1、数学 苏（理）3.3 导数的综合应用第三章 导数及其应用 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练 出 高 分 基础知识自主学习 知识梳理 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答 基础知识自主学习 知识梳理 2.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以
2、考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.3.方程解的个数问题 构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数.基础知识自主学习 知识梳理 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.()(2)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值.()(3)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时取得最小值1.()xx 基础知识自主学习 知识梳理(4)函数f(x)x2ln x没有最值.()(5)已知x(0，)，则sin xx.()(6)若a2，则方程 x3ax210在(0,2)上没有实数根.
3、()213 基础知识自主学习 考点自测 题号 答案 解析 1 2 3 4 322设f(x)exln x(0 x1)，则 f(x)ex1xxex1x.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y 的图象可知两函数图象交点x0(0,1)，1x因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故不正确.设g(x)(0 x1)，则g(x).exxexx1x2又0 x1，g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0 x1x2g(x2)，1ex2exx2x1.题型分类深度剖析 解析 思维升华 题型一 利用导数证明不等式 例1(2014 课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f
4、(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；bex1x题型分类深度剖析 解 函数f(x)的定义域为(0，)，解析 思维升华 题型一 利用导数证明不等式 例1(2014 课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；bex1xf(x)aexln x ex ex1 ex1.axbx2bx由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.题型分类深度剖析 解析 思维升华(1)证明f(x)g(x)可转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值.(2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易
5、求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明(如本题中g(x)minh(x)max).题型一 利用导数证明不等式 例1(2014 课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；bex1x题型分类深度剖析 解析 思维升华 例1(2)证明：f(x)1.题型分类深度剖析 例1(2)证明：f(x)1.解析 思维升华 证明 由(1)知，f(x)exln x ex1，x(0，)，2x从而f(x)1等价于xln xxex.2e设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.1e故g(x)在(
6、0，)上单调递减，1e题型分类深度剖析 例1(2)证明：f(x)1.解析 思维升华 在(，)上单调递增，1e从而g(x)在(0，)上的最小值为g().1e1e设函数h(x)xex，2e则h(x)ex(1x).所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)1.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，解析 思维升华 从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).1e所以g(x)h(x).1e又因为两等号无法同时取到，所以g(x)h(x)综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.题型分类深度剖析 解析 思维升华 例1(2)证明：f(x)1.(1)证明f(x)g(x)可
7、转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值.(2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明(如本题中g(x)minh(x)max).题型分类深度剖析 跟踪训练1 证明：当x0,1时，xsin xx.22证明 记 F(x)sin x 22 x，则 F(x)cos x 22.当 x(0，4)时，F(x)0，F(x)在0，4上是增函数；当 x(4，1)时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即 sin x 22 x.题型分类深度剖析 记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10
8、时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增.当x0时，f(x)1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，).解析 思维升华 例2(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.题型分类深度剖析 解析 思维升华 例2(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.题型分类深度剖析 跟踪训练2 已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；
9、解 f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得 x a.题型分类深度剖析 由 f(x)0，解得 ax0 时，f(x)的单调增区间为(，a)，(a，)，单调减区间为(a，a).跟踪训练2 已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；题型分类深度剖析(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解 f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.题型分类深度剖析 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(
10、1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1).(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.题型分类深度剖析 思维点拨 解析 思维升华 题型三 生活中的优化问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax3题型分类深度剖析 由x5时y11求a；思维点拨 解析 思维升华
11、 题型三 生活中的优化问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax3题型分类深度剖析 解 因为x5时，y11，思维点拨 解析 思维升华 题型三 生活中的优化问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax3所以 1011，a2.a2
12、题型分类深度剖析 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.思维点拨 解析 思维升华 题型三 生活中的优化问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax3题型分类深度剖析 思维点拨 解析 思维升华 例3(2)
13、若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.题型分类深度剖析 建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值.思维点拨 解析 思维升华 例3(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.题型分类深度剖析 例3(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨 解析 思维升华 解 由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.2x3所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)2x310(x6)2210(x3)(x6)2,
14、3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).题型分类深度剖析 例3(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x4时，函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值.思维点拨 解析 思维升华 题型分类深度剖析 例3(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答
15、当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨 解析 思维升华 题型分类深度剖析 思维点拨 解析 思维升华 例3(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.题型分类深度剖析 跟踪训练3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的
16、四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm).题型分类深度剖析(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？解 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x0；当x(20,30)时，V0 得 x23，又 x0,2，所以 g(x)在区间0，23上单调递减，在区间23，2上单调递增，审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 3分题型分类深度剖析 所以 g(x)min
17、g(23)8527，8分审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 g(x)maxg(2)1.6分故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，11227则满足条件的最大整数M4.题型分类深度剖析(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题.审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值
18、范围.12题型分类深度剖析(2)对任意s，t，2都有f(s)g(t)12(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 ax审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.12题型分类深度剖析 分离常数 axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.12题型分类深度剖析 10分审 题 路 线 图 规
