1、江苏省南京市第二十九中学2019-2020学年高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】，选A.2.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出扇形的半径和弧长，利用扇形的面积公式可求出该扇形的面积.【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，且，所以有，所以，该扇形的面积为.故选：B.【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答的关键就是求出扇形的半径，考查计算能力，属于基础题.3.函数，的图象在区间的交点个数为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】B【解析】【分析】求出方程在区间上的根，即可得出结论.【详解】令，即，得，则该方程在区间上的实根为、，共个.故选：B.【点睛】本题正弦函数与余弦函数图象的交点个数，可以解三角方程来求解，也可以作出图象观察交点个数，属于基础题.4.已知平面以及不重合的直线、.若，则；若，则；若，则；若，则.以上说法正确的有（ ）个A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间中直线的位置关系可判断的正误，根据平行线的传递性可判断的正误，根据空间中的线面关系可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于，若，则与平行、相交或异面，故错误；对于，由平行线的传递性可知正确；对于，若，则或，故错误.故选：A
3、.【点睛】本题考查空间中线线关系、线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.5.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案.【详解】因为，由三角函数线的图像可知，则故选：A【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题.6.在中，已知，则（ ）A. B. C. 或D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可直接求得角的值.【详解】由正弦定理，得，因此，或.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理求三角形的内角，若存在多解的情况，要注意利用大边对大角定理或
4、内角和定理来判断，考查计算能力，属于基础题.7.在中，则此三角形外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，及的值，利用余弦定理求出的值，由，的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，即可求出此三角形外接圆的面积【详解】，由余弦定理得：，设三角形外接圆半径为，由正弦定理得：，即，解得：，则此三角形外接圆面积为故选D【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键8.中，已知，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算得出，利用正弦定理结合三角恒等变换思想将的面积化为以
5、角为自变量的正弦型函数，进而可得出面积的最大值.【详解】由，得，由正弦定理，得，所以面积，其中，当时，的面积取最大值为.故选：A.【点睛】本题考查三角形面积最值的计算，涉及平面向量数量积的运算以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9.已知函数的图象关于直线对称，则的值是_【答案】.【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因，所以点睛：函数（A0,0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.10.在中，若，则_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理得出，利用余弦定理
6、求得的值，即可得出角的值.【详解】由正弦定理可知，由余弦定理得，因此，.故答案：.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的内角，涉及正弦定理边角互化思想的应用，属于基础题.11.正方体中，直线与直线所成角的大小为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，连接、，证明出，可得出异面直线与直线所成角为或其补角，判断出的形状，进而可得出异面直线与直线所成角的大小.【详解】如下图所示：连接、，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，则异面直线与直线所成角为或其补角，由于、都是该正方体的面对角线，则，则为正三角形，因此，直线与直线所成角为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，考查计算能力，属于基础
7、题.12.已知向量，其中，若，则的值为_.【答案】或【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示结合二倍角的正弦公式求得的值，进而可求得的值.【详解】由，得，即，因为，则，所以或，即或.故或.故答案为：或.【点睛】本题考查正切值的计算，涉及共线向量的坐标表示以及二倍角正弦公式的应用，求出角的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13. =_【答案】【解析】【分析】根据式子中角度的规律，可知，变形有，由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律，可知，变形有所以，故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题14.在中，若，则该三角形的形状是_.【答案】等腰三角形【
8、解析】【分析】利用，结合两角和的余弦公式化简得出，可得出角与角的关系，从而判断出该三角形的形状.【详解】，即，因此，为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.15.已知满足，的恰有一个，那么的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】计算出表达式，结合该三角形只有一解可得出满足的条件，进而可求得的取值范围.【详解】根据正弦定理，若三角形有一解，即仅有一个解，所以或，即或，解得.因此，取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角形解的个数求边长的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.16.如图，在中
9、，若，是的右端三等分点，则的最小值为_. 【答案】【解析】【分析】求出的外接圆半径，作出图形，找出该三角形外接圆圆心的位置，利用、三点共线时最短可得解.【详解】由正弦定理可知，外接圆半径，设为外接圆圆心，点位置如下图所示： 因为，由余弦定理得，又，由余弦定理得，则，由三角形两边之差小于第三边可知，故当、三点共线时，最短为.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中线段长度最值的计算，利用外接圆结合三点共线求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）最小正周期为
10、；（2）值域为.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的值域.【详解】（1），所以，函数最小正周期；（2）当时，故.因此，函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期和值域的求解，利用三角恒等思想化简函数的解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.18.已知，均为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求得的值.（2）先根据的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得的值.方法一：先
11、求得的值，进而求得的值，利用，利用两角差的正弦公式展开代入数据求得结果.方法二：先求得的值，由此利用两角差的正弦公式，求得的值.【详解】（1）因为，所以. （2）因为，为锐角，所以，则.由于，所以.【方法一】因为为锐角，则，所以，从而.则【方法二】因为为锐角，则，所以.则 ， .从而 .【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面梯形，点在棱上.（1）求证：平面；（2）若平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论；（2）连接交于，连接，由线面平行
12、的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面；（2）连接交于，连接，因为平面，且平面，平面平面，所以，易得，则，因此，.【点睛】本题考查线面平行的判定，同时也考查了线段长度比值的计算，涉及线面平行性质定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.20.如图所示，由一块扇形空地，其中，米，计划在此扇形空地区域为学生建灯光篮球运动场，区域内安装一批照明灯，点、选在线段上（点、分别不与点、重合），且.（1）若点在距离点米处，求点、之间的距离；（2）为了使运动场地区域最大化，要求面积尽可能的小，记，请用表示的面积，并求的最小值.【答案】（1）米；（2），
13、最小面积为平方米.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得的长度，并求出，可得出，可得出，进而可求得的长度；（2）利用正弦定理求出、关于的表达式，利用三角形的面积公式可得出的表达式，结合三角恒等变换思想化简，利用正弦型函数的有界性可求得的最小值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，中，由，解得，即，故，可知，求得，因此，（米）；（2）记，则有，由正弦定理可得，由，则，则当时，即当时，有最小值平方米【点睛】本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理与三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.21.在四边形中，.（1）若，求四边形的面积；（2）记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最
14、大值为.【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得，进而求得，然后利用三角形的面积公式求得和的面积，相加即可得出四边形的面积；（2）设，可得出，利用余弦定理求出，进而可得而出关于的表达式，再将转化为的三角函数，利用二次函数的基本性质可得出的最大值.【详解】（1）连接，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，可得，故四边形面积为；（2）设，在中，有，由余弦定理得，在中，有，故有，即当时，有最大值.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查四边形面积及其最值的计算，解答的关键就是将面积表示为某角为自变量三角函数，考查计算能力，属于中等题.22.已知函数.（1）若，且在上单调递减，求的取
15、值范围；（2）若，且在区间恒成立，求的取值范围；（3）当，时，求证：在区间至少存在一个，使得.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数在区间上单调递减得出，进而可求得实数的取值范围；（2）由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；（3）利用反证法，假设对任意的，均有，根据题意得出，推出矛盾即可.【详解】（1）当时，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由于函数在单调递减，则有，解得.因此，实数的取值范围是；（2）由题可知在恒成立，则且,令，则二次函数在时单调递减，当时，函数取得最大值，即，因此，实数的取值范围是；（3）由题可知，且，函数开口向上，对称轴，则在单调递减，其值域为，若不存在使得，即对任意都有，即，可得，即，与矛盾.故必存在，使得.【点睛】本题考查利用二次函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了二次不等式恒成立以及二次函数相关的不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
