1、广东省深圳市高级中学2020届高三数学下学期3月线上模拟考试试题 文（含解析）一、选择题1. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】对于不等式的解集为，根据题意，分析选项可得，A中，为其充要条件，不符合题意；中，当成立不等式成立，反之若有成立，未必有成立，所以为充分不必要条件，不合题意；中，当不等式不一定成立，如时，反之若有成立，则必有成立，为必要不充分条件，符合条件；中，当不等式不一定成立，如时，反之若有成立，未必有，如，则为既不充分，又不必要条件，不合题意，故选2. 若、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、D【解析】【分析】对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.【详解】对，因为大小无法确定，故不一定成立；对，当时，才能成立，故也不一定成立；对，当时不成立，故也不一定成立；对，故一定成立.故选D.【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.3. 已知复数，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 的虚部为【答案】B【解析】【分析】计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项.【详解】由题：，所以：，的虚部为.故选
3、：B【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.4. 已知角的终边过点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可得，由此得出的值.【详解】解：角的终边过点，即，又，角的终边在第三象限，则，由，解得故选：A【点睛】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.5. 已知是等差数列，且a11，a44，则a10（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设等差数列的公差为d，结合题意可得1，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒
4、数可得a10的值【详解】根据题意，是等差数列，设其公差为d，若a11，a44，有1，则3d，即d，则9d，故a10；故选A【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意求出的公差6. 在区间上机取一个实数，则的值在区间上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据正弦函数在上的单调性，求得函数值为所对应的的值，再根据几何概型的求解方法可得选项.【详解】因为在上，函数 单调递增，且当 时，当 时， ，所以所求概率为，故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题.7. 已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）A. B. C. 2D. 【
5、答案】B【解析】【分析】由为幂函数，即可得到的值，计算出，且经过的定点，代入中，即可得到的值【详解】由于为幂函数，则，解得：，函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故答案选B【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题8. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有( )个A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值即该点的斜率，求出切点的横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数.【详解】由于切线的倾斜角小于，所以斜率.设切点坐标为，则从而故选：B【点睛】本题考查
6、直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是个基础题.9. 如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为；乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （xy）；甲，乙中位数相同；90+x91x1； 乙的平均数为；乙的平均成绩低于甲；1y3；y1或2乙的平
7、均成绩低于甲的概率p；故选：A【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题10. 设平面向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据与的夹角为锐角，得到，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于的不等式，解出的范围，从而得到答案.【详解】因为与的夹角为锐角，所以，向量，所以，整理得，所以的范围为.故选：B.【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.11. 如图，在中，点D在线段BC上，且，则的面积的最大值为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，则
8、，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值【详解】解：设，则，同理，其中，当时，故选：C【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题12. 已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把刚好有两个正整数使得转化为两个函数的位置关系问题，利用导数分析函数的单调性，并画出简图，的图象过定点的直线，结合图象得到实数的取值范围.【详解】令且，因为刚好有两个正整数使得，即作出的图象，如图所示，其中过定点，直线斜率为，由图可知，时，有且仅有两个点满足
9、条件，即有且仅有使得.实数的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查函数综合，考查学生的综合分析能力，转化与划归，数学运算能力，属于较难题.二、填空题13. 我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入,时，输出的_.【答案】18【解析】【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：，执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；执行循环体：，满足退出循环条件，退
10、出循环，输出的值为18答案：18【点睛】本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题14. 由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.【详解】圆心坐标，半径 要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，此时最小值为圆心到直线的距离，此时，故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.15. 底面为正方形的直四棱柱中，点E是的中点则异面直线与所成角的大小为_【答案】【解析】【分析】取BC中点为F，将直线EB平移至，找到夹角，在三角形中求解即可.【详解】根据题意，取
11、BC中点为F，连接，作图如下：在四边形中，因为/，且=BF故该四边形平行四边形，则/，故为直线与BE所成角或其补角.在中，根据题意可知由余弦定理可得：又异面直线夹角的范围为：故即直线与所成角的大小为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.16. 已知直线与双曲线一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，若，则双曲线的离心率为_.【答案】或【解析】【分析】解出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率【详解】若渐近线的方程为，则点的坐标为.因为，所以，则，所以，从而.若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得.【
12、点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在公差d的等差数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，成等比数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，或，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂项相消求和即可得解【详解】解：（1），且，或当时，；当时，. （2），成等比数列，即，化为或，由（1
13、）可得，则，故.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，（）设分别为的中点，求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成
14、的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.19. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经
15、典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）0.100.050.0100.0052.7063.84166357.879（）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率（参考公式：，其中）【答案】（）见解析;（）【解析】试题分析：（）根据频率分布表写出列联表，代入公式计
16、算即可.（）根据古典概型计算公式求解即可.试题解析：（）正误年龄正确错误合计103040107080合计20100120由上表可知，有的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关（）设事件为三名幸运选手中恰好有一人在岁之间，由已知得岁之间的人数为2人，岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件的结果是种，故3名幸运选手中恰好一人在岁之间的概率是点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体
17、化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20. 已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详解】
18、（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，则，由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，则，故，所以曲线C的方程为.（2）当直线l斜率存在时，设直线，联立，得，设点，则，所以，即，得.则，因为，所以.即，直线，所以直线l过定点.当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点，解得，所以直线也过定点.综上所述，直线l过定点.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21. 已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）当时，有两个极值点，求的取值范围：若的极大
19、值小于整数，求的最小值.【答案】（1）在，单调递减；（2）；【解析】【分析】（1）求出函数的导数，即可得到函数的单调性；（2）依题意，有两个负根，令，利用导数研究的单调性，即可得到，解得即可.由可知：，使得，则，即为的极大值点，求出极大值的取值范围，即可得解.【详解】解：（1）由题意，当时，在，单调递减；（2）当时，有两个负根，令，即在单调递减，在单调递增，且，有两个负根只需，由可知：，使得，则，即，且在，单增，在，单减，为的极大值点，单增，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点及极值，属于中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计
20、分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.【答案】（1） ； （2） 或.【解析】【分析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为 当时，直线的直角坐标方程为 因为， 因为，所以所以的直角坐标方程为 （2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代
21、入曲线的方程整理，得因为，可设该方程的两个根为，则 ，所以 整理得，故因为，所以或，解得或综上所述，直线倾斜角为或 解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离 当时，直线的直角坐标方程为，符合题意 当时，直线的方程为所以，整理得解得综上所述，直线的倾斜角为或【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【答案】(1) x|x4或x1；(2) 3，0.【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于-2-xa2-x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：（1）当a3时，f（x）当x2时，由f（x）3得2x53，解得x1；当2x3时，f（x）3无解；当x3时，由f（x）3得2x53，解得x4.所以f（x）3的解集为x|x1或x4 6分（2）f（x）|x4|x4|x2|xa|.当x1，2时，|x4|x2|xa| （4x）（2x）|xa|2ax2a，由条件得2a1且2a2，解得3a0，故满足条件的实数a的取值范围为3，0考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数