1、3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式目标定位 1.了解学习两角和与差的三角函数公式的必要性.2.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法.4.理解和、差角的相对性，能对角进行合理拆分与能对公式进行简单逆用.自 主 预 习两角差的余弦公式名称简记符号公式适用条件两角差的余弦C()cos()coscossinsin，为任意角即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)化简 cos2 只能利用诱导公式.()(2)cos()cos cos 一般都成立.()(3)以 Ox 为始边作角，终边与
2、单位圆交于点 A，则 A 点的坐标为(sin，cos).()(4)cos 15cos(4530)14(6 2).()提示(1)也可以用两角差的余弦公式化简.(2)一般不成立.(3)A(cos，sin).(4)cos 15cos(4530)14(6 2).2.sin 14cos 16sin 76cos 74的值是()A.32B.12C.32D.12解析 sin 14cos 16sin 76cos 74cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 6012.答案 B3.化简 sinx4 sinx4 cosx4 cosx4 的结果是()A.sin 2xB.cos 2xC.
3、0 D.1解析 原式cosx4 x4cos 2 0.答案 C4.计算12sin 60 32 cos 60_.解析 原式sin 30sin 60cos 30cos 60 cos(6030)cos 30 32.答案 32类型一 运用公式求值【例 1】求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)cos 7sin 15sin 8cos 8.解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30 32.(2)原式cos（158）sin 15sin 8cos 8cos 15cos 8cos 8cos 15cos(6045)cos 60c
4、os 45sin 60sin 45 2 64.规律方法 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式.【训练 1】求下列各式的值：(1)sin 46cos 14sin 44cos 76.(2)12cos 15 32 sin 15.解(1)原式sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30 32.(2
5、)原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45 22.类型二 给值求值问题【例 2】(2015绍兴高一期末测试)设 cos(2)19，sin 2 23，其中2，0，2，求 cos 2.解 2，0，2，2 4，24，2，sin2 1cos22 1 1814 59.cos 2 1sin22 149 53.cos 2cos2 2cos2 cos2 sin2 sin2 19 53 4 59 237 527.规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：()，()，(2)()，1
6、2（）（），12（）（）等.【训练 2】已知 cos 17，cos()1114，且、0，2，求 cos 的值.解、0，2，(0，).又cos 17，cos()1114，sin 1cos24 37，sin()1cos2（）5 314.又()，cos cos()cos()cos sin()sin 1114 175 314 4 3712.类型三 给值求角问题(互动探究)【例 3】已知、均为锐角，且 cos 2 55，cos 1010，求 的值.思路探究探究点一 要求 的值，可以先求什么？提示 可以先求 cos()的值.探究点二 要求 cos()的值，还需求哪些值？提示 还需求 sin，sin.探究点
7、三 由 cos()的值，求 的值，应注意什么？提示 应注意 的范围.解、均为锐角，sin 55，sin 3 1010.cos()cos cos sin sin 2 55 1010 55 3 1010 22.又 sin sin，02，2 0.故 4.规律方法 解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.【训练 3】已知 cos 17，cos()1314，且 02，求 的值.解 由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37，由 02，得 02.又因为 cos()1314，所以 sin()1cos2（）1131423 3
8、14，由()得cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，所以 3.课堂小结1.公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.2.公式的适用条件公 式 中 的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos22中的“2”相当于公式中的角，“2”相当于公式中的角.3.公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：(1)公式本身的变用，如 cos()cos cos sin sin；(2)角的变用，也称为角的变换，如 cos cos()，cos
9、2cos()().1.cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()A.12B.13C.32D.33解析 cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 6012，故选A.答案 A2.cos 165等于()A.12B.32C.6 24D.6 24解析 cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30)6 24.答案 C3.32 sin 6012cos 60_.解析 原式sin 60sin 60cos 60cos 60 cos(6060)cos 01.答案 14.已知 sin 45，sin 5
10、13，且 180270，90180，求cos()的值.解 因为 sin 45，180270，所以 cos 35.因为 sin 513，90180，所以 cos 1213.所以 cos()cos cos sin sin 35 1213 45 513366520651665.基 础 过 关1.若 sin sin 1，则 cos()的值为()A.0 B.1 C.1 D.1解析 由 sin sin 1，得 cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.答案 B2.化简 cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的结果为()A.12B.12C.32D.32解析 原式co
11、s(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60)12.答案 A3.若 cos()55，cos 2 1010，并且、均为锐角且，则的值为()A.6B.4C.34D.56解析 sin()2 55(2 0).sin 23 1010，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()1010 55 3 10102 55 22，(0，)，34.答案 C4.已知点 A(cos 80，sin 80)，B(cos 20，sin 20)，则|AB|()A.12B.22C.32D.1解析|AB|（cos 20cos 80）2（sin 20sin 80）2 22（
12、cos 80cos 20sin 80sin 20）22cos 6022121.答案 D5.若 cos()13，则(sin sin)2(cos cos)2_.解析 原式22(sin sin cos cos)22cos()83.答案 836.已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|2 55，求 cos().解 a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab(cos cos，sin sin).|ab|（cos cos）2（sin sin）2cos22cos cos cos2sin2 2sin sin sin2 22cos（）2 55，22cos()45，cos()35.7.已
13、知、为锐角，cos 17，sin()5 314，求角 的值.解 为锐角，cos 17，sin 4 37.又 为锐角，0.sin()5 314 sin，2，cos()1114，cos cos()cos()cos sin()sin 1114175 314 4 37 12，为锐角，3.8.求函数 ycos xcosx3(xR)的最大值和最小值.解 ycos xcos xcos3 sin xsin 332cos x 32 sin x 332 cos x12sin x 3cos6 cos xsin 6 sin x 3cosx6.1cosx6 1.ymax 3，ymin 3.能 力 提 升9.将函数 y
14、3cos xsin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个长度单位后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是()A.12B.6C.3D.56解析 y 3cos xsin x2cosx6，将函数 y2cosx6 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到 y2cosxm6，此时关于 y 轴对称，则 m6 k，kZ，所以 m6 k，kZ，所以当 k0 时，m 的最小值是6，选 B.答案 B10.若12sin x 32 cos xcos(x)，则 的一个可能值为()A.6B.3C.6D.3解析 12sin x 32 cos xcos xcos6 sin xsin6 cosx6，故 的一个可
15、能值为6.答案 A11.已知 sin sin sin 0 和 cos cos cos 0，则 cos()的值是_.解析 由已知得sin sin sin cos cos cos 22 得：(sin sin)2(cos cos)21，整理得：22cos()1，cos()12.答案 1212.若 sin sin 1 32，cos cos 12，则 cos()的值为_.解析 sin sin 1 32，cos cos 12，22 整理得 22cos()1 33414，即 cos()32.答案 3213.已知：cos(2)22，sin(2)22，且4 2，04，求cos().解 因为4 2，04，所以4
16、2.因为 cos(2)22，所以2 2.所以 sin(2)22.因为4 2，04，所以4 22.因为 sin(2)22，所以 022，所以 cos(2)22，所以 cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)22 22 22 22 0.探 究 创 新14.已知 a(cos，sin)，b(cos，sin).其中 0.(1)求证：ab 与 ab 互相垂直.(2)若 kab 与 akb 的长度相等，求 的值(k 为非零的常数).(1)证明 因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)110，所以 ab 与 ab 互相垂直.(2)解 因为
17、 kab(kcos cos，ksin sin)，akb(cos kcos，sin ksin)，所以|kab|（kcos cos）2（ksin sin）2 k212kcos（），|akb|（cos kcos）2（sin ksin）2 k212kcos（）.而|kab|akb|，所以 k212kcos（）k212kcos（），所以 cos()0，又因为 0，所以 0，所以 2.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)目标定位 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式.2.能应用两角和与差的正弦、余弦公式解决有关问题.3.理解和、差角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.
