1、新课标命题有关三角函数，平面向量和解三角形的考查趋势是：2010年以两道选择题考查平面向量的数量积和余弦定理，一道解答题考查三角函数的最值与零点和三角恒等变换能力；2011年以一道填空题考查平面向量的数量积，一道解答题考查正弦定理，已知函数值求角的大小与求三角函数最值，同时考查三角恒等变换能力；2012年以两道选择题考查平面向量的数量积，余弦定理、三角函数的值域，以及三角恒等变换能力同时一道选择题综合考查三角函数给值求角与逆否命题，一道填空题综合考查三角函数图象、解析式与复合函数的导数、定积分、几何概型由此可预测2013年的考查仍将会以选择题或填空题考查平面向量、三角函数和解三角形的主干知识，
2、同时渗透三角恒等变换能力的考查并适当地融入在知识网络交汇点处命题的思想，仍有可能以解答题考查三角函数的主干知识和三角恒等变换能力也有可能应用三角函数的图象和性质或解三角形的基础知识和方法解决实际应用问题，试题难度中档或中档偏易，考查分值在1720分第3讲 三角恒等变换及三角函数的图象与性质1考题展望三角函数是基本初等函数，是描述周期性现象的重要数学模型，在高考中，主要考查对三角函数概念的理解，运用三角函数公式进行三角恒等变换的能力掌握三角函数图象的基本特征和基本性质，并能灵活地进行图象变换，考查读图、识图和用图能力，同时与向量、解三角形和实际应用问题交汇，考查三角知识的工具性作用2高考真题考题
3、1(2012 浙江)把函数 ycos2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是()【解析】选A.根据题设条件得到变化后的函数为ycos(x1)，结合函数图象可知选项A符合要求故选A.【命题立意】本小题主要考查三角函数的图象和图象变换等知识，考查考生的识图能力考题2(2012 江苏)设 为锐角，若 cos(6)45，则 sin(212)的值为_【解析】为锐角，即 02，6 6 2 6 23.cos(6)45，sin(6)35.sin(23)2sin(6)cos(6)235452425.cos(23)72
4、5.sin(212)sin(23 4)sin(23)cos4 cos(23)sin4 2425 22 725 22 1750 2.【命题立意】本小题主要考查二倍角公式、两角差公式及三角恒等变换等基础知识与方法，考查转化化归思想和运算求解能力考题3(2012 安徽)设函数 f(x)22 cos(2x4)sin2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设函数 g(x)对任意 xR，有 g(x2)g(x)，且当 x0，2 时，g(x)12f(x)，求 g(x)在区间，0上的解析式【解析】f(x)22 cos(2x4)sin2x12cos2x12sin2x12(1cos2x)1212sin2x.(1
5、)函数 f(x)的最小正周期 T22.(2)当 x0，2 时，g(x)12f(x)12sin2x 当 x2，0时，(x2)0，2，g(x)g(x2)12sin2(x2)12sin2x 当 x，2)时，(x)0，2)，g(x)g(x)12sin2(x)12sin2x 得：函数 g(x)在，0上的解析式为 g(x)12sin2x（2 x0）12sin2x（x0)时，若先进行相位变换，即平移|个单位；若后进行相位变换，即平移|个单位在做周期变换时，弄清楚 的值的变化，做周期变换只改变 x 前的系数，不改变初相.(2)对正弦型 yAsin(x)及余弦型 yAcos(x)的性质，如对称轴、对称中心等性质
6、理解不透彻yAsin(x)的对称轴一定经过图象的波峰或波谷，且与 y 轴平行，两条相邻对称轴的距离为周期的一半；而对称中心是图象与 x 轴的交点，两个相邻对称中心的距离为周期的一半，对称轴与相邻对称中心的距离为周期的14.1三角函数图象与解析式的应用及求法例1(1)设函数 f(x)sin(x)cos(x)(0，|2)的最小正周期为，且 f(x)f(x)，则()Af(x)在(0，2)单调递减Bf(x)在(4，34)单调递减Cf(x)在(0，2)单调递增Df(x)在(4，34)单调递增A【解析】原式可化简为 f(x)2sin(x4)，因为 f(x)的最小正周期 T2，所以 2.所以 f(x)2si
7、n(2x4)，又因为 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)2sin(2x4)2cos2x，所以 4 2 k，kZ，所以 4 k，kZ，又因为|0)个单位后对应的函数为 yAsin(xh)，不是 yAsin(xh)5三角函数中最值、奇偶性、对称性、单调区间及其周期是高考命题的热点(1)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变换化为求yAsin(x)B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域(2)三角函数的奇偶性问
