1、第8讲 平面解析几何 调研一 直线与圆 一、直线方程的相关概念表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时(取 x轴作为基准)，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角范围：0 0)x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(a，b)(D2，E2)半径r12 D2E24F(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以 AB 为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(3)参数方程：xarcosybrsin(为参数)圆心(a，b)，半径为 r.直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆
2、心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0，消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系 几何法代数法相交d0相切dr0相离drr，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210 三、重要公式中点坐标公式若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段 P1P2 的中点 M(x，y)的坐标为：xx1x22，yy1y22.若线段的中点 M(x0，y0)，一个
3、端点为(a，b)，则另一个端点为(2x0a，2y0b)弦心距公式直线截圆所得的弦长为 2a，圆的半径为 r，弦心距为 d，则弦心距公式为 d r2a2.切线长公式 圆的方程为 f(x，y)x2y2DxEyF0，或 f(x，y)(xa)2(yb)2R20，圆外有一点 P(x0，y0)，由点 P 向圆引的切线的长为 l f（x0，y0）.考 向 调 研 考向一 直线方程命题方向：1求直线的倾斜角与斜率；2求直线的方程；3两直线的位置关系(1)(2017长沙二模)“a1 或a0，即 a0，所以“a2 Ba2Ca2 Da4【解析】由2xay20，xy0，得 y 2a20，所以 ar1r2两圆相离；dr
4、1r2两圆外切；|r1r2|dr1r2两圆相交；d|r1r2|两圆内切；d0)，代入圆的方程得(1k2)x22 15k2x15k2250，xAxC2 15k21k2，xAxC15k2251k2.由题意知四边形 ABCD 是一个以 x 轴为对称轴的等腰梯形，则其面积 S122|yAyC|xAxC|k|xAxC|2 k(xA xC)2 4xAxC k(2 15k21k2)2 4 15k2251k2 10k（4k210）（k21）2，则 S20（2k21）（k25）（k21）3，则当 0k0，当 k 22 时，S0 的前提下，利用根与系数的关系，结合弦长公式求弦长；(2)几何方法，利用点到直线的距离
5、公式，结合弦长公式：L2 r2d2(其中弦心距为 d，圆的半径长为 r)2(1)(2017海口调研)已知 M 与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切，圆心在直线 yx4 上，则圆 M 的标准方程为()A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21答案 C解析 到两直线 3x4y0 和 3x4y100 的距离都相等的直线方程为 3x4y50，联立方程组3x4y50，yx4，解得x3，y1，所以圆 M 的圆心坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为1032422，所以圆 M 的半径为 1，所以圆 M 的方程为(x3)2(y1)21，故选
6、 C.(2)(2017陕西质检一)圆：x2y22x2y10 上的点到直线 xy2 距离的最大值是()A1 2B2C1 22D22 2答案 A解析 将圆的方程化为(x1)2(y1)21，即圆心坐标为(1，1)，半径为 1，则圆心到直线 xy2 的距离 d|112|22，故圆上的点到直线 xy2 距离的最大值为 d1 21，选 A.(3)(2017东北四市二模)直线 kx3y30 与圆(x1)2(y3)210 相交所得弦长的最小值为_答案 2 5解析 本题考查直线和圆的位置关系以及最短弦问题由条件可求得直线 kx3y30 恒过圆内定点(0，1)，则圆心(1，3)到定点(0，1)的距离为 5.当已知
7、直线垂直于圆心与定点的连线所在直线时，弦长最短时，因此最短弦长为 2 10（5）22 5.(4)(2017云南统一检测)已知 a2，b2，直线 ybaxb 与曲线(x1)2(y1)21 只有一个公共点，则 ab 的取值范围为()A(4，64 2)B(4，64 2C64 2，)D(64 2，)答案 C解析 本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式a2，b2，2a0，2b0，ababa（2b）2b（2a）20，解得3k1.因为点 P 是直线与圆的公共点，所以ab2k，a2b2k22k3，即 ab32k2k3232(k13)253，所以当 k3 时，ab 取得最大值 9，故选 B.4(2017武汉 4
8、 月调研)已知圆 C：(x1)2(y4)210 和点 M(5，t)，若圆 C 上存在两点 A，B，使得 MAMB，则实数t 的取值范围为()A2，6 B3，5C2，6 D3，5答案 C解 析 当MA，MB与 圆 相 切 时，|CM|（51）2（t4）2 20，由题意，圆 C 上存在两点使MAMB，则|CM|（51）2（t4）2 202t6，故选 C.5(2017广西二市联考)过动点 M 作圆：(x2)2(y2)21的切线 MN，其中 N 为切点，若|MN|MO|(O 为坐标原点)，则|MN|的最小值是_答案 7 28解析 本题考查直线与圆的位置关系设圆心 C(2，2)，因为|MN|MO|，所以
9、|MN|2|MC|21|MO|2.设 M(x，y)，则(x2)2(y2)21x2y2，化简得 4x4y70，即为点 M 的轨迹方程，则|MN|的最小值为|MO|的最小值，即点 O 到直线 4x4y70 的距离，所以|MN|min|7|16167 28.6(2017广东五校诊断)两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b20 恰有三条公切线，若 aR，bR 且 ab0，则1a2 1b2的最小值为_答案 1解析 两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b20 配方得，(xa)2y24，x2(y2b)21，依题意得两圆相外切，故 a24b2123，即 a24b29，1a2 1
10、b2(a294b29)(1a2 1b2)19 a29b24b29a249592a29b24b29a21，当且仅当 a29b24b29a2，即 a22b2 时等号成立，故1a2 1b2的最小值为 1.调研二 椭圆椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数(3)当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2ab0)y2a2x2b21(ab
11、0)图形范围axa bybbxb aya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率eca(0，1)性质a，b，c的关系a2b2c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)SPF1F2 12|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的
12、周长为2(ac)(4)F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则ac|PF1|ac，ac|PF2|ac.特殊的椭圆系方程(1)与椭圆 x2m2 y2n2 1共焦点的椭圆可设为x2m2k y2n2k 1(km2，kn2)(2)与椭圆x2a2y2b21(ab0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2y2b2k1(k10，焦点在x轴上)或y2a2x2b2k2(k20，焦点在y轴上)求椭圆离心率的方法(1)定义法：直接求出a，c的值来解e，通过已知条件列方程，解出a，c的值(2)解方程法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置求离心率此
13、方法多用于选择题和填空题(4)求椭圆离心率的最值，往往借助图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的椭圆中常用结论(1)设F1，F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，AB是过F1的弦，则ABF2的周长为4a.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin2b2a.(3)AB为椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l 1k2|x1x2|1 1k2|y1y2|；直线AB的斜率kABb2x0a2y0.考 向 调 研 考
14、向一 定义与方程命题方向：1利用定义求值；2求椭圆方程(1)(2016河北七校)已知圆 M：(x 5)2y236，定点N(5，0)，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段MP 上，且满足NP 2NQ，GQ NP 0，则点 G 的轨迹方程是()A.x29 y24 1 B.x236y2311C.x29 y24 1 D.x236y2311【解析】NP 2NQ，GQ NP 0 知，GQ 是线段 NP 的垂直平分线，|GN|GP|，|GM|GN|MP|6.点 G 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆由 2a6，得 a3，又 c 5，b24.点 G 的轨迹方程为x29 y24 1.【
15、答案】A(2)(2017西宁检测)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆y24 x23 1 上的一个动点，点 A(1，1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5 B4C3 D2【解析】本题考查椭圆的定义、几何性质的应用因为点B 是椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点是 B(0，1)，所以|PB|2a|PB|4|PB|，则|PA|PB|4|PA|PB|4|AB|5，当且仅当点 P 在 AB延长线上时取等号，所以|PA|PB|的最大值为 5，故选 A.【答案】A【知识总结】点 A 为椭圆内一定点，点 P 为椭圆上一动点，F 为椭圆的一个焦点，则求|PA|PF|的最值时，常利用椭圆的定义求解
16、3(1)(2017云南检测)已知椭圆 E 的中心为原点 O，焦点在x 轴上，E 上的点与 E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线 4x5y120 交椭圆 E 于 M，N 两点设 P 为线段MN 的中点，若直线 OP 的斜率等于45，则椭圆 E 的方程为_答案 x225y2161解析 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系设椭圆的方程的为x2a2y2b21(ab0)，则由题意，得122cb12，即bc12.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则 x1x22x0，y1y22y0，kOPy0 x0y1y2x1x245.由 b2x12a2y12a2b2与 b2x22
17、a2y22a2b2 相减，得 b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0.则y1y2x1x2y1y2x1x2b2a2，又y1y2x1x245，则45(45)b2a2，即b2a21625.由及 a2b2c2，解得 a225，b216，椭圆 E的方程为x225y2161.(2)(2016东北四市联考)F1，F2 分别为椭圆x236y2271 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且OB 12(OA OF1)，OC 12(OA OF2)，则|OB|OC|_答案 6解析 设A(x0，y0)，则OB(12(x03)，12y0)，OC(12(x03)，12 y0)，|OB|OC|12(（x03）
18、2y02（x03）2y02)，又（x03）2y02（x03）2y02 为椭圆上的点到两焦点的距离之和，根据椭圆的定义知，其值为12，|OB|OC|12126.考向二 性质及位置关系命题方向：1考查椭圆性质；2直线与椭圆的位置关系(1)(2017课标全国)已知椭圆C：x2a2 y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.63 B.33C.23D.13【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离d2abb2a2 a，得a23b2，所以C的离心率e1b2a2 63，选A.【答
19、案】A(2)(2017广东综合测试)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A(22，1)B(12，1)C(0，22)D(0，12)【审题】本题主要考查椭圆的性质、离心率等知识，考查考生的运算求解能力与抽象概括能力【解析】方法1：设P(x0，y0)，由题易知|x0|a，因为F1PF2为钝角，所以 PF1 PF2 x02y02有解，即c2(x02y02)min，又y02b2b2a2x02，x02b2，又b2a2c2，所以e2c2a2 12，解得e22，又0e1，故椭圆C的离心率的取值范围是(2
20、2，1)，选A.方法2：椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为原心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc，如图，由bc，得a2c2c2，即a2 22，又0eb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若F1AB是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B2 3C.52 D.6 3答案 D解析 设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|2m.由椭圆的定义可得ABF1 的周长为 4a，即有 4a2m 2m，即 m(42 2)a，则|AF2|2am(2 22)
21、a，在 RtAF1F2 中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2 2)2a24(21)2a2，即有 c2(96 2)a2，即 c(6 3)a，即 eca 6 3，故选 D.(2)(2017百校联盟二模)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y轴交于点 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则椭圆 C 的离心率 e为()A.13B.12C.23D.34答案 A解析 由题意设直线 l 的方程为 yk(xa)(k0)，分别
22、令 xc 与 x0 得|FM|k|(ac)，|OE|k|a，设 OE 的中点为 H，由OBHFBM，得12|OE|FM|OB|BF|，即|k|a2|k|（ac）aac，整理得ca13，所以椭圆 C 的离心率 e13，故选 A.(3)(2016衡中调研)已知圆 C1：x22cxy20，圆 C2：x22cxy20，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0，焦距为 2c)，若圆 C1，C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A12，1)B(0，12C 22，1)D(0，22 答案 B解析 易得圆 C1：(xc)2y2c2，圆 C2：(xc)2y2c2，若圆 C1，C2 均在椭圆 C 内，即圆心到椭
23、圆上点的最小距离大于或等于圆的半径 c，根据椭圆上的点到焦点的最小距离是 ac，则圆心 C1(c，0)到椭圆左端点和圆心 C2(c，0)到椭圆右端点的距离为最小，均为 ac，所以 acc，即 a2c，故ca12，又ca0，则椭圆离心率的范围是(0，121(2017福建南安一中段考)设 e 是椭圆x2k y24 1 的离心率，且 e(12，1)，则实数 k 的取值范围是()A(0，3)B(3，163)C(0，2)D(0，3)(163，)答案 D解析 当焦点在 x 轴上时，e k4k(12，1)，k4k(14，1)，k(163，)；当焦点在 y 轴上时，e 4k2(12，1)，k(0，3)故实数
24、k 的取值范围是(0，3)(163，)2(2017云南曲靖一中期中)椭圆：x24 y21 上的一点 A 关于原点的对称点为 B，F2 为它的右焦点，若 AF2BF2，则三角形AF2B 的面积是()A2 B4C1 D.32答案 C解析 直径所对圆周角为2，可以联想到以 AB 为直径的圆O 与椭圆交于 A，B 两点，且 F2 在圆 O 上，圆的半径为 c a2b2 3，故圆的方程为 x2y23，联立方程组x2y23，x24 y21，解得 y 33，所以 SAF2B12 32 33 1.故选 C.3(2017郑州质量预测)椭圆x25 y24 1 的左焦点为 F，直线 xa 与椭圆相交于 M，N，当F
25、MN 的周长最大时，FMN 的面积是()A.55B.6 55C.8 55D.4 55答案 C解析 设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知FMN 的周长为 L|MN|MF|NF|MN|(2 5|ME|)(2 5|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线 MN 过点 E 时取等号，所以 L4 5|MN|ME|NE|4 5，即直线xa 过椭圆的右焦点 E 时，FMN 的周长最大，此时 SFMN12|MN|EF|12245 28 55，故选 C.4(2016武昌调研)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点 F(c，0)关于直线 bxcy0 的对称点 P 在椭圆上，则椭圆
