1、第2讲 逻辑、算法 调研一 逻辑 命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p；否命题为若綈p则綈q；逆否命题为若綈q则綈p.(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价充分条件与必要条件(1)若pq且q/p，则p是q的充分非必要条件(2)若qp且p/q，则p是q的必要非充分条件(3)若pq且qp，则p是q的充要条件(4)若p/q且q/p，则p是q的非充分非必要条件全称命题与特称命题的结构命题全称命题“xA，p(x)”特称命题“xA，p(x)”表述方法对所有的 xA，p(x)成立；对一切 xA，p(x)成
2、立；对每一个 xA，p(x)成立；任选一个 xA，p(x)成立；任意 xA，都有 p(x)成立存在 xA，使 p(x)成立；至少有一个 xA，使 p(x)成立；对有些 xA，p(x)成立；对某个 xA，p(x)成立；有一个 xA，使 p(x)成立含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x)x0M，p(x)xM，綈p(x)注意：(1)注意“”后面跟的一般是统称的未知数x(指某一类数)，“”后面跟的一般是单指的数x0(指某一类中的一个数)(2)否定结论时要注意一些词语的否定方法，常见的一些词语及其否定如下：词语是都是都不是等于大于小于或等于否定 不是 不都是至少一个是不等
3、于小于或等于大于(3)“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”充要条件的判断方法方法解读适合题型1定义法第一步，分清条件和结论：分清哪是条件，哪是结论；第二步，找推式：判断“pq”及“pq”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充要条件最根本、最适用的方法2 等价法利用pq与綈q綈p；qp与綈p綈q；pq与綈q綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断常用的是逆否等价法3 集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若
4、AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况考 向 调 研 考向一 命题命题方向：1判断命题真假；2.真值表的应用；3命题的否定；4.逆求参数的值、范围(1)(2017郑州质量预测)命题“x0R，x02x010”的否定是()AxR，x2x10BxR，x2x10Cx0R，x02x010Dx0R，x02x010【审题】本题主要考查命题的否定，以特称命题为载体，考查考生的逻辑思维能力【解析】依题意得，命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10”，故选A.【答案】A(2)(2
5、017衡水调研)已知命题 p：方程 x22ax10 有两个实数根；命题 q：函数 f(x)x4x的最小值为 4.给出下列命题：pq；pq；p綈 q；綈 p綈 q.则其中真命题的个数为()A1 B2C3 D4【解析】由(2a)24(1)4a240，所以方程x22ax10有两个实数根，所以命题p是真命题；当x0时，函数f(x)x 4x 的取值为负值，所以命题q为假命题，所以pq，p綈q，綈p綈q是真命题，故选C.【答案】C(3)(2016江南十校)设命题 p：函数 f(x)x3ax1 在区间1，1上单调递减；命题 q：函数 yln(x2ax1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题，p 且
6、q 为假命题，则实数 a 的取值范围是()A(，3 B(，22，3)C(2，3 D3，)【审题】视简单命题p，q为真命题，求出相应a的范围；正确解读复合命题真假的含义；先分后合求a的范围【解析】若p为真命题，则f(x)3x2a0在区间1，1上恒成立，即a3x2在1，1上恒成立，所以a3；若q为真命题，则方程x2ax10的判别式a240恒成立，即a2或a2.由题意，得p真q假或p假q真 当p真q假时，a3，2a2，即a；当p假q真时，a3，a2或a2，即a2或2a3x”的否定是“xR，x223x”的否定是“xR，x223x”，故q是假命题，綈q是真命题，所以pq，綈pq，綈p綈q均为假命题，p綈
7、q为真命题，故选C.(2)(2017太原模拟)已知D(x，y)|xy20，xy20，3xy60，给出下列四个命题：p1：(x，y)D，xy10；p2：(x，y)D，2xy20；p3：(x，y)D，y1x1 4；p4：(x，y)D，x2y22.其中为真命题的是()Ap1，p2Bp2，p3Cp2，p4Dp3，p4答案 C解析 因为D(x，y)|xy2 是sin sin 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【审题】本题主要考查充分必要条件的判断，以三角函数为载体，通过三角函数值与角的关系，考查分析问题、解决问题的能力【解析】由，均为第一象限角，可取2 3，3，有成立
8、，但sinsin，即不是sinsin的充分条件；又由，均为第一象限角，可取 3，26，有sinsin成立，但不是sinsin的必要条件综上所述，是sinsin的既不充分也不必要条件【答案】D(3)(2017山东德阳)已知“命题p：(xm)23(xm)”是“命题q：x23x40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_【审题】将充要条件问题转化为集合之间的包含问题，利用数轴直观地解决问题【解析】将两个命题化简得，命题 p：xm3，命题q：4xb3”是“lnalnb”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 由 a3b3 可得 ab，当 a0，blnb