18、4.能对公式进行简单的逆用.自 主 预 习1.两角和与差的余弦公式C()：cos()cos_cos_sin_sin_.C()：cos()cos_cos_sin_sin_.2.两角和与差的正弦公式S()：sin()sin_cos_cos_sin_.S()：sin()sin_cos_cos_sin_.3.两角互余或互补(1)若 2，其、为任意角，我们就称、互余.例如：4 与4 互余，6 与3 互余.(2)若，其，为任意角，我们就称、互补.例如：4 与34互补，3 与23 互补.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos()cos cos 对任意角都不成立.()(2)12c
19、os 32 sin sin(30).()(3)sin xcos x1，1.()(4)sin 1514(6 2).()提示(1)2，4 时，等式成立.(2)12cos 32 sin sin(30)(3)sin xcos x 2sinx4 2，2.(4)sin 1514(6 2).2.sin 7cos 37sin 83cos 53的值是()A.12B.12C.32D.32解析 原式sin 7cos 37cos 7sin 37sin(30)12.答案 A3.在ABC 中，A4，cos B 1010，则 sin C 等于()A.2 55B.2 55C.55D.55解析 sin Csin(AB)sin(
20、AB)sin Acos Bcos Asin B 22(cos B1cos2B)22 1010 3 1010 2 55.答案 A4.函数 f(x)sin x 3cos x(xR)的值域是_.解析 f(x)212sin x 32 cos x 2sinx3.f(x)2，2.答案 2，2类型一 利用和(差)角公式化简【例 1】化简下列各式：(1)sinx3 2sinx3 3cos23 x；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74；(3)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)；(4)sin12 3cos12.解(1)原式sin xcos 3 cos xsin 3
21、2sin xcos 3 2cos xsin 3 3cos23 cos x 3sin23 sin x12sin x 32 cos xsin x 3cos x 32 cos x32sin x12132 sin x32 3 32 cos x0.(2)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 3012.(3)原式sin(54x)(36x)sin 901.(4)法一 原式212sin12 32 cos122sin6 sin12cos6 cos122cos6 12 2cos4 2.法二 原式212sin12 3
22、2 cos122cos3 sin12sin3 cos122sin123 2sin4 2.规律方法 化简三角函数式的标准和要求(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少.(3)使三角函数式的次数尽可能低.(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.【训练 1】化简：(tan 10 3)cos 10sin 50.解 原式(tan 10tan 60)cos 10sin 50sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50sin 10cos 60cos 10sin 60cos 10cos 60cos 10sin 50 sin（50）cos 10cos
23、 60cos 10sin 501cos 602.类型二 利用和(差)角公式求值【例 2】若 sin34 513，cos4 35，且 04 34，求 cos()的值.解 04 34，34 34，2 4 0.又sin34 513，cos4 35，cos34 1213，sin4 45，cos()sin2（）sin34 4 sin34 cos4 cos34 sin4 513351213 453365.规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角
24、的和或差.(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.【训练 2】已知2 34，cos()1213，sin()35，求 cos 2与 cos 2的值.解 2 34，04，32.sin()1cos2（）112132 513，cos()1sin2（）135245.cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5133365，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5136365.类型三 两角和与差的正弦、余弦公式在解三角形中的应用(互动探究)【例 3】在ABC 中，sin A35，cos B 513，求
25、cos C.思路探究探究点一 A、B、C 之间有怎样的关系？提示 ABC.探究点二 由 sin A35，求 cos A 的值，由 cos B 513，求 sin B 的值，值确定吗？提示 应注意由三角函数值的符号，确定角 A、B 的范围.解 cos B 513 22，B4，2，则 sin B1213.sin A35 22，A0，4 34，.若 A34，B4，2，则 AB，32，与 ABC矛盾，A34，A0，4，且 cos A45.cos Ccos(AB)cos(AB)45 513351213 1665.规律方法 在应用公式时，要注意角的范围，特别在三角形中，ABC，A，B，C(0，).【训练
26、3】(1)(2015常州高一检测)在ABC 中，若 sin Asin Bcos Acos B，则ABC的形状为_.(2)在ABC 中，已知 sin(AB)cos Bcos(AB)sin B1，则ABC 是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析(1)sin Asin B0 而 cos(AB)0，cos Ccos(AB)cos(AB)0.C 为钝角.(2)由条件 sin(AB)cos Bcos(AB)sin B1 得 sin A1，即 sin A1.A 为直角.故选 C.答案(1)钝角三角形(2)C课堂小结1.公式 C与 S的联系、结构特征和符号规律对于公式 S 与
27、 S，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin cos()cos sin()时，不要将 cos()和 sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin.3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.1.cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于()A.12B.12C.0D.1解析 原式cos(7515)cos 900.答案 C2.已知 sin 35，是第四象限角，则 sin4 的值等于(
28、)A.210B.7 210C.7 210D.210解析 由已知：cos 45.sin4 sin4 cos cos4 sin 7 210.答案 B3.化简 sin(45A)sin(45A)_.解析 原式 22(cos Asin A)22(cos Asin A)2sin A.答案 2sin A4.已知 sin()12，sin()13，求tan tan 的值.解 sin()12，sin cos cos sin 12.sin()13，sin cos cos sin 13.由，解得 sin cos 512，cos sin 112，tan tan sin cos cos sin 5121125.基 础 过
29、 关1.sin 245sin 125sin 155sin 35的值是()A.32B.12C.12D.32解析 原式sin 65sin 55sin 25sin 35 cos 25cos 35sin 25sin 35 cos(3525)cos 6012.答案 B2.已知 02，又 sin 35，cos()45，则 sin()A.0 B.0 或2425C.2425D.0 或2425解析 02，sin 35，cos()45，cos 45，sin()35或35.sin sin()sin()cos cos()sin 2425或 0.2，sin 2425.答案 C3.已知 cos cos sin sin 0
30、，那么 sin cos cos sin 的值为()A.1 B.0C.1 D.1解析 cos cos sin sin cos()0.k2，kZ，sin cos cos sin sin()1.答案 D4.已知锐角、满足 sin 2 55，cos 1010，则 _.解析，为锐角，sin 2 55，cos 1010，cos 55，sin 3 1010.cos()cos cos sin sin 55 1010 2 55 3 1010 22.0，34.答案 345.化简 sin6 cos3 的结果是_.解析 原式sin 6 cos cos 6 sin cos 3 cos sin 3 sin cos.答案
31、cos 6.求下列各式的值.(1)cos 105cos 15sin 75sin 15；(2)cos 15sin 15cos 15sin 15；解(1)cos 105cos 15sin 75sin 15cos(9015)cos15sin(9015)sin 15sin 15cos 15cos 15sin 15(sin 15cos 15cos 15sin 15)sin(1515)sin 3012.(2)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 6 24，cos 15 6 24，cos 15sin 15cos 15sin 15 2262 33.7.已知函数 f(x
32、)2sin13x6，xR.(1)求 f54的值；(2)设、0，2，f32 1013，f(32)65，求 cos()的值.解(1)f542sin1354 6 2sin 4 2；(2)由 f32 1013得 2sin 1013，即 sin 513，由 f(32)65得2sin2 65，从而 cos 35，又、0，2，cos 151321213，sin 135245，cos()cos cos sin sin 121335 513451665.8.已知 sin(2)3sin，求证：tan()2tan.证明 sin(2)3sin sin()3sin()sin()cos cos()sin 3sin()co
33、s 3cos()sin 2sin()cos 4cos()sin tan()2tan.能 力 提 升9.若函数 f(x)(1 3tan x)cos x，0 x2，则 f(x)的最大值为()A.1 B.2C.1 3D.2 3解析 f(x)(1 3tan x)cos xcos x 3sin x 2(12cos x 32 sin x)2sin(x6)，0 x2，6 x6 23.f(x)max2.答案 B10.在三角形 ABC 中，三内角分别是 A、B、C，若 sin C2cos Asin B，则三角形ABC 一定是()A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析 sin Csin(A
34、B)sin Acos Bcos Asin B2cos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0.即 sin(AB)0，AB.答案 C11.sin 7cos 15sin 8cos 7sin 15sin 8_.解析 原式sin（158）cos 15sin 8cos（158）sin 15sin 8 sin 15cos 8cos 15cos 8sin（4530）cos（4530）2 3.答案 2 312.已知，为锐角，且 sin 55，cos 1010，则 _.解析 因，为锐角，sin 55，cos 1010，所以 cos 2 55，sin 3 1010，所以 sin()sin cos
35、 cos sin 55 1010 2 55 3 1010 22.因为，0，2，所以2 2，所以 4.答案 413.已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|4 1313.(1)求 cos()的值；(2)若 02，2 0 且 sin 45，求 sin 的值.解(1)ab(cos cos，sin sin)，|ab|2(cos cos)2(sin sin)222cos()，161322cos()，cos()513.(2)02，2 0 且 sin 45，cos 35且 0.又cos()513，sin()1213.sin sin()sin()cos cos()sin 121335 5
36、1345 1665.探 究 创 新14.证明：sin()sin()sin2sin2，并利用该式计算 sin220sin 80sin 40的值.证明 左边sin()sin()(sin cos cos sin)(sin cos cos sin)sin2cos2cos2sin2sin2(1sin2)(1sin2)sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2右边.sin()sin()sin2sin2.sin220sin 80sin 40sin220sin(6020)sin(6020)sin220sin260sin220sin26034.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正
37、切公式(二)目标定位 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用公式进行和、差角的求值和化简.3.能对公式进行简单的逆用和变形应用.自 主 预 习1.两角和与差的正切公式(1)T()：tan()tan tan 1tan tan.(2)T()：tan()tan tan 1tan tan.2.两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1tan tan tan（）.(2)T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_).tan ta
38、n tan tan tan()tan().tan tan tan tan tan（）1.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)公式 T()中，只有，满 2 k(kZ)才可使用.()(2)tan2 无法化简.()(3)tan 153 33 3.()(4)当 54时，(1tan)(1tan)2.()提示(1)T()中，都不能等于2 k，kZ.(2)利用两角差的正切公式化简即可.(3)tan 153 33 3.(4)当 54时，(1tan)(1tan)2.2.若 tan4 3，则 tan 的值为()A.2 B.12C.12D.2解析 tan tan4 4 1tan4 1tan
39、4 131312.答案 B3.已知 AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1 B.2C.2 D.不确定解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B 1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B 11tan Atan Btan Atan B2.答案 B4.已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_.解析 tan 2，tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan 17，解得 tan 3.答案 3类型一 利用和(差)角的正切公式求值【例 1】求下列各式的值：(1)3tan 151 3tan 1
