1、山东省聊城市2019届高三一模数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域为再求得解.【详解】由得即函数的定义域为 故选：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查集合的交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.设，则复数的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求复数的虚部得解.【详解】，复数的虚部为.故选：【点睛】本题主要考查复数的加法和除法
2、运算，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【详解】故选：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.记为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据得到，求出q的值，再求的值.【详解】由题得 化为：解得则.故选：【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.AQI是表示
3、空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.6.设函数，若对于任意的，都有，则（）A
4、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简已知得，由得x=是函数f(x)的对称轴，得再求【详解】由得x=是函数f(x)的对称轴，得故选：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解.【详解】取的中点，连接设则所以连接因为所以异面直线与所成角即为在中故选【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考
5、查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由为奇函数得到，再分析得到函数在上为减函数且在上减函数且，又由则则有，即不等式的解集为【详解】根据题意，函数，其定义域为，若为奇函数，则即解可得则.又由在为增函数，其，则在上为减函数且则在上减函数且，又由则则有，即不等式的解集为故选： 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（）A. B. C. D. 【
6、答案】D【解析】【分析】先分析得到点落在以为圆心，以为半径的圆内，再利用几何概型求解.【详解】如果过点的所有弦的长度都大于，则 则点落在以为圆心，以为半径的圆内，由几何概型概率可得，过点的所有弦的长度都大于的概率为故选：【点睛】本题主要考查圆和几何概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.数学名著九章算术中有如下问题：“今有刍甍（mng），下广三丈，袤（mo）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，高丈，问它的体积是多少？”现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为丈，则该楔体的体积
7、为（单位：立方丈）（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）.【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通过分析得到当且仅当共线，周长取得最小值，且为 可得解方程即得解.【详解】由题意
8、可得设由双曲线的定义可得， 则的周长为当且仅当共线，取得最小值，且为由题意可得即，即则故选：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点求出切线方程为：由图知函数的图象与直线 无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为【详解】因为函数所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点由由已知有：解得，则则切线方程为：由图知：函数的图象
9、与直线 无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为故选：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.若满足约束条件，则的最大值为_【答案】14【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域如图所示，再利用数形结合分析得解.【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A时取得最大值，由解得代入计算，所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查利用线性规划解答最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.某校举行“
10、我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_（用数字作答）【答案】96【解析】【分析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，有第二步，将人排序，有再利用乘法分步原理即得解.【详解】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.记数列的前项和为，若，则数列的前项的和等于_【答案】【解析】【分析】先利用项和公式求出n+1,再利用裂项相消法求和得解.【详解】可得
11、时，上式对也成立，所以n+1,则前14项的和为 故答案为：【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_【答案】或【解析】【分析】设点的坐标为求出，再计算得到，再利用基本不等式求出最小值及此时直线的方程得解.【详解】设点的坐标为 当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质和基本不等式，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三
12、、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每一个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在梯形中，求；若求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设则，由余弦定理可得，解可得.由余弦定理可得（2），在中由余弦定理可得BC的值.【详解】（1）设则，由余弦定理可得解可得，.由余弦定理可得，； 在中，由余弦定理可得，【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.在三棱柱中，平面平面， 证明：；求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分
13、析】(1)先证明平面（2）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值为【详解】(1)在三棱柱中，平面 平面，平面平面平面 以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量则，取得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理计算能力.19.已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点当点的坐标为时，求直线的方程；证明：平行四边形的面积为定值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)先求出的中点坐标为，再利用点差法
14、求得再写出直线MN的方程得解；（2）设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，先利用弦长公式求出，再求出点到直线的距离为， .【详解】点的坐标为，的中点坐标为，四边形为平行四边形，的中点坐标为，设，两式相减可得，即，直线的方程为，即，证明设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，将其代入得，即，又 ， ，四边形为平行四边形点坐标为点在椭圆上，整理得 点到直线的距离为， 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算和面积定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分
15、，每超出（不足时按计算）需再收元公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）【答案】（1）； （2）该公司对每件快递收取的费用
16、的平均值可估计为元；（3）公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利【解析】【分析】样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中包裹件数在间的天数，故所求概率为；（2）先列出样本中快递费用及包裹件数表，再利用平均数的公式求快递费的平均值；（3）先求出若不裁员，公司平均每日利润的期望值为（元），再求出若裁减人，公司平均每日利润的期望值为（元），因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.【详解】样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中，包裹件数在间的天数X服从二项分布，即，故所求概率为；样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元）
17、，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元（3）根据题意及，揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率的计算，考查平均值和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明：【答案】（1）见解析； （2）见解
18、析.【解析】【分析】(1)对a分和a0讨论，利用导数求函数的单调性；（2）得 ，再求出 ，不妨设，则，转化为证明，令，再证明即得证.【详解】 ，当时，在单调递增，当时，时，当时，在上单调递减，在上单调递增， ， ，不妨设，则，所以只要证，令，t，在上单调递减，【点睛】本题主要考利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），倾斜角为的直线经过点求曲线的普通方程和直线的参数方程；若直线与曲
19、线有两个不同的交点，求的最大值【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数）； （2）.【解析】【分析】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数）；（2）将直线的参数方程（为参数）代入到中并整理得： ，再利用直线参数方程的几何意义求出，再利用基本不等式求解.【详解】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数），将直线的参数方程（为参数）代入到中并整理得： ，设对应的参数分别为，则，同号 ，（当且仅当时取等），的最大值为： 【点睛】本题主要考查直线的参数方程，考查普通方程和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数当时，求不等式 解集；设不等式的解集为，若，求的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，所以.【详解】时，若，时，解得：，故，时，解得：x1，故1x1，x1时，解得：，故，综上，不等式的解集是；若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，故，即的范围是【点睛】本题主要考查利用零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