26、的离心率是()A.24B.34C.33D.22答案 D解析 设焦点 F(c，0)关于直线 bxcy0 的对称点为 P(m，n)则nmc（bc）1，bmc2cn20所以nmccb，bmbcnc0.所以 mb2cc3b2c2（a22c2）ca2(12e2)c，nc2bbc2b2c2 2bc2a2 2be2.因为点 P(m，n)在椭圆上，所以（12e2）2c2a24b2e4b2 1，即(12e2)2e24e41，即 4e6e210，将各选项代入知 e 22 符合，故选 D.5(2017江西五市联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，A，B为椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M
27、(a5，0)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是()A(22，1)B(33，1)C(34，1)D(55，1)答案 D解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则（x1a5）2y12（x2a5）2y22，x12a2 y12b21，x22a2 y22b21，2a5（x1x2）x12x22y12y22，y12b2b2a2x12，y22b2b2a2x22，所以2a5(x1x2)a2b2a2(x12x22)，所以2a35（a2b2）x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2ax1x22a，则2a35（a2b2）2a，即b2a215.又 0e1，所以 55 e1.6(2016广州综合测试
28、)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，点 F 关于直线 y12x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为_答案 5x29 5y24 1解析 设 F(1，0)关于直线 y12x 的对称点为(x，y)，则0y2 121x2，y0 x1121解得x35，y45.由于椭圆的两个焦点为(1，0)，(1，0)，所以 2a（351）2（45）2（351）2（45）26 55，a3 55，又 c1，所以 b2a2c295145，所以椭圆 C的方程为x295y2451，即5x29 5y24 1.调研三 双 曲 线双曲线的定义及理解(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小
29、于两定点间的距离)的动点的轨迹两定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距(2)符号语言：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在双曲线的方程与性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx 离心离eca，e(1，)，其中 c a2b2 性质轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a
30、叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长 双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线方程可设x2a2y2b2(0)(2)若双曲线的渐近线方程为 ynmx，则双曲线方程可设为x2m2y2n2(0)或 n2x2m2y2(0)(3)与双曲线x2a2y2b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2a2ky2b2k1(b2ka2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2ny21(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2y2 b21(b2 0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2 的对称点分别
31、为 A，B，线段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则 a()A3 B4C5 D6【审题】本题考查双曲线的定义，考查考生分析问题、解决问题的能力【解析】如图，设 MN 的中点为 P.F1 为 MA 的中点，F2 为 MB 的中点，|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.故选A.【答案】A(2)(2017课标全国)已知 F 是双曲线 C：x2y23 1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为()A.13B.12C.23D.32【解析】方法 1：由题可知，双曲
32、线的右焦点为 F(2，0)，当 x2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4y23 1，解得 y3，不妨取点 P(2，3)，因为点 A(1，3)，所以 APx 轴，又 PFx轴，所以 APPF，所以 SAPF12|PF|AP|123132.故选D.方法 2：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2，0)，当 x2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4y23 1，解得 y3，不妨取点 P(2，3)，因为点 A(1，3)，所以AP(1，0)，PF(0，3)，所以AP PF0，所以 APPF，所以 SAPF12|PF|AP|123132.故选 D.【答案】D(3)(2017太原一模)已知双曲线经过点(1，2 2
33、)，其一条渐近线方程为 y2x，则该双曲线的标准方程为_【解析】通解：因为点(1，2 2)在渐近线 y2x 的左上方，所以双曲线的焦点在 y 轴上，故设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，所以ab2，8a2 1b21，解得 a2，b1，所以双曲线的标准方程为y24 x21.优解：因为双曲线的渐近线方程为 y2x，所以设双曲线的方程为y24 x2(0)，又双曲线过点(1，2 2)，所以 1，所以双曲线的标准方程为y24 x21.【答案】y24 x21【易错点拨】求双曲线的标准方程，首先要判断标准方程的类型，不要先忙于计算，题设中双曲线过点(1，2 2)，渐近线方程为 y2x 都不
34、能独立确定标准方程的类型，要综合运用才能做出判断，或者进行分类讨论，同时当焦点在 y 轴上时是ab2而非ba2.5(1)(2017长沙一模)P 是双曲线 C：x22 y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，P 在 l 上的射影为 Q，F1 是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1 B2 155C4 155D2 21答案 D解析 设 F2 是双曲线 C 的右焦点，因为|PF1|PF2|2 2，所以|PF1|PQ|2 2|PF2|PQ|，显然当 F2，P，Q 三点共线且P 在 F2，Q 之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为 F2 到 l 的距离易知 l 的
35、方程为 y x2或 y x2，F2(3，0)，求得 F2 到 l 的距离为 1，故|PF1|PQ|的最小值为 2 21.选 D.(2)(2017百校联盟二模)已知双曲线 M 的离心率为 3，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为 2，则双曲线 M 的标准方程是_答案 x22 y24 1 或y22 x24 1解析 易知双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，故 b24，又eca 3，所以 c2a243a2，解得 a22，所以该双曲线的标准方程是x22 y24 1 或y22 x24 1.(3)(2017广东综合测试)已知双曲线 C：x2a2y24 1(a0)的一条渐近线方程为 2x3y0，F1，F2 分别是
36、双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|7，则|PF2|等于()A1 B13C4 或 10 D1 或 13答案 D解析 由一条渐近线方程为 2x3y0 和 b2 可得 a3，|F1F2|2 942 13，由点 P 在双曲线 C 上，|PF1|7，得|7|PF2|2a236，可得|PF2|1 或 13，根据|PF1|7，|PF2|1，|F1F2|2 13，或者|PF1|7，|PF2|13，|F1F2|2 13，均能满足三角形成立的条件，选 D.(4)(2017郑州质量预测)已知双曲线 x2a3 y22a1，焦点在 y轴上若焦距为 4，则 a 等于()A.32B5C7 D.