40、5；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式tan 60tan 151tan 60tan 15tan(6015)tan 75tan(3045)tan 30tan 451tan 30tan 4533 11 332 3；(2)tan 45tan 15tan 301tan 15tan 301，tan 15tan 301tan 15tan 30原式1tan 15tan 30tan 15tan 301.规律方法 公式 T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan，tan tan(或 tan tan)，tan()(或 tan()三者知二可表示或求出第三个.【训练
41、 1】求下列各式的值.(1)cos 75sin 75cos 75sin 75；(2)tan 36tan 84 3tan 36tan 84.解(1)原式1tan 751tan 75tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan(30)tan 30 33.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)3tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84 3tan 36tan 84tan 120 3.类型二 给值求角问题【例 2】已知 tan 17，sin 1010，且，为锐角，求 2 的值.解 tan 171 且 为锐角，04，又sin
42、 1010 5010 22 且 为锐角，04，0234.由 sin 1010，为锐角，得 cos 3 1010，tan 13.tan()tan tan 1tan tan 17131171312.tan(2)tan（）tan 1tan（）tan 1213112131.由可得 24.规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数值，确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.【训练 2】已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，且2 2，2 2，求角.解 由已知得tan tan 3 3，tan
43、tan 4，tan、tan 均为负，2 0，2 0.0，tan()tan tan 1tan tan 3 314 3.23.类型三 和(差)角的正切公式的综合应用(互动探究)【例 3】已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3tan Btan Atan B1，试判断ABC 的形状.思路探究探究点一 由两角和(差)的正切公式.由条件 tan Btan C 3tan Btan C 3可得到什么结论？提示 条件可变形为：tan Btan C1tan Btan C 3.探究点二 由条件 3tan A 3tan Btan Atan B1 可得什么结论？提示 条件
44、可变形为：tan Atan B1tan Atan B 33.解 3tan A 3tan Btan Atan B1，3(tan Atan B)tan Atan B1，tan Atan B1tan Atan B 33，tan(AB)33.又0AB，AB56，C6，tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C 33，tan B 33 tan B 3，tan B 33，0B，B6，A23，ABC 为等腰钝角三角形.规律方法 三角形中的问题，ABC肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角的个数.【训练 3】已知 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的内角.求证：tan
45、 Atan Btan Ctan Atan Btan C.证明 ABC，ABC.tan(AB)tan Atan B1tan Atan Btan C.tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.课堂小结1.公式 T()的适用范围由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在 y 轴上，即不为 k2(kZ).2.从三个角度入手直接利用公式 T()求值(1)复角化单角：公式 tan()tan tan 1tan tan 及 tan()tan tan 1tan tan 反映了复角化单角的思想，即要求 的正切函数值，只需知道 t
46、an 和 tan 的值，代入求解便可.(2)整体意识：公式 T()中有两个小团体“tan tan”及“tan tan”，求解时可利用整体思想代入求解.(3)角的配凑：公式 T()中，只代表了角的某一形式，其可能是单纯的，也可能是某些小团体.3.公式 T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如 tan 4 1，tan 6 33，tan 3 3等.要特别注意 tan4 1tan 1tan，tan4 1tan 1tan.1.已知 cos 45，且 2，则 tan4 等于()A.17B.7 C.17D.7解析 由已知：sin 35，tan 34.tan4 tan4 tan 1tan
47、4 tan 1341347.答案 D2.1tan 751tan 75()A.3B.3C.33D.33解析 原式 tan 45tan 751tan 45tan 75tan(30)33.答案 D3.tan 36tan 84 3tan 36tan 84_.解析 tan 120 tan 36tan 841tan 36tan 84 3，tan 36tan 84 3 3tan 36tan 84，tan 36tan 84 3tan 36tan 84 3.答案 34.已知 A，B 都是锐角，且 tan A13，sin B 55，求 AB 的值.解 由已知：cos B2 55，tan B12，tan(AB)ta
48、n Atan B1tan Atan B1312113121.又0A2，0B2，0AB，AB4.基 础 过 关1.在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值是()A.22B.22C.12D.12解析 由 tan Atan Btan Atan B1，可得 tan Atan B1tan Atan B1，即 tan(AB)1，AB(0，)，AB34，则 C4，cos C 22.答案 B2.已知 tan()35，tan4 14，那么 tan4 等于()A.1318B.1323C.723D.16解析 tan4 tan（）4351413514 723.答案 C3.已知
49、 tan 12，tan 13，02，32，则 的值是()A.4B.34C.54D.74解析 tan()tan tan 1tan tan 1213112131，02，32，2，54.答案 C4.已知、均为锐角，且 tan cos sin cos sin，则 tan()_.解析 tan cos sin cos sin 1tan 1tan.tan tan tan 1tan.tan tan tan tan 1.tan tan 1tan tan.tan tan 1tan tan 1，tan()1.答案 15.在ABC 中，cos A45，tan B2，则 tan 2C_.解析 cos A45，0A，ta
50、n A34，又tan B2，tan Ctan(AB)tan Atan B1tan Atan B3421342112，tan 2Ctan(CC)tan Ctan C1tan Ctan C 112 1121112 112 44117.答案 441176.已知 tan()12，tan 17，且、(0，).(1)求 tan 的值；(2)求 2 的值.解(1)tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12171 11413.(2)tan(2)tan()tan（）tan 1tan（）tan 1.tan 170，(0，)，2 0，02.0，2.2(，0).234.7.求下列各式的值：(1)si
51、n 15cos 15；(2)(1tan 59)(1tan 76).解(1)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 22 32 22 12 6 24，cos 15 6 24，sin 15cos 1514.(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59tan 76)tan 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，已知
52、 A、B 的横坐标分别为 210、2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值.解 由条件得 cos 210，cos 2 55.、为锐角，sin 1cos27 210，sin 1cos2 55.因此 tan 7，tan 12.(1)tan()tan tan 1tan tan 71217123.(2)tan(2)tan()tan（）tan 1tan（）tan 3121（3）121.又，为锐角，0232，234.能 力 提 升9.化简 tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于()A.1 B.2C.tan 10D.3tan 20解析 原式tan 10
53、tan 20 3tan 20 3 tan 10 3(tan 10tan 20 33 tan 10tan 20)3 33 1.答案 A10.A，B，C 是ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x25x10 的两个实数根，则ABC 是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定解析 tan Atan B53，tan Atan B13，tan(AB)52，tan Ctan(AB)52，C 为钝角.答案 A11.如果 tan，tan 是方程 x23x30 的两根，则sin（）cos（）_.解析 sin（）cos（）sin cos cos sin cos cos sin
54、 sin tan tan 1tan tan 31（3）32.答案 3212.若 sin sin 22，则 cos cos 的取值范围为_.解析 令 cos cos t，则(sin sin)2(cos cos)2t212，即 22cos()t212，2cos()t232，2t2322，12t272，142 t 142.答案 142，14213.已知 A、B、C 是ABC 的三内角，向量 m(1，3)，n(cos A，sin A)，且mn1.(1)求角 A；(2)若 tan4 B 3，求 tan C.解(1)mn1，(1，3)(cos A，sin A)1，即 3sin Acos A1，2sinA6
55、 1.sinA6 12.0A，6 A6 56.A6 6，即 A3.(2)由 tanB4 tan B11tan B3，解得 tan B2.又 A3，tan A 3.tan Ctan(AB)tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 2 312 385 311.探 究 创 新14.已知 tan、tan 是方程 x23x30 的两根，试求 sin2()3sin()cos()3cos2()的值.解 由已知得tan tan 3，tan tan 3，tan()tan tan 1tan tan 31（3）34.sin2()3sin()cos()3cos2()sin 2（）3sin（）cos（）
56、3cos2（）sin2（）cos2（）tan2（）3tan（）3tan2（）1342334334213.3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式目标定位 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出倍角公式.2.能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简.3.理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.自 主 预 习1.倍角公式(1)S2：sin 22sin_cos_，sin 2 cos 2 12sin；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2 2tan 1tan2.2.倍角公式常用变形(1)sin 22
57、sin cos_，sin 22cos sin_；(2)(sin cos)21sin_2；(3)sin21cos 22，cos21cos 22；(4)1cos 2sin22，1cos 2cos22.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 22sin 也有可能成立.()(2)cos 2(cos sin)(cos sin).()(3)二倍角公式也适用于 与2 之间.()(4)T2只有当 2 k(kZ)时才成立.()提示(1)2k，kZ，成立.(2)cos 2cos()cos2sin2.(3)22，故适用.(4)还要有 22 k，kZ.2.cos275cos215cos
58、75cos 15的值等于()A.62B.32C.54D.1 34解析 原式sin215cos21512sin 3011454.答案 C3.sin412cos412等于()A.12B.32C.12D.32解析 原式sin212cos212 sin212cos212 cos212sin212 cos 6 32.答案 B4.tan 7.51tan27.5_.解析 原式12 2tan 7.51tan27.512tan 15 12tan(6045)12 311 31 32.答案 1 32类型一 给角求值问题【例 1】求下列各式的值：(1)sin12cos12；(2)12sin2750；(3)2tan 1
59、501tan2150；(4)1sin 103cos 10；(5)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式2sin12cos122sin6214.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 6012.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60 3.(4)原式cos 10 3sin 10sin 10cos 10212cos 10 32 sin 10sin 10cos 104（sin 30cos 10cos 30sin 10）2sin 10cos 104sin 20sin 20 4.(5)原式2sin 20cos 20cos
60、40cos 802sin 202sin 40cos 40cos 804sin 202sin 80cos 808sin 20sin 1608sin 2018.规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解.而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解.【训练 1】求下列各式的值：(1)tan 15cos 15sin 15；(2
