1、第七章 立体几何与空间向量第1课时立体几何的结构及其三视图和直观图考纲索引1. 柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征.2. 简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图.课标要求1. 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.2. 会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等没有严格要求).知识梳理1. 空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都且,上下底面是且的多边形.棱锥棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个的三角形.棱台棱台可由的平面截棱锥得到,其上下底面是且的多边形.旋转体圆柱圆柱可由绕其任
2、意一边所在直线旋转得到.圆锥圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到.圆台圆台可由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由于圆锥底面的平面截圆锥得到.球球可以由半圆或绕所在直线旋转得到.2. 三视图名称几何体的三视图有:、.画法1. 画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线画成虚线.2. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、方观察几何体得到的正投影图.规则1. 画法规则:长对正、高平齐、宽相等.2. 摆放规则:侧视图在正视图的侧,俯视图在正视图的方.3. 直观图及投影直观图空间几何体的直观图常用画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图
3、中,x轴、y轴的夹角为,z轴与x轴和y轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中,平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中,平行于y轴的线段长度在直观图中等于.投影1. 平行投影:平行投影的投影线.2. 中心投影:中心投影的投影线.基础自测1. (教材改编)下列说法正确的是().A. 有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C. 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D. 棱台各侧棱的延长线交于一点2. (教材改编)无论怎么放置,其三视图完全相同的几何体是().A. 正方体B. 长方体C. 圆锥D. 球4. (教
4、材改编)利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是.(写出所有正确的序号)三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形;圆的直观图是椭圆;菱形的直观图是菱形.5. 一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的.(填入所有可能的几何体的编号)三棱锥;四棱锥;三棱柱;四棱柱;圆锥;圆柱.指 点 迷 津1. 准确理解几何体的定义是认识空间几何体结构特征的基础,要能区分各种几何体的不同结构特征.2. 在画空间几何体的直观图时,应注意几何体中的一些线段长度与直观图中对应线段的长度是不同的.考点透析考向一空间几何体的结构特征例1给出下列命题:棱柱的侧棱都相
5、等,侧面都是全等的平行四边形;若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.【审题视点】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征进行判断.变式训练1. 下列结论中正确的是().A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线考向二空间几何体的三视图例2(2014北京)某三棱锥的
6、三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.【方法总结】(1)由实物图画三视图或判断选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,这一题型综合性较强,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练2. (2013山西高考训练)某几何体的三视图均为直角三角形,如图所示,则围成该几何体的各面中,直角三角形的个数是().(第2题)A. 1B. 2C. 3D. 4考向三空间几何体的直观图【审题视点】画出正三角形ABC的平面直观图ABC,求ABC的高
7、即可.【方法总结】直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的2倍,这是一个较常用的重要结论.变式训练3. 如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6cm,OC=2cm,则原图形是().(第3题)A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形经典考题典例(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于().A. 1B. 2C. 3D. 4【解题指南】先根据三视图确定几何体的形状,然后再得到最大球的半径.【解析】由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一
8、半),故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意,可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得【答案】B真题体验1. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系O -xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(). (第1题)A. 和B. 和C. 和D. 和2. (2014全国新课标)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是().(第2题)A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱参考答案与解析 知识梳理1. 平行相等平行全等公共顶点
9、平行于底面平行相似矩形一条直角边平行直径2. 正视图侧视图俯视图正前左正上右下3. 斜二测45或135垂直仍平行于坐标轴不变原来的一半互相平行相交于一点基础自测1. D2. D3. D4.5.考点透析【例1】解析:不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知. 变式训练1. D解析:各个面的三角形不一定有共同顶点,就不是三棱锥,A错.以锐角
10、或钝角三角形的任何一边旋转不是圆锥,B错.C若是六棱锥,就必须是正六棱锥,其侧面顶角总和为360,这是不可能的,C错.只有D正确.2. D解析:依题意得该几何体是一个底面为直角三角形、一条侧棱垂直于底面的三棱锥,其余四个面均为直角三角形,选D.(第3题)经典考题真题体验1. D解析:由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2)且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是;俯视图是一个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是.故选D.2. B解析:从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.(第2题)