1、内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值得结果.【详解】,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值，考查基本分析求解能力，属基本题.2.在中，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.【详解】在中，则，由正弦定理，得，解得，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础
2、题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.若点在角的终边上，且，则（ ）A. 4B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义构造方程即可解得结果.【详解】由得： 解得：本题正确选项：【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.4.下列结论正确的是A. 若向量，共线，则向量，的方向相同B. 向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C. 中，D是BC中点，则D
3、. 若，则使【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的定义，可知错误；选项忽略了零向量的情况，所以错误；选项可通过向量加法运算得到，所以正确.【详解】选项：共线，则向量的方向相同或相反，可知错误；选项：和共线即，则未必在同一条直线上，可知错误；选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得，可知正确；选项：若为非零向量，为零向量，则，此时不存在，使得，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查向量线性运算、向量共线的定义和性质等，属于基础题.5.已知，则的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得 ，所以.故选：B【点睛】本题考
4、查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题6. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两角和差的正切公式配凑出，从而求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查利用两角和差的正切公式化简求值，是对公式的简单运用，属于基础题.7.先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后将其图象沿轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同，则的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】法一：由题意变化后函数解析式为,得令，求得，即可求解；法二：由三角函数图象的平移和伸缩变换得变换前的解析式【详解】解法一：，即，所以令则，即.
5、 解法二： 据题意，.故选：D【点睛】本题考查三角函数图象的平移和伸缩变换，熟记平移和伸缩变化原则是解题关键，是中档题8.若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，设向量与向量的夹角为，故选A.9.函数的图象与函数的图象的交点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10.已知，则（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.11.已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将整理为，根据方程可知或；根据整体所处的范围，可知有四个根需，解不等式求得取值范围.【详解】令，则 或 上有四个实数根 解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数的取值范围的问题，关键是能够根据图象的特点，确定有四个实数根时角所处的范围，从而构造出不等关系求得
7、结果.12.已知、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、，使得，则三个角、（ ）A. 都是钝角B. 至少有两个钝角C. 恰有两个钝角D. 至多有两个钝角【答案】B【解析】分析】根据，移项得，两边同时点乘，得0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定BOC、COA至少有一个为钝角，同理可证明AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、COA至少有一个为钝角，从而得到结论【详解】123，两边同时点乘，得，即|cosCOA+cosBOC0，BOC、COA至少有一个为钝角，同理AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、COA至少有一个为钝角，因此AOB、BOC、COA至少有两个钝角故选：D【点睛】本
8、题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题二.填空题（共4题，每题5分，共20分）13._.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式将所求式子变换成符合两角和差正弦公式的形式，从而求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查诱导公式化简、两角和差正弦公式的应用问题，属于基础题.14.已知向量，若向量与共线，则实数_.【答案】【解析】【分析】可求出，根据向量23与共线即可得出2m+2（6+3m）0，解出m即可【详解】解：；与共线；2m+2（6+3m）0；解得故答案为：点睛】本题考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关
9、系15.已知中，三边与面积的关系为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式可求解出，根据同角三角函数关系可求得.【详解】由三角形面积公式可得： 本题正确结果：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够通过三角形面积公式构造出三角形边角之间的关系，属于基础题.16.函数若 对恒成立，则的取值范围是_.【答案】【解析】令，则， ，即对恒成立，因为是R上的奇函数，也是增函数，所以即，令，则，求其最大值可得，所以，故填.点睛：本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性，函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于
10、难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.三.解答题(共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤)17.在平面直角坐标系中, 已知点,(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)在中,设是边上的高线, 求点的坐标.【答案】（1）和（2）（一1，2）【解析】【分析】（1）由题意求得 ，利用向量的模的运算公式，即可求解.（2）设，根据共线向量，求得 ，进而利用，求得，即可得出点D的坐标.【详解】（1）由题意，可得，则 ，所以，即两条对角
11、线的长为和 .（2）设点的坐标为，由点在上，设，则，即 ，即，解得，即点D的坐标为（-1，2）【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及共线向量与向量模的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，以及共线向量的表示是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.（）已知为第二象限，化简；（）化简.【答案】（）原式（）原式=-1【解析】【分析】（）由为第二象限，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解（）通过切化弦，通分以及两角差的正弦函数化简，然后利用诱导公式以及二倍角公式化简，可得结果【详解】（）原式=（）原式=【点睛】本题是基础题，考查三角函数的恒等变形，诱导公式、两
12、角差的三角函数等基本知识的灵活运用，注意公式的正确应用，考查计算能力19.某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图：（）求这100份数学试卷成绩的众数和中位数；（）从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率【答案】（1）100； （2）.【解析】【分析】（）由频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的众数和中位数 （）总分在55，65共有0.00210100=2（份），记为A，B，总分在135，145的试券共有0.00410100=4（份），记为a，b，c，d，利用列举法能求
13、出抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率【详解】（）由频率分布直方图得这100份数学试卷成绩的众数为：=100，记这100份数学试卷成绩的中位数为x，则0.00210+0.00810+0.01310+0.01510+（x-95）0.024=0.5，解得x=100，众数为100，中位数为100（）总分在55，65共有0.00210100=2（份），记为A，B，总分在135，145的试券共有0.00410100=4（份），记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：A，B，A，a，A，b，A，c，A，d，B，a，B，b，B，c，B，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c
14、，d，共15个，相差超过10分的有8种，分别为：A，a，A，b，A，c，A，d，B，a，B，d，B，c，B，d，抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率p=【点睛】本题考查众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.在中，内角所对的边分别为，已知.（）求角大小；（）若的面积，且，求.【答案】（）； （）.【解析】【分析】（）利用余弦定理正弦定理对化简即得. （）先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.【详解】（） ， ，由正弦定理得，即 ， ， , .（）, 即.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查
15、学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数（1）若函数，判断的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）为非奇非偶函数；值域为；（2）【解析】【分析】（1）根据定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数；利用分离常数的方式可知，根据的范围求得，从而得到的值域；（2）将问题转化为有实根；构造，根据复合函数单调性求得单调性，根据单调性求得的值域，进而得到的范围.【详解】（1）由得定义域为：因此定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数有题意知：当时，所以所以函数的值域为（2）方程有实根，即有实根构造函数则因为函数在上单调递减，而在上单调递增所以复合函数是上的单
16、调递减函数所以在上最小值为，最大值为即，所以当时，方程有实根【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题，通过求解值域得到结果.22.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在的最大值为2，求实数的值.【答案】(1) ；(2)或【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得，从而可得最小正周期；（2）将通过换元的方式变为，；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得的值.【详解】（1）最小正周期（2）令，则由得 当，即时当时，由，解得（舍去)当，即时当时，由得，解得或（舍去）当，即时当时，由，解得综上，或【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.