61、)tan 204sin 20的值.解(1)原式sin 15cos 15cos 15sin 15sin215cos215sin 15cos 151sin 15cos 1522sin 15cos 152sin 304.(2)原式sin 20cos 204sin 20sin 202sin 40cos 20sin 202sin（6020）cos 20sin 20 3cos 20sin 20cos 20 3cos 20cos 20 3.类型二 给值求值问题(互动探究)【例 2】已知 sin4 x 513，0 x4，求cos 2xcos4 x的值.思路探究探究点一 已知角与未知角之间有怎样的联系？提示(1
62、)2 2x24 x；2 4 x 4 x(2)22x24 x；2 4 x 4 x.探究点二 以上两种角的变换思路哪种更简单？提示 本着先化简再求值的思路更简单.解 原式sin2 2xcos4 x2sin4 x cos4 xcos4 x2sin4 x.sin4 x cos4 x 513，且 0 x4，4 x4，2，sin4 x 1cos24 x 1213.原式212132413.规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：4 x 与4 x 存在互余关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号.【训练 2】已知 cos4 35，2 32，求 cos24 的
63、值.解 2 32，34 4 0，0，2，2(0，)，tan 2 2tan 1tan22131132340，20，2，又tan 170，(0，)，2，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171，又20，2，2，2(，0)，234.规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.【训练 3】已知 0，2，2，0，且 cos()35，sin 210，求.解 0，2，2，0，(0，)，由 cos()35知 sin()45，由 sin 210知 cos 7 210，sin sin()sin()cos c
64、os()sin 457 210 35 210 22，又 0，2，4.课堂小结1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是32的二倍；2 是4 的二倍；3 是6 的二倍；2n22n1(nN*).2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos21cos 22，1cos 22sin2，sin21cos 22.1.函数 y2cos2(x4)1 是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为2 的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为2 的偶函数解析
65、 y2cos2x4 1cos2x2 sin 2x.答案 A2.12cos28 的值等于()A.24B.24C.22D.22解析 原式122cos28 1 12cos4 24.答案 A3.若 tan 3，则sin 2cos2的值等于()A.2B.3 C.4D.6解析 原式2sin cos cos22tan 6.答案 D4.已知 2，sin 55，求 tan 2的值.解 由已知：cos 2 55，tan 12，tan 2 2tan 1tan243.基 础 过 关1.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的
66、垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，的图象大致为()解析 如图所示，当 x0，2 时，则 P(cos x，sin x)，M(cos x，0)，作 MMOP，M为垂足，则|MM|OM|sin x，f（x）cos x sin x，f(x)sin xcos x12sin 2x，则当 x4 时，f(x)max12；当 x2，时，有f（x）|cos x|sin(x)，f(x)sin xcos x12sin 2x，当 x34 时，f(x)max12.只有 B 选项的图象符合.答案 B2.3sin 702cos210的值是()A.12B.22C.2
67、 D.32解析 原式3sin 70212（1cos 20）2（3cos 20）3cos 202.答案 C3.若 sin6 13，则 cos23 2 的值为()A.13B.79C.13D.79解析 cos23 2 cos3 2 cos26 12sin26 2sin26 179.答案 B4.设 sin 2sin，2，则 tan 2的值是_.解析 因为 sin 22sin cos sin，2，所以 cos 12，sin 1cos2 32，所以 tan 3，则 tan 2 2tan 1tan2 2 31（3）2 3.答案 35.若 0，2，且 sin2 cos 214，则 tan 的值等于_.解析 由
68、 sin2 cos 214得 sin2 12sin2 1sin2 cos2 14.0，2，cos 12，3，tan tan3 3.答案 36.已知函数 f(x)2cosx12，xR.(1)求 f6 的值；(2)若 cos 35，32，2，求 f23.解(1)f6 2cos6 12 2cos4 2cos4 1；(2)f23 2cos23 12 2cos24 cos 2sin 2因为 cos 35，32，2，所以 sin 45，所以 sin 22sin cos 2425，cos 2cos2 sin2 725，所以 f23 cos 2sin 2 7252425 1725.7.求值：(1)sin 6s
69、in 42sin 66sin 78.(2)sin 50（1 3tan 10）cos 20cos 801cos 20.解(1)原式sin 6cos 48cos 24cos 12sin 6cos 6cos 12cos 24cos 48cos 6 sin 9616cos 6 cos 616cos 6 116.(2)sin 50(1 3tan 10)sin 50cos 10 3sin 10cos 10sin 502sin 40cos 10 sin 80cos 101，cos 80 1cos 20sin 10 2sin210 2sin210，sin 50（1 3tan 10）cos 20cos 80 1
70、cos 201cos 202sin210 2sin2102sin210 2.8.已知 cosx4 210，x2，34.(1)求 sin x 的值.(2)求 sin2x3 的值.解(1)因为 x2，34，所以 x4 4，2，于是 sinx4 1cos2x4 7 210，则 sin xsinx4 4sinx4 cos 4 cosx4 sin 4 7 210 22 210 22 45.(2)因为 x2，34，故 cos x1sin2x145235，sin 2x2sin xcos x2425，cos 2x2cos2x1 725，所以 sin2x3sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 247
71、350.能 力 提 升9.4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D.2 21解析 4cos 50tan 404cos 50sin 40cos 40 4cos 50cos 40sin 40cos 404sin 40cos 40sin 40cos 40 2sin 80sin 40cos 402sin（6020）sin（6020）cos 40 32 cos 2032sin 20cos 40 3cos 40cos 40 3，选 C.答案 C10.若1tan 2tan 1，则 cos 21sin 2的值为()A.3 B.3 C.2 D.12解析 1tan 2tan 1，tan 12.co
72、s 21sin 2cos2sin2（sin cos）2cos sin cos sin 1tan 1tan 1121123.答案 A11.函数 ysin 2x2 3sin2 x 的最小正周期 T 为_.解析 ysin 2x2 3sin2 xsin 2x2 31cos 2x2sin 2x 3cos 2x 3 2sin2x3 3，所以周期 T22.答案 12.已知 tan 2 3，则1cos sin 1cos sin _.解析 1cos sin 1cos sin 2sin22 2sin 2 cos 22cos22 2sin 2 cos 2 2sin 2 sin 2 cos 22cos 2 cos 2
73、 sin 2tan 2 3.答案 313.设 f(x)sin2x6 2msin xcos x，xR.(1)当 m0 时，求 f(x)在0，3 内的最小值及相应的 x 的值；(2)若 f(x)的最大值为12，求 m 的值.解(1)因为 x0，3，则 2x6 16，56，所以 f(x)min12，此时 x0 或3.(2)令 f(x)sin 2x6 2msin xcos x m 32 sin 2x 12 cos 2x m 32214sin(2x)，其中 tan 12m 32，于是 f(x)maxm 32214，令m 3221412，得 m 32.探 究 创 新14.已知向量 acos x，12，b(
74、3sin x，cos 2x)，xR，设函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值.解(1)f(x)abcos x 3sin x12cos 2x 32 sin 2x12cos 2xsin2x6.最小正周期 T22.所以 f(x)sin2x6 的最小正周期为.(2)当 x0，2 时，2x6 6，56，由正弦函数 ysin x 在6，56上的图象知，f(x)sin2x6 f6，f212，1.所以，f(x)在0，2 上的最大值和最小值分别为 1，12.习题课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式目标定位 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2
75、.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.1.已知 sin6 14，则 cos 3sin 的值为()A.14B.12C.2 D.1解析 sin6 14，cos 3sin 2cos3 2cos6 2 2sin6 12.答案 B2.若sin cos sin cos 12，则 tan 2等于()A.34B.34C.43D.43解析 由sin cos sin cos 12，等式左边分子、分母同除 cos 得，tan 1tan 112，解得 t
76、an 3，则 tan 2 2tan 1tan234.答案 B3.设 为第二象限，若 tan4 12，则 sin cos _.解析 tan4 12，tan 13，即3sin cos，sin2cos21，且 为第二象限角，解得 sin 1010，cos 3 1010.sin cos 105.答案 1054.若 tan 1tan 103，4，2，则 sin24 的值为()A.210B.210C.3 210D.7 210解析 由 tan 1tan 103 得sin cos cos sin 103，1sin cos 103，sin 235，4，2，22，cos 245.sin24 sin 2cos 4
77、cos 2sin 4 22 3545 210.答案 A5.已知 cos 2 23，则 sin4cos4的值为()A.1318B.1118C.79D.1解析 sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos2112sin22112(1cos22)1118.答案 B6.函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_.解析 f(x)sin(x2)2sincos(x)sin(x)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)coscos(x)sinsin(x)sin x，f(x)的最大值为 1.答案 1题型一 利用和、差、倍角公式求值化简
78、【例 1】(1)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110 x)的值为()A.2B.22C.12D.32(2)化简：2cos4x2cos2x122tan4 x sin24 x_.(3)求值：cos 15sin 15cos 15sin 15_.解析(1)原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45 22.故选 B.(2)原式12（4cos4x4cos2x1）2sin4 xcos4 xcos24 x（2cos2x1）24sin4 x cos4 xco
79、s22x2sin2 2x cos22x2cos 2x12cos 2x.(3)原式1tan 151tan 15 tan 45tan 151tan 45tan 15 tan(4515)3.答案(1)B(2)12cos 2x(3)3规律方法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan tan tan()(1tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【训练 1】(1)若2，tan4 17，则 sin 等于()A.35B.45C.35D.45(2)计算：1cos 202sin 20
80、sin 101tan 5tan 5 _.解析(1)tan4 tan 11tan 17，tan 34sin cos ，cos 43sin.又sin2cos21，sin2 925.又2，sin 35.(2)原式2cos2104sin 10cos 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 20sin 10 cos 102sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 102sin 30cos 102cos 30sin 102sin 10 32.答案(1)A(2)32题型二 形如 asin xbcos x 的三角式的
81、化简及应用(互动探究)【例 2】(1)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_.(2)已知函数 f(x)2sinx6 2cos x，x2，求函数 f(x)的值域.思路探究探究点一(1)中 sin xcos x 与 sin xcos x，xR 有怎样的关系？提示 令 tsin xcos x，则 sin xcos x12(t21)，特别要注意 t 的范围.探究点二(2)中函数可以怎样化简？提示 f(x)解析式可以化成 asin xbcos x 的形式.(1)解析 令 tsin xcos x，xR，则 t 222 sin x 22 cos x 2sinx4 t 2，2yt12(t
82、21)12t2t12 12(t1)21，t 2，2 ymin1，此时 t1，从而 x2k，或 x322k，kZ，ymax 212，此时 t 2，从而 x4 2k，kZ.答案 1，212(2)解 f(x)2sinx6 2cos x232 sin x12cos x 2sin xcos6 cos xsin62sinx6，2 x，3 x6 56.12sinx6 1.函数 f(x)的值域为1，2.规律方法(1)asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令 cos aa2b2，sin ba2b2，则有 asin xbcos xa2b2(cos sin xsin cos x