19、 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.12解 对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.1212由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.12在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于 12题型分类深度剖析 axx2ln x恒成立.14分审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.1212分设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是
20、减函数，又h(1)0，12所以当1x2时，h(x)0；当 x0.12题型分类深度剖析 16分审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.12即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，12所以a1，即实数a的取值范围是1，).题型分类深度剖析(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题.审 题 路 线
21、图 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.12思想方法感悟提高 方 法 与 技 巧 1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.思想方法感悟提高 方 法 与 技 巧 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.思
22、想方法感悟提高 失 误 与 防 范 1.函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0，(f(x)0在有限个点处取到).2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110练出高分 A组 专项基础训练 1.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数yf(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是_ 23456789101解析 由yf(x)的图象可知，当x0时，函数取得极小值，f(x)极小值c.c 练出高分 A组 专项基础训练 2.(2014课标全国改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是
23、_ 345678911021，)解析 由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k 0在(1，)上恒成立.1x1x由于k，而00，即a23a180.a6或a0)在1，)上的最大值为 33，则a 的值为_.解析 f(x)x2a2x2x2a2 ax2x2a2，若a1，当 x a时，f(x)0，f(x)单调递减，练出高分 A组 专项基础训练 23567891104当 1x0，f(x)单调递增，当 x a时，令 f(x)a2a 33，a 32 1，不合题意.若0f(x)g(x)，且 f(x)axg(x)(a0，且 a1)，f1g1f1g152.若数列fngn 的前 n 项和大于
24、 62，则 n 的最小值为_.练出高分 A组 专项基础训练 23467891105解析 由fxgx fxgxfxgxg2x0，知fxgx在 R 上是增函数，即fxgxax 为增函数，a1.又 a1a52，练出高分 A组 专项基础训练 23467891105a2 或 a12(舍).数列fngn 的前 n 项和Sn21222n212n12 2n1262.即2n32，n5.答案 6 练出高分 A组 专项基础训练 234578911066.已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax(a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.12解析 f(x)是奇函数，且当x(2,0)时
25、，f(x)的最小值为1，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当 x(0,2)时，f(x)1xa，令 f(x)0 得 x1a，又 a12，01a2.练出高分 A组 专项基础训练 23457891106当 x0，f(x)在(0，1a)上单调递增；当 x1a时，f(x)0，即x(0,1时，23456791108f(x)kx33x10 可化为 k3x21x3.设 g(x)3x21x3，则 g(x)312xx4，练出高分 A组 专项基础训练 23456791108所以 g(x)在区间(0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此 g(x)maxg(12)4，从而 k4；当xln 21且x0时，ex
26、x22ax1.证明 设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.23456781109练出高分 A组 专项基础训练 于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.23456781109练出高分 A组 专项基础训练 2345678911010.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时
27、)的函数解析式可以表示为yx3x8(0 x120).已知甲、乙两地相距100千米.1128 000380(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？练出高分 A组 专项基础训练 23456789110共耗油10040(1128 000403 380408)17.5(升).因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升.解 当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040 小时，练出高分 A组 专项基础训练(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？23456789110解 当速度为 x 千米/小时时，设耗油量为
28、h(x)升，汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时，依题意得 h(x)(1128 000 x3 380 x8)100 x练出高分 A组 专项基础训练 2345678911011 280 x2800 x 154(0 x120)，h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120).令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，练出高分 A组 专项基础训练 23456789110所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为1
29、1.25升.练出高分 B组 专项能力提升 23451练出高分 B组 专项能力提升 234511.(2014辽宁改编)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.解析 当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，ax24x3x3，练出高分 B组 专项能力提升 23451ax24x3x3max.设(x)x24x3x3，(x)2x4x3x24x33x2x6x28x9x4x9x1x40，练出高分 B组 专项能力提升 23451(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.当 x2,0)时，ax24x3x3，ax24x3x3min
30、.仍设(x)x24x3x3，(x)x9x1x4.练出高分 B组 专项能力提升 23451当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值.而(x)min(1)14312，a2.综上知6a2.答案 6，2 练出高分 B组 专项能力提升 234512.已知函数 f(x)x22xx0，lnx1x0，若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是_.解析|f(x)|axx22xaxx0，1lnx1axx0，2成立.练出高分 B组 专项能力提升 23451由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立.当x0时，aR；当x0)，练出高分 B组 专项能力提升 23451则 h(x)1x1a(x0)，
31、可知 h(x)为减函数.当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；当 a1 时，因为 1x1(0,1)，所以 h(x)1x1a0，故 h(x)为减函数，练出高分 B组 专项能力提升 23451所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.如 a12时，取 x04，则h(x0)ln 520成立，可知0a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0.(1)求f(x)的单调区间；23451解 因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以 f(x)a2x 2xaxa2xax.由于a0，所以f(x)的增
32、区间为(0，a)，减区间为(a，).练出高分 B组 专项能力提升(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.23451解 由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立.只要f1a1e1，fea2e2aee2，解得ae.练出高分 B组 专项能力提升 5.已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；23451ln xx解 a1，f(x)xln x，f(x)11xx1x，当0 x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10，此时f(x)单调递
33、增.f(x)的极小值为f(1)1.练出高分 B组 专项能力提升 23451(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；12证明 f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.又 g(x)1ln xx2，当0 x0，g(x)在(0，e上单调递增.练出高分 B组 专项能力提升 23451g(x)maxg(e)1e12，在(1)的条件下，f(x)g(x)12.练出高分 B组 专项能力提升(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.23451解 假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则 f(x)a1xax1x.当 01ae 时，f(x)在(0，1a)上单调递减，练出高分 B组 专项能力提升 23451在(1a，e上单调递增，f(x)minf(1a)1ln a3，ae2，满足条件；当1ae 时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a4e(舍去)，所以，此时 f(x)无最小值.综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.