37、12答案 D解析 由题意，得2a0，a30，解得 a0，b0)的一条渐近线方程为 y 52 x，且与椭圆x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为()A.x28 y2101 B.x24 y25 1C.x25 y24 1 D.x24 y23 1答案 B解析 根据双曲线 C 的渐近线方程为 y 52 x，可知ba 52 ，又椭圆x212y23 1 的焦点坐标为(3，0)和(3，0)，所以 a2b29，根据可知 a24，b25，所以选 B.考向二 离心率命题方向：1求离心率的值；2求离心率的范围(1)(2017南昌十校二模)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 30，
38、则其离心率的值为()A2 B2 2C.2 33D.3 22【审题】本题主要考查双曲线的方程、性质(渐近线、离心率)，考查考生的运算能力【解析】依题意可得双曲线的渐近线方程为 ybax，batan30 33，故b2a213，离心率为 ecac2a2a2b2a2432 33，选 C.【答案】C(2)(2017兰州实战模拟)已知 F1，F1 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为 P，PF1 与双曲线相交于点 Q，且|PQ|2|QF1|，则该双曲线的离心率为()A.5B2C.3D.53【审题】本题主要考查双曲线的定义与简单几何性质【解析
39、】如图，连接 PF2，QF2.由|PQ|2|QF1|，可设|QF1|m，则|PQ|2m，|PF1|3m；由|PF1|PF2|2a，得|PF2|PF1|2a3m2a；由|QF2|QF1|2a，得|QF2|QF1|2am2a.点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|QF2|2，得(2m)2(3m2a)2(m2a)2，解得 m43a，|PF1|3m4a，|PF2|3m2a2a.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|F1F2|2c，(4a)2(2a)2(2c)2，化简得 c25a2，双曲线的离心率 ec2a2 5，故选 A.【答案】A(3)(2017石家庄质检
40、二)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别 F1，F2，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A，B 两点，AF2，BF2 分别交 y 轴于 P，Q 两点，若PQF2 的周长为 12，则 ab 取得最大值时该双曲线的离心率为()A.2B.3C2 2D.2 33【审题】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究函教的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想【解析】由题意，得|AF1|BF1|AB|2b2a ，且 P，Q 分别为 AF2，BF2 的中点由双曲线的定义，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，联立，得
41、|AF2|BF2|4a2b2a.因为PQF2 的周长为 12，所以ABF2 的周长为 24，即 4a4b2a 24，亦即 b26aa2，所以(ab)26a3a4.令 f(a)6a3a4，则 f(a)18a24a34a2(92a)，所以 f(a)在(0，92)上单调递增，在(92，)上单调递减，所以当 a92时，f(a)取得最大值，此时b2692(92)2274，所以 c a2b23 3，所以 eca2 33，故选 D.【答案】D【规律总结】双曲线的离心率问题主要有两类：一类是求离心率的值，一类是求离心率的取值范围基本的解题思路是建立双曲线中 a，b，c 的关系式，求值问题就是建立关于 a，b，
42、c的等式，求取值范围问题就是建立关于 a，b，c 的不等式(4)(2017成都诊断)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 OF1(O 为坐标原点)为直径的圆与 PF2相切，则双曲线C 的离心率为()A.2B.36 24C.3D.36 27【审题】本题主要考查双曲线的图像与性质，直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合能力【解析】如图，在图 O 中，F1F2 为直径，P 是圆 O 上一点，所以 PF1PF2，设以 OF1 为直径的圆的圆心为 M，且圆 M 与直线 PF2 相切于点 Q，则 M(c
43、2，0)，MQPF2，所以 PF1MQ，所以|MQ|PF1|MF2|F1F2|，即c2|PF1|3c22c，可得|PF1|2c3，所以|PF2|2c3 2a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以4c29(2c3 2a)24c2，即 7e26e90，解得 e36 27，e36 27(舍去)故选 D.【答案】D【技巧点拨】对于求解椭圆、双曲线的离心率问题，通常建立关于 a，b，c 的方程解决(5)(2017课标全国，理)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN60，则 C
44、 的离心率为_【解析】双曲线的右顶点为 A(a，0)，一条渐近线的方程为 ybax，即 bxay0，圆心 A 到此渐近线的距离 d|baa0|b2a2abc，因为MAN60，圆的半径为 b，所以 bsin60abc，即 3b2 abc，所以 e 232 33.【答案】2 336(1)(2017惠州调研)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()A.3B.2C2 D3答案 A解析 设双曲线 C 的标准方程x2a2y2b21(a0，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因
45、此直线 l 的方程为 xc或 xc，代入x2a2y2b21 中得 y2b2(c2a21)b4a2，yb2a，故|AB|2b2a，依题意2b2a 4a，b2a22，c2a2a2e212，e 3，选 A.(2)(2017马鞍山二中测试)已知点 P，A，B 在双曲线x2a2y2b21 上，直线 AB 过坐标原点，且直线 PA，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为()A.2 33B.153C2 D.102答案 A解析 根据双曲线的对称性可知点 A，B 关于原点对称，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x，y)，所以x12a2 y12b2 1，x2a2y2b21，两式相减得x12x2a2y1
46、2y2b2，即y12y2x12x2b2a2，因为直线 PA，PB的斜率之积为13，所以 kPAkPBy1yx1xy1yx1xy12y2x12x2b2a213，所以双曲线的离心率为 e1b2a21132 33.故选 A.(3)(2017山西八校联考)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2c，直线 y 33(xc)与双曲线的一个交点 P 满足PF2F12PF1F2，则双曲线的离心率 e为()A.2B.3C2 31 D.31答案 D解析 直线 y 33(xc)过左焦点 F1，且其倾斜角为 30，PF1F230，PF2F160，F2PF190，即 F
47、1PF2P，|PF2|12|F1F2|c，|PF1|F1F2|sin60 3c，由双曲线的定义得 2a|PF1|PF2|3cc，双曲线 C 的离心率 ecac3cc2 31，选 D.(4)(2017青岛质检一)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)，圆 C2：x2y22ax34a20，若双曲线 C1 的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1 的离心率的范围是()A(1，2 33)B(2 33，)C(1，2)D(2，)答案 A解析 由题意得圆 C2 的标准方程为(xa)2y2a24，圆心C2(a，0)，半径 ra2，双曲线 C1 的一条渐近线方程为 bxay0，因为双曲