8、题判断函数的奇偶性，应首先判定函数的定义域关于原点的对称性函数 yAsin(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k，kZ，为偶函数的充要条件为 k 2，kZ.函数 yAcos(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k 2，kZ；为偶函数的充要条件为 k，kZ.函数 yAtan(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k2(kZ)，它不可能是偶函数(3)三角函数的对称性函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称轴必过最值点，对称中心是函数图象与 x 轴的交点，函数ytan(x)无对称轴，对称中心除了和 x 轴交点外，还有(x0，0)，其中 x0 满足 x0k 2，kZ.函数 yAsin(x)的图
9、象关于直线 xxk成轴对称，则 xkk 2(kZ)函数 yAsin(x)的图象关于点(xi，0)成中心对称，则 xik(kZ)(4)三角函数单调区间的求法及单调性的应用函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思路是把 x 看作一个整体，比如：2k 2 x2k 2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k 2 x2k 32(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间若函数yAsin(x)中A0，0)的图象向左平移 3 个单位，得到函数 yg(x)的图象若 yg(x)在0，4 上为增函数，则 的最大值为()A1 B2 C3 D4B【解析】由条件得 g(x)2sin(x
10、3)3 2sinx，从而 24，解得 2，所以 的最大值为 2.【点评】可以将 ysinx，x0，2)的图象分为四个部分，其中在0，2 是递增的，且0，2 的长度为14个周期，2 144，利用图象很容易找到关系式【解析】由条件得 g(x)2sin(x 3)3 2sinx，从而 24，解得 2，所以 的最大值为 2.【点评】可以将 ysinx，x0，2)的图象分为四个部分，其中在0，2 是递增的，且0，2 的长度为14个周期，2 144，利用图象很容易找到关系式3设函数 f(x)sin(2x3)，则下列结论正确的是()Af(x)的图象关于直线 x3 对称Bf(x)的图象关于(4，0)对称C把 f
11、(x)的图象向左平移12个单位，得到一个偶函数的图象Df(x)的最小正周期为，且在0，6 上为增函数C【解析】A、B 选项采用代入法即可排除，C 项中把 f(x)的图象向左平移12个单位，得到 f(x)sin2(x 12)3 sin(2x 2)cos2x，则 f(x)为偶函数，可知 C 正确【点评】这是一道三角函数性质综合应用的问题，需学生对三角函数的基本性质都要熟悉【解析】A、B 选项采用代入法即可排除，C 项中把 f(x)的图象向左平移12个单位，得到 f(x)sin2(x 12)3 sin(2x 2)cos2x，则 f(x)为偶函数，可知 C 正确【点评】这是一道三角函数性质综合应用的问
12、题，需学生对三角函数的基本性质都要熟悉4函数 yAsin(x)(A0，0，2)的图象如图所示，则其解析式为y2sin(3x2)【解析】由图易知，A2，T4(2 3)23，所以 2T 3，即 y2sin(3x)确定 的方法常有以下两种：解法一：令 3(3 T4)0 得，2，故所求函数的解析式为：y2sin(3x2)解法二：把点(3，2)的坐标代入 y2sin(3x)，得 2sin(33)2，所以2k2(kZ)，满足|2 的 值为2，故所求函数的解析式为 y2sin(3x2)【点评】求解析式的难点是求，通常用代入法在选择代入的点时，一般选最值点和平衡点解法二：把点(3，2)的坐标代入 y2sin(
13、3x)，得 2sin(33)2，所以2k2(kZ)，满足|2 的 值为2，故所求函数的解析式为 y2sin(3x2)【点评】求解析式的难点是求，通常用代入法在选择代入的点时，一般选最值点和平衡点5已知函数 f(x)m2sinxcosx在区间(0，2)上单调递减，则实数 m 的取值范围为(，2【解析】已知条件实际上给出了这样一个信息：函数 f(x)在区间(0，2)上导数小于等于零恒成立 f(x)2cosxcosx（sinx）（m2sinx）cos2x msinx2cos2x0 恒成立，上式等价于 msinx2 恒成立，即 m 2sinx.又x(0，2)，2sinx2，可知 m2，m(，2【点评】
