1、天津市滨海新区大港太平村中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第卷 选择题一.选择题.1. 复数的虚部为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的概念直接可得答案.【详解】复数的虚部为故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.2. 已知向量，且，那么的值为（ ）A. 4B. 2C. 2D. 8【答案】D【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示解方程即可得解.【详解】因为，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.3. 某单位职工分老中青三个层次，其中青年职工350人，中年职工2
2、50人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A. 35B. 25C. 20D. 15【答案】D【解析】分析】由分层抽样的性质列方程即可得解.【详解】设样本容量为x，则由分层抽样性质可得，所以，所以样本容量为15.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4. 若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的坐标表示可得复数在复平面内对应的点，即可得解.【详解】由题意，复数在复平面上对应的
3、点为，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了判断复数对应的点所在的象限，牢记知识点是解题关键，属于基础题.5. 袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意给小球编号，列举出所有基本情况及满足要求的基本情况，由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，给2个红球编号为1、2，给3个黄球编号为3、4、5，则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有：，共20种；取到红球的基本情况有：，共14种.故所求概率.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.6.
4、某工厂技术人员对三台智能机床生产数据统计后发现，甲车床每天生产次品数的平均数为1.5，标准差为1.28；乙车床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为0.87；丙车床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为1.28.由此数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（ ）A. 无法判断B. 甲车床C. 乙车床D. 丙车床【答案】C【解析】分析】由平均数、标准差的实际意义即可直接得解.【详解】由题意，乙车床每天生产次品数的平均数最小，性能最好，且标准差最小，生产性能最稳定，所以可以判断生产性能最好且较稳定的为乙车床.故选：C.【点睛】本题考查了平均数、标准差应用，牢记知识点是解题关键，属于基础题.7. 某
5、人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解【详解】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，所以第二次打开门的概率为，故选：B【点睛】此题等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题8. 棱长为2的正方体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正方体的结构特征可得该正方体外接球的半径，再由球的表面积公式即可得解.【详解】由题意，棱长为2的正方体外接球的半径，所以该外接球的表面积.故选：A
6、.【点睛】本题考查了几何体外接球表面积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 设是非零向量，是非零常数，下列结论中正确的为（ ）A. 与的方向相反B. 与的方向相同C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的概念以及向量的数乘运算的定义逐个判断即可得解.【详解】对于A，若即，则与的方向相同，故A错误；对于B，因为，所以与的方向相同，故B正确；对于C，因为，若，则，故C错误；对于D，表示长度，表示向量，两者不相等，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了向量的概念以及向量的数乘运算的定义，属于基础题.10. 某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层
7、随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ）A. 98分钟B. 90分钟C. 88分钟D. 85分钟【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数,进而可得样本中学生每天运动时间的平均值,即可得解.【详解】由分层抽样的性质可得抽取男生人，女生人，则样本中学生每天运动时间的平均值（分钟），故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟.故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题.11. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面
8、，则下列命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理逐个分析判断即可【详解】解：对于A，当，时，可能平行，可能异面，所以A错误；对于B，当，时，由线面垂直的性质定理可知，所以B正确；对于C，当，时，可能在平面内，或，所以C错误；对于D，当，时，若直线是两个平面的交线，则，不一定垂直，所以D错误，故选：B【点睛】此题考查线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题12. 某校高三年级共有800名学生参加了数学测验，将所有学生的数学成绩分组如下：90，100)，100，110)，1
9、10，120)，120，130)，130，140)，140，150，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）成绩不低于120分的学生人数为440；这800名学生中数学成绩的众数为125；这800名学生数学成绩的中位数的近似值为121.24；这800名学生数学成绩的平均数为120.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】先由频率分布直方图求出的值，从而可求出成绩不低于120分的学生人数，平均数和中位数，然后进行判断即可【详解】解：由题意得，解得，所以成绩不低于120分的学生人数为，所以正确；由频率直方图可知分在120，130)中最多，所以众数为，所以正确
10、；这800名学生数学成绩的中位数为，所以正确；这800名学生数学成绩的平均数为，所以正确，故选：D【点睛】此题考查频率分布直方图的应用，考查由频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查运算能力，属于基础题第卷非选择题二.填空题.13. 已知向量，若，则实数的值为_.【答案】4【解析】分析】由平面向量平行的坐标表示运算即可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 若为虚数单位，复数，则_.【答案】5【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【详解】解：，则故答
