1、江苏省南通一中高二数学检测2011.11.25一、填空题1. 斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为_ .2. O在三棱锥的四个面中，最多有_ 个面为直角三角形.3. 在矩形ABCD中，若沿将矩形折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的体积为_。4. 在三棱锥P ABC中，APC =CPB =BPA =，并且PA = PB = 3，PC = 4，又M是底面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 。_A_B_C_D_E_F5. 如图，已知四面体ABCD中，AD
2、 = BC = 1，E、F分别是AB、CD上的点，且=，EF = a，( a 0 )，则AD和BC所成的角 = 。6. （07年浙江卷文）已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的取值范围是_7. （08年杭州市质检二文）如图，为正方体，下面结论中正确的结论是 。（把你认为正确的结论都填上）平面；平面；与底面所成的角的正切线值是； 二面角的正切线值是。过点与异面直线和成角的直线有2条。8. 已知矩形ABCD，AB=1,BC=a,PA面ABCD,若在BC上只有一点Q满足PQDQ，则a值等于_9. （2009江西卷理）正三棱柱内接于
3、半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 10. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 。11. 如图，半径为的半球内有一内接正六棱锥，则直线与平面所成的角大小为 12. 如图，正方体，为直线上一动点，则下列四个命题：三棱锥的体积为定值；直线与平面所成角的大小为定值；二面角的大小为定值；异面直线与所成角的大小为定值.其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）二、解答题13. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（）D1E与平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大小；（）异面直线B1D
4、1与BC1之间的距离14. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，且为的中点，又E为PC的中点，, （1）证明； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明；（3）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值15. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB = 90. AC = BC = a， D、E分别为棱AB、BC的中点， M为棱AA1上的点，二面角MDEA为30. （1）求MA的长；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求点C到平面MDE的距离。16. （本题满分12分）已知：如图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，AC=4cm，CD是斜边上的高，沿
5、CD把ABC折成直二面角.（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论；（2）试在三棱锥的面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，试证明你的结论.（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值.17. 如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)求直线与平面所成的角的正弦值。18. 已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面.ABCA1B1C1O（1）证明：点在平面上的射影为的中点；（2）求二面角的大小 ；（3）求点到
6、平面的距离.SABC19. 如图在三棱锥S中，.（1）证明。（2）求侧面与底面所成二面角的大小。（3）求异面直线SC与AB所成角的大小。20. ABCDP如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,平面,.（1）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;（2）求二面角APBD的大小.21. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.22. 在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为
7、。 （I）求棱的长； （）在线段上是否存在点P，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由； （）求平面与平面所成二面角的余弦值。答案一、填空题1. .解析：在棱上任取一点D,过D点分别在平面和平面内引棱的垂线,分别交、于E、F点,连EF,则:EDF即为二面角的平面角.在EDF内, .2. .解析： 故最高处离桌面的距离为.3. 4. 5. 6. 答案： 解析：若二面角AB的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角的平面角. 根据题意得，由于对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，设PO=，则又POB45，OC
8、=PC=，而在中应有PCPH ,显然矛盾，故二面角AB的大小不可能为锐角。即二面角的范围是。若二面角AB的大小为直角或钝角，则由于POB45，结合图形容易判断对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45。即二面角的范围是。【高考考点】二面角的求法及简单的推理判断能力【易错点】：画不出相应的图形，从而乱判断。【备考提示】：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决。7. 答案： 8. 29. 解析：由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体积等于10. 11. 略12. 略二、解答题13. A1B1C1D1ABCDExyz解析：建立