83、)a2b2sin(x)，其中 tan ba，为辅助角.(2)涉及 asin xbcos x 的最值、图象等性质问题时，常利用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成 f(x)a2b2sin(x)的形式；再利用研究 yAsin(x)的相关方法去求 f(x)的有关性质.【训练 2】(1)设 f(x)3sin 3xcos 3x，若对任意实数 x 都有|f(x)|a，则实数 a的取值范围是_.(2)已知函数 f(x)cos xcosx3.求 f23的值；求使 f(x)14成立的 x 的取值集合.(1)解析 函数 f(x)232 sin 3x12cos 3x 2sin3x6.所以函数 f(x)的最大值为
84、2，最小值为2，即|f(x)|2，所以要使|f(x)|a 恒成立，则 a2.即实数 a 的取值范围是2，).答案 2，)(2)解 f23cos23 cos3 cos3 cos312214.f(x)cos xcosx3 cos x12cos x 32 sin x12cos2x 32 sin xcos x14(1cos 2x)34 sin 2x12cos2x3 14.f(x)14等价于12cos2x3 1414，即 cos2x3 0.于是 2k2 2x3 2k32，kZ.解得 k512 xk1112，kZ.故使 f(x)14成立的 x 的取值集合为x|k512 xk1112，kZ.题型三 角的变换
85、【例 3】(1)已知，均为锐角，且 sin 35，tan()13，则 sin()_，cos _.(2)已知 sin 223，则 cos24 等于()A.16B.13C.12D.23解析(1)，0，2，从而2 2.又tan()130，2 0.sin()1010，cos()3 1010.为锐角，sin 35，cos 45.cos cos()cos cos()sin sin()453 1010 35 1010 9 1050.(2)cos24 1cos 242 1cos2221sin 22 1232 16，选 A.答案(1)1010 9 1050 (2)A规律方法 1.解决三角形函数的求值问题的关键是
86、把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2()()，()，22，22，22 2 等.【训练 3】(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525(2)已知 cos6 sin 45 3，则 sin76的值是_.解析(1)依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin2（）45.又，均
87、为锐角，所以 0，cos cos().因为45 55 45，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.(2)cos6 sin 45 3，32 cos 32sin 45 3，312cos 32 sin 45 3，3sin6 45 3，sin6 45，sin76sin6 45.答案(1)A(2)45课堂小结1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos 22，sin21cos 22，配方变形：1sin sin 2cos 22，1co
88、s 2cos22，1cos 2sin22.2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.3.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.4.在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的.5.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.基 础 过 关1.已
89、知 cos4 35，2 32，则 cos 2()A.45B.45C.2425D.2425解析 由2 32，得34 4 74.又 cos4 35且32 4 74，所以 sin4 135245，cos cos4 4 35 22 45 22 210，则 cos 22cos212425.答案 C2.为得到函数 f(x)cos x 3sin x 的图象，只需将函数 y 2cos x 2sin x 的图象()A.向左平移512 个单位长度B.向右平移512 个单位长度C.向左平移712 个单位长度D.向右平移712 个单位长度解析 f(x)2sinx56，y2sinx4，在 y2sinx4 中以 xa 代
90、替 x 得 y2sin（xa）4.由(xa)4 x56，得 a712，即以 x712 代替 x.故选 C.答案 C3.已知 2sin 21cos 2，则 tan 2()A.43B.43C.43或 0 D.43或 0解析 由 2sin 21cos 2及(sin 2)2(cos 2)21，得(sin 2)2(2sin 21)21，解得 sin 20 或 sin 245.当 sin 20 时，代入 2sin 21cos 2，得 cos 21，即 tan 20，当 sin 245时，代入 2sin 21cos 2，得 cos 235，即 tan 2sin 2cos 243.答案 D4.(2015开封模
91、拟)已知 tan 4，则1cos 28sin2sin 2的值为_.解析 1cos 28sin2sin 22cos28sin22sin cos ，tan 4，cos 0，分子、分母都除以 cos2得28tan22tan 654.答案 6545.sin2501sin 10_.解析 sin2501sin 101cos 1002（1sin 10）1cos（9010）2（1sin 10）1sin 102（1sin 10）12.答案 126.在锐角三角形 ABC 中，若 B2A，求sin Bsin A的取值范围.解 B 为锐角，B2A，sin Bsin A2cos A，且 0A4.又 C 为锐角，且 CB
92、A3A，03A2，2 3A0，2 3A，6 A4，22cos A 3，sin Bsin A的取值范围是(2，3).7.已知 2，且 sin 2 cos 2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值.解(1)因为 sin 2 cos 2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 32.(2)因为2，2，所以2，故2 2.又 sin()35，得 cos()45.cos cos()cos cos()sin sin()32 451235 4 3310.8.已知函数 f(x)2sinx4cosx42 3sin2x4 3.(1)求 f(x)的最小正周期及
93、最值.(2)令 g(x)fx3 判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.解(1)f(x)sinx2 3cosx22sinx23，T4，f(x)max2，f(x)min2.(2)g(x)2sin12x3 3 2sinx22 2cosx2，g(x)为偶函数.能 力 提 升9.已知 tan4 12，且2 0，则2sin2sin 2cos4等于()A.2 55B.3 510C.3 1010D.2 55解析 由 tan4 tan 11tan 12，得 tan 13.又2 0，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin（sin cos）22（sin cos）2 2sin 2 55.答案
94、 A10.若 f(x)2tan x2sin2x21sinx2cosx2，则 f12 的值为()A.4 33B.4 3C.4 3D.8解析 f(x)2sin xcos x cos x12sin x2sin2xcos2xsin xcos x 4cos 2xsin 2x，f12 4cos6sin64 3.答案 B11.若 tan 12，0，4，则 sin24 _.解析 因为 sin 22sin cos sin2cos2 2tan tan2145，又由 0，4，得 20，2，所以 cos 2 1sin2235，所以 sin24 sin 2cos 4 cos 2sin 4 45 22 35 22 7 2
95、10.答案 7 21012.3tan 123（4cos2122）sin 12_.解析 原式3sin 12cos 12 32（2cos2121）sin 12 2 312sin 12 32 cos 12cos 122cos 24sin 12 2 3sin（48）2cos 24sin 12cos 12 2 3sin 48sin 24cos 24 2 3sin 4812sin 484 3.答案 4 313.已知在ABC 中，边 a，b，c 所对的角分别是 A，B，C，若向量 m(2sin B，cos 2B)，n2cos24 B2，1，且 mn 31.求角 B 的大小.解 mn(2sin B，cos 2
96、B)2cos24 B2，12sin B2cos24 B2 cos 2B2sin Bcos2 B 1 cos 2B2sin2B2sin B(12sin2B)2sin B1，又 mn 31，2sin B1 31，sin B 32，又 0B，B3 或 B23.探 究 创 新14.(2015安徽卷)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值.解(1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4 1，所以函数 f(x)的最小正周期 T22.(
97、2)由(1)知，f(x)2sin2x4 1.当 x0，2 时，2x4 4，54，由正弦函数 ysin x 在4，54上的图象知，当 2x4 2，即 x8 时，f(x)取得最大值 21；当 2x4 54，即 x2 时，f(x)取得最小值 0.综上，f(x)在0，2 上的最大值为 21，最小值为 0.3.2 简单的三角恒等变换目标定位 1.了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用.2.理解三角变换的基本特点和基本功能.3.了解三角变换中蕴含的数学思想和方法.自 主 预 习1.二倍角余弦公式cos 2cos2sin22cos2112sin2.2.降幂公式：sin22 1cos 2；cos22 1c
98、os 2；tan22 1cos 1cos.3.半角公式(1)S2：sin 2 _1cos 2；(2)C2：cos 2 _1cos 2；(3)T2：tan 2 _1cos 1cos(无理形式)sin 1cos 1cos sin(有理形式).4.辅助角公式使 asin xbcos xa2b2sin(x)成立时，cos aa2b2，sin ba2b2，其中 称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 151cos 302.()(2)cosx4 sinx4.()(3)ysin xcos x，xR 的值域为2，2.()(4)三角恒
99、等变换包括角的变换和函数名称的变换.()提示(1)sin 15 1cos 302.(2)cosx4 cos2 4 x sin4 x.(3)ysin xcos x 2sinx4，xR，故值域为 2，2.(4)三角恒等变换主要指角的变换与函数名称的变换.2.已知 sin 2 13，则 cos 的值为()A.29B.79C.29D.79解析 sin 2 13，cos 12sin22 1213279.答案 D3.若 cos 23，且(0，)，则 cos 2 的值为()A.56B.306C.65D.305解析 cos 23，且(0，)，2 0，2.cos 2 1cos 21232 56 306.答案 B
100、4.已知 是第二象限角，且 cos 35，则 tan 2 等于_.解析 是第二象限角，且 cos 35，sin 1cos2135245，tan 2 sin 1cos 451352.答案 2类型一 降幂公式的应用【例 1】(1)求 sin 22.5的值.(2)化简：（1sin cos）sin2 cos222cos(00，sin 22.52 22.(2)原式2sin2 cos2 2cos22 sin2 cos24cos22cos2 sin22 cos22cos2.cos2 cos cos2.0，02 0，原式cos.规律方法(1)对于特殊角的一半求函数值，可以通过降幂，转化为特殊角.(2)对于式子
101、中含有 1cos，1cos 形式时，可以逆用降幂公式，消去常数1.【训练 1】当 0，2 时，化简12121212cos 2.解 原式121212（1cos 2）1212cos 12（1cos）cos2.类型二 辅助角公式【例 2】将下列三角式化成 Asin(x)的形式.(1)sin xcos x.(2)3sin xcos x.(3)sin x 3cos x.解(1)原式 222 sin x 22 cos x 2sinx4(2)原式232 sin x12cos x 2sinx6(3)原式212sin x 32 cos x 2sinx3规律方法 使 asin xbcos xa2b2sin(x)a
102、2b2cos(x)成立时，cos aa2b2，sin ba2b2，sin aa2b2，cos ba2b2，其中、称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.【训练 2】化简(1)32 sin 2xcos2x(2)3sin2x6 2sin2x12.解(1)原式 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12.(2)原式 3sin2x6 1cos2x6232 sin2x6 12cos2x612sin2x3 1.类型三 三角恒等式证明(互动探究)【例 3】求证：sin（）sin（）sin2cos21tan2tan2.思路探究探究点一 由左
103、到右证明，应采取什么变换？提示 弦化切.探究点二 由右到左证明，应采取什么变换？提示 切化弦.证明 法一 左边（sin cos cos sin）（sin cos cos sin）sin2cos2sin2cos2cos2sin2sin2cos21cos2sin2sin2cos21tan2tan2右边.原等式成立.法二 右边1cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin2sin2cos2（sin cos cos sin）（sin cos cos sin）sin2cos2sin（）sin（）sin2cos2左边.原式成立.规律方法 在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一
104、般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.【训练 3】求证：1sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan2.证明 原式可变形为1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，式右边sin 2cos 2(12cos2212sin 2cos 2)sin 2cos 2(2cos222sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4左边.式成立，即原式得证.课堂小结1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助
