1、第三章推理与证明测评(时间:90分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论无法判定正误答案:B2根据给出的数塔猜测123 4569+7等于()19+2=11129+3=1111239+4=1 1111 2349+5=11 11112 3459+6=111 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113解析:根据前5个式子归纳猜想选B.答案
2、:B3定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:()1*1=1,()(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于()A.nB.n+1C.n-1D.n2解析:由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=1*1+(n-1).又1*1=1,n*1=n.答案:A4要使成立,a,b应满足的条件是()A.abbB.ab0,且abC.ab0,且a0,且ab或ab0,且ab解析:要使成立,只需a-3+3-ba-b成立,即3)0,且ab或ab0,且ab成立.故选D.答案:D5已知p2+q2=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|1,
3、求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时,可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是()A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确,的假设错误D.的假设错误,的假设正确答案:D6观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47
4、+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C7某同学在电脑中打出如下若干个圈:,若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的个数是()A.12B.13C.14D.15答案:C8已知bn为等比数列,b5=2,则b1b2b3b4b5b9=29.若an为等差数列,a5=2,则an的类似结论为()A.a1a2a3a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a3a9=29D.a1+a2+a9=29解析:等比数列的特点是b1b9=b2b8=b3b7=b4b6=,而等差数列的特点是a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4
5、+a6=2a5.答案:D9函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的值为()A.1B.-C.1或-D.1或解析:f(1)=1,由f(1)+f(a)=2,知f(a)=1.若a0,则f(a)=ea-1=1,a=1.若-1a0,则f(a)=sin a2=1,由于0a2,a2=.a=-.故a的取值为1或-.答案:C10直线xsin+ycos=2+sin与圆(x-1)2+y2=4的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能解析:因为圆心(1,0)到直线xsin+ycos=2+sin的距离为d=2,且2为半径,所以直线与圆相切.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答
6、案填在题中的横线上)11用三段论证明f(x)=x3+xcos x为奇函数的大前提是.答案:若y=f(x)满足f(-x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数12从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论为.解析:观察已知的等式左边为2n-1项之和,右边为2n-1的平方.归纳一般结论为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)213如图,质点在第一象限运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后接着按图所示的箭头方向在与x轴、y轴平行的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么2 000秒后,
7、这个质点所处的位置的坐标是.解析:观察可知,质点到达点(n,n)(nN)时,它走过的长度单位应为2+4+6+2n=n(n+1).因为2000=4445+20,故此质点在到达(44,44)后继续前进了20个单位,再观察其规律,应是向左前进了20个单位,即知其位置为点(24,44).答案:(24,44)14对于定义在数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,则x0叫作函数f(x)的一个不动点.已知f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,那么a的取值范围是.解析:若f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则方程x2+2ax+1=x无实数根,即x2+(2a-1)x+1=0无实数根,
8、所以=(2a-1)2-40.解得-a.答案:15若数列an中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,则a10=.解析:前10项共使用了1+2+3+4+10=55个奇数,a10由第46个到第55个奇数的和组成,即a10=(246-1)+(247-1)+(255-1)=1 000.答案:1 000三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)已知x+y=u+v,且x2+y2=u2+v2,求证:xn+yn=un+vn.证明:x+y=u+v,且x2+y2=u2+v2,(x+y)2-(x2+y2)=(u+v)2-(u2+
9、v2),即xy=uv.由x+y=u+v,且xy=uv可知,x,y是一元二次方程z2-(u+v)z+uv=0的两个根,xn+yn=un+vn.17(15分)求证:当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,bc0.证明:假设bc=0.若b=0,c=0,方程变为x2=0,则x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的两个根,这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾.若b=0,c0,方程变为x2+c2=0,但c0,此时方程无解,与x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根矛盾.若b0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b,这与方程有两个不相等的非零实数根相矛盾.综上所述,可知bc0.