14、本题主要是训练学生运用导数解决三角函数问题三角函数的导数在理科中是一个热点问题，它要求学生综合运用三角函数、导数、不等式等知识，还需要运用化归与转化的思想解决函数最值的问题，有利于培养学生的运算能力，以及对知识进行整合化归的能力又x(0，2)，2sinx2，可知 m2，m(，2【点评】本题主要是训练学生运用导数解决三角函数问题三角函数的导数在理科中是一个热点问题，它要求学生综合运用三角函数、导数、不等式等知识，还需要运用化归与转化的思想解决函数最值的问题，有利于培养学生的运算能力，以及对知识进行整合化归的能力6若 tan 1tan 4，则 sin2【解析】tan1tantan21tan4，si
15、n22sincos 2sincossin2cos2 2tantan212412.126若 tan 1tan 4，则 sin2【解析】tan1tantan21tan4，sin22sincos 2sincossin2cos2 2tantan212412.【点评】考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos2达到化切目的7已知复数 z1sin2xi，z2m(m3cos2x)i(，m，xR)，且 z1z2.(1)若 0 且 0 x，求 x 的值；(2)设 f(x)，求 f(x)的最小正周期和单调减区间【解析
16、】(1)利用 z1z2，即实部、虚部对应相等，得到 sin2x 3cos2x.当 0 时，由 sin2x 3cos2x0 得 tan2x 3.注意角的范围 0 x，02x2，2x3 或 2x43，得 x6 或23.(2)由 f(x)sin2x 3cos2x2(12sin2x 32 cos2x)可化简得到 f(x)2sin(2x3)最小正周期为，单调减区间为k512，k1112，kZ.【点评】第(1)问是从复数相等入手，但实质上，转化后就是三角函数化简与求值问题在知识的交汇中进行命题也是新课标明确提出的，通过这道题目也可以让学生进一步学会如何将新的问题化归为自己熟悉的题目，渗透了数学的化归思想8
17、已知函数 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2 上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)65，x04，2，求 cos2x0 的值【解析】(1)由 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1，得 f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3sin2xcos2x 2sin(2x6)所以函数 f(x)的最小正周期为.f(x)2sin(2x6)在区间0，6 上为增函数，在区间6，2 上为减函数，又 f(0)1，f(6)2，f(2)1.f(x)在区间0，2 上的最大值为 2，最小值为1.(2)由(1)，可知 f(x0)2sin(2
18、x06)，又因为 f(x0)65，所以 sin(2x06)35.由 x04，2，得 2x06 23，76 从而 cos(2x06)1sin2（2x06）45 所以 cos2x0cos(2x06)6 cos(2x06)cos6 sin(2x06)sin6 34 310.【点评】(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意、三角函数名称排列以及连接符号“”，“”的变化特点(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把2 2 变换成 2
19、(4)，()()，2()()，2()()，22，2(2)(2)等9函数 f(x)6cos2 x2 3sin x3(0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象与x 轴的交点，且ABC 为正三角形(1)求 的值及函数 f(x)的值域；(2)若 f(x0)8 35，且 x0(103，23)，求 f(x01)的值【解析】(1)由已知可得，f(x)3cosx 3sinx2 3sin(x3)正三角形 ABC 的高为 2 3，从而 BC4.所以函数 f(x)的周期 T428，即2 8，4.函数 f(x)的值域为2 3，2 3(2)因为 f(x0)8 35，由(1)有 f(x0)2 3sin(x04 3)8 35，即 sin(x04 3)45.由 x0(103，23)，知x04 3(2，2)所以 cos(x04 3)1（45）235.故 f(x01)2 3sin(x04 4 3)2 3sin(x04 3)4 23 sin(x04 3)cos 4 cos(x043)sin4 2 3(45 22 35 22)7 65.