105、前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 满足：与点(a，b)同象限；tan ba(或 sin ba2b2，cos aa2b2).3.研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握，例如 sin xcos x 2sinx4；sin x 3cos x2sinx3 等.1.已知 cos 13，(，2)，则 cos2
106、 等于()A.63B.63C.33D.33解析 cos22 1cos 223，(，2)，故 cos2 63.答案 B2.化简：2cos 2sin21的结果是()A.cos 1 B.cos 1C.3cos 1 D.3cos 1解析 2cos 2sin21 1cos 2cos21 2cos21cos21 3cos 1.答案 C3.求值：sin23512cos 10cos 80_.解析 原式1cos 70212cos 10sin 10cos 702sin 10cos 10sin 20sin 201.答案 14.已知 sin 2cos 0，求cos 2sin 21cos2的值.解 由 sin 2cos
107、 0，得 sin 2cos，又 cos 0，则 tan 2，所以cos 2sin 21cos2cos2sin22sin cos sin22cos21tan22tan tan221（2）22（2）（2）2216.基 础 过 关1.已知|cos|35，且52 3，则 sin 2，cos 2，tan 2 的值分别为()A.2 55，55，2 B.2 55，55，2C.2 55，55，2 D.2 55，55，2解析 因为|cos|35，52 3，所以 cos 35，54 2 32.由 cos 12sin22，得 sin 2 1cos 21352 2 55.又 cos 2cos22 1，cos 2 1c
108、os 2 55，所以 tan 2 sin 2cos 22.答案 B2.使函数 f(x)sin(2x)3cos(2x)为奇函数的 的一个值是()A.6B.3C.2D.23解析 f(x)sin(2x)3cos(2x)2sin2x3 .当 23时，f(x)2sin(2x)2sin 2x 为奇函数.答案 D3.函数 f(x)sin x 3cos x(x，0)的单调递增区间是()A.，56B.56，6C.3，0D.6，0解析 f(x)2sinx3，f(x)的单调递增区间为 2k6，2k56(kZ)，因为 x，0，所以令 k0 得单调递增区间为6，0.答案 D4.函数 f(x)2sin x2sin3 x2
109、 的最大值等于_.解析 f(x)2sin x2sin 3 cos x2cos 3 sin x2 32 sin xsin2x2 32 sin x1cos x2 32 sin x12cos x12sinx6 12.f(x)max12.答案 125.函数 f(x)sin2x4 2 2sin2x 的最小正周期是_.解析 f(x)22 sin 2x 22 cos 2x 2(1cos 2x)22 sin 2x 22 cos 2x 2sin2x4 2，T22.答案 6.f(x)sin4 x6 2cos28 x1.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)g(x)与 f(x)的图象关于直线 x1 对称，求当 x0
110、，43 时，g(x)的最大值.解(1)f(x)32 sin4 x12cos4 xcos4 x 32 sin4 x32cos4 x 3sin4 x3T248.(2)g(x)f(2x)3sin4（2x）3 3sin6 4 x 3sin4 x6x0，43，4 x6 6，76sin4 x6 12，1yg(x)的最大值为12(3)32.7.已知向量 m(cos，sin)和 n(2sin，cos)，(，2)，且|mn|8 25，求 cos2 8 的值.解 mn(cos sin 2，cos sin)，2，58 2 8 98.cos2 8 0.由已知|mn|8 25，得|mn|（cos sin 2）2（cos
111、 sin）242 2（cos sin）44cos cos 4 sin sin 444cos4 21cos42 21cos422 2cos2 8 8 25，cos2 8 45.8.已知 为钝角，为锐角，且 sin 45，sin 1213，求 cos 2的值.解 因为 为钝角，为锐角，sin 45，sin 1213，cos 35，cos 513，所以 cos()cos cos sin sin 35 5134512133365.因为2，02，所以 0，022，又 cos()2cos221，所以 cos21cos（）27 6565，能 力 提 升9.当 y2cos x3sin x 取得最大值时，tan
112、 x 的值是()A.32B.32C.13D.4解析 y2cos x3sin x 13213cos x 313sin x 13(sin cos xcos sin x)13sin(x)，当 sin(x)1，即 x2k2(kZ)时，y 取到最大值.2k2 x(kZ)，sin cos x，cos sin x，cos xsin 213，sin xcos 313.tan x32.答案 B10.若 cos 45，是第三象限角，则1tan21tan2等于()A.12B.12C.2 D.2解析 是第三象限角，cos 45，sin 35.1tan21tan21sin2cos21sin2cos2cos2 sin2c
113、os2 sin2 cos2 sin2cos2 sin2cos2 sin2cos2 sin2 1sin cos 1354512.答案 A11.若 8sin 5cos 6，8cos 5sin 10，则 sin()_.解析(8sin 5cos)2(8cos 5sin)2 642580(sin cos cos sin)8980sin()62102136.80sin()47，sin()4780.答案 478012.函数 f(x)cos2xsin xcos x 的最大值是_.解析 f(x)1cos 2x212sin 2x12 22 22 sin 2x 22 cos 2x 12 22 sin2x4，所以当
114、sin2x4 1 时，f(x)取得最大值 212.答案 12(21)13.设向量 a()3sin x，sin x，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|b|.求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值.解(1)由|a|2(3sin x)2(sin x)24sin2 x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得 4sin2 x1.又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.(2)f(x)ab 3sin xcos xsin2 x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12当 x3 0，2 时，sin2x6 取最大值 1，所以
115、 f(x)的最大值为32.探 究 创 新14.设函数 f(x)22 cos2x4 sin2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设函数 g(x)对任意 xR，有 gx2 g(x)，且当 x0，2 时，g(x)12f(x)，求 g(x)在区间，0上的解析式.解(1)f(x)22 cos2x4 sin2x 22 cos 2xcos4 sin 2xsin4 1cos 2x21212sin 2x，故 f(x)的最小正周期为.(2)当 x0，2 时，g(x)12f(x)12sin 2x，故当 x2，0 时，x2 0，2.由于对任意 xR，gx2 g(x)，从而 g(x)gx2 12sin2x212s
116、in(2x)12sin 2x.当 x，2 时，x0，2.从而 g(x)g(x)12sin2(x)12sin 2x.综合，得 g(x)在，0上的解析式为g(x)12sin 2x，x，2，12sin 2x，x2，0.习题课 简单的三角恒等变换目标定位 1.能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式；2.能利用三角恒等变换研究三角函数的性质；3.能把一些实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决.1.化简：sin 2cos sin cos 2等于()A.sin B.cos C.sin D.cos 解析 原式2sin cos2sin cos 2sin（2cos21）cos 2sin.答案
117、C2.若 cos()cos sin()sin 45，又，32，则 cos2 的值为()A.1010B.3 1010C.1010D.3 1010解析 由 cos()cos sin()sin cos()cos 45，又，32，2 2，34，cos2 1cos 21452 1010，故选 C.答案 C3.如果 2，且 sin 45，那么 sin4 cos4 等于()A.4 25B.4 25C.3 25D.3 25解析 由已知 cos 35，sin4 cos4 2sin4 4 2cos 35 2.答案 D4.已知函数 y 3sin xcos x(xR)，该函数的图象可由 y2sin x(xR)的图象经
118、过怎样的平移得到()A.向右平移6 个单位B.向左平移6 个单位C.向右平移3 个单位D.向左平移3 个单位解析 y 3sin xcos x2sinx6，可由 y2sin x 的图象向左平移6 个单位得到.答案 B5.若函数 f(x)sin2x12(xR)，则 f(x)是()A.最小正周期为2 的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为 2的偶函数D.最小正周期为的偶函数解析 f(x)sin2x121cos 2x212 12cos 2x，所以最小正周期为 T22，又 xR，且 f(x)12cos(2x)12cos 2xf(x)，所以 f(x)是最小正周期为的偶函数.答案 D6.函数 y1
119、2cos22x 的最小正周期是_.解析 由题意 ycos 4x，T24 2.答案 2题型一 三角变换中角的统一【例 1】(1)化简：（1sin cos）sin2 cos222cos(0).(2)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)请根据式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角
120、恒等式，并证明你的结论.(1)解 0，2 20，原式2sin22 2sin2 cos2 sin2 cos22（1cos）2sin2 sin2 cos2 sin2 cos22sin222sin2 sin22 cos222sin2cos22 sin22 cos.(2)解 法一()计算如下：sin215cos215sin 15cos 15112sin 3011434.()三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin)2sin(cos 30cos sin 30sin)sin23
121、4cos2 32 sin cos 14sin232 sin cos 12sin234sin234cos234.法二()同法一.()三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)1cos 221cos（602）2sin(cos 30cos sin 30sin)1212cos 21212(cos 60cos 2sin 60sin 2)32 sin cos 12sin21212cos 21214cos 2 34 sin 2 34 sin 214(1cos 2)114cos 21414cos 234.规律方法 三角变换包括角的
122、变换与函数名称的变换，而角的变换是内因，起决定性作用；其中角的变换的主要形式，就是角的统一，这是三角变换的精粹.【训练 1】证明：1sin xcos x tan4 x2.证明 1sin xcos x cosx2sinx22cosx2sinx2 cosx2sinx2cosx2sinx2cosx2sinx21tanx21tanx2tan4 tanx21tan4 tanx2tan4 x2.故原式成立.题型二 用辅助角公式研究三角函数性质(互动探究)【例 2】已知函数 f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x0，2 时，求 f(x)的最小值及取得
123、最小值时 x 的集合.思路探究探究点一 什么形式的函数可以直接求周期，最值，单调区间等.提示 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式.探究点二 高次的三角式如何化简？提示 常见方法因式分解，降幂公式.解(1)f(x)(cos4xsin4x)2sin xcos x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2x 2cos2x4.T22，f(x)的最小正周期为.(2)0 x2，4 2x4 54，当 2x4，即 x38 时，f(x)min 2，f(x)取最小值时 x 的集合为38.规律方法 将函数解析式化为 yAsin(x)的形式，才可以将问题化归为 ysin
124、_x 或 ycos_x 去研究，所以通过三角变换，利用辅助角公式，将复杂函数解析式化为 yAsin(x)的形式，是解决问题的关键.【训练 2】已知函数 f(x)cos2xsin2x2 3sin xcos x1.(1)求 f(x)的最小正周期及 f(x)的最小值；(2)若 f()2，且 4，2，求 的值.解(1)f(x)cos2xsin2x2 3sin xcos x1.f(x)cos 2x 3sin 2x12sin(2x)1，tan ba 33，且点(3，1)在第一象限，6，故 f(x)2sin2x6 1T22.当 sin2x6 1，即 2x6 2k2(kZ)，所以 xk3(kZ)时，函数 f(
125、x)min1(2)若 f()2，即 2sin26 12，sin26 12，即 26 2k6 或 26 2k56(kZ)4，2，26 23，76，26 56，解得 3.题型三 三角变换在实际中的应用【例 3】某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为 f(t)10232 cos12t12sin12t 102sin12t3，又 0t24，所以3 12t3 11 时实验室需要降温.由(1)得 f(t)102
126、sin12t3，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此76 12t3 116，即 10t18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温.规律方法 三角函数是描述具有周期性的现象的重要数学模型；通过三角变换，将复杂的三角式化为规范的三角式，是解决问题的关键.【训练 3】点 P 在直径 AB1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT1，PAB，问 为何值时，四边形 ABTP 面积最大？解 如图所示，AB 为直径，APB90，又 AB1，PAcos，PBsin.又 PT 切圆于 P 点，TPBPAB，S 四边形 ABTPSPABSTPB12PAPB1
127、2PTPBsin 12sin cos 12sin214sin 214(1cos 2)14(sin 2cos 2)14 24 sin24 14.02，4 24 34，当 24 2，即 38时，S 四边形 ABTP 最大.课堂小结1.三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决.4.利用辅助角公式，asin xbcos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.
