1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，则a(a3b)()A(0,34,10)B(3,19,7)C44D23Ca3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，则a(a3b)(3,2,5)(0,17,2)0341044.2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1B2 CD3B若l1l2，则ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.3在空间四边形ABCD中，若向
2、量(3,5,2)，(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2,3,3)B(2，3，3)C(5，2,1)D(5,2，1)B取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则， 所以(2，3，3)，故选B4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若xy，则()Ax，yBx，yCx，yDx，yA()，x，y.5已知A(2，5,1)，B(2，4,2)，C(1，4,1)，则与的夹角为()A30B60 C45D90B由题意得(0,1,1)，(1,1,0)，cos，所以与的夹角为60.6已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n
3、所成的角为()AB CDB设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.7.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离()A等于aB和EF的长度有关C等于aD和点Q的位置有关A取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PGCD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错又A1B1平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离
4、即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，P，(0，a,0)，(a,0，a)，设n(x，y，z)是平面PGCD的法向量，则由得令z1，则x2，y0，所以n(2,0,1)是平面PGCD的一个法向量设点Q到平面PEF的距离为d，则d，A对，C错故选A8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为()ABCDB以D为原点，DA、DC、DD
5、1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为.故选B二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有()A与是一对相反向量B与是一对相反向量C与是一对相反向量D与是一对相反向量ACDO为正方
6、体的中心，故()，同理可得()，故()，AC正确；，与是两个相等的向量，B不正确；，()，D正确10在以下选项中，不正确的命题有()A|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B若ab，则存在唯一的实数，使abC对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底ABCA|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；Bb需为非零向量，故不正确；C因为2211，由共面向量定理知，不正确；D由基底的定义知正确11下列说法正确的是()A直线l的方向向量a(1，1,2)，直线m的方
7、向向量b，则l与m垂直B直线l的方向向量a(0,1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则lC平面，的法向量分别为n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，则D平面经过三点A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1AD对于A，a(1，1,2)，b，ab12(1)120，ab，直线l与m垂直，A正确对于B，a(0,1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或l，B错误对于C，n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，n1与n2不共线，不成立，C错误对于D，由于A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)，则(1
8、,1,1)，(1,1,0)，又向量n(1，u，t)是平面的法向量，即则ut1，D正确12如图(1)是一副直角三角板的示意图现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是()A0B平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直C异面直线BC与AD所成的角为60D直线DC与平面ABC所成的角为30AD以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设BD2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2，0)，A(0，)，(2,0,0)，(0，)，(0,2，0)，(2，)，(2,2，0)(2,0,0)(0，)0，A正确；易得平面BCD
9、的一个法向量为n1(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2(，1,1)，n1n20，B错误；|cos，|，C错误；易得平面ABC的一个法向量为(2,0,0)，设直线DC与平面ABC所成的角为，则sin ，故D正确三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知(1,5，2)，(3,1，z)，若BC，(x1，y，3)，且平面ABC，则_.，0，352z0，z4.(x1，y，3)，且平面ABC，即解得故.14已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，则_.易知a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使
10、得cxayb，即解得15已知A(0,0，x)，B(1，2)，C(x，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且x2x4，则x_，与的夹角为_(本题第一空2分，第二空3分)1由A，B，C，M四点共面可知x2x41，x1.A(0,0,1)，C(1，2)，(1，1)，(1，1)，cos，即与的夹角为.16如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_如图所示，过点C作CO平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则CFO为二面角CABD的平面角，所以cosCFO.设AB
11、1，则CF，OF，OC，所以O为正方形ABDE的中心如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，所以，所以cos，.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值解(1)c，存在实数m，使得cmm(2，1,2)(2m，m,2m)|c|3，3|m|3，m1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,
12、0,2)1.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k.当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD解如图，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,
13、0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)(1)设BAa，则A(a,0,0)所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)所以0，0440.所以B1DBA，B1DBD又BABDB，所以B1D平面ABD(2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，所以，(0,1,1)所以0220，0220.所以B1DEG，B1DEF.又EGEFE，所以B1D平面EGF.由(1)，知B1D平面ABD，故平面EGF平面ABD19(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FAAB，ADAFFE1，AB2，ADBE.(1)求证：BEDE；(2)求点F到平面CBE
14、的距离解四边形ABCD为矩形，ADAB，又ADBE，ABBEB，AD平面ABEF，又AD平面ABCD，平面ABCD平面ABEF.FAAB，平面ABCD平面ABEFAB，FA平面ABCDFAAD(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，(0，1,1)，(1,1,1)，0(1)(1)1110，BEDE.(2)由(1)得(1,0,0)，(0，1,1)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面CBE的法向量，则由得令y1，得z1，n(0,1,1)是平面CBE的一个法向量设点F到平面CBE的距离为d，则d.点F到平面
15、CBE的距离为.20(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1，AB的中点(1)证明：EF平面BCC1B1；(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值解(1)证明：如图，连接EC1，BC1，因为三棱柱A1B1C1ABC为直三棱柱，所以E为AC1的中点又因为F为AB的中点，所以EFBC1.又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，所以EF平面BCC1B1.(2)以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，则A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，
16、F(0,2,6)，所以(0，2,6)，(2,0，3)，(0,2,0)，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，则令x3，得n(3,0,2)，记B1F与平面AEF所成角为，则sin |cos，n|.21(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BEBC，EAAC，BC2，AC2，ACB45，ADBC，BC2AD(1)求证：AE平面ABCD；(2)若ABE60，点F在EC上，且满足EF2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值解(1)证明：在ABC中，BC2，AC2，ACB45，由余弦定理可得AB2BC2AC22BCACcos 454，所以AB2(负值舍去)，因为AC2AB2BC2，所以ABC是
17、直角三角形，ABBC又BEBC，ABBEB，所以BC平面ABE.因为AE平面ABE，所以BCAE，因为EAAC，ACBCC，所以AE平面ABCD(2)由题易得EB2AB4，由(1)知，BC平面ABE，所以平面BEC平面ABE，如图，以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0，)，D(1,1，)，因为EF2FC，所以F，易知(0,1,0)，设平面FAD的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则x9，所以n(9,0，)由(1)知EA平面ABCD，所以(3,0，)为平面ABCD的一个法
18、向量设平面FAD与平面ADC的夹角为，则cos ，所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADP90，平面ADP平面ABCD，F为棱PD的中点(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE？并说明理由；(2)当二面角DFCB的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角解(1)在棱AB上存在点E，使得AF平面PCE，且E为棱AB的中点理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，由题意得，FQDC且FQCD，因为AECD且AECD，所以AEFQ且AEFQ.所以四边形AEQF为平行四边形所以A
19、FEQ.又EQ平面PCE，AF平面PCE，所以AF平面PCE.(2)连接BD，DE.由题意知ABD为正三角形，所以EDAB，即EDCD，又ADP90，所以PDAD，且平面ADP平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD，所以PD平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FDa，则由题意知F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，则(0,2，a)，(，1,0)，设平面FBC的法向量为m(x，y，z)则令x1，则y，z，所以m，易知平面DFC的一个法向量n(1,0,0)，因为二面角DFCB的余弦值为，所以|cosm，n|，即，解得a1(负值舍去)因为PD平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在RtPBD中，tanPBD1，所以PBD45，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45.