1、2 实际问题的函数建模内 容 标 准学 科 素 养1.会利用已知函数模型解决实际问题2.能建立函数模型解决实际问题.精确数据分析强化数学运算熟练数学建模01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 常见函数模型预习教材P120130，思考并完成以下问题(1)斜率 k 的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？在幂函数模型的解析式中，的正负如何影响函数的单调性？提示：k0 时直线必经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；k0 时直线必经过二、四象限，y 随 x 的增大而减小当 x0，0 时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，)上为增函数；
2、当 x0，0 时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，)上为减函数(2)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型 知识梳理 常见函数模型(1)一次函数模型(k，b 为常数，k0)(2)二次函数模型(a，b，c 为常数，a0)(3)指数函数模型(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)(4)对数函数模型(m，a，n 为常数，m0，a0
3、 且 a1)(5)幂函数模型(a，b 为常数，a0)常用函数模型(6)分段函数模型yaxbxm，cxdxmykxbyax2bxcybaxcymlogaxnyaxnb知识点二 解决函数应用问题的基本步骤知识梳理 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：自我检测1今有一组数据，如下表所示：x12345y356.999.0111下列函数模型中，最接近的表示这组数据满足的规律的一个是()A指数函数B反比例函数C一次函数D二次函数解析：画出散点图，如图所示：观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表
4、示答案：C2某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系是()Ay2xBy2x1 Cy2xDy2x1解析：分裂一次后由 2 个变成 2222(个)，分裂两次后变成 4223(个)，分裂 x 次后变成 y2x1 个答案：D3某汽车在一时间段内速度 v(km/h)与耗油量 Q(L)之间有近似的函数关系：Q0.002 5v20.175v4.27，则车速为_km/h 时，汽车的耗油量最少解析：Q0.002 5v20.175 v4.270.002 5(v270v)4.270.002 5(v35)23524.2
5、70.002 5(v35)21.207 5.故 v35 km/h 时，耗油量最少答案：35探究一 一次函数、二次函数模型例 1 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系：销售单价 x(元)30404550日销售量 y(件)6030150(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定 x 与 y的一个函数关系式 yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出销售单价 x 为多少时，才能获得最大日销售利润思路点拨 依据(x，y)的关系
6、f(x)是一次函数建立 P 的函数关系利用二次函数的性质求最值解析 实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知 y 是 x 的一次函数(1)设 f(x)kxb，则6030kb，3040kb，解得k3，b150.f(x)3x150,30 x50，检验成立(2)P(x30)(3x150)3x2240 x4 500,30 x50，对称轴 x240234030,50当销售单价为 40 元时，所获利润最大方法技巧 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符跟踪探究 1.某校高一(2)班共有学生 51 人
7、，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用 228 元，其中，纯净水的销售价 x(元/桶)与年购买总量 y(桶)之间满足如图所示关系(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 a120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？解析：(1)
8、设 ykxb(k0)，x8 时，y400；x10 时，y320.4008kb，32010kb，解之得k40，b720，y 关于 x 的函数关系式为 y40 x720(x0)(2)该班学生买饮料每年总费用为 511206 120(元)当 y380 时，38040 x720，得 x8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 3808.52283 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元，则Pxyx(40 x720)40(x9)23 240，当 x9 时，Pmax3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则
9、51aPmax228，解得 a68，故 a 至少为 68 元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少探究二 指数型函数、对数型函数模型例 2 某城市 2009 年底人口总数为 100 万人，如果年平均增长率为 1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过 x 年后，该城市人口总数 y(万人)与 x(年)的函数关系；(2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301 0，lg 1.01
10、20.005)解析(1)2009 年底人口总数为 100 万人，经过 1 年，2010 年底人口总数为 1001001.2%100(11.2%)，经过 2 年，2011 年底人口总数为 100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，经过 3 年，2012 年底人口总数为 100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，所以经过 x 年后，该城市人口总数为 100(11.2%)x，所以 y100(11.2%)x.(2)10 年后该城市人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人)(3)由题意得 100(11.2%)x120，两边取常用
11、对数得 lg100(11.2%)xlg 120，整理得 2xlg 1.0122lg 1.2，得 x16，所以大约 16 年以后，该城市人口将达到 120 万人方法技巧 指数型函数模型：ymaxb(a0 且 a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0 且 a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解跟踪探究 2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v5log2Q10，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量(1)计算：燕
12、子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目所给公式可得 05log2Q10.解得 Q10，即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位(2)将耗氧量 Q80 代入公式得：v5log280105log2815(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为 80 个单位时，飞行速度为 15 m/s.探究三 分段函数模型例 3 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围188,388(388,588(58