48、线的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，所以|aba0|a2b2 3b2，所以双曲线的离心率 e1b2a21，所以双曲线的离心率的取值范围为(1，2 33)，故选 A.(5)(2017东北四市二模)过双曲线x2a2y2b21(ab0)的左焦点F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于 A，B 两点，若|AF|BF|12，则双曲线的离心率为_答案 2 33解析 本题考查双曲线的几何性质由双曲线的对称性可知，A，B 两点的位置关系有两种，且对离心率无影响，不妨设过左焦点 F 作渐近线 ybax 的垂线，该垂线的方程为 yab(xc)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立yab（xc），y
49、bax，解得 yAabc.联立yab（xc），ybax，解得 yB abcb2a2.又|AF|BF|12，则 yB2yA，代入 yA，yB 整理得 3b2a2，即b2a213，所以离心率 e1b2a22 33.考向三 双曲线的其他性质命题方向：1渐近线；2.其他参数；3直线与双曲线的关系(1)(2017深圳二次调研)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这四条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx By 2xCy 3x Dy2x【审题】本题考查双曲线的几何性质【解析】由题可得双曲线的两条渐近线方程为 ybax，那么过右
50、焦点的直线为 yba(xc)令 x0，得 ybca，由对称性可知四边形的周长为 4c2（bca）28b，整理有 c22aba2b2，则 ab，故双曲线的渐近线方程为 yx，故选 A.【答案】A(2)(2017江西五校联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为(1，0)若双曲线上存在点 P，使得 P 到 y 轴与到 x 轴的距离的比值为 2 2，则实数 a 的取值范围为()A(0，2 23 B(0，13C(0，13)D(0，2 23)【审题】本题考查双曲线的性质，考查考生的运算求解能力由已知可知 c1，再由条件可知渐近线的斜率ba 12 2，即可求出实数 a 的取值范围也可先设
51、出 P 点坐标，由已知得 P 点坐标满足的表达式代入双曲线方程即可求解【解析】方法 1：由双曲线的焦点为(1，0)，可知 c1.由双曲线上存在点 P，使得 P 到 y 轴与到 x 轴的距离的比值为 2 2，可知ba 12 2，所以 8b2a2，即 8(1a2)a2，所以 0aa2，可知 8b2a2，即 8(1a2)a2 所以 0ab0)上，则曲线 C 在点 M 处的切线方程是x0 xa2 y0yb2 1；若点 M(x0，y0)在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上，则曲线 C 在点 M 处的切线方程是x0 xa2 y0yb2 1.(4)(2016衡水调研)已知双曲线 C1：x24 y
52、21，双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双曲线 C2的一条渐近线上的某一点，且 OMMF2，若 C1，C2 的离心率相同，且 SOMF216，则双曲线 C2 的实轴长为()A4 B8C16 D32【解析】依题意，不妨设点 M 在直线 ybax 上，因为OMMF2，所以|MF2|为点 F2 到直线 ybax 的距离，即|MF2|bca2b2b；因为OMF2 为直角三角形，|OF2|c，故|OM|a，故 SOMF21612ab，即 ab32，因为双曲线 C1 的离心率 e 52 1b2a2，解得 a2b，联立，解得 a8，b4，故双曲线 C2 的实
53、轴长为 2a16.【答案】C7(1)(2017合肥质检二)若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 3，则此双曲线的渐近线方程为()Ayx By 22 xCy 2x Dy12x答案 B解析 由 eca1（ba）2 3，解得ba 2，又双曲线的焦点在 y 轴上，所以该双曲线的渐近线方程为 yabx 22 x，故选 B.(2)(2017福建质检)已知 A(2，0)，B(2，0)，斜率为 k 的直线 l 上存在不同的两点 M，N 满足|MA|MB|2 3，|NA|NB|2 3，且线段 MN 的中点为(6，1)，则 k 的值为()A2 B12C.12D2答案 D解析 因为|MA|MB|2 3，
54、|NA|NB|2 3，由双曲线的定义知，点 M，N 在以 A，B 为焦点的双曲线的右支上，且 c2，a 3，所以 b1，所以该双曲线的方程为x23 y21.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x212，y1y22.设直线 l 的方程为 ykxm，代入双曲线的方程，消去 y，得(13k2)x26mkx3m230，所以 x1x2 6mk13k212，y1y2k(x1x2)2m12k2m2，由解得 k2，故选 D.(3)(2017天津，理)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程
55、为()A.x24 y24 1 B.x28 y28 1C.x24 y28 1 D.x28 y24 1答案 B解析 由 e 2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为 yx，由 P(0，4)知左焦点 F 的坐标为(4，0)，所以 c4，则 a2b2c228.选项 B 符合(4)(2017天星联考)已知双曲线x24 y2b21(b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线的两条渐近线分别交于 A、B 两点，|AB|3 5，M(4，1)，P(x，y)在双曲线上，则|PM|PF2|的最小值为_答案 5 24解析 由题意知 c 4b2，则 F2(4b2，0)，又双曲
56、线的渐近线方程为 yb2x,不妨取 A(4b2，b 4b22)，B(4b2，b 4b22)，得|AB|b 4b23 5，即 b44b2450，得 b25，故 F1(3，0)，易知当点 P 在双曲线的右支上时，|PM|PF2|才可取到最小值，且|PM|PF2|PM|PF1|4，要求|PM|PF2|的最小值，只需求|PM|PF1|的最小值，当 P、M、F1 三点共线时取得最小值，此时|PM|PF1|MF1|72125 2，故(|PM|PF2|)min5 24.1(2017湖北 4 月调研)已知点 A(1，0)，B(1，0)为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，点 M 在双曲线上，A
57、BM为等腰三角形，且顶角为 120，则该双曲线的标准方程为()Ax2y24 1 Bx2y23 1Cx2y21 Dx2y22 1答案 C解析 本题考查双曲线的几何性质由题意知 a1.不妨设点 M 在第一象限，则由题意有|AB|BM|2，ABM120.过点 M 作 MNx 轴于点 N，则|BN|1，|MN|3，所以 M(2，3)，代入双曲线方程得 4 3b21，解得 b1，所以双曲线的方程为 x2y21，故选 C.2(2017西城区二模)设双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的离心率是 3，则其渐近线的方程为()Ax2 2y0 B2 2xy0Cx8y0 D8xy0答案 A解析 本题考查双曲线的几
58、何性质由题意，得 eca1（ba）23，解得ba2 2，又由题可知双曲线的焦点在 y轴上，所以双曲线的渐近线方程为 yabx 12 2x，即 x2 2y0，故选 A.3(2017济南一模)已知 O 为坐标原点，F 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P，Q，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 QF 于点 M，若 M 是线段 QF 的中点，则双曲线 C 的离心率为()A2 B.52C3 D.72答案 C解析 本题考查双曲线的性质连接 BQ，则双曲线的对称性易得PBFQBF，EABEBA，所以EABQ