128、5.计算形如 ysin(x)，xa，b形式的函数最值时，不要将 x 的范围和x 的范围混淆.基 础 过 关1.化简222 22cos(34)等于()A.sin16B.2sin16C.2cos16D.cos16解析 原式2222cos22222cos2 222cos4222cos4 22cos822cos8 2sin16 2sin16.答案 B2.若 sin 45，则 sin4 22 cos 等于()A.2 25B.2 25C.4 25D.4 25解析 sin4 22 cos sin cos4 cos sin4 22 cos sin cos4 45 22 2 25.答案 A3.在ABC 中，ta
129、n B2，tan C13，则 A 等于()A.4B.34C.3D.6解析 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan C1tan Btan C 2131（2）131.又 A 为ABC 的内角.故 A4.答案 A4.已知 sin(45)210，090，则 cos _.解析 090，454545，cos(45)1sin2（45）7 210，cos cos(45)45 cos(45)cos 45sin(45)sin 4545.答案 455.设 x0，2，则函数 y2sin2x1sin 2x 的最小值为_.解析 因为 y2sin2x1sin 2x 2cos 2xsin 2x，所以令 k2c
130、os 2xsin 2x.又 x0，2，所以 k 就是单位圆 x2y21 的左半圆上的动点 P(sin 2x，cos 2x)与定点 Q(0，2)所成直线的斜率.又 kmintan 60 3，所以函数 y2sin2x1sin 2x 的最小值为 3.答案 36.求函数 ysin2x2sin xcos x3cos2x 的最小值.解 ysin2x2sin xcos x3cos2x12sin xcos x2cos2x2sin 2xcos 2x2 222 sin 2x 22 cos 2x2 2sin2x4.当 sin2x4 1，即 2x4 2k2(kZ)时，函数有最小值.即 xk38(kZ)时，函数最小值为
131、 2 2.7.已知 A，B，C 三点的坐标分别为(3，0)，(0，3)，(cos，sin)，2，32.(1)若|AC|BC|，求角；(2)若ACBC1，求2sin2sin 21tan 的值.解(1)由题意得|AC|（cos 3）2sin2 106cos，|BC|cos2（sin 3）2106sin.|AC|BC|，106cos 106sin，sin cos，tan 1.又2，32，54.(2)ACBC(cos 3)cos sin(sin 3)cos23cos sin23sin 13 2sin4 1，sin4 23，2sin2sin 21tan 2sin（sin cos）cos sin cos
132、sin 2cos2 2 2sin24 1229159.8.已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(3，3).(1)求 sin 2tan 的值；(2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin，求函数 y 3f2 2x 2f2(x)在区间0，23上的取值范围.解(1)角 的终边经过点 P(3，3)，sin 12，cos 32，tan 33，sin 2tan 2sin cos tan 32 33 36.(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，y 3cos2 2x 2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin2x6 1，0 x23
133、，02x43，6 2x6 76，12sin2x6 1，22sin2x6 11，故函数 y 3f2 2x 2f2(x)在区间0，23上的取值范围是2，1.能 力 提 升9.函数 f(x)sin4xcos2x 的最小正周期是()A.4B.2C.D.2解析 f(x)sin4x1sin2x sin4xsin2x1sin2x(1sin2x)1 1sin2xcos2x114sin22x 1141cos 4x218cos 4x78，T24 2.答案 B10.定义运算a bc d adbc，若 cos 17，sin sin cos cos 3 314，02，则 等于()A.12B.6C.4D.3解析 依题意有
134、 sin cos cos sin sin()3 314，又 02，02，故 cos()1sin2（）1314，而 cos 17，sin 4 37，于是 sin sin()sin cos()cos sin()4 37 1314173 314 32，故 3，故选 D.答案 D11.已知 tan4 3，则 sin 22cos2的值为_.解析 tan4 3，1tan 1tan 3，解得 tan 12.sin 22cos2sin 2cos 21 2sin cos sin2cos2cos2sin2sin2cos21 2tan 1tan21tan21tan214535145.答案 4512.函数 f(x)s
135、in2x4 2 2sin2x 的最小正周期是_.解析 f(x)22 sin 2x 22 cos 2x 2(1cos 2x)22 sin 2x 22 cos 2x 2sin2x4 2，T22.答案 13.如图(甲)所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为3 的扇形，四边形 ABCD 是扇形的内接矩形，B，C 两点在圆弧上，OE 是POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC，记COE，则角 为何值时矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积.解 如题图乙所示，设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称，而 M，N 均为 AD，BC 的中点，在 RtONC，C
136、Nsin，ONcos，OM DMtan6 3DM 3CN 3sin，MNONOMcos 3sin，即 ABcos 3sin，而 BC2CN2sin，故 S 矩形 ABCDABBC(cos 3sin)2sin 2sin cos 2 3sin2sin 2 3(1cos 2)sin 2a 3cos 2a 3212sin 2 32 cos 2 32sin23 3.06，023，3 23 23.故当 23 2，即 12时，S 矩形 ABCD 取得最大值，此时 S 矩形 ABCD2 3.探 究 创 新14.已知向量 a(sin，cos 2sin)，b(1，2).(1)若 ab，求 tan 的值.(2)若|
137、a|b|，0，求 的值.解(1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin，于是 4sin cos，故 tan 14.(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin)25，所以 12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即 sin 2cos 21，于是 sin24 22，又由 0知，4 24 94，所以 24 54，或 24 74，因此 2 或 34.章末复习课1.本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出 C()，再用 代替 C()中的 得到 C()；接着用诱导公式 sin()cos2（）cos2 得到 S()与
138、S()；将 S()除以 C()得到 T()，将 S()除以 C()得到 T()；将 S()、C()、T()中的 换为，得到 S2、C2、T2.2.熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径.常用的角的变换有：22、422、4 2 2 2、2()()()()、2()()()()、()()、22、22 2 、22 2 .这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系.3.时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如 tan 2 2tan 1tan2中的
139、的限制条件是 k2 且 k24(kZ)；其次是题中的角的范围也是有限制的.方法一 转化与化归思想【例 1】已知、为锐角，cos 45，tan()13，求 cos 的值.解 是锐角，cos 45，sin 35，tan 34.tan tan()tan tan（）1tan tan（）139.是锐角，故 cos 9 1050.规律方法 三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角
140、，合理拆、配角.要注意角的范围.(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【训练 1】已知 sin(3)2cos32 和 3cos()2cos()且0，0，求、的值.解 由 sin(3)2cos32 和 3cos()2cos()得sin 2sin，3cos 2cos，22 得：12cos22，cos212cos 22，4 或 34，由 cos 22 可得 cos 32 得 6，由 cos 22 得 cos 32 得 56，4，6 或 34，56.方法二 函数与方程思想【例 2】(2015重庆高考)已
141、知函数 f(x)sin2 x sin x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23上的单调性.解(1)f(x)sin2 x sin x 3cos2xcos xsin x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(2)当 x6，23时，02x3，从而当 02x3 2，即6 x512 时，f(x)单调递增，当2 2x3，即512 x23 时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在6，512 上单调递增；在512，23上单调递减.规律方法 通过三角变换，将角与函数
142、统一，化成 yAsin(x)k 的形式是解决问题的关键.【训练 2】已知函数 f(x)sin xcos x1sin xcos x.(1)求函数定义域.(2)求函数值域.解(1)函数有意义，则 1sin xcos x0，即 2sinx4 1，sinx4 22.由 sinx4 22 得 x4 4(2k1)或 x4 4 2k(kZ)x(2k1)或 x2 2k(kZ).函数定义域为x|xR，且x（2k1），且x2 2k，kZ(2)设 sin xcos xt，由(1)知t 2sinx4 2，1)(1，2，则 sin xcos xt212.f(x)可化为：y12(t1)212，1 1，212.方法三 分类
143、讨论思想【例 3】已知6 4，3sin22sin22sin，试求函数 ysin212sin2的最小值.解 64，12sin 22，0sin212，02sin21.2sin23sin22sin，03sin22sin 1，即3sin22sin 0，3sin22sin 1，解得23sin 1，或13sin 0.ysin212sin212(3sin22sin)12sin2sin 12214.当 sin 23，1 时，y 是增函数，故当 sin 23时，ymin29；当 sin 13，0 时，y 是减函数，故当 sin 0 时，ymin0.综上，可知函数 ysin212sin2的最小值为29.规律方法
144、本题先通过已知条件求得 sin 的取值范围，然后将函数化简为关于sin 的二次函数，最后根据二次函数的单调性对 sin 进行分类讨论求得最值.在有关三角函数与二次函数的综合问题中，一定要注意分类讨论思想的应用.【训练 3】设 为第四象限角，若sin 3sin 135，则 tan 2_.解析 由sin 3sin sin（2）sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos2cos 2135.2cos2cos 212cos 2135.cos 245.为第四象限角，2k32 2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 245，2在第四象限，sin 235，ta
