=6,所以编号为10的正方形的面积为66=36.5.华师八下P122阅读材料,2021 徐州模拟将图(1)、图(2)、图(3)中的直角三角形纸片、锐角三角形纸片、四边形纸片分别裁剪成若干块,并分别拼成一个矩形,请画出裁剪线和拼接示意图.答案5.【参考答案】裁剪线和拼接示意图如图所示.(答
71、案不唯一)6.人教八下P63实验与探究如图,两个正方形ABCD,OEFG的边长都是a,其中点O是正方形ABCD的中心.(1)请直接写出图(1)到图(2)是经过怎样的变换形成的.(2)求图(3)中四边形OPCQ的面积.答案6.【参考答案】(1)图(2)中的正方形OEFG以点O为旋转中心,顺时针旋转45即可得到图(3).(2)(转化思想)如图,连接OC,OD,四边形ABCD,OEFG是正方形,OC=OD,POC+COQ=QOD+COQ=90,ODQ=OCP=45,POC=QOD,COPDOQ,SCOP=SDOQ,四边形OPCQ的面积=OCD的面积=14a2.7.人教八下P64数学活动1如果我们身旁
72、没有量角器或三角尺,又需要作60,30,15等大小的角,可以采用下面的方法.第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开如图(1).第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时,得到了线段BN,MN如图(2).(1)求NBC的度数;(2)通过以上折纸操作,还得到了一些不同角度的角,请直接写出除NBC以外的两个角及它们的度数;(3)通过证明可知,这是从矩形得到30角的好方法.请你继续折出15大小的角,说出折纸步骤.答案7.【参考答案】(1)如图(1),连接AN.由折叠可得AB=NB,EF垂直平分AB,NA=NB,AB=NA=NB,ABN为等边三角形,ABN=60.四边形ABCD为矩形,ABC=90,NBC=ABC-ABN=90-60=30.(2)ABM=NBM=30,AMB=60等(答案不唯一).(3)如图(2)所示,把纸片展平后,再一次折叠纸片,使点A落在BM上的点P处,并使折痕经过点B,得到折痕BH,则ABH=HBM=15(答案不唯一).一题多解(1)由题意知,AE=BE,AB=BN,NEB=90,BE=12AB=12BN,ENB=30.又EFBC,NBC=ENB=30.