11、案为：5【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题15. 树人中学高一1班23名男生身高的样本数据（单位：）按从小到大排序，排序结果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.由数据估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为_.【答案】172【解析】【分析】由百分位数的概念可求得样本的第50百分位数，即可得解.【详解】由，将样本数据从小到大排列，第12个数字为172，所以可估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数
12、为172.故答案为：172.【点睛】本题考查了样本的百分位数的求解，考查了样本估计总体及运算求解能力，属于基础题.16. 某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：命中环数12345678910频数24569101826128如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为_；不少于9环的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由表中的数据，求对应的比值可得答案.【详解】由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为，不少于9环的概率为，故答案为：；.【点睛】本题考查利用频率估计概率，属于基础题.17. 已知向量，的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】由
13、，结合平面向量数量积及模的坐标表示即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力。属于基础题.18. 一个几何体由六个面围成，其中两个面是互相平行且边长为2的正方形，其他4个面都是边长为2和4的矩形，这个几何体的体积是_.【答案】16【解析】【分析】由长方体的几何特征可得该几何体为长方体，即可得解.【详解】由题意可得该几何体为长、宽、高分别为2、2、4的长方体，所以该几何体的体积.故答案为：.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及体积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.19. 在中，内角，的对边分别是，若，则_.【答案】【解析】【分析
14、】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】，根据正弦定理：， ，根据余弦定理：，又，故可联立方程：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20. 在中，是中点，在边上，则_，的值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由，结合平面向量数量积的运算即可得；由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算即可得.【详解】因为，所以，由题意，所以，所以；由可得，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积
15、运算的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三.解答题.21. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（）两人都投中；（）恰好有一人投中；（）至少有一人投中.【答案】（）0.72；（）0.26；（）0.98.【解析】【分析】（）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；（）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；（）由互斥事件概率加法公式即可得解.【详解】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立，由己知可得，则，；（）“两人
16、都投中”，则；（）“恰好有一人投中”，且与互斥，则；（）“至少有一人投中”，且、两两互斥，所以.【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.22. 在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点.（）求证：平面；（）求证：.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）连结，由，为棱的中点，证得，再结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（）根据线面垂直的判定定理，证得面，进而证得.【详解】（）连结，在正方体中，因为，为棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；（）在正方体中，由，面，面，所以，又因为面，面，所以面，又由面，所以
17、.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行判定，以及直线与平面垂直的判定及应用，其中解答中熟记正方体的结合结构特征，以及线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于基础题.23. 在中，角，所对的边分别为，.（1）若，求角；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由正弦定理直接求解即可；（2）由三角形的面积公式结合三角形的面积求出，从而可得，再利用余弦定理可求出的值【详解】（1）由已知条件可知， 根据正弦定理可得，.（2）因为的面积为，且，.顶点到的距离为，.，由余弦定理得，【点睛】此题考查正弦、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的
18、应用，考查计算能力，属于基础题24. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，点在棱上.（）求证：平面平面；（）若，是棱中点，求异面直线和所成角的余弦值；（）若直线与平面所成角的正切值最大为2，求的长.【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】（）由菱形的性质得.再由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定定理可证得平面，根据面面垂直的判定定理可得证.（）连结、.由异面直线所成的角的定义可得异面直线和所成角为（或补角），由三角形的边角关系和余弦定理可求得异面直线和所成角的余弦值；（）由（）知，平面于点，根据线面角和定义 可得为与平面所成的角.再由三角形的边角关系可求得答案.【详解】（）四边形是菱形，.底面，面，.又，面，面，平面.又平面，平面平面.（）连结、.，异面直线和所成角为（或补角） ，菱形的边长为2，在中，棱中点，即面，面，.，在，故异面直线和所成角的余弦值为；（）由（）知，平面于点，为与平面所成的角.在中，的最大值为2，的最小值为，即点到直线的距离是，设，即，解之：，所以此时.【点睛】本题考查空间中的面面垂直的证明，异面直线所成的角的定义和计算，线面角的定义和计算，属于中档题.