145、n 234.答案 34方法四 数形结合思想【例 4】若方程 3sin xcos xa 在0，2上恰有两个不同的实数解，求 a 的取值范围.解 3sin xcos xa，a2sinx6，x0，2.作出函数 f(x)2sinx6，x0，2的图象如下图.由题意，知方程 3sin xcos xa 在0，2上恰有两个不同的实数解，即函数 f(x)2sinx6，x0，2的图象与直线 ya 有两个不同的交点.结合图象，易得a 的取值范围为(2，1)(1，2).规律方法 本题将方程有两个不同的实数解转化为两个函数的图象有两个不同的交点是一种很好的方法.今后遇到此类问题时，可先观察方程两边是否为基本初等函数，能
146、否比较方便地作出两边函数的图象.如果能，则利用数形结合方法可有效提高解题速度.【训练 4】若函数 f(x)2sin6 x3(2x10)的图象与 x 轴交于点 A，过点 A的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点，则(OB OC)OA 等于()A.32 B.16C.16 D.32解析 由 f(x)0，解得 x4，即 A(4，0)，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点，根据对称性可知，A 是 BC 的中点，所以OB OC 2OA，所以(OB OC)OA2OA OA 2|OA|224232，答案 D1.(2014新课标全国高考)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则
147、()A.32B.32C.22D.22解析 由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos sin cos，所以 sin()cos，又 cos sin2 ，所以 sin()sin2 ，又因为 0，2，0，2，所以2 2，02 2，因此 2，所以 22，故选 C.答案 C2.(2013重庆高考)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D.2 21解析 4cos 50tan 40 4sin 40cos 40sin 40cos 40 2sin 80sin 40cos 402sin 100sin 40cos 40 2sin（6040）sin
148、40cos 40 2 32 cos 40212sin 40sin 40cos 40 3.答案 C3.(2015浙江高考)函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，单调递减区间是_.解析 f(x)1cos 2x212sin 2x1 22 sin2x4 32，T22，由2 2k2x4 32 2k，kZ，解得：38 kx78 k，kZ，单调递减区间是38 k，78 k，kZ.答案 38k，78k(kZ)4.(2015四川高考)sin 15sin 75的值是_.解析 sin 15sin 75sin 15cos 15 2sin(1545)2sin 60 62.答案 625.(20
149、15北京高考)已知函数 f(x)2sinx2cosx2 2sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间，0上的最小值.解(1)因为 f(x)22 sin x 22(1cos x)sinx4 22，所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为x0，所以34 x4 4.当 x4 2，即 x34 时，f(x)取得最小值.所以 f(x)在区间，0上的最小值为 f341 22.章末检测卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题1.若cos 2sin4 22，则 cos sin 的值为()A.72B.12C.12D.72解析 cos 2sin4cos2sin222
150、（sin cos）2(cos sin)22，cos sin 12，选 C.答案 C2.函数 ysin2x3 cosx6 cos2x3 sin6 x 的图象的一条对称轴方程是()A.x4B.x2C.xD.x32解析 ysin2x3 x6sin2 x cos x，当 x时，y1.答案 C3.已知函数 f(x)asin xbcos x(a，b 为常数，a0，xR)的图象关于直线 x4 对称，则函数 yf34 x 是()A.偶函数且它的图象关于点(，0)对称B.偶函数且它的图象关于点32，0 对称C.奇函数且它的图象关于点32，0 对称D.奇函数且它的图象关于点(，0)对称解析 f(x)asin xb
151、cos xa2b2sin(x)其中tan ba，4 2 2k，4 2k，kZ，f(x)a2b2sinx4，f34 x a2b2sin(x)a2b2sin x，选 D.答案 D4.ysin2x3 sin 2x 的一个单调递增区间是()A.6，3B.12，712C.512，1312D.3，56解析 ysin2x3 sin 2x sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 sin 2x 12sin 2x 32 cos 2xsin2x3.ysin2x3 的递增区间是 ysin2x3 的递减区间，由2 2k2x3 32 2k，kZ，12kx712 k，kZ，令 k0，得 x12，712.故选 B.答
152、案 B5.已知 是锐角，那么下列各值中，sin cos 能取得的值是()A.43B.34C.53D.12解析 02，4 4，34，又 sin cos 2sin4，所以 22 sin4 1，所以 1sin cos 2.答案 A6.在ABC 中，已知 tanAB2sin C，则ABC 的形状为()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析 在ABC 中，tanAB2sin Csin(AB)2sinAB2cosAB2，2cos2AB21，cos(AB)0，从而 AB2，ABC 为直角三角形.答案 C7.函数 f(x)3sin 2xcos 2x 的图象可以由函数 g(x)4sin
153、xcos x 的图象_得到()A.向右移动12个单位B.向左移动12个单位C.向右移动6 个单位D.向左移动6 个单位解析 g(x)4sin xcos x2sin 2x，f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x62sin 2x12，f(x)可以由 g(x)向右移动12个单位得到.答案 A8.已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2等于()A.43B.34C.34D.43解析(sin 2cos)252，展开得 3cos24sin cos 32，再由二倍角公式得32cos 22sin 20，故 tan 2sin 2cos 232234.故选 C.答案 C二、填空题9.已 知 函 数
154、 f(x)（sin xcos x）sin 2xsin x.则 函 数 定 义 域 为 _，周 期 为_.解析 由 sin x0 得 xk(kZ)，故 f(x)的定义域为xR|xk，kZ.因为f(x)（sin xcos x）sin 2xsin x2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1 2sin2x4 1，所以 f(x)的最小正周期为.答案 xR|xk，kZ 10.3tan 1513tan 15 的值是_.解析 3tan 153tan 151tan 60tan 151tan 60tan 15 tan 451，3tan 1513tan 15 1.答案 111.已知 sin c
155、os 15且2 34，则 cos 2_.解析 由 sin cos 15可得 sin 22425，又2 34 得232，cos 2124252 725.答案 72512.设 f(x)1cos 2x2sin2 xsin xa2sinx4 的最大值为23，则常数 a_.解析 f(x)12cos2x12cos xsin xa2sinx4 cos xsin xa2sinx4 2sinx4 a2sinx4(2a2)sinx4.依题意有 2a2 23，a 3.答案 313.已知2 x0，sin xcos x15.则(1)sin xcos x 的值为_；(2)sin 2x2sin2x1tan x的值为_.解析
156、 sin xcos x152sin xcos x2425.(1)(sin xcos x)212sin xcos x4925.又2 x0，sin xcos x0，sin xcos x75.(2)由(1)，得 sin x35，cos x45，sin 2x2425，tan x34，sin 2x2sin2x1tan x 24175.答案(1)75(2)2417514.设 为锐角，若已知 cos6 45，则 sin212 的值为_.解析 因为 为锐角，即 02，所以6 6 0，0)为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为 42.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)若 f4 x 35，求sin
157、2x2sin2x1tan x的值.解(1)因为 f(x)为偶函数，所以可得 sin(x)sin(x)，即 2sin xcos 0 恒成立，所以有 cos 0.又 0，所以 2.又相邻最高点、最低点间的距离为 42，图象上相邻对称轴之间的距离为，所以 T2，所以 1，所以 f(x)cos x.(2)由 f4 x 35知 cosx4 35，sin 2x2sin2x1tan xcos x2sin x（cos xsin x）cos xsin xsin 2xcos2x2 2cos2x4 12 9251 725.17.已知函数 f(x)2sin2x4 6sin xcos x2cos2x1，且 xR.(1)
158、求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值.解(1)因为 f(x)2sin 2xcos4 2cos 2xsin4 3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x2 2sin2x4，所以函数 f(x)的最小正周期为.(2)由 0 x2 可得4 2x4 34，故 22 sin2x4 1，22 2sin2x4 2 2，所以 f(x)的最小值为2，最大值为 2 2.18.已知 A，B，C 为ABC 的三个内角，且 ABC，sin B45，cos(2AC)45，求 cos 2A 的值.解 ABC，ABC，0B2，02AC.sin B45，cos B35.sin(
159、AC)sin(B)45，cos(AC)35.cos(2AC)45，sin(2AC)35.sin Asin(2AC)(AC)3535 45 45 725.cos 2A12sin2A527625.19.已知函数 f(x)4cosxsinx4(0)的最小正周期为.(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间0，2 上的单调性.解(1)f(x)2 2cos x(sin xcos x)2(sin 2xcos 2x1)2sin2x4 2因221.所以 f(x)2sin2x4 2，1.(2)当 x0，2 时，2x4 4，54，令 2x4 2 解得 x8；所以 yf(x)在0，8 上单调递增；在8，2 上单调递
160、减.20.已知函数 f(x)2sin x4cos x42 3sin2x4 3.(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值；(2)令 g(x)fx3，判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.解(1)f(x)sin x2 312sin2x4 sin x2 3cos x22sinx23.f(x)的最小正周期 T2124.当 sinx23 1 时，f(x)取得最小值2；当 sinx23 1 时，f(x)取得最大值 2.(2)由(1)知 f(x)2sinx23，又 g(x)fx3，g(x)2sin12x3 3 2sinx22 2cos x2.g(x)2cosx2 2cos x2g(x)，函数 g(x)是偶函数.