1、1.2 利用二分法求方程的近似解内 容 标 准学 科 素 养1.能用二分法求出方程的近似解2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.体会逐步逼近加强数形结合函数与方程思想01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 二分法的定义预习教材P117119，思考并完成以下问题用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示：前提条件：(1)f(x)在区间a，b上的图像连续不断(2)在区间a，b端点的函数值 f(a)f(b)0.知识梳理 二分法的定义对于在区间a，b上且的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所
2、在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法连续不断f(a)f(b)0 一分为二逐步逼近零点知识点二 用二分法求方程近似解的步骤思考并完成以下问题用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算得 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_提示：(0,0.5)f(0.25)知识梳理 二分法的步骤给定精确度，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证，给定精确度.(2)求区间(a，b)的中点 c.(3)计算 f(c)若 f(c)0，则就是函数的零点；若 f(a)f(c)0，则令c(此时零点 x0 )；若 f(c)f
3、(b)0，则令c(此时零点 x0 )(4)判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(4)f(a)f(b)0 cba(a，c)(c，b)|ab|思考：1.能否用二分法求任何函数(图像是连续的)的近似零点？提示：不能看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件(即函数图像在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号，从图像上看即图像穿过 x 轴)2在用二分法求函数 f(x)零点近似值时精确度 有什么作用？提示：(1)精确度 是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab
4、|为止(2)由(1)可知，如果求函数零点的近似值时，所给的“”不同，得到的结果也不相同自我检测1已知函数 f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4 C5,4 D4,3解析：由图像知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点，因此零点个数为 4，从左往右数第 4 个交点两侧不满足 f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余 3 个均可使用二分法求零点答案：D2用二分法求函数 f(x)ln x2x6 的零点可以选取的初始区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析：f(1)40，f(2)ln 220，f(3)ln 30，f(2)f
5、(3)0.答案：B3求方程 x32x50 在区间(2,3)内的实根，取区间中点 x02.5，那么下一个有根区间是_解析：令 f(x)x32x5，则 f(2)2322510，f(2.5)458 0，f(3)160，下一个有根区间为(2,2.5)答案：(2,2.5)探究一 二分法概念的理解例 1 下列函数图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()思路点拨 图像在零点附近连续逐项判断该零点左右函数值异号解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在 B 中，不满足 f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点，故选
6、B.答案 B方法技巧(1)准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点跟踪探究 1.用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1Bx2 Cx3Dx4解析：由二分法的思想可知，零点 x1，x2，x4 左右两侧的函数值符号相反，即存在区间a，b，使得 f(a)f(b)0，故 x1，x2，x4 可以用
7、二分法求解，但 x3a，b时均有f(a)f(b)0，故不可以用二分法求该零点答案：C探究二 用二分法求方程的近似解例 2 用二分法求方程 2x33x30 的一个正实数近似解(精确度 0.1)解析 令 f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(1)20，f(0)f(1)0，所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x3 在(0,1)内有解取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，又 f(1)0.所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如表：(a，b)中点 cf(a)f(b)fab2(0,1)0.5f(0)0f(1
8、)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.75)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程 2x33x30 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.687 5.延伸探究 1.(变换条件)(本例变为)用二分法求 2xx4 在1,2内的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833
9、.083.363.67解析：令 f(x)2xx4，则 f(1)2140，f(2)22240.区间区间中点值 xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250.2，2xx4 在1,2内的近似解可取为 1.375.2(变换条件)若本例改为“试判断函数 f(x)x33x29x1 在2，1内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)”又如何求解呢？解析：因为 f(1)0，f(2)0，且函数 f(x)x33x29x1 的图像是连续的曲线，根据函数
10、零点的存在性定理可知，它在区间2，1内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)0，f(2)0(2，1)x01221.5f(x0)4.3750(2，1.5)x11.5221.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.75221.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.875221.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5.方法技巧 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所
11、在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点 c，计算 f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值2二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间复复做，何时止，精确度来把关口跟踪探究 2.求方程 lg x2x 的近似解(精确度 0.1)解析：在同一平面直角坐标系中，作出 ylg x，y2x 的图像如图所示，可以发现方程 lg x2x 有唯一解，记为 x0，并且解在区间(1,2)内设 f(x)lg xx2，则 f(x)的零点为 x0
12、.用计算器计算，得 f(1)0，f(2)0 x0(1,2)；f(1.5)0，f(2)0 x0(1.5,2)；f(1.75)0，f(2)0 x0(1.75,2)；f(1.75)0，f(1.875)0 x0(1.75,1.875)；f(1.75)0，f(1.812 5)0 x0(1.75,1.812 5)|1.812 51.75|0.062 50.1，方程的近似解可取为 1.812 5.课后小结1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满
13、足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值素养培优不会转化造成解题思路受阻易错案例：求3 2的近似值(精确度 0.01)易错分析：求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，再转化为函数的零点，通过二分法求解，这应形成一种模式，否则遇到类似问题将会使思维受阻而不得解考查转化思想、函数与方程思想，逼近思想等学科素养自我纠正：设 x3 2，则 x320，令 f(x)x32，则函数 f(x)的零点的近似值就是3 2的近似值以下用二分法求其零点的近似值由于 f(1)10，f(2)60，故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步
14、计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5f(1.5)1.375(1,1.5)1.25f(1.25)0.046 9(1.25,1.5)1.375f(1.375)0.599 6(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0.261 0(1.25,1.312 5)1.281 25f(1.281 25)0.103 3(1.25,1.281 25)1.265 625f(1.265 625)0.027 3(1.25,1.265 625)1.257 812 5f(1.257 812 5)0.010 0(1.257 812 5,1.265 625)由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度 1.265 6251.257 812 50.007 812 50.01，所以3 2的近似值可以取 1.265 625.04 课时 跟踪训练