9、坐标系如图，则、，（）不难证明为平面BC1D的法向量， D1E与平面BC1D所成的角的大小为 （即）（）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量， ， 二面角DBC1C的大小为（） B1D1平面BC1D， B1D1与BC1之间的距离为14. 证明：（1）连结，因为为的中点，E为PC的中点，所以,又,所以 4分（2）证明：因为，所以又由条件知，,故8分(3)由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线BC与平面PBD所成的角由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为12分15. 解析： （1） 过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. D、E分别为AB、BC的中点，
10、DEAC. 又AFCE，CEAC， AFDE. MA平面ABC. AF为MF在平面ABC内的射影，MFDE，MFA为二面角MDEA的平面角，MFA = 30. 在RtMAF中，MFA = 30， .6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 设C到平面MDE的距离为h. ， ，8分 又， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ，即C到平面MDE的距离为.12分16. 解析：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB=4cm，则二面角ACDB为直二面角.ABC是等腰直角三角形，AD=DB=CD=2cm. 又ADDC，BDDC，ADB是二面角ACDB的平面角.AD=DB=cm，当AB=4
11、cm时，有AD2+DB2=AB2，ADB=90，即二面角ACDB为直二面角.（5分）（2）取ABC的中心P，连结DP，则DP满足条件.ABC为正三角形，且AD=DB=DC，三棱锥DABC是正三棱锥.，由P为ABC的中心，则DP平面ABC.DP与平面ABC内任意一条直线都垂直.（10分）（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的四个面都相切. 设小球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，则三棱锥被分为四个小棱锥，则有，即 =即故小球半径最大值为分（14（14分）17. 解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD/.又PD平面D，/平面D （2）正三棱住， 底面
12、ABC。又BDACBD就是二面角的平面角。=，AD=AC=1tan =, 即二面角的大小是（3）由（2）作AM，M为垂足。BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，AM平面，BDAMBD = DAM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。=，AD=1，在RtD中，=，,直线与平面D所成的角的正弦值为解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）设平面的法向量为n=（x，y，z）则nn则有，得n=（，0，1）由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。设n与所
13、成角为，则，二面角的大小是（3）由已知，得=（-1，），n=（，0，1）则直线与平面D所成的角的正弦值为.18. ABCA1B1C1OHMN解析：（1）证明：过B1点作B1OBA。侧面ABB1A1底面ABCA1O面ABC B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角B1BO= 在RtB1OB中，BB1=2，BO=BB1=1又BB1=AB，BO=AB O是AB的中点，即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点. （2）连接AB1过点O作OMAB1，连线CM，OC，OCAB，平面ABC平面AA1BB1 OC平面AABB.OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 OMAB1AB1CM OMC是二面角CAB1
14、B的平面角在RtOCM中，OC=，OM=OMC=二面角CAB1B的大小为 （3）过点O作ONCM，AB1平面OCM，AB1ONON平面AB1C。ON是O点到平面AB1C的距离连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点,B与C1到平面ACB1的相导。又O是AB的中点 B到平面AB1C的距离是O到平面AB1C距离的2倍点到平面AB1C距离为19. 解析：（1）SAB=SCA=900 （2）（3）20. 解析：（1）取DC的中点E.ABCD是边长为的菱形,，BECD.平面, BE平面， BE.BE平面PDC.BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. BE=，PE=,=.（2）连接AC、BD交于
15、点O，因为ABCD是菱形，所以AOBD.平面, AO平面， PD. AO平面PDB.作OFPB于F，连接AF，则AFPB.故AFO就是二面角APBD的平面角. AO=，OF=，=.=.21. （1）证明：连，在长方体ABCDA1B1C1D1中，为在平面的射影，而AD=AA1=1，则四边形是正方形，由三垂线定理得D1EA1D （2）解析：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则、则，设平面的法向量为，记点A到面ECD1的距离（3）解析：设则，设平面的法向量为，记而平面ECD的法向量，则二面角D1ECD的平面角。当AE=时，二面角D1ECD的大小为.22. 解析：（I）设，因为几何体的体积为所以，即即，解得所以的长为4.（4分）（）在线段上存在点使直线与垂直。以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系由已知条件与（I）可知，假设在线段上存在点使直线与垂直。则过点作交于点由题易证得所以，所以，所以。因为，所以，即，所以此时点的坐标为，且在线段上因为，所以所以在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为（8分）（）由（）知所以设平面的一个法向量为，则，解得所以因为平面的一个法向量为，且平面与平面所成的二面角是一个锐角、所以