9、 可得 ab，故 a3b3.因此“a3b3”是“lnalnb”的必要不充分条件(3)(2016湖北七校联考)已知集合AxR|x22x30，BxR|1xm，若xA是xB的充分不必要条件，则实数m的取值范围为()A(3，)B(1，3)C3，)D(1，3答案 A解析 Ax|1x3，选A.考向三 逻辑综合问题命题方向：以判断命题的真假为依托，考查多个知识点(2017郑州质量预测)下列命题是真命题的是()A R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数B，R，使cos()cos cosC向量a(2，1)，b(1，0)，则a在b的方向上的投影为2D“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要条件【审题】本题主要
10、考查命题的真假判断，以三角函数、平面向量以及不等式知识为载体，考查考生的逻辑推理能力，分析问题、解决问题的能力【解析】选项 A，当 2 时，f(x)cos2x，其为偶函数，故 A 为假命题；选项 B，令 4，2，则 cos()cos(4)22，coscos 22 0 22，cos()coscos成立，故 B 为真命题；选项 C，设 a 在 b 的方向上的投影为ab|b|2012，故 C 为假命题；选项 D，|x|1，1x1，故充分性成立，若 x1，则|x|1 不一定成立，故为充分不必要条件，D 为假命题【答案】B 【回顾】综合问题不简单，各个知识拼一班七十二变全学会，火眼金睛来把关！3(201
11、7广东五校诊断)下列命题错误的是()A若 pq 为假命题，则 pq 为假命题B若 a，b0，1，则不等式 a2b214成立的概率是16C命题“xR，使得 x2x10”的否定是“xR，x2x10”D已知函数 f(x)可导，“f(x0)0”是“x0 是函数 f(x)的极值点”的充要条件答案 D解析 选项 A，若 pq 为假命题，则 p 为假命题，q 为假命题，故 pq 为假命题，正确；选项 B，使不等式 a2b214成立的a，b(0，12)，故不等式 a2b214成立的概率是14（12）21116，正确；选项 C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项 D，令f(x)x3，则 f(0)0，但 0 不
12、是函数 f(x)x3 的极值点，错误，故选 D.1(2017江西赣州厚德外国语学校月考)命题“xR，f(x)g(x)0”的否定是()AxR，f(x)0 且 g(x)0BxR，f(x)0 或 g(x)0Cx0R，f(x0)0 且 g(x0)0Dx0R，f(x0)0 或 g(x0)0答案 D解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“xR，f(x)g(x)0”的否定是“x0R，f(x0)0 或 g(x0)0”故选 D.2(2017河北沧州七校联考)已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Apq B綈 pqCp綈 q D綈 p綈 q答案 B解
13、析 由题意可判断 p：xR，2x0，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为()Am2 Bm2Cm2 或 m2 D2m2答案 A解析 由 p：xR，mx210，可得 m0，可得 m240，解得2mb0，则 lna(n2)2n1”的否定是“nN*，3n(n2)2n1”D已知函数 f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，则命题“若 f(a)f(b)0)是增函数，所以若 ab0，则 lnalnb，故 A 错；B 中，若 ab，则 mm(2m1)0，解得 m0，故 B 错；C 中，命题“nN*，3n(n2)2n1”的否定是“nN*，3n(n2)2n1”，故 C 错；D 中，原命题的逆命题是“若
14、f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则 f(a)f(b)0，故 D 正确，选 D.6(2016河南九校联考)已知xy10，7xy70，x0，y0表示的平面区域为 D，若(x，y)D，2xya 为真命题，则实数 a 的取值范围是()A5，)B2，)C1，)D0，)答案 A解析 约束条件表示的平面区域 D 如图所示，直线 xy10 与 7xy70 的交点为 A(43，73)，若(x，y)D，2xya 为真命题，即 2xya 恒成立，建立目标函数 z2xy，A(43，73)为最优解，将 A 的坐标代入到目标函数中得 zmax5，所以 a5.调研二 算法 三种基本逻辑结构顺序结构条件结构循环结构
15、内容顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构在一些算法中，会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体程序框图三种语句的一般格式和功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句 PRINT“提示内容”；表达式输出结果赋值语句变量表达式将表达式的值赋给变量程序框图的执行问题是每年高考必考内容，常有以下几个命题角度：(1)条件结构与分段函数相结合；(2)当型循环结构的结果输出问题；(3)直到型循环结构的结果输出问题考查