59、BF，所以 MEBQ，在PME 和PQB 中，有PEBEPMMQ，在BPF和BEO 中，有OFOBPEBE，又因为点 M 为 QF 的中点，所以 ecaOFOBPEBEPMMQ3，故选 C.4(2017东北四市一模)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，过点 F 作 x 轴的垂线与双曲线交于 B，C 两点(点 B 在 x轴上方)过点 B 作斜率为负数的渐近线的垂线，过点 C 作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于虚轴长的 2 倍，则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A1e 3C1e 5答案 C解析 本题考查双曲线的几何性质由题意知 B
60、(c，b2a)，双曲线渐近线方程为 ybax，所以直线 BD 的斜率为ab，所以直线BD 的方程为 yb2a ab(xc)，令 y0，得 xcb3a2.由双曲线的对称性知 D(cb3a2，0)因为点 D 到直线 BC 的距离小于虚轴长的 2 倍，所以b3a24b，即b2a24，所以 eca1（ba）21，所以 1e0，b0)的右顶点为 A，右焦点为 F，点 A 到双曲线渐近线的距离为 d，若 d 32|AF|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C2 D2 2答案 C解析 方法 1：由题意得双曲线的渐近线方程为 ybax，右顶点 A(a，0)，右焦点 F(c，0)，则点 A 到渐近线的距离 d|
61、ab|a2b2abc，|AF|ca.由已知得abc 32(ca)，即 2ab 3c(ca)，4a2b23c2(ca)2，由于 b2c2a2,因而 4a2(c2a2)3c2(ca)2，3e46e3e240，3e3(e2)(e2)(e2)0，(e2)(e1)(3e23e2)0，得 e2，故选 C.方法 2：如图，过 A 作渐近线的垂线，垂足为B，由已知得 d 32|AF|32(ca)，即|AB|32(ca)又|AB|OA|sinBOAaba2b2abc，abc 32(ca)，2ab 3c(ca)，4a2b23c2(ca)2，由于 b2c2a2，因而 4a2(c2a2)3c2(ca)2，3e46e3
62、e240，3e3(e2)(e2)(e2)0，(e2)(e1)(3e23e2)0，得 e2，故选 C.6(2017石家庄一模)已知 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，点 P 为双曲线右支上一点，M 为PF1F2 的内心，满足 SMPF1SMPF2SMF1F2.若该双曲线的离心率为 3，则 _(注：SMPF1，SMPF2，SMF1F2 分别为MPF1，MPF2，MF1F2 的面积)答案 13解析 设PF1F2 内切圆的半径为 r，则由题意，得12|PF1|r12|PF2|r12|F1F2|r，即|PF1|PF2|F1F2|2c，又由双曲线的定义知|PF1|PF2|
63、2a，所以 2a2c，即 ac1e13.调研四 抛 物 线抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线点 F 叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线抛物线定义的理解抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形顶点(0，0)对称轴x轴y轴焦点F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2
64、)F(0，p2)准线xp2xp2yp2yp2抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1p2；(4)弦长lx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长l 2psin2(为AB的倾斜角)直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的元二次方程即AxByC0，F（x，y）0，消去y得ax2bxc0.(1
65、)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切或相交；0)的焦点为F，准线为l，M为抛物线上一点，MNl，N为垂足，如果直线NF的倾斜角为23，|MF|4，则抛物线的方程为_【审题】本题主要考查抛物线的定义、方程与性质直线与抛物线的位置关系解题时，设M(x0，y0)(x0，y0均为正数)，利用已知条件和抛物线的定义求出p，即得抛物线的方程【解析】由题意可知抛物线y22px(p0)的焦点为F(p2，0)，抛物线y22px的准线方程为xp2，设M(x0，y0)(x0，y0均为正数)，则2px0y02，|MN|x0p2，|FN|p2y02，由抛物
66、线的定义可知|MF|MN|x0 p2 4，又NFx 23，|FN|2p，即p2y022p，p22px02p，p2x04p，即x0 32p，由得2p4，即p2，故抛物线的方程为y24x.【答案】y24x(2)(2017长沙一模)A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2【审题】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，以抛物线为载体，借助抛物线的定义，考查数形结合思想、化归与转化能力、运算求解能力【解析】过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为OFA120，所以ABF为等边三角形
67、，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.选A.【答案】A(3)(2016广州六校)如图，抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F，A 为抛物线 C 上的点，以 F 为圆心，p2为半径的圆与直线 AF 在第一象限的交点为 B，AFO120，A 在 y 轴上的射影为 N，则ONB_【解析】因为点 A 到抛物线 C 的准线的距离为|AN|p2，点 A 到焦点 F 的距离为|AB|p2，所以|AN|AB|，因为AFO120，所以BAN60，所以在ABN 中，ANBABN60，则ONB30.【答案】30 【回顾】(1)抛物线的焦半径是定义的另一种表现形式根据开口方向的不同而略有不同(
68、2)抛物线的标准方程有 4 种形式(3)数形结合，灵活转化是解决抛物线问题的良方8(1)(2017东北四市二模)若点 P 为抛物线 y2x2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.12C.14D.18答案 D解析 本题考查抛物线的定义抛物线 y2x2 上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p2，又 2p12，则p218，即|PF|的最小值为18，故选 D.(2)(2016四川宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x Bx28yCy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y答案 D解析 若焦点在 x 轴上
69、，设抛物线方程为 y2ax，将点 P(4，2)的坐标代入，得 a1，所以抛物线的标准方程为 y2x；若焦点在 y 轴上，设方程为 x2by，将点 P(4，2)的坐标代入，得 b8，所以抛物线的标准方程是 x28y.故所求抛物线的标准方程是 y2x 或 x28y.(3)(2017天津联考)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l.过焦点的直线分别交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作 l的垂线，垂足 C，D.若|AF|2|BF|，且三角形 CDF 的面积为 2，则 p 的值为_答案 2 33解析 本题考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系由抛物线的对称性不妨设 A(xA
70、，yA)，B(xB，yB)(yA0，yB0)，由题意易得直线 AB 的斜率存在，设其方程为 yk(xp2)，与抛物线的方程联立消去 y 得 k2x2(k2p2p)xk2p24 0，则 xAxBp24 .因为|AF|2|BF|，所以 xAp22(xBp2)，即 xA2xBp2，代入，得 2xB2p2xBp24 0，解得 xBp4，则 xAp，代入抛物线的方程得 yA 2p，yB 2p2，则CDF 的面积为12 2p(22p)p 2，解得 p2 33.考向二 焦点弦命题方向：1求弦长；2.倾斜角、斜率；3图形面积(1)(2017郑州质量预测)过抛物线 y14x2 的焦点 F 作一条倾斜角为 30的
