1、3等 比 数 列3.1等 比 数 列第1课时等 比 数 列学习目标1.理解等比数列的概念,并掌握等比数列的通项公式(数学抽象)2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系(逻辑推理)3.体会等比数列与指数函数的关系(数学抽象)必备知识自主学习导思1.等比数列中有0项吗?2.等比数列的通项公式一定是指数函数吗?1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0).如何用符号语言表达等比数列的定义?提示:=常数q(n2).2.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列an的首项为a1,公比
2、为q(q0),则递推公式通项公式=q(n2,nN+)an=a1qn-1(a10,q0)观察等差数列、等比数列的通项公式,比较有何异同?提示:n个a相加,a+a+a=na;n个a相乘,aaa=an,它们加法,乘法的“运算符号”不同,书写形式不同,“结构”是相同的,我们称na与an“同构”.等差数列,等比数列的通项公式与此类似.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)a,aq,aq2,aq3,是等比数列.()(2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列.()(3)等比数列的图像在一个指数函数的图像上.()提示:(1). 当a=0时,所有项都等于0;当q=0时,第2项及以后的项都等于0,这不符合
3、等比数列的定义.(2).任意一个非零常数列既是等差数列又是等比数列.(3).由an=a1qn-1=qn,可知,当=1并且q0且q1时,等比数列的图像才在指数函数图像上.2.下列数列为等比数列的是()A.2,22,322,B.,C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,D.0,0,0,【解析】选B.A,C,D不是等比数列,A中不满足定义,C、D中项可为0,不符合定义.3.已知数列an是等比数列,且a1=,a4=-1,则数列an的公比q为.【解析】q3=-8,所以q=-2.答案:-24.(教材二次开发:习题改编)若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6【解析
4、】选B.由等比数列通项公式得,=,所以=,所以n=4.关键能力合作学习类型一等比数列的判断和证明(逻辑推理)【典例】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列an+1是等比数列;(2)求an的表达式.【思路导引】(1)根据要证明的数列把条件转化为an+1+1=2(an+1).(2)写出an+1的通项公式后再写an的表达式.【解析】(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).因为a1=1,故an+10,则有=2.所以an+1是等比数列.(2)由(1)知an+1是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,所以an+1=22n-1,即an=2n-1.判断
5、一个数列an是等比数列的方法(1)定义法:若数列an满足=q(q为常数且不为零)或=q(n2,q为常数且不为零),则数列an是等比数列.(2)通项公式法:若数列an的通项公式为an=a1qn-1(a10,q0),则数列an是等比数列.(3)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.已知数列an的前n项和Sn=2-an,求证:数列an是等比数列.【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.所以an+1=an,又因
6、为S1=2-a1,所以a1=10,又由an+1=an知an0,所以=.所以数列an是首项为a1=1,公比为的等比数列.类型二等比数列的应用(逻辑推理)角度1等比数列的实际应用【典例】某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(nN+)年这辆车的价值;(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?【思路导引】“每年按10%的速度贬值”则车的剩余价值为以(1-10%)为公比的等比数列.【解析】(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,an,由题意,得a1=10,a2=10(1-10%),a3=10(1-10%)
7、2 ,.由等比数列定义,知数列an是等比数列,首项a1=10,公比q=1-10%=0.9,所以an=a1qn-1=100.9n-1.所以第n年车的价值为an=100.9n-1万元.(2)当他用满3年时,车的价值为a4=100.94-1=7.29(万元).所以用满3年卖掉时,他大概能得7.29万元.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).【解析】由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列,令病毒占据64 MB时自身复制了n次,即22n=64210=216
8、,解得n=15,从而复制的时间为153=45分钟.答案:45角度2等比数列的通项公式及其应用【典例】在等比数列an中.(1)已知a2=4,a5=-,求an;(2)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n.【思路导引】利用等比数列的通项公式求解.【解析】(1)方法一:设等比数列的公比为q,则解得所以an=a1qn-1=(-8)=.方法二:设等比数列的公比为q,则=q3,即q3=-,q=-.所以an=a5qn-5=.(2)方法一:设等比数列的公比为q,则解得从而a1=128.由a1qn-1=,即=得n=9.方法二:设等比数列an的公比为q.因为a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)
9、q,所以q=.因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18.所以a4=16,an=a4qn-4=16.由16=,得n-4=5,所以n=9.1.等比数列应用题的两种常见类型(1)数学应用问题:解答数学应用题的核心是建立数学模型,如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.(2)增长率问题:需要构建的是等比数列模型,利用等比数列的通项公式解决.2.等比数列通项公式的应用技巧(1)a1和q是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元素,其余的元素便可求出.(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1,an,n,q,知任意三个就可以求出另一个.(3)在等比数列的计算问
10、题中,经常使用方程的思想和整体代换的思想.1.在等比数列an中,a5a7=6,a2+a10=5,则等于()A.-或-B.C.D.或【解析】选D.因为a5a7=a2a10,所以a2a10=a5a7=6.由得或所以=或=.2.(2020江门高二检测)已知等比数列满足a1=,且a2a4=4,则a5=()A.8B.16C.32D.64【解题指南】先由题意求出公比,再根据等比数列的通项公式即可求出a5的值.【解析】选A.等比数列满足a1=且a2a4=4(a3-1),则qq3=4(q2-1),解得q2=4,所以a5=a1q4=42=8.3.已知等比数列an中,a1+a3=15,且a1+a2+a3+a4=4
11、5.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=11-log2,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.由题意得解得q=2,a1=3,所以an=32n-1.(2)由(1)得a2n+1=322n,所以bn=11-log2=11-2n.所以数列bn是首项为9,公差为-2的等差数列.从而Sn=-n2+10n.课堂检测素养达标1.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.因为数列an为等比数列,设其公比为q,则a3a9=a1q2a1q8=(a1
12、q5)2=,所以,a3,a6,a9一定成等比数列.2.数列an中,若an+1=3an,a1=2,则a4=()A.108B.54C.36D.18【解析】选B.因为an+1=3an,a1=2,则数列an是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=233=54.3.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=.【解析】设等比数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.答案:424.孙子算经是我国古代数学专著,其中一个问题为“
13、今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色”.问:巢有几何?.【解析】由已知,巢的数列构成以9为首项,9为公比的等比数列模型,由等比数列通项公式可知:巢的数量为:a4=993=94=6 561.答案:6 5615.(教材二次开发:习题改编)在等比数列an中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式是.【解析】依题意a1+4a1+42a1=21,所以a1=1,所以an=a1qn-1=4n-1.答案:an=4n-16.在等比数列an中,(1)若a1=256,a9=1,求q和a12;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求q.【解析】(1)因为a9=a1q8,所以256q8=1,即q=.当q=时,a12=a1q11=256=;当q=-时,a12=a1q11=256=-.(2)a1q2a1q4=18,即q6=18.又a1q3a1q7=72,即q10=72.两式相除得q4=4,所以q=.