16、题型多为选择题，有时也以填空题形式考查，难度相对较小，属中低档题复习时，不管面对含什么结构的程序框图，首先要做的就是弄清程序框图想要实现的最终功能对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值程序框图的补全及逆向求解问题(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图程序框图的应用技巧(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，
17、而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循环结构来解决在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的考 向 调 研 考向一 循环结构程序框图的输出功能命题方向：1直接循环计算；2明确框图功能再计算(1)(2017石家庄质检)如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S12，则输出S的值为()A4
18、B5C8 D9【审题】本题主要考查程序框图，以程序框图为载体，通过依次循环计算，考查识图能力、运算能力【解析】第一次循环，得S10，n2；第二次循环，得S6，n3；第三次循环，得S0，n4；第四次循环，得S8，n5.此时Sn，不满足循环条件，退出循环，输出S的值为8，故选C.【答案】C(2)(2017江西五市联考)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为()A55 B34C70 D45【审题】本题考查循环结构的程序框图，考查考生的识图能力 运算求解能力解题的关键是弄懂程序框图中算法的功能，确定退出循环的条件【解析】分析程序框图中算法的功能可知，输出的S的值为122232429210237111
19、51955.【答案】A(3)(2017广州模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()A7 B9C10 D11【审题】本题主要考查程序框图【解析】i1，Slg3；i3，Slg5；i5，Slg7；i7，Slg9；i9，Slg11，此时退出循环，故输出的 i9.【答案】B 【回顾】不急不躁，心平气和是关键！4(1)(2017课标全国)执行下面的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S()A2 B3C4 D5答案 B解析 依次运行程序，直至程序结束S0，K1，a1.第一次循环，S011，a1，K2；第二次循环，S121，a1，K3；第三次循环，S132，a1，K4；第四
20、次循环，S2142，a1，K5；第五次循环，S2(1)53，a1，K6；第六次循环，S3163，a1，K7.由于 76，故循环结束故选 B.(2)(2017合肥质检(二)执行如图所示的程序框图，则输出的n为()A9 B11C13 D15答案 C解析 由程序框图可知，S是对1n进行累乘，直到S12 017时停止运算，即当S113151719 1113？Bi4?Di5?【审题】本题考查程序框图【解析】由程序框图可得，第一次循环，S1028，i2；第二次循环，S844，i3；第三次循环，S484，i4；第四次循环，S41620，i5，结束循环，故条件框内应填写“i5？”，选D.【答案】D(2)(20
21、17郑州预测)要计算 1121312 017的结果，下面程序框图中的判断框内可以填()An2 017 Dn2 017【审题】本题主要考查程序框图，考查学生的识图能力以及运算求解能力【解析】题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为 0，计数变量初始值为 1，要求 S01121312 017的值，共需要计算 2 017 次，故选 B.【答案】B 【回顾】逐轮计算，小心求证5(1)(2017福州五校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为()Ai5 Bi7Ci9 Di9答案 D解析 S022，i123，不满足条件，执行循环体；S2810，i325，
22、不满足条件，执行循环体；S103242，i527，不满足条件，执行循环体；S42128170，i729，满足条件，退出循环体 故判断框内的条件可以为i9，故选D.(2)(2017课标全国)下面程序框图是为了求出满足3n2n1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()AA1 000和nn1BA1 000和nn2CA1 000和nn1DA1 000和nn2答案 D解析 输出的n为偶数，中填nn2.输出的n满足3n2n1 000，中填A1 000.故选D.考向三 逆向求解命题方向：1根据输出结果，求参数值；2根据输出结果，求参数范围(1)(2017东北四校一模)庄子说：“一尺之锤，
23、日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题现用程序框图描述如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S(1516，6364)，则输入的n的值为()A7 B6C5 D4【审题】本题考查程序框图【解析】第一次循环得S 12，k2；第二次循环得S34，k3；第三次循环得S78，k4；第四次循环得S1516，k5；第五次循环得S3132(1516，6364)，k6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n值为5，故选C.【答案】C(2)(2017湖北四校联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的a大于2 016，那么n可能为()A7 B8C9 D10【审题】本题主要考查程序框图中由输出结果确定判断框中的条