71、直线交抛物线于 A，B 两点，则|AB|_【审题】本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，以抛物线为载体，考查考生的运算求解能力、数形结合能力【解析】依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线 x24y 的焦点坐标是 F(0，1)，直线 AB 的方程为 y 33 x1，即 x 3(y1)由x24y，x 3（y1），消去 x 得 3(y1)24y，即3y210y30，y1y2103，|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22163.【答案】163(2)(2017银川质检)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，且|AF|2|BF|，则
72、直线 AB 的斜率为()A2 2 B2 3C2 2或2 2D2 3或2 3【解析】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系抛物线 y24x 的准线方程为 x1，焦点 F(1，0)，过焦点的直线 AB 的方程设为 yk(x1)，由yk（x1），y24x，得 k2x2(2k24)xk20.设点 A，B 的横坐标分别为 xA，xB，则 xAxB2k24k2，xAxB1，分别过点 A，B 向准线作垂线，垂足分别为 C，D.由抛物线定义可得|AF|AC|，|BF|BD|，因为|AF|2|BF|，所以|AF|BF|AC|BD|xA1xB12，整理得 xBxA12，代入xAxB1 中得xA12xA1，解
73、得 xA2 或 xA1(舍去)，所以点 A 的纵坐标 yA2 2，所以直线 AB 的斜率 k2 20212 2，故选 C.【答案】C【方法归纳】求此类问题的关键：一是联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系求解；二是活用定义，有关抛物线上的点到焦点的距离问题常转化为抛物线上的点到准线的距离问题(3)(2017洛阳统考)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线AB 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若 2OA OB 3OF 0，则弦 AB 中点到抛物线 C 的准线的距离为_【审题】本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，以抛物线为载体，考查考生的运算求解能力【解析】方法 1：依
74、题意得，抛物线的焦点 F(0，1)，准线方程是 y1，因为 2(OA OF)(OB OF)0，即 2FAFB0，所以 F，A，B 三点共线设直线 AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由ykx1，x24y，得 x24(kx1)，即 x24kx40，x1x24；又 2FAFB0，因此 2x1x20.由解得 x122，弦 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为12(y11)(y21)12(y1y2)118(x12x22)15x128 194.方法 2：依题意得，抛物线的焦点 F(0，1)，准线方程是 y1，因为 2(OA OF)(OB OF)0，即 2FAFB0，所以 F
75、，A，B 三点共线不妨设直线 AB 的倾斜角为，00)的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y100)的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 x100)的焦点为 F，过F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且|AF|4|FB|，O 为坐标原点，若AOB 的面积 SAOB58，则 p_【解析】抛物线 y22px 的焦点 F(p2，0)，准线 xp2，如图，过 A，B 作准线的垂线 AA，BB，垂足分别为 A，B.过点 B 作 BHAA，交 AA于 H，则|BB|HA|.设|FB|t，则|AF|4t
76、，|AH|AA|AH|4tt3t.又|AB|5t，在 RtABH 中，cosAAB35，tanAAB43.则可得直线 AB 的方程为 y43(xp2)，由y22px，y43（xp2）得 8x217px2p20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p17p8 p25p8.又点 O 到直线 AB 的距离为 d|OF|sinAABp2452p5.SAOB1225p8 2p5 5p28，又 SAOB58，故 p21，又 p0，p1.【答案】19(1)(2017福建质检)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，交其准线于点 C，且 A，C 位于 x 轴
77、同侧，若|AC|2|AF|，则|BF|等于()A2 B3C4D5答案 C解析 设抛物线的准线与 x 轴交于点 D，则由题意，知 F(1，0)，D(1，0)，分别作 AA1，BB1 垂直于抛物线的准线，垂足分别为 A1，B1，则有|AC|FC|AA1|FD|，所以|AA1|43，故|AF|43.又|AC|BC|AA1|BB1|，即|AC|AC|AF|BF|AF|BF|，亦即2|AF|3|AF|BF|AF|BF|，解得|BF|4，选 C.(2)(2017东城区练习)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在x 轴上方若直线 l
78、 的倾斜角为 60，则|OA|_答案 21解析 本题考查直线与抛物线的位置关系由题意可得直线l：y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 整理得 3x210 x30，解得 x3 或 x13，又 A 点在 x 轴的上方，则 A(3，2 3)，所以|OA|9（2 3）2 21.(3)(2017太原一模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为 6，则|AB|()A6 B8C12 D16答案 A解析 由题易知抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，当直线 AB 垂直于 x 轴时，AOB 的面积为 2，不满足题意，所以
79、设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，与 y24x 联立，消去 x得 ky24y4k0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y1y24k，y1y24，所以|y1y2|16k216，所以AOB 的面积为12116k216 6，解得 k 2，所以|AB|1 1k2|y1y2|6，故选 A.考向三 直线与抛物线命题方向：1线段长度；2.斜率、夹角；3面积；4.直线方程；5.交点坐标(1)(2017广州模拟)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与直线 C 相交于 M，N 两点，若PF3MF，则|MN|()A.212 B.323C10 D
80、11【审题】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算求解能力【解析】设 M(xM，yM)，PF3MF，则2xM413，xM23，代入抛物线 C：y28x，可得 yM4 33，不妨设 M(23，4 33)，则直线 MF 的方程为 y 3(x2)，代入抛物线 C：y28x，可得 3x220 x120，N 的横坐标为 6，|MN|23262323.【答案】B(2)(2017天星联考)已知抛物线y22px(p0)与直线y2x4交于 A，B 两点，若该抛物线上存在点 C，使得OA OB 15OC(其中 O 坐标原点)，M(2，2)，则直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为()A.