13、8,888(888,1 188获得奖券的金额(元)285888128根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，然后还能获得对应的奖券金额为 28 元于是，该顾客获 得 的 优 惠 额 为：4000.2 28 108 元 设 购 买 商 品 得 到 的 优 惠 率 购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：(1)购买一件标价为 1 000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)当商品的标价为100,600元时，试写出顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的函数关系式；(3)当顾客购买标价不超过 600 元的商品时，该顾客是
14、否可以得到超过 35%的优惠率？若可以，请举一例；若不可以，试说明你的理由思路点拨 结合实例计算(1)；当 x100,235)，235,485，(485,600，求 y 与 x 的关系式；在(2)的基础上计算每一段上的优惠率，分析是否达到 35%.解析(1)由题意，标价为 1 000 元的商品消费金额为 1 0000.8800 元，故优惠额为：1 0000.288288 元，则优惠率为 2881 00028.8%.(2)由题意，当消费金额为 188 元时，其标价为 235 元；当消费金额为 388 元时，其标价为 485 元；当消费金额为 588 元时，其标价为 735 元由此可得，当商品的标
15、价为100,600元时，顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的函数关系式为：y 0.2xx 0.2，x100，235，0.2x28x28x 0.2，x235，485，0.2x58x58x 0.2，x485，600.(3)当 x(0,235)时，优惠率即为：20%；当 x235,485时，优惠率为：y0.228x，此时的最大优惠率为 0.2 282350.31935%.当 x(485,600时，优惠率为：y0.258x，此时的优惠率 y0.2 584850.3235%；综上，当顾客购买不超过 600 元商品时，可得到的优惠率不会超过 35%延伸探究 如果此人实际消费 1 000 元，问该人
16、得到优惠额共多少元？解析：此人得到的优惠额为：1 0000.8 0.2128378 元方法技巧 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的自变量的取值范围，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”2解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围跟踪探究 3.如图所示，等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD2，BC1，B
17、AD45，直线 MNAD 交 AD 于 M，交折线 ABCD 于 N，记 AMx，试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域和值域解析：如图，过 B，C 分别作 AD 的垂线，垂足分别为 H 和 G，则 AH12，AG32，当 M 位于 H 左侧时，AMx，MNx，ySAMN12x2,0 x12.当 M 位于 H，G 之间时，y12AHHBHMMN121212x12 1212x18，12x32.当 M 位于 G，D 之间时，yS 梯形 ABCDSMDN1212(21)12(2x)(2x)12x22x54，32x2.所求函数的关系式为 y12x2，
18、0 x12，12x18，12x32，12x22x54，32x2.函数的定义域为0,2，值域为0，34.探究四 拟合函数模型的应用例 4 环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为 60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234污染度6031130污染度为 0 后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模型从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)20|x4|(x1)，g(x)203(x4)2(x1)，h(x)30|log2x2|(x1)，其中 x 表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由
19、解析 用 h(x)模拟比较合理理由：因为 f(2)40，g(2)26.7，h(2)30，f(3)20，g(3)6.7，h(3)12.5.由此可得 h(x)更接近实际值，所以用 h(x)模拟比较合理方法技巧 对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，描出数据点(2)通过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发
20、生的因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据跟踪探究 4.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度 x cm 与当年灌溉面积 y hm2.现有连续 10 年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.0
21、45.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积 y(hm2)随积雪深度 x(cm)变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型 yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌溉的土地数量解析：(1)描点作图如图甲 甲 乙(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积 y 和最大积雪深度 x 满足线性函数模型 yaxb(a0)取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入 yaxb，得21.110.4ab，45.824.0ab，用计算器可算得 a1.8，b2.4.这样，我们得到一个函
22、数模型 y1.8x2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由 y1.8252.4，求得 y47.4，即当最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm2.课后小结1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分
23、使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化4根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如图所示素养培优忽略实际情况对函数定义域的限制致误易错案例：如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 ABa，BCb(ba)，在 AB，AD，CD，CB 上分别截取 AE，AH，CG，CF，且 AEAHCGCFx.问：当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？并求出最大面积易错分析：利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解考查数据分析、数学建模等学科素养自我纠正：设四边形 EFGH 的面积为 S，则Sab212x212axbx2x2(ab)x2xab42ab28，x(0，b因为 0ba，所以 0bab2.若ab4 b，即 a3b，则当 xab4 时，S 有最大值ab28；当ab4 b 时，即 a3b 时，易知函数在(0，b上是增函数，所以当 xb 时，S 有最大值 abb2.综上可得，当 a3b，xab4 时，S 有最大值ab28；当 a3b，xb 时，S 有最大值 abb2.04 课时 跟踪训练