24、件按照程序框图中流程线的指向逐步进行运算，并检验与输出的结果是否对应，即可确定 n 的值【解析】第一次循环：a5116，k123；a62 016，故要继续循环，第二次循环：a56333，k325；a332 016，故要继续循环，第三次循环：a5335170，k527；a1702 016，故要继续循环，第四次循环：a51707857，k729；a8572 016，又第四次循环中 k 的值为 9，而判断框中的条件是 k3，x323，13（x32）33，解得15x60，故选B.【答案】B 【回顾】本题主要考查循环结构的程序框图，考查考生的运算求解能力高考对算法的考查主要以程序框图为载体，考查函数、数
25、列、不等式等基础知识6(1)(2017太原模拟)执行如图所示的程序框图，已知输出的s0，4，若输入的tm，n，则实数nm的最大值为()A1 B2C3 D4答案 D解 析 由 程 序 框 图 得s 3t，t1，4tt2，t1，作出 s 的图像如图所示若输入的 tm，n，输出的 s0，4，则由图像得 nm 的最大值为 4，故选 D.(2)(2017陕西质量检测)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图若输出的 a3，则输入的 a，b 不可能为()A6，9 B3，3C15，18 D13，10答案 D解析 该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行
26、该算法后输出的 a3，即输入的 a，b 的最大公约数为 3，故选 D.1(2017南昌模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为()Alog2101 B2log231C.92D6答案 B解析 S3，i1，i7成立；S3log221，i2，i7成立；S3log221 log232 3log2(21 32)3log2 3，i3，i7成立；S3log2 3log2433log2(343)3log2 4，i4，i7成立，；S3log28，i8，i7不成立，退出循环，Slog2(3log2 8)log2(332)log2922log231，选B.2(2017东北三校联考)公元263年左右，我国数学家刘
27、徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的n96，则判断框内可以填入()Ap3.14?Bp3.14?Cp3.141 5?Dp3.141 592 6?答案 B解析 第一次循环，n48，p48sin3.753.139 2，此时不满足判断框内的条件；第二次循环，n96，p96sin1.8753.141 12，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出 n96，结合各选项，可知判断框内可以填入“p3.14？”，故选 B.3(201
28、7湖北七市联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出v的值为()A6 B25C100 D400答案 C解析 输入n3，x4，第一步：v1，i312；第二步：v1426，i211；第三步：v64125，i110；第四步：v254100，i0110.程序结束，输出的v100，故选C.4(2017安徽师大附中测试)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)
29、，若输入的m，n分别为495，135，则输出的m()A0 B5C45 D90答案 C解析 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495135390，13590145，90452，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m45，故选C.5(2017福州模拟)给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是()A1 B2C3 D4答案 C解析 当x2时，由x2x得x0或x1，满足条件；当25时，由 1x x得x1，不满足条件故这样的x值有3个故选C.6(2016河北五一名校联考)已知等差数列an的各项均为正数，其首项为 a1，公差为 d.观察如图所示
30、的程序框图，当 k5 和 k10 时，分别有 S 511和 S1021，则数列an的通项公式为()Aan2n1 Ban2n3Can2n1 Dan2n3答案 C解析 由程序框图可知 S 1a1a2 1a2a31akak1，an是等差数列，若 d0，则当 k5 时，S5 1a12 511，可得 a1 11，当 k10 时，S10 1a121021，可得 a1 21，显然不成立，故舍去，所以 d0，所以1akak11d(1ak 1ak1)，所以 S1d(1a11a21ak 1ak1)1d(1a1 1ak1)，由题意可知，当 k5 时，S 511，当 k10 时，S1021，即1d（1a11a6）511，1d（1a1 1a11）1021，解得a11，d2或a11，d2(舍去)，故 an2n1.请做：小题专练 作业（七）