81、12B1C2 D4【审题】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力、分析问题与解决问题的能力【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得y22px，y2x4，化简是 2x2(8p)x80，则 x1x28p2，x1x24，y1y2p，y1y24p，设 C(x0，y0)为抛物线上一点，由OA OB 15OC可得(x1x2，y1y2)15(x0，y0)，则(x0，y0)5(x1x2，y1y2)(405p2，5p)，代入抛物线方程得(5p)22p405p2，得 p22p0，得 p2，kAMkBMy12x12y22x22y1y22（y1y2）4x1x22（x
82、1x2）4 4p2p44（8p）462424，选 D.【答案】D(3)(2017衡水调研)已知点 P 是抛物线 C；y2x 上的定点(P位于第一象限)，动直线 l：y 36 xm(m0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，直线 PA 的斜率为 k，则直线 PA：ytk(xt2)，直线 PB：ytk(xt2)，联立方程得y2x，ytk（xt2），化简得 k2(xt2)2(2tk1)(xt2)0，又 xA t2，所以 xAt212tkk2，yAtk2tk2k212tkk，同理，xBt212tkk2，yBtk2tk2k212tkk，于是 kAByAyBxAxB（yAt）（yBt）（xAt2）（xB
83、t2）2k4tk12t 36，则 t 3，则 P(3，3)【答案】(3，3)(4)(2017武昌调研)已知抛物线：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 P 在 上且|PK|2|PF|，则PKF 的面积为_【审题】本题主要考查圆锥曲线中几何量的计算，以抛物线为载体，考查其基本性质，考查考生的运算求解能力【解析】由已知得，F(2，0)，K(2，0)，过 P 作 PM 垂直于准线，则|PM|PF|，又|PK|2|PF|，|PM|MK|PF|，PFx 轴，PFK 的高等于|PF|，不妨设 P(m2，2 2m)(m0)，则 m224，解得 m 2，故PFK 的面积 S42 2 2128
84、.【答案】8【回顾】(1)直线与抛物线：有两个交点，则相交；有 1 个交点，则相交或相切(直线与对称轴平行时相交)；有 0 个交点，则相离(2)四种思想装心中，做起题来很轻松(3)已知抛物线 y22px(p0)上一点 A(x0，y0)，则在 A 处的切线斜率为 k py0.10(1)(2016重庆调研)抛物线 y2x2 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxm 对称，若 x1x212，则 2m 的值是()A3 B4C5 D6答案 A解析 由已知得 kAB1，且 AB 的中点 C(x0，y0)在直线 yxm 上，设直线 AB 的方程为 yxn，联立yxn，y2x2，消去 y 并
85、整理得 2x2xn0，依题意得，18n0，x1x2n212，n1.又 x1x212，x014，y0 x0154.点 C(x0，y0)在直线 yxm 上，5414m，解得 m32，2m3，故选 A.(2)(2017广州综合测试)已知点 A(4，4)在抛物线 y22px(p0)上，该抛物线的焦点为 F，过点 A 作该抛物线准线的垂线，垂足为 E，则EAF 的平分线所在的直线方程为()A2xy120 Bx2y120C2xy40 Dx2y40答案 D解析 本题考查抛物线的定义、直线的方程因为点 A(4，4)在抛物线 y22px(p0)上，所以 168p，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24x，所以焦
86、点为 F(1，0)，准线方程为 x1，E(1，4)由抛物线的定义可得|AF|AE|，所以EAF 的平分线所在的直线就是线段 EF 的垂直平分线因为 kEF 40112，所以EAF 的平分线所在的直线的斜率为12，所以所求方程为y412(x4)，即 x2y40，故选 D.(3)(2017山西八校联考)已知抛物线 y24x 的准线与 x 轴相交于点 P，过点 P 且斜率为 k(k0)的直线 l 与抛物线交于 A，B两点，F 为抛物线的焦点，若|FB|2|FA|，则 AB 的长度为()A.32B2C.172D.17答案 C解析 依题意知 P(1，0)，F(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y
87、2)，由|FB|2|FA|，得 x212(x11)，即 x22x11，P(1，0)，则 AB 的方程为 ykxk，与 y24x 联立，得 k2x2(2k24)xk20，则(2k24)24k40，即 k20)在点 M(2，y0)处的切线与 y 轴的交点为 N(0，1)，则抛物线的方程为()Ax2y Bx22yCx24y Dx26y答案 C解析 通解：设抛物线 x22py 在 M(2，y0)处的切线为 yy0k(x2)，又切线过点 N(0，1)，则1y0k(02)，即 ky012，切线方程为 yy0y012(x2)，其中 y02p，将切线方程与 x22py 联立，得x22py0y012(x2)，整
88、理得 x2(2p)x2p0,则(2p)28p0，解得 p2，则抛物线方程为 x24y，故选 C.优解：由于 2x2py，yxp，因而抛物线在 M(2，y0)处的切线的斜率 k2p，其中 y02p，则切线方程为 y2p2p(x2)又切线与 y 轴交于点 N(0，1)，因而12p2p(02)，得 p2，则抛物线方程为 x24y，故选 C.2(2017课标全国，文)过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为()A.5B2 2C2 3D3 3答案 C解析 方法 1：依题
89、意，得 F(1，0)，则直线 FM 的方程是 y 3(x1)由y 3（x1），y24x，得 x13或 x3.由 M 在 x 轴的上方，得 M(3，2 3)，由 MNl，得|MN|MF|314，又NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4 32 2 3，选 C.方法 2：依题意，得直线 FM 的的倾斜角为 60，则|MN|MF|21cos604，又NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即NMF60，因此MNF 是边长为 4 的等边三角形，点 M 到直线 NF的距离为 4 32 2 3，选 C.3(2017福建八校联考)已知抛物线 C：x
90、22py(p0)，直线2xy20 交抛物线 C 于 A、B 两点，过线段 AB 的中点作 x轴的垂线，交抛物线 C 于点 Q.若|2QA QB|2QA QB|，则 p()A.12B.14C.16D.18答案 B解析 联立抛物线 x22py 与直线 y2x2 的方程，消去 y得 x24px4p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 16p216p0，x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p)，|2QA QB|2QA QB|，QA QB 0，(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0，即(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8
91、p28p40，将 x1x24p，x1x24p 代入，得 4p23p10，得 p14或 p1(舍去)故选 B.4(2017南昌一模)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB 的最大值为()A.3B.34C.56D.23答案 D解析 由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又 x1x242 33|AB|，得|AF|BF|2 33|AB|，所以|AB|32(|AF|BF|)所以 cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|2|BF|2 32（|AF|BF|）22|AF|BF|14
92、|AF|214|BF|232|AF|BF|2|AF|BF|18(|AF|BF|BF|AF|)34182|AF|BF|BF|AF|3412，而 0AFB0)的焦点 F 的直线与抛物线交于A，B 两点，且AF 3FB，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C，AA1l 于点 A1，若四边形 AA1CF 的面积为 12 3，则准线 l 的方程为()Ax 2Bx2 2Cx2 Dx1答案 A解析 由题意，知 F(p2，0)，准线 l 的方程为 xp2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF(p2x1，y1)，FB(x2p2，y2)由AF 3FB，得p2x13(x2p2)，即 x213(2px1).
93、由题意知直线 AB的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk(xp2)，代入抛物线方程，消去 y，得 k2x2(k2p2p)xk2p24 0，所以 x1x2p24 .联立，得 x132p 或 x1p2(舍去)，所以|y1|3p.因为 S 四边形AA1CF|y1|（x1p2p）212 3，将 x1，|y1|的值代入，解得 p2 2，所以准线 l 的方程为 x 2，故选 A.6(2017山西 5 月联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，A(异于原点 O)为抛物线上一点，过焦点 F 作平行于直线 OA 的直线，交抛物线 C 于 P，Q 两点若过 F 且垂直于 x 轴的直线交直线OA 于 B，则|F
94、P|FQ|OA|OB|_答案 0解析 由题意得直线 OA 的斜率存在且不为 0，设直线 OA的斜率为 k(k0)，则直线 OA 的方程为 ykx，由ykx，y22px，解得 A(2pk2，2pk)，易知 B(p2，kp2)，直线 PQ 的方程为 yk(xp2)，联立方程得yk（xp2），y22px，消去 x 得，ky22p ykp2 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2p2，根据弦长公式得，|FP|FQ|1 1k2|y1|1 1k2|y2|(1 1k2)|y1y2|(11k2)p2，而|OA|OB|（2pk2）2（2pk）2（p2）2（kp2）2(1 1k2)p2，所以|FP|FQ|OA|OB|0.请做：小题专题 作业（十三）