1、1.利用向量判断位置关系 利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题.例1 在正方体AC1中，E,F 分别 是BB1,CD 的中点，求证：平面AED 平面A1FD1.ABCDA1B1C1D1EFxyz评述：此题用综合推理的方法不易入手.用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同.利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明.2.利用向量求空间角 利用向量可以进行求线线
2、角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算.例2 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD,ABBC，BCCD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角.注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补.求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律.本题多次运用了封闭回路.评述：如果向量n的基线与平面垂直,则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量一个平面的所有法向量互相平行.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线 垂直,那么
3、这条直线垂直于这个平面.3.定义:已知a,b是平面内的两条相交直线,且直线n,n.求证:n.证明:设m是内的任一条直线,在n,a,b,m上分别取非零向量n,a,b,m.因为a和b相交,由共面向量定理可知,存在唯一的数对(x,y)使 m=xa+yb,nm=xna+ynb由已知条件,可以推知na=0,nb=0.因此nm=0,得nm.因为直线n垂直于平面内的任一直线,所以直线垂直于平面.3.例题:设A是空间任一点,n为空间任一非零向量,适合条件AMn=0.的点M 构成什么样的图形?AnM2M1MAMn=0.我们用上式表述通过空间一点并且与一个向量垂直的平面.通常称为一个平面的向量表示.设n1,n2分
4、别是平面,的法向量,则容易得到 讨论：/(或重合)n1/n2n1n2n1n2=0例3 已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC 的一个法向量.(,)(,0)0n ABx y za bax by 0,.0axbyaayx zxaxczbc由解得设平面ABC的一个法向量为 n=(x,y,z),则 解:由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0)不妨令x=bc则y=ac,z=ab.OABzyCxnAC=OC-OA=(-a,0,c)(,)(,0,)0n ACx y zacaxcz 因此,可取n=(bc,ac,ab)为平面ABC 的一个法向量.4.利用向量求空间距离 空间距
5、离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单.例4 正方体AC1棱长为1，求 平面AD1C与平面A1BC1的距离.A1B1C1D1ABCDxyz评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷、高效，显示向量代数方法在解决立体几何问题的优越性.平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离.ACBDACABBDAB0已知二面角-为120，且，=1.A BA B A CB D(1)求CD的长.(2)CD与AB所成的角.5.练习:ABCDA1B1C1D1正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1，O2，O3分别是
6、平面A1B1C1D1，平面BB1C1C，平面ABCD的中心.（1）求证：B1O3PA.O3PxyzO2O15.练习:ABCDA1B1C1D1正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的点，O1，O2，O3分别是平面A1B1C1D1，平面BB1C1C，平面ABCD的中心.O3Pxyz（2）求异面直线PO3与O1O2成的角.O2O15.练习:6.小结 本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来;向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行;学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法，开拓思路.课本 P107 练习 P111 习题3.2 A组 1,2,3,5.7.作业:
